平面体系的机动分析
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平面体系的机动分析测试题
A.必要 B.充分 C.非必要 D. 必要和充分
2. 三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体
系是
D。
A.几何可变体系 B. 无多余约束的几何不变体系
C.瞬变体系 D.体系的组成不确定
3. 图示结构为了受力需要一共设置了五个支座链杆，
对于保持其几何不变来说有 个多2余约束，其中第 个
链杆是1 必要约束，不能由其他约束来代替。
B.有无多余约束的几何不变体系 D.常变体系
提示：体系用不交于一点的三根链杆与基础相连，只需分析 体系本身。选择刚片示于图中，根据三刚片规律。
I
4m
II
B
C
h
III
A
题4图
6m
3m 3m
6m
题5图
5.图示体系A 铰可在竖直线上移动以改变等长杆AB、
AC的长度，而其余结点位置不变。当图示尺寸为哪种情况
4
1
2
3
5
5'
6
8
7
9
解：先去掉二元体35、55'，刚片2367仅需3个链杆即可 构成无多余约束的几何不变体系，原体系有一个多余约束，
所以答案选择 。 D
本章自测题
2.图示体系的几何组成为：
A.常变体系 B.无多余约束的几何不变体系
C.瞬变体系 D.有多余约束 的几何不变体系
解：刚片124与基础用铰1相连，刚片356与基础用铰
(a)
(b)
(c)
(d)
本章自测题
6.图a 属几何
A体系。
A.不变，无多余约束 C.可变，无多余约束
(a)
B.不变，有多余约束 D.可变，有多余约束
(b)
图b属几何 B 体系。 1.2.10
2. 三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体
系是
D。
A.几何可变体系 B. 无多余约束的几何不变体系
C.瞬变体系 D.体系的组成不确定
3. 图示结构为了受力需要一共设置了五个支座链杆，
对于保持其几何不变来说有 个多2余约束，其中第 个
链杆是1 必要约束，不能由其他约束来代替。
B.有无多余约束的几何不变体系 D.常变体系
提示：体系用不交于一点的三根链杆与基础相连，只需分析 体系本身。选择刚片示于图中，根据三刚片规律。
I
4m
II
B
C
h
III
A
题4图
6m
3m 3m
6m
题5图
5.图示体系A 铰可在竖直线上移动以改变等长杆AB、
AC的长度，而其余结点位置不变。当图示尺寸为哪种情况
4
1
2
3
5
5'
6
8
7
9
解：先去掉二元体35、55'，刚片2367仅需3个链杆即可 构成无多余约束的几何不变体系，原体系有一个多余约束，
所以答案选择 。 D
本章自测题
2.图示体系的几何组成为：
A.常变体系 B.无多余约束的几何不变体系
C.瞬变体系 D.有多余约束 的几何不变体系
解：刚片124与基础用铰1相连，刚片356与基础用铰
(a)
(b)
(c)
(d)
本章自测题
6.图a 属几何
A体系。
A.不变，无多余约束 C.可变，无多余约束
(a)
B.不变，有多余约束 D.可变，有多余约束
(b)
图b属几何 B 体系。 1.2.10
平面体系机动分析.
瞬变体系的特点： 1) 必要的约束数不少，但约束的布置不
合理，当发生微小位移后，约束的布 置变得合理，就成为几何不变体系；
瞬变体系
2) 在发生微小位移之前，体系具有自由度，因此瞬变体系至 少有一个多余约束。
瞬变体系是绝对不能用来作为结构使用的。 返 回
几何可变体系分：瞬变体系 和 常变体系；
常 变 体 系 ——可以发生大位移的几何可变体系。
几何不变体系（ 体系
几何可变体系（
可作为结构）有 无多 多余 余约 约束 束－ －超静静定定结结构构 不能作为结构）瞬 常变 变变 变体 体
不变体系
常变体系
返回
小结
以上介绍了几何不变体系的三条简单 组成规则，而它们实质上只是一条规则
，即三刚片规则（或三角形规则）。按
这些规则组成的几何不变体系W=0(体系 本身W=3),因此都是没有多余联系的几何 不变体系。
刚片：几何形状不能变化(几何不变)的平面物体
y B
xA
y
o
x
独立变化的几何参数为：x、y、。 返回
2.约束:
减少自由度的装置（又称为联系）。凡是减少一个 自由度的装置称为一个约束。
3.约束的种类:
⑴ 链杆: 一根链杆相当一个约束。
y
B
x A
y
o
y
xo
B
A 2
1
x
返回
⑵ 单连铰结：两个刚片的铰称为单铰 y
例如：
．
O
Ｆ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｅ
刚片Ⅰ
基础为刚片Ⅰ，杆BCE为 刚片Ⅱ，用链杆AB、 EF 、 CD 相联，为几何不变 体系。
Ⅱ
ⅠLeabharlann 返回2. 基本的三刚片规则（三角形规则）:
合理，当发生微小位移后，约束的布 置变得合理，就成为几何不变体系；
瞬变体系
2) 在发生微小位移之前，体系具有自由度，因此瞬变体系至 少有一个多余约束。
瞬变体系是绝对不能用来作为结构使用的。 返 回
几何可变体系分：瞬变体系 和 常变体系；
常 变 体 系 ——可以发生大位移的几何可变体系。
几何不变体系（ 体系
几何可变体系（
