2020-2021学年北京二中教育集团八年级(上)期中数学试卷-解析版
2020-2021学年北京二中教育集团八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是()A. B. C. D.2.在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m微间距显示屏就是其中之一．数字0.0009用科学记数法表示应为()A. 9×10−4B. 9×10−3C. 0.9×10−3D. 0.9×10−43.小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能的值是()A. 4B. 6C. 14D. 154.下列属于最简分式的是()A. (x−1)2x−1B. x+11−x2C. 3xx2+3D. 312x5.若分式2xyx+y中x、y的值同时扩大到原来的5倍，则分式的值()A. 不变B. 是原来的15C. 是原来的5倍D. 是原来的25倍6.如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是()A. 10°B. 15°C. 25°D. 30°7.如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，则∠ACA′的度数是()A. 20°B. 30°C.35° D. 40°8.某生态示范园计划种植一批果树，原计划总产量36吨，改良果树品种后平均亩产量是原计划的1.5倍，种植亩数减少了20亩，总产量比原计划增加了9吨．设原计划平均亩产量为x吨，则根据题意可列方程为()A. 36x −36+91.5x=20 B. 36+91.5x−36x=20C. 36+9x −361.5x=20 D. 361.5x−36+9x=209.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB>AC，下列结论正确的是()A. AB−AD>CB−CDB. AB−AD=CB−CDC. AB−AD<CB−CDD. AB−AD与CB−CD的大小关系不确定10.如图，∠MAN=100°，点B、C是射线AM、AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小()A. 40°B. 50°C. 80°D. 随点B、C的移动而变化二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.要使分式x+1x有意义，那么x必须满足______．12.若n边形的每一个内角都是120°，则边数n为______ ．13.如图，已知AC与BD交于点E，且AB=CD，请你再添加一个边或角的条件使△ABC≌△DCB，添加的条件是：______.(添加一个即可)14.如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5cm，AC=12cm，则△APC的面积是______cm2．15.已知xy =3，则x2+2xyy2的值为______．16.已知关于x的分式方程xx−1−3=2kx−1的的解为正数，则k的取值范围为______．17.在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为______ ．18.若三角形的一个内角α是另一个内角β的3倍，我们称此三角形为“特异三角形”，其中β称为“特异角”，若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异角”的度数为______．三、解答题（本大题共10小题，共54.0分）19.计算：(1)2x3y3⋅(yx2)2；(2)6a2−9+1a+3．20.解方程：3x−1=2−2xx+1．21.先化简(2a2−2aa2−2a+1−1)÷a2+aa2−1，然后从−1，0，1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．22.如图，点B、F、C、E在直线l上(F、C之间不能直接测量)，点A、D在l异侧，测得AB=DE，AB//DE，∠A=∠D．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若BE=10m，BF=3m，求FC的长度．23.如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形(画出三种即可)．24.如图所示，有一块直角三角板DEF(足够大)，其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．(1)若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB=______°，∠DBC+∠DCB=______°∠ABD+∠ACD=______°.(2)若∠A=55°，则∠ABD+∠ACD=______°.(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系______．25.已知：如图1，AB//CD，请用尺规作图法，在射线CD上找一点P，使射线AP平分∠BAC．小明的作图方法如下：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N；MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于②分别以点M，N为圆心，大于12点E；③画射线AE，交射线CD于点P，点P即为所求．小刚说：“我有不同的作法，如图2所示，只需要以点C为圆心，CA为半径画弧，交射线CD于点P，画射线AP，也能够得到AP平分∠BAC．请回答：(1)请补全小明的作图过程．小明在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是______≌______，全等的依据是______.因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；(2)对于小刚的作图方法证明如下：∵CA=CP∴∠CAP=∠CPA(等边对等角)∵AB//CD∴∠BAP=∠______(______)∴∠CAP=∠BAP∴射线AP平分∠BAC．(3)点P到直线AC和AB的距离相等，理由是______．26.列方程解应用题：京张高铁是一条连接北京市与河北省张家口市的城际铁路.2019年底，京张高铁正式开通，京张高铁是我国“八纵八横”高铁网的重要组成部分，也是2022年北京冬奥会重要的交通保障设施．已知该高铁全长约180千米，按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，全程用时比普通快车少用1个小时，求京张高铁列车的平均行驶速度．27.阅读：对于两个不等的非零实数a，b，若分式(x−a)(x−b)x的值为零，则x=a或x=b.又因为(x−a)(x−b)x =x2−(a+b)x+abx=x+abx−(a+b)，所以关于x的方程x+abx=a+b有两个解，分别为x1=a，x2=b．应用上面的结论解答下列问题：(1)方程x+8x=6有两个解，分别为x1=______，x2=______．(2)关于x的方程x+m−nmnx =m+4mn−n2mn的两个解分别为x1，x2(x1<x2)，若x1与x2互为倒数，则x1=______，x2=______；(3)关于x的方程2x+n2−n2x−1=2n的两个解分别为x1，x2(x1<x2)，求2x1−12x2的值．28.如图，在平面直角坐标系内，有一个等腰Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=BC．(1)如图1，点A(−4,0)，点B(0,−1)，点C的坐标为______．(2)如图2，点A(−4,0)，点B在y轴负半轴上，点C在第一象限，过点C作CH垂直于x轴于点H，则CH+OB的值为______．(3)如图3，点B与原点重合，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，点D为x轴正半轴上一点，点M为线段AD中点，在y轴正半轴上取点E，使OE=OD，作DF⊥CD，交EM的延长线于点F，请补全图形，判断CD与DF的数量关系，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】A【解析】解：数字0.0009用科学记数法表示应为9×10−4．故选：A．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】B【解析】解：由题意得9−5<a<9+5，解得4<a<14，故a可能的值是6，故选：B．根据三角形的三边关系：三角形任何两边之和都大于第三边，任何两边之差都小于第三边，可判定求解．本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：A．(x−1)2x−1=x−1，不是最简分式，故错误；B.x+1(1−x)(1+x)=11−x，不是最简分式，故错误；C.3xx2+3是最简分式，故正确；D.312x =14x，不是最简分式，故错误．故选：C．根据最简分式的定义可逐项判定求解．本题主要考查最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：原式=50xy5(x+y)=10xyx+y，故选：C．根据分式的基本性质即可求出答案．本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．6.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据直角三角形的性质可得∠BAC=45°，根据邻补角互补可得∠EAF=135°，然后再利用三角形的外角的性质可得∠AFD=135°+30°=165°，即可求出结果．【解答】解：∵∠B=45°，∴∠BAC=45°，∴∠EAF=135°，∴∠AFD=135°+30°=165°，∴∠BFD=180°−∠AFD=15°，故选：B．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形对应角相等的性质，得出∠ACA′=∠BCB′是解决本题的关键．根据全等三角形对应角相等，得∠ACB=∠A′CB′，进而得出∠ACA′=∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB−∠A′CB=∠A′CB′−∠A′CB，即∠ACA′=∠BCB′，∵∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，∴∠ACA′=12(110°−30°)=40°．故选D．8.【答案】A【解析】解：设原计划平均亩产量为x吨，则改良果树品种后平均亩产量为1.5x吨，依题意，得：36x −36+91.5x=20．故选：A．设原计划平均亩产量为x吨，则改良果树品种后平均亩产量为1.5x吨，根据种植亩数=总产量÷平均亩产量结合实际比原计划的种植亩数减少了20亩，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：如图，取AE=AD，∵对角线AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ACD和△ACE中，{AD=AE∠BAC=∠DAC AC=AC，∴△ACD≌△ACE(SAS)，∴CD=CE，∵BE>CB−CE，∴AB−AD>CB−CD．故选A．取AE=AD，然后利用“边角边”证明△ACD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=CE，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边解答．本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，∴∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠CBE，∵∠MBC=2∠CBE=∠A+∠ACB，∠CBE=∠BDC+∠DCB，∴2∠CBE=2∠BDC+2∠DCB，∴∠MBC=2∠BDC+∠ACB，∴2∠BDC+∠ACB=∠A+∠ACB，∴∠A=2∠BDC，∵∠A=100°，∴∠BDC=50°．故选：B．根据角平分线定义得出∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠CBE，根据三角形外角性质得出2∠BDC+∠ACB=∠A+∠ACB，求出∠A=2∠BDC，即可求出答案．本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用，关键是求出∠A=2∠BDC．11.【答案】x≠0【解析】解：要使分式x+1x 有意义，那么x 必须满足x ≠0，故答案为：x ≠0 根据分母不为这个条件求出x 的范围即可．此题考查了分式有意义的条件，始终注意分母不为0这个条件．12.【答案】6【解析】解：∵n 边形的每一个内角都是120°，∴它的每一个外角都是180°−120°=60°，360°÷60°=6，这个多边形为边数n 为6，故答案为：6．先求出n 边形的每一个外角的度数是60°，然后用360°除以60°，进行计算即可得解． 本题考查了多边形的内角与外角的关系，用多边形的外角和除以每一个外角的度数是求正多边形边数常用的方法．13.【答案】(∠ABC =∠DCB)答案不唯一【解析】解：添加的条件是∠ABC =∠DCB ，理由是：∵在△ABC 和△DCB 中{AB =DC ∠ABC =∠DCB BC =CB∴△ABC≌△DCB(SAS)，故答案为：∠ABC =∠DCB ．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．14.【答案】30【解析】解：∵AP 平分∠BAC 交BC 于点P ，∠ABC =90°，PB =5cm ，∴点P 到AC 的距离等于5cm ，∵AC =12cm ，∴△APC 的面积=12×5÷2=30cm 2，故答案为30．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点P 到AC 的距离等于5，从而求得△APC 的面积．本题主要考查了角平分线的性质定理，难度适中．15.【答案】15【解析】解：原式=x 2y 2+2x y ， 当x y =3，原式=9+6=15，故答案为：15．根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 16.【答案】k <32且k ≠12【解析】解：去分母，得x −3(x −1)=2k ，解得x =3−2k 2．∵分式方程的解为正数，∴3−2k 2>0且3−2k 2≠1． 解得，k <32且k ≠12．故答案为：k <32且k ≠12．先求解分式方程，用含k 的代数式表示x ，根据方程的解为正数，得不等式，求解即可． 本题考查了解分式方程、解一元一次不等式．掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．本题易错，只关注不等式的解，而忽略了分式方程的分母不为0条件． 17.【答案】(−2,−3)、(4,3)、(4,−3)【解析】解：点D的可能位置如下图所示：，则可得点D的坐标为：(−2,−3)、(4,3)、(4,−3)．故答案为：(−2,−3)、(4,3)、(4,−3)．在图形中画出点D的可能位置，结合直角坐标系，可得点D的坐标．本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是在表格中找到点D的可能位置，难度一般．18.【答案】22.5°或30°【解析】解：①“特异角”的3倍是直角时，“特异角”β=13×90°=30°；②“特异角”的3倍与“特异角”都不是直角时，由题意得，β+3β=90°，解得β=22.5°，所以，“特异角”β是22.5°，综上所述，这个“特异角”的度数为22.5°或30°．故答案为：22.5°或30°．分①“特异角”的3倍是直角时，根据“特异角”的定义列式计算即可得解；②“特异角”的3倍与“特异角”都不是直角，根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可．本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，读懂题目信息，理解“特征角”的定义是解题的关键．19.【答案】解：(1)原式=2x3y3⋅y2 x4=2xy；(2)原式=6(a+3)(a−3)+a−3(a+3)(a−3)=a+3(a+3)(a−3)=1a−3．【解析】(1)原式先计算乘方运算，约分即可得到结果；(2)原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：去分母得：3x+3=2x2−2−2x2+2x，解得：x=−5，经检验x=−5是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21.【答案】解：原式=[2a(a−1)(a−1)2−1]÷a(a+1)(a+1)(a−1)=(2aa−1−a−1a−1)÷aa−1=a+1a−1⋅a−1a=a+1a，∵a≠±1且a≠0，∴a=2，当a=2时，原式=32．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算可得答案．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22.【答案】(1)证明：∵AB//DE，∴∠ABC=∠DEF，在△ABC与△DEF中{∠ABC=∠DEF AB=DE∠A=∠D∴△ABC≌△DEF；(2)∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BF+FC=EC+FC，∴BF=EC，∵BE=10m，BF=3m，∴FC=10−3−3=4m．【解析】(1)先证明∠ABC=∠DEF，再根据ASA即可证明．(2)根据全等三角形的性质即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．23.【答案】解：如图所示．．【解析】【试题解析】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．根据轴对称的性质设计出图案即可．24.【答案】140 90 50 35 ∠ABD+∠ACD=90°−∠A【解析】解：(1)在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°，在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=180°−90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=140°−90°=50°；故答案为：140；90；50．(2)在△ABC中，∵∠A=55°，∴∠ABC+∠ACB=180°−55°=125°，在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=180°−90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=125°−90°=35°，故答案为：35；(3)∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°−∠A.证明如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A．在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°．∴∠ABC+∠ACB−(∠DBC+∠DCB)=180°−∠A−90°．∴∠ABD+∠ACD=90°−∠A，故答案为：∠ABD+∠ACD=90°−∠A．(1)根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A=140°，∠DBC+∠DCB= 180°−∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；(2)根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A=130°，∠DBC+∠DCB= 180°−∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；(3)根据三角形内角和定义有90°+(∠ABD+∠ACD)+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD= 90°−∠A．本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键．25.【答案】△AME△ANE SSS CPA两直线平行，内错角线段角平分线上的点到角的两边的距离相等【解析】解：(1)如图1，AP为所作，在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是△AME≌△ANE，全等的依据是SSS.因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；(2)对于小刚的作图方法证明如下：∵CA=CP，∴∠CAP=∠CPA(等边对等角)，∵AB//CD∴∠BAP=∠CPA(两直线平行，内错角线段)，∴∠CAP=∠BAP，∴射线AP平分∠BAC．(3)点P到直线AC和AB的距离相等，理由是角平分线上的点到角的两边的距离相等．故答案为△AME，△ANE，SSS；CPA，两直线平行，内错角线段；角平分线上的点到角的两边的距离相等．(1)根据作法画出对应的几何图形，利用画法得到AM=AN，ME=NE，加上AE公共，则可根据“SSS”判断△AME≌△ANE，从而得到∠MAE=∠NAE；(2)利用等腰三角形的性质和平行线的性质证明∠CAP=∠BAP；(3)根据角平分线的性质求解．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质．26.【答案】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为3x千米/时，由题意，得180x =1803x+1．解得x=120．经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．∴3x=360．答：高铁列车的平均行驶速度为360千米/时．【解析】设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为3x千米/时，根据“普通车行驶时间=高铁列车行驶时间+1小时”列出方程并解答．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．27.【答案】2 4 122【解析】解：(1)∵2×4=8，2+4=6，∴方程x+8x=6的两个解分别为x1=2，x2=4．故答案为：x1=2，x2=4．(2)方程变形得：x+m−n2mn×2x =m−n2mn+2，由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为12，则x1=12，x2=2；故答案为：12；2(3)方程整理得：2x−1+n(n−1)2x−1=n+n−1，得2x−1=n−1或2x−1=n，可得x1=n2，x2=n+12，则原式=n−1n+1．(1)方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可；(2)方程变形后，根据利用题中的结论，以及x1与x2互为倒数，确定出x1与x2的值即可；(3)方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果．此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．28.【答案】(1,3) 4【解析】解：(1)如图1中，过点C作CR⊥y轴于R．∵点A(−4,0)，点B(0,−1)，∴OA=4，OB=1，∵∠AOB=∠ABC=∠CHB=90°，∴∠ABO+∠CBR=90°，∠CBR+∠BCR=90°，∴∠ABO=∠BCR，∵AB=BC，∴△AOB≌△BRC(AAS)，∴BR=AO=4，CR=OB=1，∴OR=BR−OB=3，∴C(1,3)．故答案为：(1,3)．(2)如图2中，过点C作CH⊥x轴于H，过点B作BT⊥CH交CH的延长线于T，设AH 交BC于点J．∵∠ABJ=∠CHJ=90°，∠AJB=∠CJH，∴∠BAO=∠BCT，∵∠AOB=∠T=90°，AB=BC，∴△AOB≌△CTB(AAS)，∴AO=CT，∵∠BOH=∠OHT=∠T=90°，∴四边形OHTB是矩形，∴OB=HT，∴CH+OB=CH+HT=CT=4．故答案为：4．(3)结论：CD=DF．理由：连接AE，延长AE交CD于J．∵OA=OC，∠AOE=∠COD=90°，CE=OD，∴△AOE≌△COD(SAS)，∴∠OAE=∠OCD，AE=CD，∵∠CEJ=∠AEO，∴∠CJE=∠AOE=90°，∴AJ⊥CD，∵DF⊥CD，∴AJ//DF，∴∠AEM=∠DFM，∵∠AME=∠DMF，AM=MD，∴△AME≌△DMF(AAS)，∴AE=DF，∴CD=DF．(1)如图1中，过点C作CR⊥y轴于R.证明△AOB≌△BRC(AAS)，即可解决问题；(2)如图2中，过点C作CH⊥x轴于H，过点B作BT⊥CH交CH的延长线于T，设AH 交BC于点J.证明△AOB≌△CTB(AAS)，推出AO=CT，可得结论；(3)结论：CD=DF.连接AE，延长AE交CD于J.利用全等三角形的性质证明CD=AE，AE=DF．本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
