弧度制导学案
4-02 §1.1.2 弧度制
班级 姓名 学习目标
1. 掌握弧度制的定义；
2. 学会弧度制与角度制互化；
3. 了解角的集合与实数集R 一一对应关系. 学习重点
弧度制的定义及弧度制与角度制互化 学习难点 弧度制的定义
学习过程
一学案
（一） 课前准备
（预习教材P 6~ P 8，找出疑惑之处） 复习1：任意角：
定义：角可以看成是 所形成的图形。
正角： 负角： 零角： 这样通过定义就把角从0~360 推广到了任意角。
复习2：角度制：
（1）定义：以 作为单位来度量角的单位制。
符号： （2）规定：将一个圆周分成 份，每一份叫做 度，故一周等 于 度。
复习3：在角度制下，扇形弧长公式为 ；扇形面积公式为 。
（二）新课导学 弧度制
（1）定义：以 作为单位来度量角的单位制。
符号： （2）规定：1弧度的角：长度等于 所对的圆心角。
即若 =AB r ，则AOB=1rad ∠，弧度（rad ）
类比：若 1=1.5AB r ，则1AOB =∠ rad 2=2AB r ，则2AOB =∠ rad 3=2AB r ，则3AOB =∠ rad 归纳：若 =AB r α，则AOB=∠ rad
推广探究：如图，半径为r 的圆的圆心与原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，交圆于点A ，终边与圆交于点
B . 请完成表格。
AB 的长l OB 旋转的方向
AOB ∠的弧度数 AOB ∠的度数
r π
逆时针 2r π
逆时针
r
1
2r
2-
π-
180︒
360︒
新知：
① 正角的弧度数是 数，负角的弧度数是 数,零角的弧度数是 . ② 角α的弧度数的绝对值 α=
，α的正负由 决定.
o r C
r
l =2r
o
A
A
B y
x
A
α
O B
③角度制与弧度制的转换公式
根据180=rad π ，得1=rad 1801801rad=ππ⎧⎪⎪
⎨⎛⎫
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩
试一试、记一记：完成特殊角的度数与弧度数的对应表. 度
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度
例题
例1：把6730' 化成弧度.
例2：把35
rad π化成度.
※小结：在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可省略，如：3表示3rad
练习：
1.将下列弧度与角度进行互化. －43
π= ；
3
10
π= ；－210°= ； 75°= . 2. 若α＝－3，则角α的终边在（ ）.
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 3.半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 r a d .
4.课本P9习题1.1第7题
5.课本P9习题1.1第8题
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式（R 是圆的半径）.：
()1l R a = ()2122l R a = ()1
32
S l R
=
学习反思
学习小结。
导学案：弧度制
弧度制高考要求 1 理解弧度的含义，掌握弧度与角度的换算公式2 掌握弧长计算公式与扇形面积计算公式，并能运用它们解决一些简单的实际问题 课前自主学习1 我们把弧长等于__________________________叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作_______2 用弧度作为单位来度量角的制度叫做___________,用弧度表示角的时候，“弧度”或“rad ”经常省略，即只写一实数表示角的度量，但以角度制表示角时，单位不能省略. 3.我们知道，角有正，负，零角之分，弧度数也应该有正，负，零之分，由角的旋转方向决定，一般地，正角的弧度数为_______,负角的弧度数为___________,零角的弧度数为___________4.弧度制下扇形的弧长和面积公式在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为 rad,则rl=α. 所以半径为，圆心角为 rad 的扇形弧长=______,面积=_________=___________.5. 角度与弧度的换算： ,01745.0____1rad rad ≈= 1 30.57(___)≈=rad当堂例题演练例1、按照下列要求把'3067 化成弧度：（1）精确值 （2）精确到的近似值例2、将换算成角度（用度数表示，精确到）例3、利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（其中是半径，是弧长，)20(παα<< 为圆心角， 是扇形的面积）（1）R l α=； （2）221R S α=； （3）lR S 21=例4、利用计算器比较5.1sin 和 85sin 的大小.题型排雷题型一：角度制与弧度制的互化例1 把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数并指明它们各自所在象限： （1）127π （2）613π- （3） 1125 （4） 225- 题型二：用弧度制表示区间角问题题型三：弧度制下扇形弧长公式、面积公式的应用例3已知扇形的面积为S ，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？求出此最小值.跟踪练习1已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径是，若 10,60==R α,求扇形的周长及该弧所在的弓形面积.。
弧度制_导学案 2
AA弧度制一、学习目标：1、 了解弧度制的概念，并会用之解决简单问题2、 通过角度与弧度表示圆的弧长及面积，使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，并能相互转换重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算 难点：弧度的概念及其角度的关系。
二、预习案角度制：用角度作为度量角的单位；弧度制：用弧度作为度量角的单位。
（一）、阅读课本，回答下列问题： 1、（请用自己的语言表述）在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？2、作半径不等的甲、乙两个圆，在每个圆上做出等于半径的弧长，连接圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？3、（请同学们用自己的语言表述）1弧度的规定：________________________________。
4、如图：圆O 的半径为1（单位圆），∠AOB 所对的弧长为1，则∠AOB =________rad ； ∠AOC 所对的弧长为1，则∠AOC =_________rad ；周角所对的弧长是圆的周长，为_____，则周角=______°=________rad 。