可作为结构）有 无多 多余 余约 约束 束－ －超静静定定结结构构 不能作为结构）瞬 常变 变变 变体 体
不变体系
常变体系
返回
小结
以上介绍了几何不变体系的三条简单 组成规则，而它们实质上只是一条规则
，即三刚片规则（或三角形规则）。按
这些规则组成的几何不变体系W=0(体系 本身W=3),因此都是没有多余联系的几何 不变体系。
刚片：几何形状不能变化(几何不变)的平面物体
y B
xA
y
o
x
独立变化的几何参数为：x、y、。 返回
2.约束:
减少自由度的装置（又称为联系）。凡是减少一个 自由度的装置称为一个约束。
3.约束的种类:
⑴ 链杆: 一根链杆相当一个约束。
y
B
x A
y
o
y
xo
B
A 2
1
x
返回
⑵ 单连铰结：两个刚片的铰称为单铰 y
例如：
．
O
Ｆ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｅ
刚片Ⅰ
基础为刚片Ⅰ，杆BCE为 刚片Ⅱ，用链杆AB、 EF 、 CD 相联，为几何不变 体系。
Ⅱ
ⅠLeabharlann 返回2. 基本的三刚片规则（三角形规则）:
李廉锟第四版《结构力学》第2章平面体系的机动分析习题+参考答案
《结构力学》李廉锟第四版第二章平面体系的机动分析习题2-1～2-17试对图示平面体系进行机动分析题2-1题2-2题2-3题2-4题2-5题2-6题2-7题2-8题2-9（a、b处非结点）题2-10（k处非结点）题2-11题2-12题2-13题2-14题2-15（k处非结点）题2-16题2-172-18、2-19添加最少数目的链杆和支承链杆，使体系成为几何不变，而且无多余约束。
题2-18题2-19《结构力学》李廉锟第四版第二章平面体系的机动分析参考答案题2-1说明：自上往下依次拆除二元体，或者自下往上依次添加二元体，故体系为有一个多余约束的几何不变体系（多余约束：中间的横杆或者也可以看成支座上多了一根水平杆）。
题2-2说明：如图所示取刚片1和刚片2，采用二刚片规则（两刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联），为几何不变体系，而且没有多余联系。
刚片1由二元体组成，刚片2从大地向上组装二元体组成。
题2-3说明：先不考虑支座的三根链杆，考虑上部几何构造，去掉二元体简化分析，取如上图所示刚片1、刚片2和刚片3。
刚片1和刚片2通过一个实铰联结；刚片1和刚片3通过两根平行链杆联结，交于无穷远处；刚片2和刚片3通过两根平行链杆联结，交于无穷远处；三铰不共线，故上部无多余约束且几何不变。
最后上部与大地通过一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，故整个体系为无多余约束的几何不变体系。
题2-4说明：如上图所示取刚片1、刚片2和刚片3，刚片1和刚片2交于铰12O ，刚片1和刚片3交于铰13O ，刚片2和刚片3交于铰23O ，三铰不共线，故原体系为无多余约束的几何不变体系。
题2-5说明：将大地等效成一根链杆，取如图所示刚片1和刚片2，显然两刚片通过三根链杆相联，且三根链杆既不相互平行也不相交于一点，故原体系为无多余约束的几何不变体系。
题2-6说明：先拆除二元体以简化分析，可知右部分为常变部分；左部分为有一个多余约束的几何不变体系，故体系为几何常变体系。
第二章：平面体系的机动分析(结构力学 李廉锟 第五版 配套)
y A' B' D Dy B Dx
x
A 0
自由度： 描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。 几何体系运动时，可以独立改变的坐标的数目。 几何可变体系自由度大于0 几何不变体系自由度等于0 平面内的点自由度为2 平面内的刚体自由度为3
联系（约束）
如果体系有了自由度，必须消除，消除的办法是增加约束。
Ｗ＝３×７－（２×９）－３＝０
平面杆件体系的自由度
若每个节点均为自由，则有2j个自由度，但连接节点的每根杆 件都起一个约束作用，则体系的计算自由度为
Ｗ＝２j－b －r
j---刚片数; b---杆件数; r ---支座链杆数。
算例
j=4
b=4 r=3
j=8
b=12
r=4
Ｗ＝２×４－４－３＝１
Ｗ＝２×8－12－4＝0
在运动中改变位置。
虚铰特例 2杆平行等长，刚片位置改变，链杆仍平行但改变方 向，虚铰转到另一无穷远点（常变体系）
2杆平行不等长，刚片位置改变，链杆不再平行， 虚铰转到有限远点（瞬变体系）
基本组成规则
基本规则的应用
利用组成规律可以两种方式构造一般的结构：
（1）从基础出发构造
（2）从内部刚片出发构造
2.5 机动分析
1,3
.
.1,2
2,3
.
.
无多余约束的几何不变体系
几何瞬变体系
1,2
. .
1,3 2,3
. 2,3
几何瞬变体系
1,2 1,3
F
D C E
F
D C B E
A
A
B
F
D
C A
E
D
E
C
平面体系的机动分析PPT双语71页
第二章 Chapter II
平面体系的机动分析
（Geometric Construction Analysis of Plane Systems）
§2-1 引 言 Introduction
结构：由杆件、结点和支座组成的杆件体系 Structure consists of members, joints and supports.