北京二中分校2020-2021学年八年级(上)期末模拟(二)数学试卷
初二数学期末模拟（二）一、选择题（每题3分，共30分）1．下列交通标志中，轴对称图形的个数为（ ）A.4个B.3个C. 2个D.1个2. 在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m 微间距显示屏就是其中之一．数字0.0009用科学记数法表示应为（ ） A ．9×10﹣4 B ．9×10﹣3C ．0.9×10﹣3D ．0.9×10﹣43. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A ．122+-x x B ．x 8 C ．31D ． 10 4. 已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则它的周长是（ ） A ．15 B ． 20 C ． 25 D ． 20或25 5．下列运算中，错误的是（ ） A ．＝ B ．＝﹣1 C ．＝D ．＝﹣6. 如图，若△ABC 是等边三角形，AB=6，BD 是∠ABC 的平分线，延长BC 到E ，使CE=CD ，则BE=（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．107. 如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE相交于点D，DM⊥AB，交AB于点M，DN⊥AC，交AC的延长线于点N．下列结论不正确的有( )A. DM=DNB. △ADM≌△ADNC. BM=CND. AB=AC+BM8. 如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9. 如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，B C'交AD于点E，则线段DE的长为（）A. 3B. 154C. 5D.15210.如图，长方形ABCD中，AB = 6，BC = 2，直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD，BC交于点E，F，若直线l上的动点P，使得△PAB和△PBC均为等腰三角形. 则动点P的个数有（）个.A．4 B．5C．6 D．7二、填空题（每题3分，共27分）11.如果代数式x有意义，那么x的取值范围是．12.如果一个n边形的外角和是内角和的一半，那么n=．13.可以合并，则x 的值为 ． 14.如图，在ABC ∆中，将ABC ∆沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，若1260∠-∠=︒，则B ∠的度数是 ．第14题图 第15题图 第16题图15．如图，15AOP BOP ∠=∠=︒，//PC OB ，PD OB ⊥，若4OC =，则PD 等于 ． 16. 如图，已知点D 、E 分别是等边三角形ABC 中BC ，AB 边的中点，BC=6，点 F 是 AD 边上的动点，则BF+EF 的最小值为 ．17. 如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，AB ＝8，AC ＝3，则BE ＝ ．18. 如图，△OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，∠OAB=90°，延长OA 至B 1，使AB 1=OA ，以OB 1为底，在△OAB 外侧作等腰直角三角形OA 1B 1，再延长OA 1至B 2，使A 1B 2=OA 1，以OB 2为底，在△OA 1B 1外侧作等腰直角三角形OA 2B 2，……，按此规律作等腰直角三角形OA n B n （n ≥1，n 为正整数），回答下列问题： （1）A 3B 3的长是 ；（2）△OA 2020B 2020的面积是 .A B 1DFEA B C一、选择题（每题3分，共30分）姓名：_________ 学号：_____二、填空题（每题3分，共27分）11. _________ 12. _________ 13. _________ 14. _________15. _________ 16. _________ 17. _________ 18. _________；_________三、解答题（19题8分，20-23每题4分，24-26每题5分，27题7分，28题8分，共54分）19．计算：（1）(√12−√8)×√32（2）|√3−2|−20190+√(−2)2+√27420．解分式方程：3x2−9−2x−3=1x+3．21．先化简，再求代数式（1−2x+1）÷x2−12x+2的值，其中x=√3−1．22．如图，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．求证：△ABC≌△EDB．23．已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2√2， 求S △ABC ．24. 作图：下面是圆圆设计的“作等腰三角形一腰上的高线”的尺规作图过程 .已知：△ABC ，AB=AC .求作：AB 边上的高线 ． 作法：如图，① 以点C 为圆心，CB 为半径画弧，交AB 于点B 和点D ；② 分别以点B 和点D 为圆心，大于12BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ；③ 作射线CM 交AB 于点E ．所以线段CE 就是所求作的AB 边上的高线．根据圆圆设计的尺规作图过程，完成下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明.证明：∵CB=CD ，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上（________） （填推理的依据）． ∵__________=__________， ∴点M 在线段BD 的垂直平分线上． ∴CM 是线段BD 的垂直平分线. ∴CM ⊥BD ．∴线段CE 就是AB 边上的高线．EMD CB A25．通过使用手机app购票，智能闸机、手持验票机验票的方式，能够大大缩短游客排队购票、验票的等待时间，且操作极其简单，已知某公园采用新的售票、验票方式后，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍，且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求该公园原来平均每分钟接待游客的人数．26．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为_____________；（2）请问点C在BD上什么位置时，AC+CE的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x2+9+√(24−x)2+16的最小值．27.△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将AC关于AB对称得到AD. 过点A的直线l与BC边相交. 将线段AC关于直线l对称，得到线段AE，作射线DE交直线l于点F. 过点A作AG⊥DE交DE于G.（1）依题意补全图形，并直接写出∠GAF的度数为________°；（3）判断EF、DF、AC之间的数量关系，并证明.28.在平面直角坐标系xOy 中，直线为一、三象限角平分线．点P 关于y 轴的对称点 称为P 的一次反射点，记作P 1；P 1关于直线l 的对称点称为点P 的二次反射点，记作 P 2．例如，点（-2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）． 根据定义，回答下列问题：（1）点（2，5）的一次反射点为_____________，二次反射点为_______________； （2）当点A 在第一象限时，点M （3，1），N （3，-1），Q （-1，-3）中可以是点A的二次反射点的是______________；（3）若点A 在第二象限，点A 1，A 2分别是点A 的一次、二次反射点，△O A 1 A 2为等边三角形，求射线OA 与x 轴所夹锐角的度数．l。
2022-2023学年北京市第二中学八年级上学期期中考试数学试卷含详解
2022北京二中初二（上）期中数学考查目标1．知识：人教版八年级上册《三角形》《全等三角形》、《轴对称》《整式的乘法与因式分解》的全部内容．2、能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力．A 卷面成绩90%(满分90分)B 过程性评价(满分10分)学业成绩总评=AB(满分100分)考生须知1．本试卷分为第I 卷、第II 卷和答题卡，共16页；其中第1卷2页，第I卷6页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题．2，本试卷满分100分，考试时间120分钟．3．在第1卷、第II 卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．4．考试结束，将答题卡交回．第I 卷(选择题共16分)一、选择题(共16分，每题2分，以下每题只有一个．．．．正确的选项)1.2022年，北京中轴线申遗进入加速阶段，北京中轴线北起钟鼓楼，南至永定门，贯穿老城南北，直线距离长约7.8公里，是我国现存最完整、最古老的中轴线．这条中轴线一路向北延伸，鸟巢、冰立方为这条古老的中轴线注入了新的生命力，它正向世界述说着这座千年古都的时代新貌，下列关于中轴线建筑的简笔画，其中是轴对称图形的是（）A . B. C. D.2.下列运算正确的是（）A.()236a a a -⋅=- B.()235 a a =C.933()x x x ÷-=- D.()341228a a -=-3.如图，用三角尺作ABC 的边AB 上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（）A. B.C. D.4.如图，1∠，2∠，3∠是五边形ABCDE 的三个外角，边CD ，AE 的延长线交于点F ，如果123225∠+∠+∠=︒，那么DFE ∠的度数是（）A.45︒B.55︒C.65︒D.75︒5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A.21234a b a ab=⋅ B.222469(23)x xy y x y -+=-C.22(21)xy xy y y xy x -+-=--+ D.2(3)(3)9x x x +-=-6.为估计池塘两岸A 、B 间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了点O ，测得18m OA =，12m OB =，那么A 、B 间的距离不可能是（）A .5m B.13m C.21mD.29m 7.如图，∠EAF ＝18°，AB BC CD ==，则∠ECD 等于（）A.36°B.54°C.72°D.108°8.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（）A.2abB.abC.a 2﹣4b 2D.（a ﹣2b ）2第II 卷(非选择题共84分)二、填空题(共16分，每题2分)9.平面直角坐标系中，点()3,1P -关于x 轴对称的点的坐标是______．10.在数学课上，小明计算()()2x x +-■时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为__________．11.若()24s t -=，()216s t +=，则st =__________．12.如图，ABC 中AD ，BE 分别是ABC 的高和角平分线，若70C ∠=︒，95AEB ∠=︒，则BAD ∠=_____°．13.如图，在ABC 中，MN 是AC 的垂直平分线，若3cm CM =，ABC 的周长是16cm ，则ABN 的周长是__________cm ．14.如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片__________即可，你的理由是__________(请你利用定理的完整文字叙述作答)15.甲、乙两人共同计算一道整式：()()2x a x b ++，由于甲抄错了a 的符号，得到的结果是2232x x +-，乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果是232x x -+．则本题的正确结果是__________．16.如图，已知30AOB ∠=︒，点M 、N 是射线OA 上的两个动点()OM ON <，且4MN =，点P 是边OB 上的点，若使点P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好只有一个，则OM 的取值范围是__________．三、解答题(共68分，其中第17-18、20-24题每题5分，第19、25题每题6分，第26-28题7分)17.计算：()()2324323x x x x ++-⋅．18.计算：(2)(2)2()a b a b a b a +-+-．19.化简求值：2(23)(23)(2)x y x y x y y ⎡⎤+---÷⎣⎦，其中 2530x y -+=．20.因式分解：2416x -．21.因式分解：32221218x x y xy -+．22.如图，已知EC DB =，AEB ADC ∠=∠．（1）求证：OD OE =；（2）连接AO ，求证：BAO CAO ∠=∠．23.已知：如图，线段AB 和射线BM 交于点B ．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．(不要求写作法)①在射线BM 上求作一点C ，使得点A 在线段BC 的垂直平分线上．②在线段AB 上求作一点D ，使点D 到BC ，AC 的距离相等；（2）上述尺规作图的主要依据是(用定理作答)：①的依据：_____________________________________________________；②的依据：_____________________________________________________；24.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为,E F ．（1）求证：DE DF =；（2）连接EF ，若60A ∠=︒，1BE =，请你直接写出AEF ∆的周长．25.ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、B 、C 三点在格点上．（1）作出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）在y 轴上求作点D ，使得AD BD +最小，请你直接写出D 点坐标；（3）若点P 为x 轴上一动点，且满足BCP 的面积为1，请你直接写出P 点坐标．26.阅读下列材料，回答问题：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式223x x +-，我们可以进行以下操作：()()2222321414x x x x x +-=++-=+-，再利用平方差公式可得()()22331x x x x +-=+-；再如：求代数式2246x x +-的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：()()222246223218x x x x x +-=+-=+-，于是由平方的非负性可知，当=1x -时，2246x x +-有最小值8-．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：（1）若多项式24x x k -+是一个完全平方式，则常数k =___________．（2）分解因式：2412x x --=________，代数式22824x x --的最小值为___________．（3）试判断代数式22211a b ++与224ab a b ++的大小，并说明理由．27.已知：ABC 为等边三角形，D 为射线BC 上一点(不与B 、C 重合)，作射线AD ．在射线AD 上取一点E ，使CE CA =，直线CE 与直线AB 交于F ．设BAD ∠=α．（1）当点D 在如图1所示位置时，请你依据题意，补全图形；①求BCF ∠的度数(用含有α的代数式表示)；②试判断线段AF 、BD 和CF 之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在射线BC 上运动时，(1)中线段AF 、BD 和CF 之间的数量关系是否发生变化？若变化，请你直接写出结论；若无变化，请你给出证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴、直线l 的“二次对称点”．（1）已知：点(1,0)M -．'M ，①若点N 是点M 关于y 轴，直线1:3l x =的“二次对称点”，则点N 的坐标为_____________；②若点()1,3Q 是点M 关于y 轴，直线2:l y a =的“二次对称点”，则a 的值为__________；（2）已知直线3l 为第一、三象限角平分线，直线4l 为过点()0K k ,且与3l 平行的一条直线．①如图1，在正方形ABCD 中，已知点()1,0A ，点()3,2C ．设点T 为直线x t =上一点，若正方形ABCD 的内部(不含边界)存在点T '，使得点T '是点T 关于y 轴，直线3l 的“二次对称点”，则点T 的横坐标t 的取值范围是__________；②如图2，在正方形EFGH 中，已知点()5,1E --，点()3,1G -．若正方形EFGH 的边上存在点S ，使得点'S 是点S 关于y 轴，直线4l 的“二次对称点”，且点'S 在坐标轴上，请直接写出k 的取值范围．2022北京二中初二（上）期中数学第I 卷(选择题共16分)一、选择题(共16分，每题2分，以下每题只有一个．．．．正确的选项)1.2022年，北京中轴线申遗进入加速阶段，北京中轴线北起钟鼓楼，南至永定门，贯穿老城南北，直线距离长约7.8公里，是我国现存最完整、最古老的中轴线．这条中轴线一路向北延伸，鸟巢、冰立方为这条古老的中轴线注入了新的生命力，它正向世界述说着这座千年古都的时代新貌，下列关于中轴线建筑的简笔画，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得出答案．【详解】解：根据轴对称图形的定义，四个选项中，只有A 选项中的图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，B ，C ，D 选项均不符合，因此只有A 选项中的图形是轴对称图形．故选A ．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．2.下列运算正确的是（）A.()236a a a -⋅=- B.()235 aa =C.933()x x x ÷-=- D.()341228a a -=-【答案】D 【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方以及积的乘方的知识进行解答即可．【详解】A ．()23235aa a a +-⋅=-=-，故选项错误，不符合题意；B ．()33262 a a a ⨯==，故选项错误，不符合题意；C ．69393()x x x x -÷-==--，故选项错误，不符合题意；D ．()4312343822a a a ⨯⨯=--=-，故选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方以及积的乘方等知识，解题的关键是掌握相关知识，注意符号的运算．的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（）3.如图，用三角尺作ABCA. B.C. D.