所以180°=_______rad ； 1°=________rad ≈0.01745 rad ；1rad=_______°≈57.3°=57°18’ 5、弧长公式与扇形面积公式: 在半径为R 的圆中，1、360°角所对的弧长l =_____,面积S=_____;1°角所对的弧长l =_______ ,面积S=________在角度制中，弧长l =___________,面积S=__________ (设所对圆心角为n °)2、2πrad 角所对的弧长l =_____,面积S=______;1rad 角所对的弧长l =______,面积S=________; 在弧度制中，弧长l =_______,面积S= _________ （设所对圆心角为αrad ）=__________(已知所对弧长为l )（二）预习检测：1、下列四个说法中，不正确的是（ ） A 、半圆所对的圆心角是πrad B 、周角的大小等于2πC 、1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D 、大圆中1弧度的角比小圆中1弧度角大 2、6π=_____°,4π=_____°,3π= _____°,2π= _____°120°=________，135°=_______，150°=_______，180°=_________3、把—1480°化为弧度，并写成2k π+α（k ∈Z ）的形式，其中0<α<2π)4、已知扇形AOB 的周长是6cm,该扇形的圆心角是1弧度，求该扇形的面积三、温馨提示：（1） 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0； （2） 角α的弧度数的绝对值|α|=l r（l 为弧长，r 为半径）；（3） 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）； （4） 用角度制和弧度制来度量任意非零角，单位不同，数量也不同；（5） 角度制和弧度制不能混用，如k •360°+3π这种写法是不妥当的。
《任意角和弧度制》 导学案
《任意角和弧度制》导学案一、学习目标1、理解任意角的概念，包括正角、负角和零角。
2、掌握象限角的概念，能够判断给定角所在的象限。
3、理解终边相同角的概念，会用集合表示终边相同的角。
4、理解弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算。
5、能够熟练运用弧度制进行角度的计算和表示。
二、学习重点1、任意角、象限角和终边相同角的概念。
2、弧度制与角度制的换算。
三、学习难点1、对任意角概念的理解，特别是负角和零角。
2、终边相同角的表示。
3、弧度制的理解和应用。
四、知识回顾在初中，我们已经学习了角的概念，角可以看成是由平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
我们所学的角的范围通常是在\（0^｛＼circ}＼）到\（360^｛＼circ}＼）之间。
五、新课导入思考：在生活中，我们经常会遇到超出\（0^｛＼circ}＼）到\（360^｛＼circ}＼）范围的角，比如体操运动员转体\（720^｛＼circ}＼），钟表的指针旋转了\（－120^｛＼circ}＼）等。
那么，如何更广泛地定义角呢？六、任意角的概念1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
2、正角、负角和零角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
3、角的表示：角\（＼alpha\）可以记为“角\（＼alpha\）”或“＼（＼angle\alpha\）”，也可以简记为“＼（＼alpha\）”。
4、象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与\（x\）轴的非负半轴重合。
那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
七、终边相同角的概念所有与角\（＼alpha\）终边相同的角（包括角\（＼alpha\）），均可表示为：＼（＼beta ＝＼alpha ＋ k\cdot 360^｛＼circ}＼），＼（k＼in Z\）。
高中人教版数学必修4《弧度制》精品导学案(含答案)
1.1.2 弧度制课前预习学案一、预习目标：1.了解弧度制的表示方法；2.知道弧长公式和扇形面积公式.二、预习内容初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：1、角的弧度制是如何引入的？2、为什么要引入弧度制？好处是什么？3、弧度是如何定义的？4、角度制与弧度制的区别与联系?三、提出疑惑1、平角、周角的弧度数？2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？课内探究学案一、学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||lα=（l为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆r半径）；4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
二、重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。
三、学习过程（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。
<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号表示，读作。
r的弧所对的圆心角分练习：圆的半径为r，圆弧长为2r、3r、2别为多少？<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r的园的圆心角α所对的弧长为l,那么，角α的弧度数的绝对值是：，α的正负由决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l rr rπαπ-=-=-=-． （三）角度与弧度的换算3602π=rad 180π=rad 1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是：例1、把下列各角从度化为弧度：(1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067︒变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π （2）—34π （3）103π（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.（五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式弧长公式：||l r α=⋅因为||l rα=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=⋅．扇形面积公式：．说明：以上公式中的α必须为弧度单位．例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
高中数学《弧度制》导学案