If the deformation of materials is neglected, then framed systems can be classified into two categories： 几何不变体系 ( geometrically stable system )
几何可变体系( geometrically unstable system )
几何可变体系( geometrically unstable system )
在一般荷载作用下，几何形状及位置将发生改变机构
的体系。（不考虑材料的变形） Under the action of any loads, the system will change its shape and its location if the deformations of the members are neglected.
几何不变体系 ( geometrically stable system )
在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的变形）
结构
Under the action of any loads, the system still maintain its shape and remains its location if the deformations of the members are neglected.
平面体系的机动分析
（Geometric Construction Analysis of Plane Systems）
§2-1 引 言 Introduction
结构：由杆件、结点和支座组成的杆件体系 Structure consists of members, joints and supports.
If the deformation of materials is neglected, then framed systems can be classified into two categories： 几何不变体系 ( geometrically stable system )
几何可变体系( geometrically unstable system )
几何可变体系( geometrically unstable system )
在一般荷载作用下，几何形状及位置将发生改变机构
的体系。（不考虑材料的变形） Under the action of any loads, the system will change its shape and its location if the deformations of the members are neglected.
几何不变体系 ( geometrically stable system )
在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的变形）
结构
Under the action of any loads, the system still maintain its shape and remains its location if the deformations of the members are neglected.
第二章-平面体系几何组成分析
2-3 几何不变体系的基本组成规律 基本规则
2-4 瞬变体系
FNAB =FNAC =FN
2FN sina=FP
δ
FN =FP /(2 sina )
l2 2 l 2
2l
2-5 几何组成分析示例 几何组成分析目的
体系
几何不变 几何可变
无多余约束的几何不变体系 有多余约束的几何不变体系
瞬变体系 常变体系
2-2 平面体系的计算自由度 约束/联系
复刚结点
连接n个刚片的复刚结点， 相当于（n -1）个单刚结点， 能减少3（n -1）个自由度， 故相当于3（n -1）个约束。
2-2 平面体系的计算自由度 必要约束/多余约束
必要约束
多余约束
多余约束
必要约束
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。
2-2 平面体系的计算自由度
2-5 几何组成分析示例 例题 I
B
A
C
DE
B
AⅠ
ⅡC
DE
Ⅲ
2-5 几何组成分析示例 例题 II
2-5 几何组成分析示例 例题 III
利用虚铰
等效链杆
2-5 几何组成分析示例 例题 VI
将刚片画成直杆
将
画成
2-5 几何组成分析示例 例题 V
主从结构
2-5 几何组成分析示例 例题 VI
C B A
第二章
平面体系的机动分析
Geometric Construction Analysis of Planar Systems
2-1 概述 机动分析前提假设
结构可变性分为： 物理可变形；几何可变性。
机动分析前提假设： 不考虑材料变形。
2-1 概述 体系的分类
平面体系的机动分析—习题课
7
结构的几何构造分析
5、在一个平面体系上增加二元体不会改变体系的计算自由度。(√)
(√) 6、若平面体系的计算自由度W＜0，则体系不可能是静定结构。 7、若平面体系的计算自由度W＝0，则体系为无多余约束的 几何不变体系或瞬变体系，而不可能是常变体系。 (×)