【答案】B【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高线的定义即可得出结论．中BC边上的高线，故本选项错误，不符合题意；【详解】解：A、作出的是ABC中AB边上的高线，故本选项正确，符合题意；B、作出的是ABC中AB边上的高线，故本选项错误，不符合题意；C、不能作出ABC中AC边上的高线，故本选项错误，不符合题意；D、作出的是ABC故选：B．【点睛】本题考查了三角形高线的定义，熟练掌握三角形高线的定义是解题的关键．∠+∠+∠=︒，4.如图，1∠，2∠，3∠是五边形ABCDE的三个外角，边CD，AE的延长线交于点F，如果123225∠的度数是（）那么DFEA.45︒B.55︒C.65︒D.75︒【答案】A【分析】利用多边形的外角和为360°即可求解．【详解】解：∵多边形的外角和为360°，∴∠DEF＋∠EDF＝360°−225°＝135°，∵∠DEF＋∠EDF＋∠DFE＝180°，∴∠DFE＝180°−135°＝45°，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和与三角形的内角和定理，任意多边形的外角和等于360°．5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A.21234a b a ab=⋅ B.222469(23)x xy y x y -+=-C.22(21)xy xy y y xy x -+-=--+ D.2(3)(3)9x x x +-=-【答案】C 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，逐一进行判定即可．【详解】解：A 、左边不是多项式，因此不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、左边与右边不相等，因此不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、提取公因式y -后，将多项式化成了两个整式积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；D 、左边是积的形式，右边是多项式，因此不是因式分解，故此选项不符合题意；故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的概念，正确理解因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式是解答此题的关键．6.为估计池塘两岸A 、B 间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了点O ，测得18m OA =，12m OB =，那么A 、B 间的距离不可能是（）A.5mB.13mC.21mD.29m【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得18121812AB -<<+，再解即可．【详解】解：连接AB ，根据三角形的三边关系可得：18121812AB -<<+，即630AB <<，故选：A ．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．7.如图，∠EAF ＝18°，AB BC CD ==，则∠ECD 等于（）A.36°B.54°C.72°D.108°【答案】B 【分析】根据等边对等角求出∠BCA ，∠BDC ，再利用外角性质求出∠ECD ．【详解】解：∵∠EAF ＝18°，AB=BC ，∴∠BCA =∠EAF ＝18°,∴∠CBD =∠A +∠BCA =36°，∵CB=CD ，∴∠BDC=∠CBD =36°，∴∠ECD =∠A +∠BDC =54°，故选：B ．【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质，熟记等腰三角形等边对等角的性质是解题的关键．8.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（）A.2abB.abC.a 2﹣4b 2D.（a ﹣2b ）2【答案】B 【分析】设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，列方程求解，用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可．【详解】解：设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，则：22x y a y x b +=⎧⎨-=⎩，解得：42a b x a by -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴阴影面积=（2a b +）2﹣4×（4a b -）22222224444a ab b a ab b ab ++-+=-=＝ab ．故选B【点睛】本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．第II 卷(非选择题共84分)二、填空题(共16分，每题2分)9.平面直角坐标系中，点()3,1P -关于x 轴对称的点的坐标是______．【答案】()3,1--【分析】关于x 轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可得结论．【详解】解：∵关于x 轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴点P （−3，1）关于x 轴对称的点的坐标是（−3，−1）．故答案为：（−3，−1）．【点睛】本题主要考查了关于x 轴的对称点的坐标特点，解题的关键是掌握点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P ′的坐标是（x ，−y ）．10.在数学课上，小明计算()()2x x +-■时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为__________．【答案】2【分析】设被染黑的常数为a ，利用乘法公式展开()()2x x a +-，根据一次项系数为0即可求出a 的值．【详解】解：设被染黑的常数为a ，则()()22()22222x ax x a x a x a x x a -+-=-+=+--，∵结果中不含有一次项，∴20a -=，∴2a =，故答案为：2．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，本题也可以通过平方差公式快速求解．11.若()24s t -=，()216s t +=，则st =__________．【答案】3【分析】利用完全平方公式化简()()22s t s t +--，即可求解．【详解】解：∵()24s t -=，()216s t +=，∴()()2216412s t s t -=-=+-，∵()()()()222222224s t t s st t s t s s t s -=++-+=+--，∴412st =，∴3st =．故答案为：3．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式()()2222a a a b b b ±=±+．12.如图，ABC 中AD ，BE 分别是ABC 的高和角平分线，若70C ∠=︒，95AEB ∠=︒，则BAD ∠=_____°．【答案】40【分析】根据AD ，BE 分别是ABC 的高和角平分线，得90ADC ∠=︒，ABE CBE ∠=∠；根据三角形的外角，得AEB CBE C ∠=∠+∠，ADC ABD BAD ∠=∠+∠，即可．【详解】∵AD ，BE 分别是ABC 的高和角平分线，∴90ADC ∠=︒，ABE CBE ∠=∠，∵70C ∠=︒，95AEB ∠=︒，∴AEB CBE C ∠=∠+∠，∴9570CBE ︒=∠+︒，∴25CBE ∠=︒，∴25ABE CBE ∠=∠=︒，∴50ABD ∠=︒，∵ADC ABD BAD ∠=∠+∠，∴9050BAD ︒=︒+∠，∴40BAD ∠=︒．故答案为：40．【点睛】本题考查了三角形的知识，三角形的外角和定理，角平分线的定义，高线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角和定理，三角形角平分线和高线的性质．13.如图，在ABC 中，MN 是AC 的垂直平分线，若3cm CM =，ABC 的周长是16cm ，则ABN 的周长是__________cm ．【答案】10【分析】ABN 的周长是AB BN AN ++，AN NC =，所以求ABN 的周长其实就是求AB BC +，由此即可求出答案．【详解】解：∵MN 是AC 的垂直平分线，且3cm CM =，∴AN NC =，3AM CM ==，即336AC AM CM =+=+=，∵ABC 的周长是16cm ，即16AB BC AC ++=，∴1616610AB BC AC +=-=-=，∵ABN 的周长是AB BN AN ++，AN NC =，∴ABN 的周长是10AB BN NC AB BC ++=+=，故答案是：10．【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的性质，解题的关键是通过垂直平分线的性质将所求线段转化为已知线段的关系．14.如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片__________即可，你的理由是__________(请你利用定理的完整文字叙述作答)【答案】①.②②.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等【分析】根据全等三角形的判定方法“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”即可解．【详解】②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可；理由是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．故答案为：②；两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．【点睛】本题考查了三角形全等的应用；能够灵活运用全等三角形的判定，解决一些实际问题，注意认真读图．15.甲、乙两人共同计算一道整式：()()2x a x b ++，由于甲抄错了a 的符号，得到的结果是2232x x +-，乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果是232x x -+．则本题的正确结果是__________．【答案】2252x x -+【分析】根据甲的描述利用多项式乘以多项式的计算法则得到23b a -=，根据乙的描述可得3a b +=-，由此得到关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值代入原多项式中求解即可．【详解】解：∵由于甲抄错了a 的符号，得到的结果是2232x x +-，∴()()22232x a x b x x -+=+-，∴2222232x ax bx ab x x -+-=+-，∴23b a -=，∵乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果是232x x -+，∴()()232x a x b x x ++=-+，∴2232x ax bx ab x x +++=-+，∴3a b +=-，∴233b a a b -=⎧⎨+=-⎩，∴21a b =-⎧⎨=-⎩，∴原多项式为()()221x x --，()()22221242252x x x x x x x --=--+=-+，故答案为：2252x x -+．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，正确理解题意得到关于a 、b 的二元一次方程组是解题的关键．16.如图，已知30AOB ∠=︒，点M 、N 是射线OA 上的两个动点()OM ON <，且4MN =，点P 是边OB 上的点，若使点P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好只有一个，则OM 的取值范围是__________．【答案】4OM =或8OM >【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论，分别求解范围即可．【详解】设OM x =，则4ON x =+，如图1，当4x =时，即4OM MN ==，以M 为圆心，以4为半径的弧交OB 于P 点，此时4MP PN MN ===，则点P ，M ，N 构成的是等边三角形，则此时构成等腰三角形的点P 恰好只有一个．如图2．当8x =时，即8OM =，过M 点作MP OB ⊥于P 点，∵30AOB ∠=︒，∴142MP OM ==．∴4MP MN ==，作MN 的垂直平分线交OB 于P '点，则P M P N ''=．此时，以P ，M ，N 构成的等腰三角形的点P 恰好有2个．则当8x >时，以P ，M ，N 构成的等腰三角形恰好只有一个．综上，OM 的取值范围是4OM =或8OM >．故答案为：4OM =或8OM >【点睛】本题考查等腰三角形的判定，主要通过数形结合的思想解决问题，解题关键在于熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法．三、解答题(共68分，其中第17-18、20-24题每题5分，第19、25题每题6分，第26-28题7分)17.计算：()()2324323x x x x ++-⋅．【答案】625x -【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方化简，然后再合并同类项，即可得到答案．【详解】解：()()2324323x x xx ++-⋅=()3242332(3)x x x +⨯-++=66627x x x +-=625x -．【点睛】此题考查了幂的运算法则与合并同类项等知识，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算法则是解答此题的关键．18.计算：(2)(2)2()a b a b a b a +-+-．【答案】22ab b --【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则，合并同类项即可求解．【详解】解：原式22224222a ab ab b ab a =-+-+-22ab b =--，故答案是：22ab b --．【点睛】本题主要考查整式的四则混合运算，解题的关键是理解和掌握整式四则运算法则．19.化简求值：2(23)(23)(2)x y x y x y y ⎡⎤+---÷⎣⎦，其中 2530x y -+=．【答案】410x y -，6-【分析】先利用平方差公式和完全平方公式对原式进行化简，再将 253x y -=-整体代入，即可求解．【详解】解：2(23)(23)(2)x y x y x y y ⎡⎤+---÷⎣⎦()()22224944x y x xy y y⎡⎤=---+÷⎣⎦()22224944x y x xy y y=--+-÷()2104y xy y=-+÷410x y =-，∵ 2530x y -+=，∴ 253x y -=-，∴原式410x y=-()225x y =-()23=⨯-6=-．【点睛】本题考查整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式等知识点，解题的关键是熟练掌握整体代入思想．20.因式分解：2416x -．【答案】()()422x x +-【分析】先提取公因数4，然后根据平方差公式因式分解即可．【详解】解：2416x -()244x =-()()422x x =+-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-．21.因式分解：32221218x x y xy -+．【答案】22(3)x x y -【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：32221218x x y xy -+=222(69)x x xy y -+=22(3)x x y -【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法等方法是解答此题的关键．22.如图，已知EC DB =，AEB ADC ∠=∠．（1）求证：OD OE =；（2）连接AO ，求证：BAO CAO ∠=∠．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）先由AAS 证明BOD COE △≌△，从而得到OD OE =；（2）首先证得ACD ABE △≌△，得到AC AB =，然后证明AOC AOB △≌△，从而证得BAO CAO ∠=∠．【小问1详解】证明：∵AEB ADC ∠=∠，∴CEO BDO ∠=∠，在BOD 和COE 中，COE BOD CEO BDO EC DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BOD COE △≌△，∴OD OE =．【小问2详解】证明：连接AO ，如图所示：由（1）的证明，得BOD COE △≌△，∴B C ∠=∠，OB OC =，OD OE =，∴BE CD =，在ACD 和ABE 中，∵B C CAD BAE BE CD ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩＝＝，∴ACD ABE △≌△（AAS ），∴AC AB =，在AOC 和AOB 中，AC AB OC OB AO AO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴AOC AOB △≌△（SSS ），∴BAO CAO ∠=∠．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出三角形全等的条件是解题的关键．23.已知：如图，线段AB 和射线BM 交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．(不要求写作法)①在射线BM 上求作一点C ，使得点A 在线段BC 的垂直平分线上．②在线段AB 上求作一点D ，使点D 到BC ，AC 的距离相等；（2）上述尺规作图的主要依据是(用定理作答)：①的依据：_____________________________________________________；②的依据：_____________________________________________________；【答案】（1）①图见详解；②图见详解（2）①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】（1）①以A 为圆心AB 长为半径画弧，进而得出C 点位置；②利用角平分线的作法得出即可；（2）直接根据题意可进行求解．【小问1详解】解：①如图所示：AC AB =；②D 点即为所求；【小问2详解】解：由作图可知：①的依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②的依据是角平分线上的点到角两边的距离相等；故答案为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】本题主要考查角平分线及线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题的关键．24.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为,E F ．（1）求证：DE DF =；（2）连接EF ，若60A ∠=︒，1BE =，请你直接写出AEF ∆的周长．【答案】（1）见解析（2）9【分析】（1）利用AAS 证明BED ∆CFD ≅∆，即可推出DE DF =；（2）先证ABC ∆是等边三角形，推出=60B ∠︒，再利用含30︒角直角三角形的性质得出22BD BE ==，进而求出4AB AC BC ===，根据BED ∆CFD ≅∆可得1CF BE ==，进而可证AEF ∆是边长为3的等边三角形，即可求出AEF ∆的周长．【小问1详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=︒，∵D 为BC 边的中点，∴BD CD =，在BED ∆和CFD ∆中，BED CFD B C BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BED ∆CFD ≅∆()AAS ，∴DE DF =；【小问2详解】解：如图，∵AB AC =，60A ∠=︒，∴ABC ∆是等边三角形，∴=60B ∠︒，AB AC BC ==，∴906030BDE ∠=︒-︒=︒，∴12BE BD =，∵1BE =，∴2BD =，∴24BC BD ==，∴4AB AC BC ===，∵BED ∆CFD ≅∆，∴1CF BE ==，∴413AE AB BE =-=-=，413AF AC CF =-=-=，∴3AE AF ==，又∵60A ∠=︒，∴AEF ∆是等边三角形，∴3EF AE AF ===，∴9EF AE AF ++=，即AEF ∆的周长是9．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是证明AEF ∆和ABC ∆是等边三角形．25.ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、B 、C 三点在格点上．（1）作出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）在y 轴上求作点D ，使得AD BD +最小，请你直接写出D 点坐标；（3）若点P 为x 轴上一动点，且满足BCP 的面积为1，请你直接写出P 点坐标．【答案】（1）图见解析，点1C 的坐标是(3,2)-（2）图见解析，D 点坐标是(0,2)（3）()1,0P 【分析】（1）根据题意和图形，可以画出ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆，并写出点1C 的坐标；（2）根据轴对称和两点之间线段，可以得到使得AD BD +最小时点D 所在的位置，然后写出D 点坐标即可；（3）分3种情况结合图形求解即可．【小问1详解】解：如图所示，111A B C △即为所求，点1C 的坐标是(3,2)-；【小问2详解】解：作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '与y 轴交于点D ，则此时AD BD +最小，D 点坐标是(0,2)．【小问3详解】解：如图，当()1,0P 时，12112BCP S =⨯⨯= ．