弧度制学案一，复习回顾，温故知新1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？2. 1°的角是如何定义的？二，探索新知探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时:（1）分别计算相对应的弧长.(l =nπr 180)（2）分别计算对应弧长与半径之比.思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？1,弧度的概念把 叫做1弧度(radian)的角.思考1:圆的半径为r,弧长分别为2r 、3r,则它们所对圆心角的弧度数是多少?思考2：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么角α的弧度数的绝对值如何计算？结论：圆心角AOB 的弧度数等于2.角度与弧度的换算思考3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad 等于多少度？例1：把 67°30′化成弧度。
例2：把下列各角的弧度化为度数。
（1）125π （2）π4例3：填写下列表中特殊角的弧度数或度数。
三，达标检测1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )B ．⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 2．与30°角终边相同的角的集合是( )A {α|α=k ∙360°+π6,k ∈Z} B {α|α=2kπ+30°,k ∈Z }C {α|α=2k ∙360°+30°,k ∈Z }D {α|α=2kπ+π6,k ∈Z} 3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A ．403πB ．203πC ．2003πD ．4003π4．将－1 485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为 ． 四，课堂小结：1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别. 3．度与弧度的相互转换公式。
高中数学 1.1.2弧度制 精品导学案
第一章 §1.1.2 弧度制【学习目标】1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应关系.3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.【学习重点】理解弧度制的概念，能用弧度制表示角，并能进行角度与弧度的换算.【基础知识】1. 弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度，记做1rad. 2.角度制与弧度制的换算：∵ 360︒=2π rad, ∴180︒=π rad. ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π.'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad .3.公式：α⋅=r l . 4扇形面积公式 lR S 21=,其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径. 注意几点：1.在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略,如：3表示3rad ，sin π表示πrad 角的正弦；角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系. 任意角的集合 实数集R【例题讲解】例1、把下列各角从度化为弧度：(1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067︒oR Sl正角 零角 负角正实数 零 负实数变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π （2）—34π （3）103π例3 已知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积.【达标检测】1．若α＝5 rad ，则角α的终边所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( )A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B ．ππ+,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ZC ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D ．π2π+,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z3．圆弧长度等于其圆内接正四边形的边长，则其圆心角的弧度数为( )B A ．π4 B ．π2 C ．2 D ．2 4．2π5化成角度为__________．5．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为__________． 6.在ABC ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。
高中数学《弧度制》导学案
1．1.2弧度制1.角的单位制□1长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作□2弧度，通常略去不写.□3以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．弧度数的计算：2．角度与弧度的换算(1)角度制与弧度制的换算(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表3．扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l ＝□17n πr 180＝□18αr ，扇形的面积：S ＝□19n πr 2360＝□2012lr ＝□2112α·r 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( )(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( )(3)用弧度表示的角都是正角．( )(4)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．做一做(1)(教材改编P 9T 5)在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3 cmB.20π3 cmC.10π3 cmD.50π3 cm答案 B解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3，∴l ＝|α|r ＝20π3.(2)－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．答案 －3π4 660°解析 －135°＝－135×π180＝－3π4，11π3＝113×180°＝660°.探究1弧度制的概念例1下列命题中，假命题是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题．