二、选择题
A 1、W≤0是保证体系为几何不变的———条件。 （A）必要条件 （C）非必要条件 （B）充分条件 （D）必要和充分条件 D 2、在土木工程不能作为建筑工程应用的是———— （A）几何不变体系，无多余约束 （C）几何不变体系，有多余约束
而不要成为几何可变体系或瞬变体系，以避免发生严重 的工程事故。尤其新型结构，更应注意结构的几何构造 分析。 2 从几何构造分析的观点看，结构体系可分类如下：
几何体系
几何不变体系 几何可变体系
常变体系 瞬变体系
17
结构的几何构造分析
3 在结构几何构造分析中，可先计算体系的自由度 W (V ) 。
若体系的
5
结构的几何构造分析
2、二个虚铰在无穷远处：
若组成两无穷远处虚铰的两对平行链杆互不平行，则体系 为几何不变体系；若两虚铰的四根链杆互相平行但不等长， 则为体系为瞬变体系；若两虚铰的四根链杆平行且等长，则 体系为常变体系。
3、三个虚铰在无穷远处： 若三刚片用三对平行但不等长的链杆相联，则体系为瞬变 体系；若三刚片用三对平行且等长的链杆相联，则为体系为 常变体系。 注：这里指每对链杆都是从每一个刚片的同侧方向联结另一 个刚片；若两链杆是从刚片的异侧方向联结另一个刚片，则 6 体系为瞬变体系。
W (V ) 0
，则体系为几何可变体系；若体系的
W (V ) 0 ，则应对体系进行几何构造分析。若对几何构造分
结构的几何构造分析
5、在一个平面体系上增加二元体不会改变体系的计算自由度。(√)
(√) 6、若平面体系的计算自由度W＜0，则体系不可能是静定结构。 7、若平面体系的计算自由度W＝0，则体系为无多余约束的 几何不变体系或瞬变体系，而不可能是常变体系。 (×)
二、选择题
A 1、W≤0是保证体系为几何不变的———条件。 （A）必要条件 （C）非必要条件 （B）充分条件 （D）必要和充分条件 D 2、在土木工程不能作为建筑工程应用的是———— （A）几何不变体系，无多余约束 （C）几何不变体系，有多余约束
而不要成为几何可变体系或瞬变体系，以避免发生严重 的工程事故。尤其新型结构，更应注意结构的几何构造 分析。 2 从几何构造分析的观点看，结构体系可分类如下：
几何体系
几何不变体系 几何可变体系
常变体系 瞬变体系
17
结构的几何构造分析
3 在结构几何构造分析中，可先计算体系的自由度 W (V ) 。
若体系的
5
结构的几何构造分析
2、二个虚铰在无穷远处：
若组成两无穷远处虚铰的两对平行链杆互不平行，则体系 为几何不变体系；若两虚铰的四根链杆互相平行但不等长， 则为体系为瞬变体系；若两虚铰的四根链杆平行且等长，则 体系为常变体系。
3、三个虚铰在无穷远处： 若三刚片用三对平行但不等长的链杆相联，则体系为瞬变 体系；若三刚片用三对平行且等长的链杆相联，则为体系为 常变体系。 注：这里指每对链杆都是从每一个刚片的同侧方向联结另一 个刚片；若两链杆是从刚片的异侧方向联结另一个刚片，则 6 体系为瞬变体系。
W (V ) 0
，则体系为几何可变体系；若体系的
W (V ) 0 ，则应对体系进行几何构造分析。若对几何构造分
2011 第二章 平面体系的机动分析9.8
C
链杆 体系
链杆
A D
刚片1 刚片
B
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
任何体系增减二元体，其机动性质不变。 注： 任何体系增减二元体，其机动性质不变。
Ⅰ
减二元体简化分析 加二元体组成结构
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
例：分析图示铰结体系
以铰结三角形123为基础，增加一个二元体得结点4， 为基础，增加一个二元体得结点 ， 以铰结三角形 为基础 1234为几何不变体系；如此依次增加二元体，最后的体系 为几何不变体系； 为几何不变体系 如此依次增加二元体， 为几何不变体系，没有多余联系。 为几何不变体系，没有多余联系。 或：从结点10开始拆除二元体，依次拆除结点9，8， 从结点 开始拆除二元体，依次拆除结点 ， ， 开始拆除二元体 7…，最后剩下铰结三角形 ，最后剩下铰结三角形123，它是几何不变的，故原体 ，它是几何不变的， 系为几何不变体系，没有多余联系。 系为几何不变体系，没有多余联系。
§2-2 平面体系的计算自由度
四、平面体系的计算自由度 体系中各构件间无任何约束时的总自由度数与 总约束数之差称计算自由度 计算自由度（ ） 总约束数之差称计算自由度（W）。 算法1 算法1 W = 3m-(2h+r) 算法2 算法2
m ---- 体系刚片数 体系刚片数 h ---- 单铰结点数 r ---- 支座链杆数 支座链杆数
相交在∞点 相交在∞点
A
Ⅱ Ⅰ
A
A’
Ⅱ Ⅰ
图 2 虚铰
Ⅱ
图 1实铰 实铰
Ⅰ
§2-2 平面体系的计算自由度
3、刚结点 1个单刚结点=3个联系 个单刚结点=3个联系 =3
复刚结点
一个连接 n个刚片的复刚相 个刚片的复刚相 当于(n-1)个单刚结点，相当于 当于 个 刚结点， 3(n-1)个约束。 个约束。
链杆 体系
链杆
A D
刚片1 刚片
B
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