如图，当P 点横坐标大于1，时，1212BCP BCD BDP S S S BD BD =+=⨯⨯=> ，不符合题意；当P 点横坐标小于1时，同理可求1BCP S < ，不符合题意；综上可知，当BCP 的面积为1时，P 点坐标()1,0．【点睛】本题考查作图-轴对称图象、最短路径问题，坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．26.阅读下列材料，回答问题：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式223x x +-，我们可以进行以下操作：()()2222321414x x x x x +-=++-=+-，再利用平方差公式可得()()22331x x x x +-=+-；再如：求代数式2246x x +-的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：()()222246223218x x x x x +-=+-=+-，于是由平方的非负性可知，当=1x -时，2246x x +-有最小值8-．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：（1）若多项式24x x k -+是一个完全平方式，则常数k =___________．（2）分解因式：2412x x --=________，代数式22824x x --的最小值为___________．（3）试判断代数式22211a b ++与224ab a b ++的大小，并说明理由．【答案】（1）4（2）2)(6)x x +-（；32-（3）22211224a b ab a b ++>++，理由见解析．【分析】（1）根据完全平方公式即可求解；（2）把多项式进行配方，化成完全平方式，再运用平方差公式进行因式分解；（3）用作差法比较大小，先将两个多项式相减，再进行配方化成完全平方式，最后利用偶次方非负性的性质进一步求的结果．【小问1详解】24x x k -+是一个完全平方式，∴2224222x x k x x -+=-⨯⨯+∴k =4故答案为：4；【小问2详解】2222241244412(2)16(2)4(24)(24)(2)(6)x x x x x x x x x x --=-+--=--=--=-+--=+-；2222228242(412)2(444)242(2)8242(2)32x x x x x x x x --=--=-+--=---=-- 2(2)0x -≥∴22(2)3232x --≥-∴22824x x --的最小值为32-故答案为：2)(6)x x +-（；32-；【小问3详解】将22211a b ++与224ab a b ++相减得：22(211)(224)a b ab a b ++-++22211224a b ab a b=++---222(22)(21)610a ab a b b b b =+--++++-+2222(1)(1)(69)1a ab b b b =-++++-++22(1)(3)1a b b =--+-+ 2(1)0a b --≥，2(3)0b -≥∴22(1)(3)11a b b --+-+≥∴22211224a b ab a b++>++【点睛】本题主要考查了配方法的应用，偶次方非负性的性质，因式分解．本题是阅读型题目，读懂材料并熟练相应的方法是解题的关键．27.已知：ABC 为等边三角形，D 为射线BC 上一点(不与B 、C 重合)，作射线AD ．在射线AD 上取一点E ，使CE CA =，直线CE 与直线AB 交于F ．设BAD ∠=α．（1）当点D 在如图1所示位置时，请你依据题意，补全图形；①求BCF ∠的度数(用含有α的代数式表示)；②试判断线段AF 、BD 和CF 之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在射线BC 上运动时，(1)中线段AF 、BD 和CF 之间的数量关系是否发生变化？若变化，请你直接写出结论；若无变化，请你给出证明．【答案】（1）①2BCF α∠=，②AF CF BD =+，证明见解析（2）BD CF AF =+，证明见解析【分析】（1）①根据等边三角形的性质得60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，求出EAC ∠，根据等边对等角得60AEC EAC α∠=∠=︒-，利用三角形内角和定理求出ACE ∠，进而求出BCF ∠；②作ACG α∠=，交AB 于点G ．根据ASA 证明ACG BAD ≅ ，推出AG BD =，再证明FGC FCG ∠=∠，推出CF GF =，进而可得AF GF AG CF BD =+=+．（2）以AF 为边作等边AFH ∆，连接BH 并延长，交EA 的延长线于点G ，连接BE ．通过导角证明120GAH GDB α∠=∠=︒-，根据SAS 证明AHB AFC ≅ ，推出BH CF =，ABH ACF ∠=∠，进而得到G GDB GAH ∠=∠=∠，利用等角对等边得出BD BG =，GH AH =，通过等量代换可得BD BG BH GH CF AF ==+=+．【小问1详解】解：根据题意，补全后的图形如下图所示：①∵ABC ∆为等边三角形，∴60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，AB AC BC ==，∵BAD ∠=α，∴60EAC BAC BAD α∠=∠-∠=︒-，∵CE CA =，∴60AEC EAC α∠=∠=︒-，∴()180180260602ACE AEC EAC αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-=︒+，∴602602BCF ACE ACB αα∠=∠-∠=︒+-︒=，②AF CF BD =+．证明如下：如图所示，作ACG α∠=，交AB 于点G ．在ACG ∆和BAD ∆中，ACG BAD AC BA GAC DBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ACG BAD∆≅∆()ASA ，∴AG BD =．∵60FGC GAC ACG α∠=∠+∠=︒+，()60260FCG ACE ACG ααα∠=∠-∠=︒+-=︒+，∴FGC FCG ∠=∠，∴CF GF =．∴AF GF AG CF BD =+=+．【小问2详解】解：BD CF AF =+．证明如下：如图，以AF 为边作等边AFH ∆，连接BH 并延长，交EA 的延长线于点G ，连接BE ．∵AFH ∆为等边三角形，∴60AFH AHF FAH ∠=∠=∠=︒，AH AF HF ==．∵BAD ∠=α，∴60CAD BAD BAC α∠=∠-∠=-︒，∵CE CA =，∴60AEC EAC α∠=∠=-︒，∴2120ACF AEC EAC α∠=∠+∠=-︒．∴()6060120GDB ACB CAD αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-．∵60HAF ABC ∠=∠=︒，∴HA BD ∥，∴120GAH GDB α∠=∠=︒-．在AHB ∆和AFC ∆中，HA FA HAB FAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AHB AFC ∆≅∆()SAS ，∴BH CF =，2120ABH ACF α∠=∠=-︒．∵HA BD ∥，∴212060260GHA GBD ABH ABC αα∠=∠=∠+∠=-︒+︒=-︒．∴()()180180260120120G GHA GAH ααα∠=︒-∠-∠=︒--︒-︒-=︒-．∴G GDB GAH ∠=∠=∠，。
2020-2021北京市初二数学上期中试题含答案
2020-2021北京市初二数学上期中试题含答案一、选择题1．“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为（）A．18018032x x-=-B．18018032x x-=+C．18018032x x-=+D．18018032x x-=-2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm3．李老师开车去20km远的县城开会，若按原计划速度行驶，则会迟到10分钟，在保证安全驾驶的前提下，如果将速度每小时加快10km，则正好到达，如果设原来的行驶速度为xkm/h，那么可列分式方程为A．20201010x x-=+B．20201010x x-=+C．20201106x x-=+D．20201106x x-=+4．如图是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（）A．90°B．120°C．150°D．180°5．如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，BC＝DE，则下列结论中不正确的是( )A ．△ABC≌△CDEB ．CE ＝AC C ．AB⊥CD D ．E 为BC 的中点6．要使分式13a +有意义，则a 的取值应满足（ ） A ．3a =-B ．3a ≠-C ．3a >-D ．3a ≠7．计算()2x yxy x xy--÷的结果为（ ） A ．1yB ．2x yC ．2x y -D ．xy -8．如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与ACP '重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ ）A ．32B ．23C ．42D ．339．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（ ）A 29B 34C ．2D 4110．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（ ）A ．80°B ．80°或50°C ．20°D ．80°或20°11．如图，在ABC ∆中，64A ∠=︒，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；……；1n A BC -∠与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，要使n A ∠的度数为整数，则n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．如图，△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，P 为MN 上任一点，下列结论中错误的是( )A ．△AA 1P 是等腰三角形B ．MN 垂直平分AA 1，CC 1 C ．△ABC 与△A 1B 1C 1面积相等D ．直线AB 、A 1B 的交点不一定在MN 上二、填空题13．若关于x 的分式方程2222x m x x ++=--的解有增根，则m 的值是____． 14．关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是_________． 15．已知x 2+mx-6=(x-3)(x+n)，则m n =______．16．关于x 的方程25211a x x-+=---的解为正数，则a 的取值范围为________． 17．已知m ﹣n=2，mn=﹣1，则（1+2m ）（1﹣2n ）的值为__．18．如图，已知△ABC 的周长为27cm ，AC ＝9cm ，BC 边上中线AD ＝6cm ，△ABD 周长为19cm ，AB=__________19．因式分解：2()4()a a b a b ---＝___.20．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A ＝30° ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝2cm ，则AC=______．三、解答题21．列方程解应用题：某市今年进行水网升级，1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．22．（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC的长取到最大值，则最大值为；（用含a、b的式子表示）．（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=2，分别以AB，AC为边，作等边ABD△和等边ACE△，连接CD，BE.①图中与线段BE相等的线段是线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值为．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值为，及此时点P的坐标为．（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c=1：1223．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 24．已知：如图，//AD BC ，DB 平分ADC ∠,CE 平分BCD ∠，交AB 于点E ，BD 于点O ，求证：点O 到EB 与ED 的距离相等.25．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，BF 平分∠ABC ，AF ∥DC ，连接AC ，CF. 求证：（1）AF=CF ； （2）CA 平分∠DCF.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】设小组原有x人，根据题意可得，出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费，列方程即可．【详解】设小组原有x人,可得：1801803.2x x-=+故选B.【点睛】考查由实际问题抽象出分式方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键. 2．D解析：D【解析】【分析】先求出∠ACD=∠B=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再求出AB即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，∴∠B=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），∴AC=12AB（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），又∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=90º，∴∠ACD=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），∴AD=12AC（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），∴AC=6，又∴AC=12 AB，∴12AB=．故选D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和有30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．3．C解析：C 【解析】设原来的行驶速度为xkm/h ，根据“原计划所用的时间-实际所用的时间=16小时”，即可得方程20201106x x -=+，故选C. 点睛：本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找出等量关系是解题的关键.4．D解析：D 【解析】 【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用△ABC 各内角的度数表示出∠1，∠2，∠3，再根据三角形内角和定理，即可得出结论． 【详解】∵图中是三个等边三角形，∴∠1=180°−60°−∠ABC=120°−∠ABC ，∠2=180°−60°−∠ACB=120°−∠ACB ，∠3=180°−60°−∠BAC=120°−∠BAC ， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°−180°=180°， 故选D ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形内角和定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．5．D解析：D 【解析】 【分析】首先证明△ABC ≌△CDE ，推出CE=AC ，∠D=∠B ，由∠D+∠DCE=90°，推出∠B+∠DCE=90°，推出CD ⊥AB ，即可一一判断． 【详解】在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，AB CDBC DE =⎧⎨=⎩， ∴△ABC ≌△CDE ，∴CE =AC ，∠D =∠B ，90D DCE ∠+∠=， 90B DCE ∴∠+∠=，∴CD ⊥AB ，D ：E 为BC 的中点无法证明 故A 、B 、C.正确， 故选. D 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】直接利用分式有意义，则分母不为零，进而得出答案． 【详解】 解：要使分式13a +有意义， 则a +3≠0， 解得：a ≠-3． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题 【详解】()()()22===x yxy x xyxy x y x x y xyx x y x y x y--÷-⋅--⋅--- 故答案为C 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．8．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】解：如图：根据旋转的旋转可知：∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3， 根据勾股定理得：223332'=+=PP ，故选A ．9．D解析：D 【解析】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △P AB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB •h =13AB •AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离． 在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE =22AB AE + =2254+=41，即P A +PB的最小值为41．故选D ．10．D解析：D 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质分情况解答． 【详解】∵等腰三角形的一个外角是100°， ∴与这个外角相邻的内角为180°−100°=80°， 当80°为底角时，顶角为180°-160°=20°， ∴该等腰三角形的顶角是80°或20°. 故答案选：D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.11．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，然后整理得到∠A1=12∠A，由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律．【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，∴∠A1+∠A1BC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠A1BC，∴∠A1=12∠A=12×64°=32°；∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=12∠A，同理可得∠A1=2∠A2，∴∠A2=14∠A，∴∠A=2n∠A n，∴∠A n=(12)n∠A=642n，∵∠A n的度数为整数，∵n=6．故选C.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．12．D解析：D【解析】【分析】根据轴对称的性质即可解答.【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，P 为MN 上任意一点，∴△A A 1P 是等腰三角形，MN 垂直平分AA 1、CC 1，△ABC 与△A 1B 1C 1面积相等， ∴选项A 、B 、C 选项正确；∵直线AB ，A 1B 1关于直线MN 对称，因此交点一定在MN 上．∴选项D 错误.故选D ．【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．二、填空题13．0【解析】【分析】根据题意先解出方程的根为x=4-2m 由题意可知x=2即可得4-2m=2解出m 即可【详解】解：方程两边同时乘以x-2得解得：∵分式方程有增根∴x=2∴∴故答案为：0【点睛】本题考查分解析：0【解析】【分析】根据题意先解出方程的根为x=4-2m ，由题意可知x=2，即可得4-2m=2，解出m 即可．【详解】解：方程两边同时乘以x-2，得22(2)x m x -++=-，解得：2x m =+，∵分式方程有增根，∴x=2，∴22m +=，∴0m =.故答案为：0.【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．14．a>-1【解析】分析：先去分母得2x+a=x-1可解得x=-a-1由于关于x 的方程＝1的解是正数则x ＞0并且x-1≠0即-a-1＞0且-a-1≠1解得a ＜-1且a≠-2详解：去分母得2x+a=x-1【解析】分析：先去分母得2x+a=x-1，可解得x=-a-1，由于关于x 的方程21x a x +-＝1的解是正数，则x ＞0并且x-1≠0，即-a-1＞0且-a-1≠1，解得a ＜-1且a≠-2．详解：去分母得2x+a=x-1，解得x=-a-1， ∵关于x 的方程21x a x +-＝1的解是正数， ∴x ＞0且x≠1，∴-a-1＞0且-a-1≠1，解得a ＜-1且a≠-2，∴a 的取值范围是a ＜-1且a≠-2．故答案为a ＜-1且a≠-2． 点睛：本题考查了分式方程的解：先把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右两边成立，那么这个解就是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程左右两边不成立，那么这个解就是分式方程的增根．