选项A，B，C均为真命题．答案D拓展提升角度制和弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．【跟踪训练1】下列叙述中正确的是()A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案 D解析 弧度是度量角的大小的一种单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小．故选D.探究2 角度和弧度的换算例2 把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′；36°；－5π12；3.5.解 112°30′＝2252×π180＝5π8.36°＝36×π180＝π5.－5π12＝－5π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°. 3．5＝3.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈3.5×57.3°＝200.55°(或200°33′)． 拓展提升用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不写，而用角度制表示角时要特别注意单位“°”不能丢，因为1°与1是完全不同的两个角．【跟踪训练2】 (1)－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6(2)8π5化为度数是( )A ．278°B ．280°C ．288°D ．318°答案 (1)B (2)C解析 (1)－300°＝－300×π180＝－5π3.(2)8π5＝85×180°＝288°.探究3 用弧度制表示角的集合例3 已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．解 (1)2005°＝2005×π180rad ＝401π36rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5×2π＋41π36 rad ， 又π<41π36<3π2，∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2k π＋41π36(k ∈Z )，由－5π≤2k π＋41π36<0，k ∈Z 知k ＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.拓展提升用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．【跟踪训练3】 (1)将－1125°表示成2k π＋α，0≤α<2π，k ∈Z 的形式为________；(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．答案 (1)－8π＋7π4 (2)见解析解析 (1)∵－1125°＝－⎝⎛⎭⎪⎫1125×π180＝－25π4， 而－25π4＝－8π＋7π4，∴－1125°＝－8π＋7π4.(2)因为终边落在OA 处的角θ＝2k π＋5π12，k ∈Z ，终边落在OB 处的角θ＝2k π－π6，k ∈Z ，所以终边落在阴影部分的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . 探究4 扇形的弧长及面积公式的应用例4 (1)已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________cm 2；(2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？解析 (1)设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由圆心角为2 rad ，依据弧长公式可得l ＝2r ，从而扇形的周长为l ＋2r ＝4r ＝8，解得r ＝2，则l ＝4.故扇形的面积S ＝12lr ＝12×4×2＝4 cm 2.(2)设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是l R ＝2(π－1)，扇形的面积是12lR ＝(π－1)R 2.答案 (1)4 (2)见解析拓展提升弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α(0<α<2π)是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．【跟踪训练4】 已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，求：(1)AB ︵的长； (2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)．解 (1)∵120°＝2π3，∴AB ︵的长l ＝2π3×6＝4π.(2)S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×33×3＝93，∴弓形的面积为S 扇形AOB －S △AOB ＝12π－9 3.1.弧度制与角度制的区别与联系(1)区别①单位不同．弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； ②定义不同．(2)联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．2.角度制与弧度制换算时应注意的问题(1)弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应的位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可．(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应该把它理解为名数，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．(3) 用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝π4弧度，不必写成45°≈0.785弧度．(4)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．(5)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2k π＋30°，k ∈Z ；β＝k ·90°＋π4，k ∈Z ，都不正确.1．2145°转化为弧度数为( )A.163B.322C.16π3D.143π12答案 D解析 2145°＝2015×π180 rad ＝143π12 rad.2．α＝－2 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵1 rad ≈57.30°，∴－2 rad ≈－114.60°.故α的终边在第三象限．3．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________．