任何体系增减二元体，其机动性质不变。 注： 任何体系增减二元体，其机动性质不变。
Ⅰ
减二元体简化分析 加二元体组成结构
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
例：分析图示铰结体系
以铰结三角形123为基础，增加一个二元体得结点4， 为基础，增加一个二元体得结点 ， 以铰结三角形 为基础 1234为几何不变体系；如此依次增加二元体，最后的体系 为几何不变体系； 为几何不变体系 如此依次增加二元体， 为几何不变体系，没有多余联系。 为几何不变体系，没有多余联系。 或：从结点10开始拆除二元体，依次拆除结点9，8， 从结点 开始拆除二元体，依次拆除结点 ， ， 开始拆除二元体 7…，最后剩下铰结三角形 ，最后剩下铰结三角形123，它是几何不变的，故原体 ，它是几何不变的， 系为几何不变体系，没有多余联系。 系为几何不变体系，没有多余联系。
§2-2 平面体系的计算自由度
四、平面体系的计算自由度 体系中各构件间无任何约束时的总自由度数与 总约束数之差称计算自由度 计算自由度（ ） 总约束数之差称计算自由度（W）。 算法1 算法1 W = 3m-(2h+r) 算法2 算法2
m ---- 体系刚片数 体系刚片数 h ---- 单铰结点数 r ---- 支座链杆数 支座链杆数
相交在∞点 相交在∞点
A
Ⅱ Ⅰ
A
A’
Ⅱ Ⅰ
图 2 虚铰
Ⅱ
图 1实铰 实铰
Ⅰ
§2-2 平面体系的计算自由度
3、刚结点 1个单刚结点=3个联系 个单刚结点=3个联系 =3
复刚结点
一个连接 n个刚片的复刚相 个刚片的复刚相 当于(n-1)个单刚结点，相当于 当于 个 刚结点， 3(n-1)个约束。 个约束。
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(3)约束。
使得体系减少自由度的联结装置称约束或联系。在刚片间加入某些联结装置，它们的
自由度将减少，减少一个自由度的装置就称为一个约束，减少n个自由度的装置就称为个约束。
n
2.1.1不同联结装置对体系的约束作用
1．链杆的作用
图2-4(a)表示用一根链杆BC联结的两个刚片Ⅰ和Ⅱ。未联结以前，这两个刚片在平面
(2)自由度。
图2-2所示为平面内一点A的运动情况。一点在平面内可以沿水平方向(x轴方向)移
动，又可以沿竖直方向(y轴方向)移动。当给定x、y坐标值后，A点的位置确定。换句话
说，平面内一点有两种独立运动方式(两个坐标x、y可以独立地改变)，即确定平面内一点
的位置需要两个独立的几何参数
(x、y坐标值
)，因此我们说一点在平面内有两个自由度。
后的自由度总数为五个(6- 1=5)。由此可见，一根链杆使体系减少了一个自由度，也就是说，
一根链杆相当于一个联系或一个约束。
2．单铰的作用
图2-4(b)表示用一个铰B联结的两个刚片Ⅰ和Ⅱ。在未联结以前， 两个刚片在平面内共
有六个自由度。在用铰B联结以后，刚片Ⅰ仍有三个自由度，而刚片Ⅱ则只能绕铰B作相
EF来看，E点的运E点的这种运动不可能
发生，也就是链杆
EF阻止了刚片Ⅰ和刚片Ⅱ的相对转动。因此，这样组成的体系是几何不
变体系。
图2-7两刚片组成规则
如果在刚片Ⅰ和刚片Ⅱ之间再增加一根链杆，如图2-7(c)所示，显然体系仍是几何不变
的，但从保证几何不变性来看它是多余的。这种可以去掉而不影响体系几何不变性的约束
对转动，即再用一个独立参数(夹角)就可确定它的位置，所以减少了两个自由度。因此，
两个刚片用一个铰联结后的自由度总数为四个(6- 2=4)，我们把联结两个刚片的铰称为单铰。
由此可见，一个单铰相当于两个联系，或两个约束，也相当于两根链杆的作用；反之，两
根链杆也相当于一个单铰的作用。
我们将地基看作是不动的，这样，如果在体系上加一个可动铰支座，就使体系减少一
显然，可动铰支座即链杆支承只能阻止刚片沿链杆方向的运动，使刚片减少了一个自由度，相当于一个约束；铰支座阻止刚片上下、左右的移动，使刚片减少两个自由度，相当于两个约束；固定支座阻止刚片上下、左右的移动，也阻止其转动，所以相当于三个约束。
图2-4
链杆、单铰、复铰、刚性联结相当的约束数目示意图
5．虚铰的作用
BC的圆弧上运动。 由于
AB和
BC
是在
C点用铰
联结在一起的，
C点不可能同时在两个不同的圆弧上运动，
因此刚片之间不可能发生相对运
动，所以这样组成的体系是几何不变的。
图2-8三刚片组成规则
因为两根链杆的作用相当于一个单铰的作用，则将图2-8(a)中的任一单铰换为两根链杆
所构成的虚铰，如图2-8(b)中的a、c，此时，三刚片用三个铰(两个虚铰和一个实铰)联结，
2.2.1两刚片之间的联结
图2-7(a)表示用两根不平行的链杆相联结的刚片Ⅰ和刚片Ⅱ。设刚片Ⅱ固定不动，则刚
片Ⅰ的运动方式只能是绕AB与CD杆延长线的交点即相对转动瞬心而转动。当刚片Ⅰ运动
时，其上的A点将沿与链杆AB垂直的方向运动，而C点将沿与链杆CD垂直的方向运动。
因为这种转动只是瞬时的，在不同瞬时，
与两根链杆相应的虚铰位置也跟着改变。
图2-5
虚铰
2.1.2体系自由度的计算公式
我们已经研究了不同约束对体系自由度的影响，下面给出平面刚片系统计算体系自由度的公式：