15．1【解析】【分析】将已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算根据多项式相等的条件求出m 与n 的值即可得出mn 的值【详解】∵x2+mx -6=（x-3）（x+n ）=x2+nx-3x-3n=x2+（n-3）解析：1【解析】【分析】将已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出m 与n 的值，即可得出m n 的值．【详解】∵x 2+mx-6=（x-3）（x+n ）=x 2+nx-3x-3n=x 2+（n-3）x-3n ，∴m=n-3，-3n=-6，解得：m=-1，n=2，∴m n =1．故答案为：1【点睛】本题考查了多项式乘以多项式以及多项式相等的条件，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．16．且【解析】【分析】方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整式方程求解它的解为含有a 的式子解为正数且最简公分母不为零得到关于a 的一元一次不等式解之即可【详解】方程两边同乘(x −1)得：2−(5-a)解析：5a <且3a ≠【解析】方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，它的解为含有a的式子，解为正数且最简公分母不为零，得到关于a的一元一次不等式，解之即可．【详解】方程两边同乘(x−1)得：2−(5-a)=-2(x−1)解得：x=52a -∵x>0且x−1≠0，∴52510 2aa-⎧>⎪⎪⎨-⎪-≠⎪⎩解得：a<5且a≠3故答案为：a<5且a≠3【点睛】本题考查了分式方程解的定义，求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于零的未知数的值，这个值叫分式方程的解，考查了一元一次不等式组的解法，求解每个不等式，再求两个不等式解集的公共部分即可．17．9【解析】∵m−n=2mn=−1∴(1+2m)(1−2n)=1−2n+2m−4mn=1+2(m−n)−4mn=1+4+4=9故答案为9点睛:本题考查了多项式乘多项式法则合并同类项时要注意项中的指数及解析：9【解析】∵m−n=2，mn=−1，∴(1+2m)(1−2n)=1−2n+2m−4mn=1+2(m−n)−4mn=1+4+4=9.故答案为9.点睛:本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．18．cm【解析】【分析】【详解】∵AD是BC边上的中线∴BD=CD∵△ABC的周长为27cmAC＝9cm∴AB+BC=27－9=18cm∴AB+2BD=18cm∵AD＝6cm△ABD周长为19cm∴AB解析：cm．【解析】【分析】【详解】∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，∴AB+BC=27－9=18 cm ，∴AB+2BD=18 cm ，∵AD ＝6cm ，△ABD 周长为19cm ，∴AB+BD=19－6=13 cm ，∴BD=5 cm ，∴AB=8 cm ，故答案为8 cm ．19．【解析】分析：先提公因式再利用平方差公式因式分解即可详解：a2（a-b ）-4（a-b ）=（a-b ）（a2-4）=（a-b ）（a-2）（a+2）故答案为：（a-b ）（a-2）（a+2）点睛：本题考查的解析：()()()22a b a a -+-【解析】分析：先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．详解：a 2（a-b ）-4（a-b ）=（a-b ）（a 2-4）=（a-b ）（a-2）（a+2），故答案为：（a-b ）（a-2）（a+2）．点睛：本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键．20．6cm 【解析】【分析】根据∠C＝90°∠A＝30°易求∠ABC＝60°而BD 是角平分线易得∠ABD＝∠DBC＝30°根据△BCD 是含有30°角的直角三角形易求BD 然后根据等角对等边可得AD ＝BD 从而解析：6cm【解析】【分析】根据∠C ＝90°，∠A ＝30°，易求∠ABC ＝60°，而BD 是角平分线，易得∠ABD ＝∠DBC ＝30°，根据△BCD 是含有30°角的直角三角形，易求BD ，然后根据等角对等边可得AD ＝BD ，从而可求AC ．【详解】解：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝30°，在Rt △BCD 中，BD ＝2CD ＝4cm ，又∵∠A ＝∠ABD ＝30°，∴AD ＝BD ＝4cm ，∴AC ＝6cm ．故答案为6cm ．【点睛】本题考查了角平分线定义、等角对等边、直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，解题的关键是求出BD，难度适中．三、解答题21．4元/米3【解析】【分析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，进而得出等式即可．【详解】解：设去年用水的价格每立方米x元，则今年用水价格为每立方米1.2x元由题意列方程得：30155 1.2x x-=解得x2=经检验，x2=是原方程的解1.2x2.4=(元/立方米)答：今年居民用水的价格为每立方米2.4元．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出用水量是解题关键．22．（1）CB延长线上；a+b（2）①DC②6；（3））或（2-，）.【解析】【分析】1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论．【详解】（1）CB延长线上；a+b；（2）①DC，理由如下：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD 与△EAB 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAD ≌△EAB ，∴CD=BE.②6（3）（）【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的性质. 23．（1）120件；（2）150元．【解析】试题分析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则购进第二批这种衬衫可设为2x 件，由已知可得，，这种衬衫贵10元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至少为a 元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等式解答即可.试题解析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则第二批衬衫是2x 件. 由题意可得：2880013200102x x-=，解得120x =，经检验120x =是原方程的根. （2）设每件衬衫的标价至少是a 元. 由（1）得第一批的进价为：132********÷=（元/件），第二批的进价为：120（元） 由题意可得：()120(110)24050(120)50(0.8120)25%42000a a a ⨯-+-⨯-+⨯-≥⨯ 解得：35052500a ≥，所以，150a ≥，即每件衬衫的标价至少是150元.考点：1、分式方程的应用 2、一元一次不等式的应用.24．见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC=90°，进一步得到()CDO CBO ASA ∆≅∆，得出DO=BO,则CE 是BD 的垂直平分线，根据等腰三角形的三线合一的性质得出EC 平分∠BED ，从而得证．【详解】证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵DB 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，∴∠ODC+∠OCD=11802︒⨯=90°， ∴∠DOC=90°，又CE 平分∠BCD ，CO=CO,易证()CDO CBO ASA ∆≅∆∴DO=BO,∴CE 是BD 的垂直平分线，∴EB=ED ，又∠DOC=90°，∴EC 平分∠BED ，∴点O 到EB 与ED 的距离相等．【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．25．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据BF 平分∠ABC ⇒∠ABF=∠CBF ，再加上AB=BC ，BF=BF 就可以推出△ABF ≌△CBF ，依据全等三角形对应边相等的性质可以推出AF=CF ；（2）根据（1）中所得出的结论可以推出∠FCA=∠FAC ；依据平行线的性质可以得出内错角∠FAC 、∠DCA 相等，等量代换后，就可推出CA 平分∠DCF ．【详解】证明：如图.（1）∵BF 平分ABC ∠，∴ABF CBF ∠=∠．在△ABF 与△CBF 中，,{,,AB CB ABF CBF BF BF =∠=∠=∴ △ABF ≌△CBF ．∴AF CF =．（2）∵AF CF =，∴FCA FAC ∠=∠．∵AF ∥DC ，∴FAC DCA ∠=∠．∴FCA DCA ∠=∠，即CA 平分DCF ∠．【点睛】出AF=CF，继而推出∠FCA=∠FAC，结合两直线平行内错角相等的性质，很容易就可以得出（2）中的结论．。
北京二中教育集团2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2BO，AO＝OC＝3．
在Rt△ABO中，利用勾股定理可得BO＝ ＝5．
∴BD＝2BO＝10．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．解题的技巧是平行四边形转化为三角形问题解决．
7．D
【分析】
如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．
三、解答题
17．解下列方程：
（1）x2+2x＝0；
（2）x2﹣16＝0．
18．解下列方程：
（1）x2﹣6x+8＝﹣1；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
19．如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．
已知：平行四边形 ．
求作：点 ，使点 为边 的中点．
作法：如图，
①作射线 ；
②以点 为圆心， 长为半径画弧，
A．丁B．丙C．乙D．甲
4．如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，可以在池塘的一侧选取一点O，连接OA，OB，并分别取它们的中点D，E，连接DE，现测出DE＝20米，那么A，B间的距离是（ ）
A．30米B．40米C．60米D．72米
5．用配方法解方程 时，原方程应变形为（）
A． B． C． D．
（3）学校对知识竞赛成绩不低于80分的学生颁发优胜奖，请你估计学校七、八年级所有学生中获得优胜奖的大约有人．
24．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）①依题意补全图1；
②猜想线段DQ与BP的关系是：；
北京市第八十中学2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试卷含详解
【答案】B
【分析】先根据题意及图像挖掘出相等的边或角，再根据全等三角形的判定方法即得．
【详解】∵AB是BF的垂线，BF是DE的垂线
∴
∵ 与 互为对顶角
∴
在 与 中
∴
∴判定三角形全等的方法是：角边角．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形判定的实际问题及数形结合思想等，将题目文字信息转化为几何语言是解题关键．
B、3+3<7，即两边之和小于第三边，故不能组成三角形；
C、5+4<10，即两边之和小于第三边，故不能组成三角形；
D、8+5>12，即任两边之和大于第三边，故能组成三角形；
故选：D．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件，实际中三线段判断能否构成三角形，只要考虑两条短线段的和是否大于最长的线段．
3.如图，已知 ， ， ，不正确的等式是（ ）
【答案】
【分析】根据直角三角板的已知角度以及三角形外角性质即可求解．
【详解】如图，
故答案为：
【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
14.如图， ，欲使 ，只需添加一个条件__________，若 ， ，可利用__________判定方法证明 ．
【答案】①.AB＝DC（答案不唯一）②.HL
A.50B.62C.65D.68
【答案】A
【分析】由全等三角形的判定定理可得出△EFA≌△AGB，同理可证△BGC≌△CHD，从而得出FA、AG、GC、CH的长度，用割补法求出实线所围成的图像面积.
【详解】解：如图，
∵EA⊥AB，
∴∠EAF+∠BAG=90°，
北京市三中2020—2021学年初二上期中考试数学试题含答案
学校 班级 姓名 学号北京市三中2020—2021学年初二上期中考试数学试题含答案初二数学期中试卷 2020.11一．选择题（每小题的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．请将你认为符合要求的一项的序号填在题中的括号内．每小题3分，共30分）1．下列说法中，正确的是（ ）．A ．6是36的算术平方根B ．9-的平方根是3-C ．25的算术平方根是5D ．9的立方根是32. 等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是( )A . 65°，65°B . 50°,80°C .65°，65°或50°，80°D . 50°,50° 3．（—2，6）关于x 轴对称点的坐标为（ ）A （—2，6）B （2，6）C （2，—6）D （—2，—6）4．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，添加下列条件中的一个，不能．．使△ABC ≌△A ′B ′C ′一定成立的是（ ）． A ．AC=A ′C ′ B ．BC=B ′C ′ C ．∠B=∠B ′ D ．∠C=∠C ′ 5．下列式子正确的是（ ）A 749±=7= C. 749=- D.7)7(2-=-6．和三角形三个顶点的距离相等的点是（ ） A ．三条角平分线的交点 B ．三边中线的交点C ．三边上高所在直线的交点D ．三边的垂直平分线的交点7. 如图，正方形ABCD 的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A 处，该三角板的两条直角边与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．四边形AECF 的面积是（ ）．班级 姓名 学号D Ａ. 16 Ｂ．12 Ｃ．8 Ｄ．48．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．17.5cm9. 在直角坐标系中，已知A （3，3），在x 轴、y 轴上确定一点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ） A ．4个 B ．6个C ．8个D ．10个10．如图, 在△ABC 中, AD 是它的角平分线, AB = 8 cm, AC = 6 cm, 则 S △ABD : S △ACD = ( )A. 3 : 4B. 4 : 3C. 16 : 9D. 9 : 16个小题,每小题2分,共20分)，3π，0.6，32这五个实数中，无理数,02=则x+y= .a ＋3和2a －3，．BOP=15°，PC ∥OB ，PD ⊥OB ，若OC=4，则PD 等于 . ,自变量x 的取值范畴是5的所有整数是 。
2020-2021学年北京市东城区汇文中学八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京市东城区汇文中学八年级（上）期中数学试卷1.下列有关医疗和倡导卫生的图标中，是轴对称图形的是()A. B.C. D.2.使分式2x−3有意义的x的取值范围是()A. x≠3B. x>3C. x<3D. x=33.若分式x2−1x+1的值为0，则x应满足的条件是()A. x=−1B. x≠−1C. x=±1D. x=14.在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m微间距显示屏就是其中之一．数字0.0009用科学记数法表示应为()A. 9×10−4B. 9×10−3C. 0.9×10−3D. 0.9×10−45.下列约分正确的是()A. m6m3=m2 B. b+ca+c=baC. x2−y2x−y =x+y D. x+yx=y6.如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为()A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°7.已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在()A. ∠A的平分线上B. AC边的高上C. BC边的垂直平分线上D. AB边的中线上8.如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D(不与点B重合)，连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E.若∠ECA=40°，则下列结论错误的是()A. ∠ABC=70°B. ∠BAD=80°C. CE=CDD. CE=AE9.老师设计了一个接力游戏，用小组合作的方式完成分式的运算，规则是：每人只能看见前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成计算．其中一个组的过程是：老师给甲，甲一步计算后写出结果给乙，乙一步计算后写出结果给丙，丙一步计算后写出结果给丁，丁最后算出结果．接力中，自己负责的一步出现错误的是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是()A. 3B. 4C. 5D. 611.请写出一个只含有字母x的分式，当x=3时分式的值为0，你写的分式是______．12.等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则它的周长是______ ．13.已知，如图AB=AC，∠BAC=40°，D为AB边上的一点，过D作DF⊥AB，交AC于E，交BC延长线于点F，则∠F=______°.14.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，AD=3，则BC=______．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP 交BC于点D，若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是______．16.平面直角坐标系xOy中，点A(4,3)，点B(3,0)，点C(5,3)，点E在x轴上．当CE=AB时，点E的坐标为______．17.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动(D不与A，B重合)，连接CD，作∠CDE=30°，DE交BC于点E.若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是______．18.下面是小军同学计算1x2−2x −1x2+2x的过程．1x2−2x −1x2+2x=1x(x−2)−1x(x+2) (1)=x+2x(x+2)(x−2)−x−2x(x+2)(x−2) (2)=x+2−(x−2)x(x+2)(x−2) (3)=x+2−x+2x(x+2)(x−2) (4)=4x(x+2)(x−2) (5)其中运算步骤[2]为：______，该步骤的依据是______．19.下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于12AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA=______，PA=______，∴PQ⊥l(______)(填推理的依据)．20.计算：4−1+(3.14)0−|−1|．21.计算：(−2ab )3÷(2a23b)2．22.解方程：xx+2−2x2−4=1．23.已知m−n=2，求代数式(m2+n22m −n)÷m−nm的值．24.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B=50°，∠BAC=21°，求∠CAE的度数．25.如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF//AB交DE的延长线于点F，DB=3，CF=7，求AE．26.列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行．与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270000平方米增加到330000平方米．参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积．(1)在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系．设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：(2)根据以上分析，列出方程(不解方程)．27.阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式(x−a)(x−b)x的值为零，则x=a或x=b．又因为(x−a)(x−b)x =x2−(a+b)x+abx=x+abx−(a+b)，所以关于x的方程x+abx=a+b有两个解，分别为x1=a，x2=b．应用上面的结论解答下列问题：(1)方程x+px=q的两个解分别为x1=−1，x2=4，则p=______；q=______；(2)方程x+3x=4的两个解中较大的一个为______；(3)关于x的方程2x+n2+n−22x+1=2n的两个解分别为x1、x2(x1<x2)，则x1=______，x2=______．28.在Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°.点D是射线BA上一点，点E是线段AB上一点．且点D与点E关于直线AC对称，连接CD，过点E作直EF⊥CD于F，交CB的延长线于点G．(1)根据题意补全图形；(2)写出∠CDA与∠G之间的数量关系，并进行证明；(3)已知在等腰直角三角形中，有以下结论：斜边长为一条直角边长的√2倍，写出线GB，AD之间的数量关系，并进行证明．29.已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点，点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1．(1)如图2，在正方形ABCD中，点______为线段BC关于点B的逆转点；(2)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x,0)，且x>0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．①补全图形；②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明．③若点E的坐标为(0,5)，连接PF、PG，设△PFG的面积为y，用含x的代数式表示y=______．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.【答案】A有意义，得【解析】解：由分式2x−3x−3≠0，解得x≠3，故选：A．根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零得出不等式是解题关键．3.【答案】D【解析】解：∵分式x2−1的值为0，x+1∴x2−1=0，且x+1≠0，解得：x=1．故选：D．直接利用分式的值为零的条件得出答案．此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．4.【答案】A【解析】解：数字0.0009用科学记数法表示应为9×10−4．故选：A．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5.【答案】C【解析】解：A、m6m3=m3，错误；B、b+ca+c =b+ca+c，错误；C、x2−y2x−y=x+y，正确；D、x+yx =1+yx，错误；故选：C．找出分子分母的公因式进行约分即可．此题主要考查了约分，首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．6.【答案】C【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=40°，∴∠BEC=∠EBA+∠A=80°，故选：C．根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据等腰三角形的性质得到∠EBA=∠A= 40°，根据三角形的外角性质计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7.【答案】A【解析】[分析]作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案．本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．[详解]解：作射线AM，由题意得，MG=MH，MG⊥AB，MH⊥AC，∴AM平分∠BAC，故选：A．8.【答案】C【解析】解：∵直线l1//l2，∴∠ECA=∠CAB=40°，∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，∴BA=AC=AD，=70°，故A正确；∴∠ABC=180°−40°2∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D(不与点B重合)，∴CB=CD，∴∠CAB=∠DAC=40°，∴∠BAD=40°+40°=80°，故B正确；∵∠ECA=40°，∠DAC=40°，∴CE=AE，故D正确；故选：C．根据平行线的性质得出∠CAB=40°，进而利用圆的概念判断即可．此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠CAB=40°解答．9.【答案】B【解析】【分析】此题考查了分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．检查四名同学的计算过程，找出错误的步骤即可．【解答】解：乙同学的过程有误，应为a 2+ab−ab+b2 (a+b)(a−b)，故选：B．10.【答案】B【解析】解：如图，连接BE，∵EF是BC的垂直平分线，∴BE=CE，根据两点之间线段最短，PA+PB=PA+PC=AC，最小，此时点P与点E重合．所以PA+PB的最小值即为AC的长，为4．所以PA+PB的最小值为4．故选：B．根据线段的垂直平分线的性质可得BE=EC，根据两点之间线段最短即可求解．本题考查了轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．11.【答案】x−3x(答案不唯一)【解析】解：由题意得：x−3x，故答案为：x−3x．根据题意可得分子为x−3，再确定分母即可．此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．12.【答案】15cm【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm时，6−3<6<6+3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm．故答案为15cm．13.【答案】20【解析】解：过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGB=90°，∴∠B+∠BAG=90°，∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠B+∠F=90°，∴∠F=∠BAG，∵AB=AC，AG⊥BC，∠BAC，∴∠BAG=12∠BAC=20°，∴∠F=12故答案为：20过点A作AG⊥BC于点G，根据等腰三角形的两个底角相等进行证明即可．此题主要考查等腰三角形的基本性质，关键是根据综合运用等腰三角形的性质来证明．14.【答案】9【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，又∠C=30°，∴CD=2AD=6，∵∠BAC=120°，∠DAC=90°，∴∠BAD=30°，∴∠DAB=∠B，∴BD=AD=3，∴BC=BD+CD=9，故答案为：9．根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，根据直角三角形的性质求出CD，根据等腰三角形的性质求出BD，计算即可．本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．15.【答案】2【解析】解：作DE⊥AB于E，由尺规作图可知，AD为∠CAB的平分线，又∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=1，∴△ABD的面积=12×AB×DE=12×4×1=2，故答案为：2．作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=1，根据三角形面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16.【答案】(4,0)或(6,0)【解析】解：∵点A(4,3)，点C(5,3)，∴AC//x轴，AC=1，连接AC，过C作CE//AB交x轴于E，∴AB=CE，BE=AC=1，∵点B(3,0)，∴E(4,0)，以C为圆心，CE为半径画弧交x轴于E′，则CE=CE′=AB，过C作CD⊥x轴于D，∴DE=DE′=1，∴E′(6,0)，∴当CE=AB时，点E的坐标为(4,0)或(6,0)，故答案为：(4,0)或(6,0)．根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．17.【答案】60°或105°【解析】解：△CDE可以是等腰三角形，∵△CDE是等腰三角形；①当CD=DE时，∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠DEC=75°，∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°，②当DE=CE时，∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠CDE=30°，∴∠ADC=∠DCE+∠B=60°．③当EC=CD时，∠BCD=180°−∠CED−∠CDE=180°−30°−30°=120°，∵∠ACB=180°−∠A−∠B=120°，∴此时，点D与点A重合，不合题意．综上，△ADC可以是等腰三角形，此时∠ADC的度数为60°或105°．故答案为60°或105°．分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．18.【答案】通分分式的基本性质【解析】解：异分母分式相加减的一般步骤：一、因式分解分母；二、通分；三、分式加减四、分子部分去括号；五、分子部分合并同类项并化简．故答案为：通分；分式的基本性质．根据异分母分式加减法的法则填空即可．本题考查了异分母分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则是解决本题的关键．19.【答案】QB PB等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合【解析】解：(1)补全的图形如图2所示：(2)证明：连接QA，QB．∵QA=QB，PA=PB，∴PQ⊥l(等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合)．故答案为：QB；PB；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．(1)根据作图过程即可补全图形；(2)根据等腰三角形的性质即可完成证明．本题考查了作图−基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键掌握等腰三角形的性质．20.【答案】解：原式=14+1−1=14．【解析】化简负整数指数幂，零指数幂，绝对值，然后再计算．本题考查负整数指数幂，零指数幂，理解a0=1(a≠0)，a−p=1a p(a≠0)是解题关键．21.【答案】解：原式=−8a3b3÷4a49b2=−8a3b3⋅9b2 4a4=−18ab．【解析】先算乘方，然后将除法转化为乘法，进行约分计算．本题考查分式的乘除法运算，掌握积的乘方运算法则以及约分的技巧是解题关键．22.【答案】解：去分母得：x(x−2)−2=x2−4，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23.【答案】解：原式=m2+n2−2mn2m ⋅m m−n=(m−n)22m ⋅m m−n=m−n2，当m−n=2时．原式=22=1．【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把m−n的值代入计算即可．本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．24.【答案】解：∵AC的垂直平分线交AC于点D，∴EA=EC，∴∠EAC=∠CAE，∵∠B=50°，∠BAC=21°，∴∠ECA=∠B+∠BAC=71°，∴∠CAE=71°．【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，得到∠EAC=∠ECA，根据三角形的外角性质解答．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．25.【答案】解：∵E是边AC的中点，∴AE=CE．又∵CF//AB，∴∠A=∠ACF，∠ADF=∠F，在△ADE与△CFE中，{∠ADF=∠F ∠A=∠ACF AE=CE，∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴CF=AD=7，∴AB=AD+BD=10，又∵∠B=∠ACB，∴AB=AC=10，∵E是边AC的中点，∴AE=12AC=5．【解析】根据AAS证明△ADE≌△CFE，利用全等三角形的性质求出AD，进而得出AB的长以及AC的长，再根据E是AC的中点即可解决问题．本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是寻找恰当的判定条件．26.【答案】270000x330000(1+12.8%)x(1+12.8%)x【解析】解：(1)故答案为：270000x ，330000(1+12.8%)x，(1+12.8%)x；(2)由题意可得：270000x +300=330000(1+12.8%)x．(1)直接利用总面积除以企业平均展览面积=参展企业数量，进而得出答案；(2)利用参展企业比首届多了约300家，得出等式即可．此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意表示出参展企业数量是解题关键．27.【答案】−433n2n+3 2【解析】解：(1)由已知可得：p=−1×4=−4；q=−1+4=3；故答案为：−4；3；(2)∵ab=3，a+b=4，∴这两个数为：3和1，∴两解中较大的一个为3；故答案为：3；(3)∵2x+n2+n−22x+1=2n，∴2x−1+(n+2)(n−1)2x+1=(n+2)+(n−1)，∴2x−1=n+2或2x−1=n−1，∵x1<x2，∴x1=n2，x2=n+32，故答案为：n2；n+32．(1)由已知可得：p=−1×4=−4；q=−1+4=3；(2)由ab=3，a+b=4，得这两个数为：3和1，即可求解；(3)2x+n2+n−22x+1=2n可变形为2x−1+(n+2)(n−1)2x+1=(n+2)+(n−1)，得2x−1=n+2或2x−1=n−1，即可求解．本题考查了方式方程，理解题中的方法，解题关键是将所求分式方程转化为题中所描述的形式．28.【答案】解：(1)如图所示：(2)∠CDA−∠G=45°，证明：∵在Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，∴∠CBA=45°，又∵∠CBA为△BEG的外角，∴∠G+∠BEG=∠CBA=45°①，在Rt△DEF中，∠CDA+∠FED=90°②，∵∠BEG=∠FED，∴②−①，得∠CDA−∠G=45°；(3)GB=√2AD，证明：连接CE，过点G作GH⊥AB，垂足为点H，∵点D，点E关于直线AC对称，∴CD=CE，∵CA⊥DE，∴设∠DCA=∠ECA=a°，在Rt△CFG中，∠EGB=90°−∠GCF=90°−(45+a)°=(45−a)°，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴∠ECB=∠BCA−∠ECA=(45−a)°，∴∠ECB=∠EGB，∴EG=CE=CD，∵∠HEG=∠FED，∠FED+∠D=90°，∠DCA+∠D=90°，∴∠DCA=∠FED=∠HEG，在△CDA与△EGH中，{∠DAC=∠GHE ∠DCA=∠GEH CD=EG∴△CDA≌△EGH(AAS)，∴HG=AD，又∵在Rt△BHG中，∠GBH=45°，∴GB=√2HG，∴GB=√2AD．【解析】(1)根据题意可完成作图；(2)先写出结论CDA−∠G=45°，利用等腰直角三角形的性质先证∠G+∠BEG=∠CBA=45°，由∠CDA+∠FED=90°和∠BEG=∠FED可推出结论CDA−∠G=45°；(3)先写出结论GB=√2AD，连接CE，过点G作GH⊥AB，垂足为点H，先证CD=CE，由三线合线定理可知并设∠DCA=∠ECA=a°，推出∠EGB=(45−a)°，∠ECB=(45−a)°，再推出EG=CE=CD，证明△CDA≌△EGH，得到HG=AD，因为在Rt△BHG中，∠GBH =45°，可得GB =√2HG ，即可得出GB =√2AD ．本题考查了等腰直角三角形的性质，三线合一性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出合适的辅线构造全等三角形从而转化相等的线段．29.【答案】A {−12x 2+52x(0<x <5)12x 2−52x(x >5)【解析】解：(1)由题意知，将线段BC 绕B 点逆时针旋转90°得到线段BA ，∴点A 是线段BC 关于点B 的逆转点，故答案为：A ；(2)①补图如下图： ；②GF ⊥x 轴，证明如下：∵点F 是线段EF 关于点E 的逆转点，点G 是线段EP 关于点E 的逆转点，∴∠OEF =∠PEG =90°，EG =EP ，EF =EO ，∴∠OEF −∠FEP =∠PEG −∠FEP ，即∠GEF =∠PEO ，∴△GEF≌△PEO(SAS)，∴∠GFE =∠EOP ，∵OE ⊥OP ，∴∠POE =90°，∴∠GFE =90°，∵∠OEF =∠EFH =∠EOH =90°，∴四边形EFHO 是矩形，∴∠FHO =90°，∴FG ⊥x 轴；③如图4，当0<x <5时，∵E(0,5)，∴OE =5，∵四边形EFHO 是矩形，EF =EO ，∴四边形EFHO 是正方形，∴OH =OE =5，由②知△GEF≌△PEO ，∴GF =OP ，∴y =12FG ⋅PH =12⋅x(5−x)=−12x 2+52x ， 如图5，当x >5时，同理可得y =12FG ⋅PH =12x(x −5)=12x 2−52x ，综上，y ={−12x 2+52x(0<x <5)12x 2−52x(x >5)， 故答案为：{−12x 2+52x(0<x <5)12x 2−52x(x >5)． (1)将线段BC 绕点B 逆时针旋转90°得到线段BA ，即可求解；(2)①按定义补图即可；②先根据SAS 证△GEF≌△PEO ，根据全等三角形的性质得到∠GFE =∠EOP =90°，进而得到四边形EFHO是矩形，然后即可得出结论；③分两种情况，当0<x<5时，当x>5时，分别利用三角形的面积公式求解即可．本题主要考查正方形性质，三角形的面积，分段函数等知识点，正确理解逆转点的定义是解题的关键．。
2020-2021学年北京工大附中八年级上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年北京工大附中八年级第一学期期中数学试卷一、选择题1．（3分）下列交通标志中，轴对称图形的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．（3分）如图所示，以BC为边的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（3分）△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线．若∠CAD＝25°，则∠B 的度数是（）A．25°B．55°C．65°D．75°6．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为4，5，则这个等腰三角形的周长为（）A．13B．14C．13或14D．8或107．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（）A．3B．4C．5D．68．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x轴上取一点P（m，0），过点P作直线l垂直于直线OA，将OB 关于直线l的对称图形记为O′B′，当O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为（）A．m≥4B．m≤6C．4＜m＜6D．4≤m≤6二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）五边形的内角和等于度．10．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是．11．（3分）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是．12．（3分）如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，则∠A＝（用含α的式子表示）．13．（3分）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，请添加一个适当的条件：，使△ABC≌△EDB（不再添加其它字母或辅助线）．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是BC延长线上一点，F是CA延长线上一点，∠DBC＝130°，则∠FAB的度数为．15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于cm．16．（3分）在△ABC中给定下面几组条件：①BC＝4cm，AC＝5cm，∠ACB＝30°；②BC＝4cm，AC＝3cm，∠ABC＝30°；③BC＝4cm，AC＝5cm，∠ABC＝90°；④BC＝4cm，AC＝5cm，∠ABC＝120°．若根据每组条件画图，则△ABC能够唯一确定的是（填序号）．三、解答题（本大题共10个小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．2019年12月18日，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式发布，并将在2020年5月1日起正式实施，这标志着北京市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道．目前，相关配套设施的建设已经开启．如图，计划在小区道路l上建一个智能垃圾分类投放点O，使得道路l附近的两栋住宅楼A、B到智能垃圾分类投放点O的距离相等．（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；（2）确定点O位置的依据为．18．下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，钝角∠AOB．求作：∠AOB的角平分线．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；③作射线OC．所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：由①可得：OD＝OE；由②可得：；由③可知：OC＝OC；∴≌（依据：）．∴可得∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）．