答案 π5，π3，7π15解析 A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则A 占总度数的33＋5＋7＝15； B 占总度数的53＋5＋7＝13； C 占总度数的73＋5＋7＝715. 三角形的内角和为π，则A 为π5，B 为π3，C 为7π15.4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．答案 ⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z 解析 若角α的终边落在第二象限，则2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z . 5．(1)把310°化成弧度；(2)把5π12 rad 化成角度；(3)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．解 (1)310°＝π180 rad ×310＝31π18 rad.(2)5π12 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π×5π12°＝75°. (3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12.θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12<π10<1<7π12，故α<β<γ<θ＝φ.解法二(化为角度)：β＝π10＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝105°.显然，15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.A 级：基础巩固练一、选择题1．下列各式中正确的是( )A ．π＝180B ．π＝3.14C ．90°＝π2 radD ．1 rad ＝π 答案 C解析 A 选项，π rad ＝180°，故错误；B 选项，π≈3.14，故错误；C 选项，90°＝π2rad ，故正确；D 选项，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，故错误．故选C.2．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形圆心角不变C ．扇形面积增大到原来的2倍D ．扇形圆心角增大到原来的2倍答案 B解析 由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B.3．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( )A ．－3π4 B.π4 C.3π4 D ．－π4答案 A解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－3π4.又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4.∴使|θ|最小的θ＝－3π4.4．若α＝2k π－354，k ∈Z ，则角α所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵－9<－354<－8，∴－3π<－354<－3π＋π2.∴－354在第三象限，故α也在第三象限．5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3D ．2答案 C解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3r r ＝ 3.二、填空题6．将－1485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________．答案 －10π＋7π4解析 －1485°＝－1485×π180＝－33π4＝－10π＋7π4.7．扇形AOB ，半径为2 cm ，|AB |＝2 2 cm ，则AB ︵所对的圆心角弧度数为________． 答案 π2解析 ∵|AO |＝|OB |＝2，|AB |＝22，∴∠AOB ＝90°＝π2.8．若角α的终边与8π5角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是________________． 答案 2π5，9π10，7π5，19π10解析 由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.三、解答题9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6，∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β⎪⎪⎪⎭⎬⎫5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z .∵2019°＝219°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫219π180＋10π rad ，又 5π6<219π180<3π2，∴2019°∈S .10．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R .依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2R ＋Rθ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx .于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2xx ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4.故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2·2sin1＝4sin1(cm)．故扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.B 级：能力提升练1．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ，若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，该扇形的最大面积为( )A.C 4B.C 24C.C 216D.C 22答案 C解析 设扇形的半径为R ，则扇形的弧长为C －2R ，则S ＝12(C －2R )R ＝－R 2＋C 2R ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －C 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫C 42，当R ＝C 4，即α＝C －2R R ＝2时，扇形的面积最大，最大面积为C 216.故选C.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇所用的时间及P ，Q 各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4. 即第一次相遇时所用的时间为4秒．P 点走过的弧长为：4π3×4＝16π3，Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3.。