W 3m 2n c c0
(2-1)
式中，m表示体系中的刚片数
(地基不计入)；n为联结刚片的单铰数；
c为联结刚片的链杆
数；c0为体系与地基联结的支座链杆数，且将三类支座均用相应的链杆约束代替，即可动
图2-2平面内一点的自由度示意图图2-3平面内一刚片的自由度示意图
综上所述，可以说，某个体系的自由度，就是该体系运动时可以独立变化的几何参数
的数目，或者说，就是用来确定该体系的位置所需独立坐标的数目。一般来说，如果一个
体系有n个独立的运动方式，我们就说这个体系有n个自由度。凡是自由度大于零的体系
都是几何可变体系。
的两根连杆称为二元体。二元体的特征是两链杆用铰相连，而另一端分别用铰与刚片或体
系相联。根据二元体的ຫໍສະໝຸດ 成特征可得出以下规则。规则三 ：在一个刚片上增加一个二元体，仍为几何不变体系。
由规则三不难得出以下推论：在一个体系上依次加入二元体，不会改变原体系的计算
自由度，也不影响原体系的几何不变性和可变性。反之，若在已知体系上依次排除二元体，
能承受荷载而维持平衡。通过体系的几何组成，可以确定结构是静定的还是超静定的，以
便在结构计算中选择相应的计算方法。
为了分析平面体系的几何组成，首先介绍几个基本概念。
(1)刚片。
一个在平面内可以看作刚体的物体，它的几何形状和尺寸都是不变的。因此，在平面
体系中，当不考虑材料的应变时，就可以把一根梁、一根链杆或者体系中已经确定为几何不变的某一部分看作一个刚片，结构的基础也可以看作刚片。
也不会改变原体系的计算自由度、几何不变性或可变性。
例如分析图2-10所示桁架时，由规则二可知，任选一铰结三角形都是几何不变体系，
并以此为新的刚片，采用增加二元体的方式分析。例如取新刚片AHC，增加一个二元体得
结点Ⅰ，从而得到几何不变体系
AHIC，再以其为基础，增加一个二元体得结点
D，⋯，如
此依次增添二元体而最后组成该桁架，故知它是一个几何不变体系，且无多余约束。
铰支座的c0=1，固定铰支座的
c0=2，定向支座的c0=2，固定支座的c0
=3。显然，几何不变
体系的自由度必然是等于零或小于零，即由式(2-1)计算出的W≤0。
图2-6(a)所示为一简支梁，其刚片数m=1，单铰数n=0，链杆数c=0，支座链杆数c0=3，
则自由度W=0。而图2-6(b)所示的体系刚片数m=9，单铰数n=12，链杆数c=0，支座链
内共有六个自由度。用链杆
BC
联结以后， 对刚片Ⅰ而言， 其位置需用刚片上
A点的坐标
x、
y和AB连线的倾角来确定，因此它有三个自由度。但是对刚片Ⅱ而言，由于与刚片Ⅰ已
用链杆BC联结，它只能沿着B为圆心、BC为半径的圆弧运动和绕C点转动，再用两个独
立参数和即可确定它的位置，所以减少了一个自由度。因此，两个刚片用一根链杆联结
为几何不变体系。如图2-1(a)所示的体系就是一个几何不变体系，因为在所示荷载作用下，
只要不发生破坏，它的形状和位置是不会改变的。在任意荷载作用下，不考虑材料的应变，
体系的形状和位置可以改变，则称这样的体系为几何可变体系。图2-1(b)所示的体系，在所
示荷载P的作用下，即使P的值非常小，它也不能维持平衡，这是由于体系缺少必要的杆件或杆件布置不合理而导致的。一般工程结构都必须是几何不变体系，而不能采用几何可
变体系，否则将不能承受任意荷载而维持平衡。因此，在设计结构和选取计算简图时，首
先必须判别它是否几何不变，从而决定能否采用，这一工作就称为体系的机动分析或几何
组成分析。此外，以后会看到，机动分析还将有助于结构的内力分析。
图2-1体系几何性质
对体系进行机动分析的目的就是确定该体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构。确定体系是否为几何不变体系，需要研究几何不变体系的组成规律，以保证所设计的结构
且三个铰不在一条直线上，这样组成的体系同样为几何不变的，而且无多余约束。
由以上分析可得出以下规则。
规则二 ：三个刚片用不在同一条直线上的三个铰两两铰联，组成的体系是几何不变的，
并且没有多余约束。
2.2.3二元体的概念
图2-9所示体系中Ⅰ为一刚片，从刚片上的
、
1、
A B两点出发，用不共线的两根链杆
链杆2在结点C相连。 将链杆1、链杆2均视为刚片， 则由规则二可知， 该体系是几何不变的。由于实际结构的几何组成中这种联结方式应用很多，为了便于分析，我们将这样联结
称为多余约束。
由以上分析可得以下规则。
规则一 ：两个刚片用不交于一点也不互相平行的三根链杆相联结，则所组成的体系是
几何不变的，并且没有多余约束。
如果两根链杆AB和CD相交成为实铰，如图
2-7(d)所示，显然，它也是一个几何不变
体系，故规则一也可以表述为：两个刚片用一个铰和轴线不通过这个铰的一根链杆相联结，则所组成的体系也是几何不变体系。
了四个自由度。我们把联结两个以上刚片的铰称为复铰。由上述可见，一个联结三个刚片
的复铰相当于两个单铰的作用。一般情况下，如果n个刚片用一个复铰联结，则这个复铰
相当于n－1个单铰的作用。
4．刚性联结的作用
图2-4(d)所示为两根杆件AB和BC在B点连接成一个整体，其中的结点B为刚结点。
原来的两根杆件在平面内共有六个自由度，刚性连接成整体，形成一个刚片，只有三个自由度，所以一个刚性联结相当于三个约束。