即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．19．填空，完成下列证明过程．如图，△ABC和△FED中，AB＝FE，BC＝ED，点A，C，D，F在一条直线上，AD ＝FC．求证：AB∥EF．证明：∵AD＝FC（已知），∴AD﹣＝FC﹣，即＝．在△ABC和△FED中，AB＝FE（已知），BC＝ED（已知），＝（已证），∴△ABC≌△FED（）．∴∠A＝∠F（）．∴AB∥EF（）．20．如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：∠C＝∠D．21．已知：如图，E，F，为AC上两点，AD∥BC，∠1＝∠2，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE．22．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．23．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．24．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；（3）写出点A关于x轴的对称点的坐标；（4）写出△A1B1C1的面积．25．如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，连接EC并延长，交射线AD于点F．（1）补全图形；（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（3分）下列交通标志中，轴对称图形的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：第1个是轴对称图形，符合题意；第2个是轴对称图形，符合题意；第3个不是轴对称图形，不合题意；第4个是轴对称图形，符合题意；故选：B．2．（3分）如图所示，以BC为边的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，故选：C．3．（3分）△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（）A．B．C．D．解：∵△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，∴1＜a＜5，∴A符合，故选：A．4．（3分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm解：∵△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，∴BC＝AD＝8cm．故选：D．5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线．若∠CAD＝25°，则∠B 的度数是（）A．25°B．55°C．65°D．75°解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴∠BAD＝∠CAD＝25°，∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝＝65°，故选：C．6．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为4，5，则这个等腰三角形的周长为（）A．13B．14C．13或14D．8或10解：若4是底边，则三角形的三边分别为4、5、5，能组成三角形，周长＝4+5+5＝14，4是腰长，则三角形的三边分别为4、4、5，能组成三角形，周长＝4+4+5＝13．综上所述，这个等腰三角形的周长为14或13．故选：C．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（）A．3B．4C．5D．6解：如图，连接BE，∵EF是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，根据两点之间线段最短，PA+PB＝PA+PC＝AC，最小，此时点P与点E重合．所以PA+PB的最小值即为AC的长，为4．所以PA+PB的最小值为4．故选：B．8．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x轴上取一点P（m，0），过点P作直线l垂直于直线OA，将OB 关于直线l的对称图形记为O′B′，当O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为（）A．m≥4B．m≤6C．4＜m＜6D．4≤m≤6解：如右图所示，当直线l垂直平分OA时，O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点，∵点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°，∴∠BAO＝30°，OB＝2，∴OA＝4，∵直线l垂直平分OA，点P（m，0）是直线l与x轴的交点，∴OP＝4，∴当m＝4；作BB″∥OA，交过点A且平行于x轴的直线与B″，当直线l垂直平分BB″和过A点且平行于x轴的直线有交点，∵四边形OBB″O′是平行四边形，∴此时点P与x轴交点坐标为（6，0），由图可知，当OB关于直线l的对称图形为O′B′到O″B″的过程中，点P符合题目中的要求，∴m的取值范围是4≤m≤6，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）五边形的内角和等于540度．解：五边形的内角和＝（5﹣2）•180°＝540°．故答案为：540．10．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是（3，4）．解：点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．故答案为：（3，4）．11．（3分）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是50°或65°．解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．故答案是：50°或65°．12．（3分）如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，则∠A＝2α（用含α的式子表示）．解：∵BD⊥AC，∠CBD＝α，∴∠C＝（90﹣α）°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（90﹣α）°，∴∠ABD＝90﹣α﹣α＝（90﹣2α）°∴∠A＝90°﹣（90﹣2α）°＝2α；故答案为2α．13．（3分）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，请添加一个适当的条件：BC ＝DB（答案不唯一），使△ABC≌△EDB（不再添加其它字母或辅助线）．解：添加条件为：BC＝DB；理由如下：在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（SAS）；故答案为：BC＝DB（答案不唯一）．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是BC延长线上一点，F是CA延长线上一点，∠DBC＝130°，则∠FAB的度数为100°．解：∵∠DBC＝130°，∴∠ABC＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∵∠FAB＝∠ABC+∠ACB，∴∠FAB＝100°，故答案为：100°．15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于7cm．解：由折叠的性质知，AE＝CE，∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝3+4＝7cm．故答案为：7．16．（3分）在△ABC中给定下面几组条件：①BC＝4cm，AC＝5cm，∠ACB＝30°；②BC＝4cm，AC＝3cm，∠ABC＝30°；③BC＝4cm，AC＝5cm，∠ABC＝90°；④BC＝4cm，AC＝5cm，∠ABC＝120°．若根据每组条件画图，则△ABC能够唯一确定的是①③④（填序号）．解：①BC＝4cm，AC＝5cm，∠ACB＝30°，满足“SAS”，所以根据这组条件画图，△ABC唯一；②BC＝4cm，AC＝3cm，∠ABC＝30°，根据这组条件画图，△ABC可能为锐角三角形，也可为钝角三角形；③BC＝4cm，AC＝5cm，∠ABC＝90°；满足“HL”，所以根据这组条件画图，△ABC唯一；④BC＝4cm，AC＝5cm，∠ABC＝120°，根据这组条件画图，△ABC唯一．故答案为①③④．三、解答题（本大题共10个小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．2019年12月18日，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式发布，并将在2020年5月1日起正式实施，这标志着北京市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道．目前，相关配套设施的建设已经开启．如图，计划在小区道路l上建一个智能垃圾分类投放点O，使得道路l附近的两栋住宅楼A、B到智能垃圾分类投放点O的距离相等．（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；（2）确定点O位置的依据为线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．解：（1）如图，点O即为所求．（2）作图的依据：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．故答案为线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．18．下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，钝角∠AOB．求作：∠AOB的角平分线．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；③作射线OC．所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：由①可得：OD＝OE；由②可得：CD＝CE；由③可知：OC＝OC；∴△OCD≌△OCE（依据：SSS）．∴可得∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）．即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．解：（1）如图，OC为所作；（2）由①可得：OD＝OE；由②可得：CD＝CE；由③可知：OC＝OC；∴△OCD≌△OCE（SSS），∴可得∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）．即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．故答案为CD＝CE；△OCD，△OCE，SSS．19．填空，完成下列证明过程．如图，△ABC和△FED中，AB＝FE，BC＝ED，点A，C，D，F在一条直线上，AD ＝FC．求证：AB∥EF．证明：∵AD＝FC（已知），∴AD﹣CD＝FC﹣CD，即AC＝DF．在△ABC和△FED中，AB＝FE（已知），BC＝ED（已知），AC＝DF（已证），∴△ABC≌△FED（SSS）．∴∠A＝∠F（全等三角形对应角相等）．∴AB∥EF（内错角相等两直线平行）．解：证明：∵AD＝FC（已知），∴AD﹣CD＝FC﹣CD，即AC＝DF，在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（SSS）．∴∠A＝∠F（全等三角形对应角相等）．∴AB∥EF（内错角相等两直线平行）．故答案为：CD，CD，AC，DF，AC，DF，SSS，全等三角形对应角相等，内错角相等两直线平行．20．如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：∠C＝∠D．【解答】证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB＝∠DAB，在△ACB与△ADB中，，∴△ACB≌△ADB，∴∠C＝∠D．21．已知：如图，E，F，为AC上两点，AD∥BC，∠1＝∠2，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF∴AE+EF＝CF+EF即：AF＝CE在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA）．22．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．解：∵AC的垂直平分线交AC于点D，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠B＝50°，∠BAC＝21°，∴∠ECA＝∠B+∠BAC＝71°，∴∠CAE＝71°．23．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．24．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；（3）写出点A关于x轴的对称点的坐标；（4）写出△A1B1C1的面积．解：（1）建立如图所示的直角坐标系；（2）如图，△A1B1C1为所作；（3）点A关于x轴的对称点的坐标为（﹣4，﹣4）；（4）△A1B1C1的面积＝3×4﹣×2×1﹣×2×3﹣×2×4＝4．25．如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，连接EC并延长，交射线AD于点F．（1）补全图形；（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．解：（1）补全图形（如图1）（2）如图2，连接AE，设∠BAF＝α，∵点B关于射线AD的对称点为E，∴AE＝AB，∠BAF＝∠EAF＝α，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠FAC＝60°﹣α，∠EAC＝2α﹣60°，AE＝AC，∴∠ACE＝[180°﹣（2α﹣60°）]＝120°﹣α，∵∠ACE＝∠AFE+∠FAC＝120°﹣α，∴∠AFE＝（120°﹣α）﹣（60°﹣α）＝60°；（3）AF＝EF+CF，理由如下：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．∵∠FCG＝∠AFC＝60°，∴△FCG是等边三角形，∴GF＝FC，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠FCG，∴∠ACG＝∠BCF，在△ACG和△BCF中，，∴△ACG≌△BCF．∴AG＝BF，∵点B关于射线AD的对称点为E，∴BF＝EF，∴AF﹣AG＝GF，∴AF＝EF+CF．。
2020-2021学年北京八年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京八年级（上）期中数学试卷题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列图案是轴对称图形的是( )．A.B.C.D.2. 石墨烯一层层叠起来就是石墨，厚1毫米的石墨大约包含400万层石墨烯．现在石墨烯有关的材料广泛应用在电池电极材料、半导体器件、透明显示屏、传感器、电容器、晶体管等方面．请用科学记数法表示每一层石墨烯厚度为( )毫米A. 4×10−6B. 4×10−7C. 2.5×10−6D. 2.5×10−73. 下列长度的四根木棒，能与长度分别为2cm 和5cm 的木棒构成三角形的是( )A. 3B. 4C. 7D. 104. 分式：①a+2a 2−4，②5xyx 2−xy ，③14a21(a−b )，④x+3x 2−6x+9中，最简分式有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5. 若分式xyx 2+y 2中的x ，y 的值同时扩大到原来的2倍，则此分式的值( )A. 扩大到原来的4倍B. 扩大到原来的2倍C. 不变D. 缩小到原来的126. 如图，∠ACD =120°，∠B =20°，则∠A 的度数是( )A. 120°B. 90°C. 100°D. 30°7.如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，则∠ACA′的度数是()A. 20∘B. 30∘C. 35∘D. 40∘8.遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，根据题意列方程为()A. 36x −36+91.5x=20 B. 36x−361.5x=20C. 36+91.5x −36x=20 D. 36x+36+91.5x=209.如图四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB>AD，下列结论正确的是()A. AB−AD>CB−CDB. AB−AD=CB−CDC. AB−AD<CB−CDD. AB−AD与CB−CD的大小关系不确定10.如图，BE，CF是△ABC的角平分线，BE，CF相交于D，∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠CDE的度数是()A. 50°B. 60°C. 70°D. 120°二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.当x______时，分式xx−3有意义．12.若一个n边形每一个内角都等于135°，则n=______．13.如图，已知AC=AE，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是(只需填一个)______．14.如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是______．15.当x=−1时，分式1+xx2+1的值为______．16.关于x的分式方程ax−1+3=21−x的解为正数，则a的取值范围为______．17.如图，下列三角形中，与△ABC全等的是．18.定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那么这个“特征角”α的度数为_______．三、解答题（本大题共10小题，共54.0分）19.计算：1−(1a+3+6a2−9)÷a+3a2−6a+9．20.解方程：2m2m−5−22m+5=1．21.化简分式(a2−3aa2−6a+9+23−a)÷a−2a2−9，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．22.如图，点B，F，C，E在一条直线l上(点F，C之间不能直接测量)，点A，D在直线l的异侧，测得AB=DE，AB//DE，AC//DF．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若BE=14m，BF=5m，求FC的长度．23.如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，请在下图中补全图形．并思考可能的位置请在图中利用阴影标出．24.有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C.△ABC中，∠A=50°，求∠DBA+∠DCA的度数．25.如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，且BD=CD．(1)图中与△BDE全等的三角形是_________，请加以证明；(2)若AE=6cm，AC=4cm，求BE的长．26.24.从宁海县到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程与普通列车的行驶路程之和是920千米，而普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车的平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．27.若关于x的方程：3x−3+axx2−9=4x+3无解，求a的值．28.已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B(0,1)，∠OAB=30°．(1)如图1，已知AB=2.点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C的坐标为______；(2)如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD=OE；(3)如图3，在(2)的条件下，连接DE交AB于F，求DF的值．DE答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2.【答案】D【解析】解：1÷40000000=2.5×10−7．故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．设第三根木棒的长为xcm，再根据三角形的三边关系分析即可．【解答】解：设第三根木棒的长为xcm，由三角形的三边关系可知，5−2<x<5+2，即3<x<7．故选：B．4.【答案】D【解析】【分析】此题考查分式的最简分式与约分，解决的关键是熟练掌握最简分式的定义．根据最简分式的定义可以判断各个选项中的式子是否为最简分式，从而可以解答本题．【解答】解：①a+2a−4=a+2a+2a−2=1a−2，不是最简分式；②5xyx2−xy =5xyx(x−y)=5yx−y，不是最简分式；③14a21(a−b)=2a3(a−b)，不是最简分式；④x+3x2−6x+9=x+3(x−3)2，是最简分式．故选D．5.【答案】C【解析】解：4xy4x2+4y2=xyx2+y2，故选：C．根据分式的基本性质即可求出答案．本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∠A=∠ACD−∠B=120°−20°=100°，故选C．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形对应角相等的性质，得出∠ACA′=∠BCB′是解决本题的关键．