弧度制导学案
弧度制一、学习目标1.理解并掌握弧度制的定义，领会弧度制定义的合理性；2.掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；3.熟练地进行角度制与弧度制的换算；4.理解角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系5.通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.二、重点难点重点是理解弧度制的概念以及角度制与弧度制之间的换算；难点是弧度制概念的理解。
三、自学指导自学课本P6到P8内容，完成下列问题.四、新课学习：1、复习回顾1)、角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 2)、在角度制下 360n 1802r l r n S ππ==扇扇2、新课学习：弧度制的定义：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度。
用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。
在这种规定下，圆周长所对的圆心角为π2rad,半圆所对的圆心角为π rad ，︒90=2πrad,你能继续往下推吗？请你填写书上第6页的表格。
注：1、一般地，正角的弧度数是一个正数（正实数），负角的弧度数是一个负数（负实数），零角的弧度数是零。
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
2、用角度制和弧度制度量零角，单位不同，数量相同；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同。
练习：请你填下列表格。
角度0°15°45°弧度角度 90° 270°弧度更进一步，我们可以得到：︒=180rad π'185730.57)180(101745.01801︒=︒≈︒=≈=︒ππrad radrad利用上面的方法，我们可以把任意一个角度转换成弧度，或将任意一个弧度转化成角度。
例：按照下列要求，把67°30′化成弧度。
1）精确值； 2）精确到0.001的近似值。
弧度制汇报课导学案.doc
§1.1.2弧度制【教学内容分析】(1)弧度制的定义，角度制与弧度制的转换。
(2)弧度制表示的弧长公式，扇形面积公式的应用。
【学习目标】1、知识与技能(1)理解并掌握弧度制的定义；(2)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(3)熟练地进行角度制与弧度制的换算；(4)角的集合与实数集7?之间建立的一一对应关系.(5)使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并掌握弧度制的定义，领会定义的合理性•根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制-一弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.为下一节学习三角函数做好准备.【学习重点】重点：品解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.【学习难点】难点：理解弧度制定义，弧度制的运用.【使用说明和学法指导】在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.(一)课前准备复习1：写出终边在下列位置的角的集合.(1) x轴：_________________ . (2) y轴：_______________ .(3) _________________________ 第三象限：__________________________ . (4)第一、三象限： .复习2：角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的________ 。
这种用度为单位度量角的单位制叫做角度制。
故一周等于 ____ 度，平角等于_____ 度，直角等于 _____ 度.角度制中1° = ' ,1' =60"。
高中数学《弧度制》导学案
第一章三角函数第一节弧度制（第2课时）一、学习目标1.理解认识弧度制的概念。
2.掌握弧度制与角度制的互化。
3.学会解决弧度制相关应用题。
【重点、难点】弧度制与角度制的互化以及相关应用。
二、学习过程【情景创设】1. 在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？2. 半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角为360°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？3.周角是多少度？是多少弧度？4.半圆所对圆心角是多少度？是多少弧度？【导入新课】1、弧度制：(1)1弧度的角：_______________________________；(2)记作：_____或______；(3)定义：________________________________.2、互化：3、弧度数的计算公式：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是：|α|=______.【典型例题】例1：已知圆的半径为2，则弧长为5的弧所对的圆心角α的弧度数为（）。
例2：将下列角度化为弧度，弧度化为角度.(1)75°=（），120°=（），35π=（），74π=（）.【变式拓展】1. 已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为( )A.1B.4C.1或4D.2或42.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C（C>0），该扇形的最大面积为（）。
222C C C CA. B. C. D.44162三、总结反思1.对弧度制定义及角度制与弧度制互化的四点说明(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的值.(2)用弧度与度去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的.(3)任意角的弧度数与实数的对应关系①正角：正角的弧度数是一个正数.②负角：负角的弧度数是一个负数.③零角：零角的弧度数是0.2.扇形周长及面积的最值问题的求解技巧(1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围.特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l<2πr.(2)当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值.其求法是把周长L转化为关于r的函数，但要注意r的取值范围.四、随堂检测设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角是( )。