个自由度；加一个固定铰支座，就使体系减少两个自由度；加一个固定支座，就使体系减少三个自由度。
3．复铰的作用
图2-4(c)表示用一个铰C联结的三个刚片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。 在未联结以前， 三个刚片在平面
内共有九个自由度。在用铰C联结以后，刚片Ⅰ仍有三个自由度，而刚片Ⅱ和刚片Ⅲ则都
只能绕铰C作相对转动，即再用两个独立参数(夹角、)就可确定它们的位置，因此减少
2.2.2三刚片相互联结
将三个刚片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ用不在同一直线上的三个铰两两相联，即得三角形ABC，如
图2-8(a)所示。从几何上看，它的几何形状是不会改变的。从运动上看，如将刚片Ⅰ固定不
动，则刚片Ⅱ只能绕
A点转动，其上的
C点必在半径为
AC
的圆弧上运动；而刚片Ⅲ则只
使得体系减少自由度的联结装置称约束或联系。在刚片间加入某些联结装置，它们的
自由度将减少，减少一个自由度的装置就称为一个约束，减少n个自由度的装置就称为个约束。
n
2.1.1不同联结装置对体系的约束作用
1．链杆的作用
图2-4(a)表示用一根链杆BC联结的两个刚片Ⅰ和Ⅱ。未联结以前，这两个刚片在平面
(2)自由度。
图2-2所示为平面内一点A的运动情况。一点在平面内可以沿水平方向(x轴方向)移
动，又可以沿竖直方向(y轴方向)移动。当给定x、y坐标值后，A点的位置确定。换句话
说，平面内一点有两种独立运动方式(两个坐标x、y可以独立地改变)，即确定平面内一点
的位置需要两个独立的几何参数
(x、y坐标值
)，因此我们说一点在平面内有两个自由度。
后的自由度总数为五个(6- 1=5)。由此可见，一根链杆使体系减少了一个自由度，也就是说，
一根链杆相当于一个联系或一个约束。
2．单铰的作用
图2-4(b)表示用一个铰B联结的两个刚片Ⅰ和Ⅱ。在未联结以前， 两个刚片在平面内共
有六个自由度。在用铰B联结以后，刚片Ⅰ仍有三个自由度，而刚片Ⅱ则只能绕铰B作相
EF来看，E点的运E点的这种运动不可能
发生，也就是链杆
EF阻止了刚片Ⅰ和刚片Ⅱ的相对转动。因此，这样组成的体系是几何不
变体系。
图2-7两刚片组成规则
如果在刚片Ⅰ和刚片Ⅱ之间再增加一根链杆，如图2-7(c)所示，显然体系仍是几何不变
的，但从保证几何不变性来看它是多余的。这种可以去掉而不影响体系几何不变性的约束
对转动，即再用一个独立参数(夹角)就可确定它的位置，所以减少了两个自由度。因此，
两个刚片用一个铰联结后的自由度总数为四个(6- 2=4)，我们把联结两个刚片的铰称为单铰。
由此可见，一个单铰相当于两个联系，或两个约束，也相当于两根链杆的作用；反之，两
根链杆也相当于一个单铰的作用。
我们将地基看作是不动的，这样，如果在体系上加一个可动铰支座，就使体系减少一
显然，可动铰支座即链杆支承只能阻止刚片沿链杆方向的运动，使刚片减少了一个自由度，相当于一个约束；铰支座阻止刚片上下、左右的移动，使刚片减少两个自由度，相当于两个约束；固定支座阻止刚片上下、左右的移动，也阻止其转动，所以相当于三个约束。
图2-4
链杆、单铰、复铰、刚性联结相当的约束数目示意图
5．虚铰的作用
BC的圆弧上运动。 由于
AB和
BC
是在
C点用铰
联结在一起的，
C点不可能同时在两个不同的圆弧上运动，
因此刚片之间不可能发生相对运
动，所以这样组成的体系是几何不变的。
图2-8三刚片组成规则
因为两根链杆的作用相当于一个单铰的作用，则将图2-8(a)中的任一单铰换为两根链杆
所构成的虚铰，如图2-8(b)中的a、c，此时，三刚片用三个铰(两个虚铰和一个实铰)联结，
2.2.1两刚片之间的联结
图2-7(a)表示用两根不平行的链杆相联结的刚片Ⅰ和刚片Ⅱ。设刚片Ⅱ固定不动，则刚
片Ⅰ的运动方式只能是绕AB与CD杆延长线的交点即相对转动瞬心而转动。当刚片Ⅰ运动
时，其上的A点将沿与链杆AB垂直的方向运动，而C点将沿与链杆CD垂直的方向运动。
因为这种转动只是瞬时的，在不同瞬时，
与两根链杆相应的虚铰位置也跟着改变。
图2-5
虚铰
2.1.2体系自由度的计算公式
我们已经研究了不同约束对体系自由度的影响，下面给出平面刚片系统计算体系自由度的公式：
W 3m 2n c c0
(2-1)
式中，m表示体系中的刚片数
(地基不计入)；n为联结刚片的单铰数；
c为联结刚片的链杆
数；c0为体系与地基联结的支座链杆数，且将三类支座均用相应的链杆约束代替，即可动
图2-2平面内一点的自由度示意图图2-3平面内一刚片的自由度示意图
综上所述，可以说，某个体系的自由度，就是该体系运动时可以独立变化的几何参数
的数目，或者说，就是用来确定该体系的位置所需独立坐标的数目。一般来说，如果一个
体系有n个独立的运动方式，我们就说这个体系有n个自由度。凡是自由度大于零的体系
都是几何可变体系。
的两根连杆称为二元体。二元体的特征是两链杆用铰相连，而另一端分别用铰与刚片或体
系相联。根据二元体的ຫໍສະໝຸດ 成特征可得出以下规则。规则三 ：在一个刚片上增加一个二元体，仍为几何不变体系。
由规则三不难得出以下推论：在一个体系上依次加入二元体，不会改变原体系的计算
