..弧度制学案(人教A版必修)

1.1.2 弧度制

自主探究 1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的

1

360

为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad.

(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存

在的关系是：|α|＝l

r

；这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定．正角的弧度数是一个正数，

负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

2．角度与弧度的互化 (1)360°＝2πrad,180°＝π rad.

(2)1°＝π

180 rad ≈0.017_45rad ，

1rad ＝????180π°

≈57°18′＝57.30°. 3．扇形的弧长及面积公式

我们已经学过弧长公式和扇形面积公式，请写出这两个公式，并根据“一周角(即

360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．

解 半径为r ，圆心角n °的弧长公式为：l ＝nπr

180

，

扇形面积公式为S 扇＝nπr

2360

.

∵l 2πr ＝|α|

2π

，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π

，∴S 扇＝1

2|α|r 2.

∴S 扇＝12|α|r 2＝1

2lr .

名师点拨 1.

弧度的概念

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．如

图所示，圆O 的半径为r ，AB 的长为r ，∠AOB 就是1弧度的角，记为∠AOB ＝1 rad. 注意：可以证明，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关．

2．弧度数

(1)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l

r

.这里，

α的正负由角α的终边的旋转方向决定．

注意：①使用公式|α|＝l

r

求角α时，得出的是角α的弧度数的绝对值大小，其正负由角α

终边的旋转方向决定．②角α与所在圆的半径大小无关，是由比值l

r

唯一确定的．③公式中角

α是弧度数，不是角度数．

(2)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

3．角度与弧度之间的转化 一般地，我们只需根据

180°＝π rad 1°＝

π

180

rad ≈0.017 45 rad 1 rad ＝????180π°≈57.30° 就可以进行弧度与角度的换算了．

注意：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应

的弧度数．例如，角α＝2就表示α是2 rad 的角，sin π3就表示π3 rad 的角的正弦，即sin π

3

＝

sin 60°.

典例剖析

一、角度制与弧度制的换算

例1 (1)把11°15′化成弧度；(2)把4π

5

rad 化成度．

分析 先将11°15′化为11.25度，然后乘以π180 rad ，即可将11°15′化成弧度.4π5乘以

180°

π即可化为角度．

解 (1)∵11°15′＝11.25°，

∴11°15′＝π180 rad ×11.25＝π

16

rad.

(2)4π5 rad ＝4π5×180°π

＝144°. 点拨 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可

解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°

π

即可．

二、利用弧度制表示终边相同的角

例2 把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：

(1)－1 500° (2)23

6

π (3)－4

解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π

3

∴－1 500°与5

3

π终边相同，是第四象限角．

(2)236π＝2π＋116

π，

∴236π与11

6π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)

∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．

点拨 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用． 三、弧长、扇形面积的有关问题 例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

分析 扇形周长等于2个半径2r ，加上弧长l ，即有：2r ＋l ＝40.而面积S ＝1

2

lr ，这样可

以由l ＝40－2r 代入S ＝1

2

lr ，从而建立一元二次函数，进一步可以求出最大面积．

解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .

∴S ＝12lr ＝1

2×(40－2r )r ＝20r －r 2

＝－(r －10)2＋100.

∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2， 此时θ＝l r ＝40－2×1010

＝2 rad.

点拨 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数最值问题．

变式训练

1．将下列角按要求转化： (1)8

5

π＝________度； (2)300°＝________rad ； (3)－22°30′＝______rad.

答案 (1)288 (2)5π3 (3)－π

8

2．将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是______．

答案 －10π＋7

4

π

解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，

∴－1 485°可以表示为－10π＋7

4

π.

3．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，

根据扇形面积公式S ＝1

2

lR ，

得1＝1

2

(4－2R )·R ，

∴R ＝1，∴l ＝2，

∴α＝l R ＝2

1

＝2，即扇形的圆心角为2 rad.

一、选择题

1．集合A ＝?

???

??α|α＝kπ＋π2，k ∈Z 与集合B ＝?

???

??

α|α＝2kπ±π2

，k ∈Z 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ?B C ．B ?A D ．以上都不对

答案 A

2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )

A ．2

B ．sin 2 C.2

sin 1

D ．2sin 1

答案 C

解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2

sin 1.

3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )

A ．1或4

B ．1或2

C ．2或4

D ．1或5 答案 A

解析 设扇形半径为r ，圆心角为α，

则?????

2r ＋αr ＝612αr 2

＝2

，解得????? r ＝1α＝4或?????

r ＝2α＝1.

4．已知集合A ＝{α|2kπ≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )

A ．?

B ．{α|－4≤α≤π}

C ．{α|0≤α≤π}

D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} 答案 C

解析 集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．

5．扇形圆心角为π

3

，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )

A ．1∶3

B ．2∶3

C ．4∶3

D ．4∶9 答案 B

解析 设扇形内切圆半径为r ，则r ＋r

sin

π6＝r ＋2r ＝a .

∴a ＝3r ，S 内切＝πr 2.

S 扇形＝12αr 2＝12×π

3×a 2

＝12×π3×9r 2＝32

πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3. 二、填空题

6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为______． 答案 25

解析 216°＝216×π180＝6π

5，

l ＝30π＝α·r ＝6π

5

r ，∴r ＝25.

7．若2π<α<4π，且α与－7π

6

角的终边垂直，则α＝______.

答案 73π或103

π

解析 －76π＋72π＝146π＝7

3

π，

－76π＋92π＝206π＝103

π. 8．若角α的终边与角π

6

的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.

答案 －11π3，－5π3，π3，7π

3

解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝7

3

π，

π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 三、解答题

9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．

解 (1)?

???

??

α|2kπ－π6≤α≤2kπ＋512π，k ∈Z .

(2)?

???

??

α|2kπ－34π≤α≤2kπ＋34π，k ∈Z .

(3)????

??

α|kπ＋π6≤α≤kπ＋π2，k ∈Z . 10．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是

多少？

解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，

从而S ＝12·l ·r ＝1

2

(30－2r )·r

＝－r 2＋15r ＝－????r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×15

2

＝15 cm ，

扇形面积的最大值是225

4

cm 2，

这时α＝l

r ＝2 rad.