北师大版版高考数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明合情推理与演绎推理教学案理

一、知识梳理

１．推理

（１）定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．（２）分类：推理错误!

２．合情推理

归纳推理类比推理

定义由某类事物的部分对象具有某些

特征，推出该类事物的全部对象

都具有这些特征的推理，或者由

个别事实概括出一般结论的推理

由两类对象具有某些类似特征和

其中一类对象的某些已知特征，

推出另一类对象也具有这些特征

的推理

特点由部分到整体、由个别到一般的

推理

由特殊到特殊的推理

（１）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．（２）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．

（３）模式：

三段论错误!

二、教材衍化

１．已知在数列{a n}中，a１＝１，当n≥２时，a n＝a n—１＋２n—１，依次计算a２，a３，a４后，猜想a n的表达式是（）

Ａ．a n＝３n—１Ｂ．a n＝４n—３

Ｃ．a n＝n２Ｄ．a n＝３n—１

解析：选Ｃ．a２＝a１＋３＝４，a３＝a２＋５＝9，a４＝a３＋7＝１6，a１＝１２，a２＝２２，a３＝３２，a４＝４２，猜想a n＝n２.

２．对于任意正整数n，２n与n２的大小关系为（）

Ａ．当n≥２时，２n≥n２Ｂ．当n≥３时，２n≥n２

Ｃ．当n≥４时，２n>n２Ｄ．当n≥５时，２n>n２

解析：选Ｄ．当n＝２时，２n＝n２；当n＝３时，２nn２；当n＝6时，２n>n２；归纳判断，当n≥５时，２n>n２.故选Ｄ．

３．在等差数列{a n}中，若a１0＝0，则有a１＋a２＋…＋a n＝a１＋a２＋…＋a１9—n（n<１9，n∈N+）成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝１，则存在的等式为________．

解析：利用类比推理，借助等比数列的性质，b错误!＝b１＋n·b１7—n，可知存在的等式为b１b２…b n ＝b１b２…b１7—n（n<１7，n∈N*）．

答案：b１b２…b n＝b１b２…b１7—n（n<１7，n∈N*）

一、思考辨析

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．（）

（２）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．（）

（３）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．（）

（４）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．（）

答案：（１）×（２）√（３）×（４）×

二、易错纠偏

错误!错误!（１）归纳推理没有找出规律；

（２）类比推理类比规律错误．

１．在△ABC中，不等式错误!＋错误!＋错误!≥错误!成立；在凸四边形ABCD中，不等式错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!成立；在凸五边形ABCDE中，不等式错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!成立…依此类推，在凸n边形A１A２…A n中，不等式错误!＋错误!＋…＋错误!≥__________________________成立．

解析：因为错误!＋错误!＋错误!≥错误!＝错误!，

错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!＝错误!

错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!＝错误!，…，

所以错误!＋错误!＋…＋错误!≥错误!（n∈N+，n≥３）．

答案：错误!（n∈N+，n≥３）

２．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S１，外接圆面积为S２，则错误!＝错误!，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P­ABC的内切球体积为V１，外接球体积为V２，则错误!＝________．

解析：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比为３∶１，故正四面体P­ABC的内切球体积V１与外接球体积V２之比等于错误!＝错误!错误!＝错误!.

答案：错误!

归纳推理（多维探究）

角度一与数字有关的推理

有一个奇数组成的数阵排列如下：

１３7 １３２１…

５9 １５２３……

１１１7 ２５………

１9 ２7 …………

２9 ……………

………………

则第３0行从左到右第３个数是________．

【解析】观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第３0行的第１个数是１＋４＋6＋8＋１0＋…＋60＝错误!—１＝9２9．又第n行从左到右的第２个数比第１个数大２n，第３个数比第２个数大２n

＋２，所以第３0行从左到右的第２个数比第１个数大60，第３个数比第２个数大6２，故第３0行从左到右第３个数是9２9＋60＋6２＝１0５１．

【答案】１0５１

角度二与等式有关的推理

（１）已知１３＋２３＝错误!错误!，１３＋２３＋３３＝错误!错误!，１３＋２３＋３３＋４３＝错误!错误!，….若１３＋２３＋３３＋４３＋…＋n３＝３0２５，则n＝（）

Ａ．8 Ｂ．9

Ｃ．１0 Ｄ．１１

（２）观察下列等式：

错误!错误!＋错误!错误!＝错误!×１×２；

错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!×２×３；

错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!＝错误!×３×４；

错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!＝错误!×４×５；

……

照此规律，

错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!＝__________．

【解析】（１）观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n３时，等号右边的数为错误!错误!，因此，令错误!错误!＝３0２５，则错误!＝５５，所以n＝１0．故选Ｃ．

（２）每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为错误!n（n＋１）．

【答案】（１）C （２）错误!n（n＋１）

角度三与不等式有关的推理

已知x∈（0，＋∞），观察下列各式：x＋错误!≥２，x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥３，x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥４，…，类比得x＋错误!≥n＋１（n∈N+），则a＝________．【解析】第一个式子是n＝１的情况，此时a＝１１＝１；第二个式子是n＝２的情况，此时a＝２２＝４；第三个式子是n＝３的情况，此时a＝３３＝２7，归纳可知a＝n n.

【答案】n n