自由度，也不影响原体系的几何不变性和可变性。反之，若在已知体系上依次排除二元体，
能承受荷载而维持平衡。通过体系的几何组成，可以确定结构是静定的还是超静定的，以
便在结构计算中选择相应的计算方法。
为了分析平面体系的几何组成，首先介绍几个基本概念。
(1)刚片。
一个在平面内可以看作刚体的物体，它的几何形状和尺寸都是不变的。因此，在平面
体系中，当不考虑材料的应变时，就可以把一根梁、一根链杆或者体系中已经确定为几何不变的某一部分看作一个刚片，结构的基础也可以看作刚片。
也不会改变原体系的计算自由度、几何不变性或可变性。
例如分析图2-10所示桁架时，由规则二可知，任选一铰结三角形都是几何不变体系，
并以此为新的刚片，采用增加二元体的方式分析。例如取新刚片AHC，增加一个二元体得
结点Ⅰ，从而得到几何不变体系
AHIC，再以其为基础，增加一个二元体得结点
D，⋯，如
此依次增添二元体而最后组成该桁架，故知它是一个几何不变体系，且无多余约束。
铰支座的c0=1，固定铰支座的
c0=2，定向支座的c0=2，固定支座的c0
=3。显然，几何不变
体系的自由度必然是等于零或小于零，即由式(2-1)计算出的W≤0。
图2-6(a)所示为一简支梁，其刚片数m=1，单铰数n=0，链杆数c=0，支座链杆数c0=3，
则自由度W=0。而图2-6(b)所示的体系刚片数m=9，单铰数n=12，链杆数c=0，支座链
内共有六个自由度。用链杆
BC
联结以后， 对刚片Ⅰ而言， 其位置需用刚片上
A点的坐标
x、
y和AB连线的倾角来确定，因此它有三个自由度。但是对刚片Ⅱ而言，由于与刚片Ⅰ已
用链杆BC联结，它只能沿着B为圆心、BC为半径的圆弧运动和绕C点转动，再用两个独
立参数和即可确定它的位置，所以减少了一个自由度。因此，两个刚片用一根链杆联结
为几何不变体系。如图2-1(a)所示的体系就是一个几何不变体系，因为在所示荷载作用下，
只要不发生破坏，它的形状和位置是不会改变的。在任意荷载作用下，不考虑材料的应变，
体系的形状和位置可以改变，则称这样的体系为几何可变体系。图2-1(b)所示的体系，在所
示荷载P的作用下，即使P的值非常小，它也不能维持平衡，这是由于体系缺少必要的杆件或杆件布置不合理而导致的。一般工程结构都必须是几何不变体系，而不能采用几何可
变体系，否则将不能承受任意荷载而维持平衡。因此，在设计结构和选取计算简图时，首
先必须判别它是否几何不变，从而决定能否采用，这一工作就称为体系的机动分析或几何
组成分析。此外，以后会看到，机动分析还将有助于结构的内力分析。
图2-1体系几何性质
对体系进行机动分析的目的就是确定该体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构。确定体系是否为几何不变体系，需要研究几何不变体系的组成规律，以保证所设计的结构
且三个铰不在一条直线上，这样组成的体系同样为几何不变的，而且无多余约束。
由以上分析可得出以下规则。
规则二 ：三个刚片用不在同一条直线上的三个铰两两铰联，组成的体系是几何不变的，
并且没有多余约束。
2.2.3二元体的概念
图2-9所示体系中Ⅰ为一刚片，从刚片上的
、
1、
A B两点出发，用不共线的两根链杆
链杆2在结点C相连。 将链杆1、链杆2均视为刚片， 则由规则二可知， 该体系是几何不变的。由于实际结构的几何组成中这种联结方式应用很多，为了便于分析，我们将这样联结
称为多余约束。
由以上分析可得以下规则。
规则一 ：两个刚片用不交于一点也不互相平行的三根链杆相联结，则所组成的体系是
几何不变的，并且没有多余约束。
如果两根链杆AB和CD相交成为实铰，如图
2-7(d)所示，显然，它也是一个几何不变
体系，故规则一也可以表述为：两个刚片用一个铰和轴线不通过这个铰的一根链杆相联结，则所组成的体系也是几何不变体系。
了四个自由度。我们把联结两个以上刚片的铰称为复铰。由上述可见，一个联结三个刚片
的复铰相当于两个单铰的作用。一般情况下，如果n个刚片用一个复铰联结，则这个复铰
相当于n－1个单铰的作用。
4．刚性联结的作用
图2-4(d)所示为两根杆件AB和BC在B点连接成一个整体，其中的结点B为刚结点。
原来的两根杆件在平面内共有六个自由度，刚性连接成整体，形成一个刚片，只有三个自由度，所以一个刚性联结相当于三个约束。
个自由度；加一个固定铰支座，就使体系减少两个自由度；加一个固定支座，就使体系减少三个自由度。
3．复铰的作用
图2-4(c)表示用一个铰C联结的三个刚片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。 在未联结以前， 三个刚片在平面
内共有九个自由度。在用铰C联结以后，刚片Ⅰ仍有三个自由度，而刚片Ⅱ和刚片Ⅲ则都
只能绕铰C作相对转动，即再用两个独立参数(夹角、)就可确定它们的位置，因此减少
2.2.2三刚片相互联结
将三个刚片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ用不在同一直线上的三个铰两两相联，即得三角形ABC，如
图2-8(a)所示。从几何上看，它的几何形状是不会改变的。从运动上看，如将刚片Ⅰ固定不
动，则刚片Ⅱ只能绕
A点转动，其上的
C点必在半径为
AC
的圆弧上运动；而刚片Ⅲ则只