根据全等三角形对应角相等，得∠ACB=∠A′CB′，进而得出∠ACA′=∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB−∠A′CB=∠A′CB′−∠A′CB，即∠ACA′=∠BCB′，∵∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，∴∠ACA′=12(110°−30°)=40°．故选D．8.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程有关知识，根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数−改良后种植的亩数=20亩，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得：36 x −36+91.5x=20，9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．取AE=AD，然后利用“边角边”证明△ACD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=CE，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边解答．【解答】解：如图，取AE=AD，∵对角线AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ACD和△ACE中，{AD=AE∠BAC=∠DAC AC=AC,∴△ACD≌△ACE(SAS)，∴CD=CE，∵BE>CB−CE，∴AB−AD>CB−CD．故选A．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义.由BE、CF 是△ABC的角平分线，∠ABC=50°，∠ACB=70°，根据角平分线的定义，可求得∠EBC 与∠FCB的度数，然后由三角形外角的性质，求得∠CDE的度数．解：∵BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC=50°，∠ACB=70°，∴∠CBE=12∠ABC=25°，∠FCB=12∠ACB=35°，∴∠CDE=∠CBE+∠FCB=60°．故选B．11.【答案】≠3【解析】解：∵分式xx−3有意义，∴x−3≠0，解得x≠3．故答案为：≠3．先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0．12.【答案】8【解析】【分析】此题主要考查了多边形的内角和，关键是掌握知识点的计算公式．首先求出外角度数，再用360°除以外角度数可得答案．【解答】∵每一个内角都等于135°，∴每一个外角都等于180°−135°=45°，∴边数n=360°÷45°=8．故答案为8．13.【答案】AB=AD【解析】解：还需添加的条件可以是AB=AD，理由是：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，{AB=AD∠BAC=∠DAE AC=AE，∴△ABC≌△ADE(SAS)，故答案为：AB=AD．根据题意，进行求解即可．本题考查了全等三角形的判定，属于基础题．14.【答案】33【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．【解答】解：如图，连接OA，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=12×22×3=33．故答案为：33．15.【答案】0【解析】解：当x=−1时，分式1+xx2+1=02=0，故答案为0．将x=−1代入分式，求值即可．本题考查代数求值，是简单的基础题．16.【答案】a<1且a≠−2．【解析】【分析】本题考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程的解法求出x=1−a3，再根据方程的解为正数，解不等式即可求出答案．【解答】解：∵ax−1−21−x=−3，∴a+2x−1=−3，∴x=1−a3，∵该分式方程有解，∴1−a3≠1，∴a≠−2，∵x>0，∴1−a3>0，∴a<1，故答案为：a<1且a≠−2．17.【答案】③【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定．做题时要按判定全等的方法逐个验证．【解答】解：因为三角形要全等对应边必须相等，所以只有③与△ABC的各边都相等，只有③正确．故答案为③．18.【答案】48°或96°或88°【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°.会运用分类讨论的方法解决数学问题．当“特征角”为48°时，即α=48°；当β=48°时，利用新定义得到“特征角”α=96°；当第三个角为48°时，根据三角形内角和得到α+12α+48°=180°，解关于α的方程即可．【解答】解：当“特征角”为48°时，即α=48°；当β=48°时，则“特征角”α=2×48°=96°；当第三个角为48°时，α+12α+48°=180°，即得α=88°，综上所述，这个“特征角”α的度数为48°或96°或88°．故答案为48°或96°或88°．19.【答案】解：原式=1−a+3a2−9⋅(a−3)2a+3=1−a−3a+3=a+3a+3−a−3a+3=6a+3．【解析】根据分式的混合运算法则计算即可．本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则是解题的关键．20.【答案】解：方程两边同乘(2m+5)(2m−5)，得4m2+10m−4m+10=4m2−25，6m=−35m=−356，检验把m=−356带入(2m+5)(2m−5)得(2m+5)(2m−5)=10009≠0所以m=−356是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21.【答案】解：原式=[a(a−3)(a−3)2−2a−3]÷a−2(a+3)(a−3)=(aa−3−2a−3)⋅(a+3)(a−3)a−2=a−2a−3⋅(a+3)(a−3)a−2=a+3，∵a≠−3、2、3，∴a=4或a=5，当a=4时，原式=7．当a=5时，原式=5+3=8．【解析】本题主要考查分式的化简求值，分式有意义的条件等有关知识，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得．22.【答案】(1)证明：∵AB//DE，∴∠ABC=∠DEF，∴AC//DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC与△DEF中，{∠ABC=∠DEF ∠ACB=∠DFE AB=DE∴△ABC≌△DEF；(AAS)(2)∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BF+FC=EC+FC，∴BF=EC，∵BE=14m，BF=5m，∴FC=14−5−5=4m．【解析】【试题解析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．(1)先证明∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，再根据AAS即可证明；(2)根据全等三角形的性质即可解答．23.【答案】解：如图所示．【解析】本题主要考查利用轴对称设计图案，根据轴对称的性质进行设计图案，画出即可求解．24.【答案】解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°，而∠D=90°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴∠DBA+∠DCA=(∠ABC+∠ACB)−(∠DBC+∠DCB)=130°−90°=40°．【解析】先根据∠A=50°，得到∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°，再根据∠D=90°，可得∠DBC+∠DCB=90°，最后根据∠DBA+∠DCA=(∠ABC+∠ACB)−(∠DBC+∠DCB)进行计算即可．本题考查了三角形内角和定理的运用，此题注意运用整体法计算，关键是求出∠ABC+∠ACB．25.【答案】解：(1)△CFD；(2)在Rt△ADE和Rt△ADF，{AD=ADDE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE=AF，∵AE=6cm，∴AF=6cm，∵AC=4cm，∴CF=AF−AC=2cm，由(1)，可知BE=CF，∴BE=CF=2cm．【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质．(1)可根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再根据HL证得△CFD 与△BDE全等；(2)先得到AE=AF，再求出CF的长，可根据全等三角形的性质得BE=CF，进而求解．【解答】解：(1)证明：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，{BD=CDDE=DF，∴Rt△BED≌△Rt△CFD(HL)，故答案为△CFD；(2)见答案．26.【答案】(1)普通列车的行驶路程是520千米；(2)高铁的平均速度是300千米/时【解析】【分析】(1)设高铁的行驶路程为x千米，则普通列车的行驶路程为1.3x千米，根据“普通列车的行驶路程+高铁的行驶路程=920千米”列出方程并解答．(2)设普通列车平均速度是a千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．【详解】解：(1)设高铁的行驶路程为x千米，则普通列车的行驶路程为1.3x千米，依题意得：x+1.3x=920解得x=400．所以1.3x=520(千米)答：普通列车的行驶路程是520千米；(2)设普通列车平均速度是a千米/时，则高铁平均速度是2.5a千米/时，根据题意得：520 a −4002.5a=3,解得：a=120，经检验a=120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5=300(千米/时)，答：高铁的平均速度是300千米/时【点睛】此题考查了分式方程和一元一次方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程．注意：解分式方程时要注意检验．27.【答案】解：方程去分母得：3(x+3)+ax=4(x−3)．解得：(a−1)x=−21，x=−21a−1，∵原方程无解，所以有以下几种情况：x值的分母为0①a−1=0，a=1；最简公分母值为0，②x=3时，3=−21a−1，a=−6，x=−3时，−3=−21a−1，a=8，综上，若关于x的方程：3x−3+axx2−9=4x+3无解，a的值为1，−6，8．【解析】本题考查了分式方程无解的条件，利用了使分式方程无意义的未知数的值．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程的解，这个整式方程的解使原分式方程的分母等于0．28.【答案】(1)(0,3)(2)证明：连接OD，如图2所示：∵△ABE是等边三角形，∴AB=AE，∠BAE=60°，∵∠OAB=30°，∴∠OAE=30°+60°=90°，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°=∠OAE，∠OAD=90°−30°=60°，∵MN是OA的垂直平分线，∴OD=AD，∴△OAD是等边三角形，∴AO=AD，在△ABD和△AEO中，{AB=AE∠DAB=∠OAE AD=AO，∴△ABD≌△AEO(SAS)，∴BD=OE；(3)解：作EH⊥AB于H，如图3所示：∵△ABE是等边三角形，EH⊥AB，∴AH=12AB，∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，∴OB=12AB，∴AH=OB，在Rt△AEH和Rt△BAO中，{AE=ABAH=BO，∴Rt△AEH≌Rt△BAO(HL)，∴EH=AO=AD，在△HFE和△AFD中，{∠EHF=∠DAF=90°∠EFH=∠DFAEH=AD，∴△HFE≌△AFD(AAS)，∴EF=DF，∴DE=2DF，∴DFDE =12．【解析】【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、坐标与图形性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．(1)由题意得出BC=AB=2，得出OC=OB+BC=3，即可得出点C的坐标为(0,3)；(2)连接OD，证明△OAD是等边三角形，得出AO=AD，证明△ABD≌△AEO(SAS)，即可得出结论；(3)作EH⊥AB于H，证明Rt△AEH≌Rt△BAO(HL)，得出EH=AO=AD，再证明△HFE≌△AFD(AAS)，得出EF=DF，即可得出答案．【解答】解：(1)解：∵B(0,1)，∴OB=1，∵AB=2，点C在y轴的正半轴上，△ABC为等腰三角形，∴BC=AB=2，∴OC=OB+BC=3，∴点C的坐标为(0,3)，故答案为：(0,3)；(2)见答案；(3)见答案．第21页，共21页。
北京初二初中数学期中考试带答案解析
北京初二初中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.截止到2011年4月9日0时，北京小客车指标申请累计收到个人申请491671个，第四轮摇号中签率接近28比1. 将491671用科学记数法表示应为A．B．C．D．2.如图，△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AB∥DE，若AD＝5，CD ＝3，DE ＝4，则AB的长为A． B． C． D．3.某校对1200名女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：m）这一小组的频率为0.25，则该组的人数为A．150人B．300人C．600人D．900人4.布袋中有红、黄、蓝三个球，它们除颜色不同以外，其他都相同，从袋中随机取出一个球后再放回袋中，这样取出球的顺序依次是“红—黄—蓝”的概率是A．B．C．D．5.下列图形中，阴影部分面积为1的是6.如图3，四边形OABC为菱形，点A、B在以点O为圆心的弧DE上，若OA=3，∠1=∠2,则扇形ODE的面积为A. B. 2 C. D. 37.如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图像与x轴、y轴的交点，点P 是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5－x(0≤x≤5)，则结论：① AF= 2 ② BF=4 ③OA=5 ④ OB=3，正确结论的序号是A．①②③ B ①③ C．①②④ D．③④8.要使有意义，则x可以取的最小整数是9.下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．10.在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a：b：c=3：4：5B．a=9，b=40，c=41C．a=11，b=12，c=13D．a=b=5，c=511.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点E，∠AOB=45°，则∠BAE的大小为（）.A．15° B．45° C．30° D．22.5°12.“水立方”的游泳池长为50m，宽为25m，深为3m.现以x m/min的速度向池中注水，注满水池需y min，则y与x函数关系的大致图象为（）二、填空题1.函数中，自变量的取值范围是．2.分解因式：= .3.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE＝4.将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形形的面积和为（用含n的代数式表示）.5.如图，在中，分别是的中点，若，Co则 cm．6.如图，分别以△ABC的两条边为边做平行四边形，所做的平行四边形有____ __个；平行四边形第四个顶点的坐标是 .7.如图，已知□ABCD中，点M是BC的中点，且AM=6，BC=12，CD=4，则该平行四边形的面积为 .三、解答题1.计算：.2.解不等式组3.已知，在△ABC中，DE∥AB，FG∥AC，BE=GC.求证：DE=FB.4.（5分）已知，求的值5.已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点. 求证：BM="DN" .6.（6分）某校为了解八年级学生体育测试情况，八年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图．（说明：A级：90分~100分；B级：75分~89分；C级：60分~74分；D级：60分以下）请你结合图中所给信息解答下列问题：(1)请把条形统计图补充完整；(2)样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是；(3)样本中的中位数是，众数是；(4)若该校八年级年级有300名学生，请你用此样本估计体育测试中A级和B级的学生人数．7.A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg 与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？8.设ABC是等腰直角三角形，AB="AC," D是斜边BC中点，E, F分别是AB,AC边上点，且DE DF, 若BE="12,CF=5, " 求线段DF的长9.已知点（1,3）在函数y=（x > 0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD中点，函数y =（x > 0）的图象又经过A, E两点，点E的横坐标为m..解答下列问题：（1）求反比例函数的解析式；（2）求点C的坐标（用m表示）；（3）当ABD=45°, 求 m的值北京初二初中数学期中考试答案及解析一、选择题1.截止到2011年4月9日0时，北京小客车指标申请累计收到个人申请491671个，第四轮摇号中签率接近28比1. 将491671用科学记数法表示应为A．B．C．D．【答案】B【解析】析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将491671用科学记数法表示为4.91671×105．故选：B．2.如图，△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AB∥DE，若AD＝5，CD ＝3，DE ＝4，则AB的长为A． B． C． D．【答案】A【解析】【考点】相似三角形的判定与性质．分析：由AB∥DE可得△CDE∽△CAB，再由AD=5，CD=3，DE=4，可求AB的长．又CF为AB边上的中线，则F为AB的中点，问题可求．解：∵AB∥DE，∴△CDE∽△CAB，∵AD=5，CD=3，DE=4，∴AC=CD+AD=8，∴=，∴AB=；又CF为AB边上的中线，∴F为AB的中点．∴BF=AB=．故选B．3.某校对1200名女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：m）这一小组的频率为0.25，则该组的人数为A．150人B．300人C．600人D．900人【答案】B【解析】【考点】频数与频率．分析：根据频率=频数÷总数，得频数=总数×频率．解答：解：根据题意，得该组的人数为1200×0.25=300（人）．故选B．点评：此题考查频率、频数的关系：频率=频数 /数据总和．能够灵活运用公式．4.布袋中有红、黄、蓝三个球，它们除颜色不同以外，其他都相同，从袋中随机取出一个球后再放回袋中，这样取出球的顺序依次是“红—黄—蓝”的概率是A．B．C．D．【答案】A【解析】析：列举出所有情况，看球的顺序依次是“红-黄-蓝”的情况数占所有情况数的多少即可．解答：解：共有27种情况，球的顺序依次是“红-黄-蓝”的情况数有1种，所以概率为故选A．5.下列图形中，阴影部分面积为1的是【答案】D【解析】分析：根据图象上点的几何意义分别计算选项中的图形面积，比较即可．如D中根据二次函数的对称性=1．可知等腰直角三角形的面积=S阴影=1.5；解答：解：A、S梯=；B、S△=；C、S△=1．D、S阴影故选D．6.如图3，四边形OABC为菱形，点A、B在以点O为圆心的弧DE上，若OA=3，∠1=∠2,则扇形ODE的面积为A. B. 2 C. D. 3【答案】D【解析】连接OB．根据等边三角形的性质可以求得∠AOC=120°，再结合∠1=∠2，即可求得扇形所在的圆心角的度数，从而根据扇形的面积公式进行求解．解答：解：连接OB．∵OA=OB=OC=AB=BC，∴∠AOB+∠BOC=120°．又∠1=∠2，∴∠DOE=120°．∴扇形ODE的面积为=3π．故选D．7.如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图像与x轴、y轴的交点，点P 是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5－x(0≤x≤5)，则结论：① AF= 2 ②BF=4 ③ OA=5 ④ OB=3，正确结论的序号是A．①②③ B ①③ C．①②④ D．③④【答案】B【解析】设P的坐标是（x，y），过P作PM⊥x轴，于M点，在直角△PFM中，根据勾股定理，即可求得函数的解析式．根据解析式即可判断．解：过P作PM⊥x轴于点M，如图所示：设P的坐标是（x，y）．直角△PMF中，PM=y，MF=3-x．PM2+MF2=PF2．∴（3-x）2+y2=（5-x）2．解得：y2=-x2+16．在上式中，令y=0，解得：x=5，则AF=OA-OF=5-3=2，故①，③正确；在直角△OBF中，根据勾股定理即可求得：BF=5，故②错误．在上式中，令x=0，解得y=4．即OB=4．故④错误；综上，正确的序号有①③．故选B．本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，是一道函数与三角形相结合的综合题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．8.要使有意义，则x可以取的最小整数是【答案】2【解析】先根据二次根式有意义的条件求得x的范围，即可求得结果.由题意得，，则x可以取的最小整数是2.【考点】二次根式有意义的条件点评：解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义.9.下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题考查最简二次根式的概念。