最新人教版九年级数学上册PPT课件 22.2二次函数与一元二次方程
(3)确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
例4:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( B ) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
解 （1）由抛物线的表达式得
2.1 - x2 6 x 8
10 10 5
即
x2 6x 5 0
解得
x1=1，x2 =5.
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始
位置的水平距离是1m或5m.
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始 位置的水平距离是多少？
（2）由抛物线的表达式得
2.5 - x2 6 x 8 10 10 5
即
x2 6x 9 0
解得 x1=x2 =3.
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位
置的水平距离是3m.
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
（3）由抛物线的表达式得
x2 6 8 3- x
10 10 5
即 x2 6x 14 0 因为 =（-6）2-4114 0， 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m.
二次函数 y=ax2+bx+c的 图象与x轴交点
有两个交点
有两个重合 的交点 没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个不相等 的实数根
有两个相等的实 数根
没有实数根
b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都 有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1.
例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 y - x2 6 x 8 运行，其中x是铅球离初始位置的水平
-1 O 3 x
拓广探索：
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=2的根是 _x_1_=_-_2_，__x_2_=_4___;
不等式ax2+bx+c>2的解集是x<-2或x>4
___________;
-2<x<4 y
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.
(-2,2)
A. 3< x < 3.23
2
(4,2)
-1 O
3
x
问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有 _1___ 个交点，坐标是_(_2_,0_)__.方程ax2+bx+c=0的根是 _x_=_2___.
O
2
x
问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根， 那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有__0____个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需
要多少飞行时间？ 解方程：
20.5 h
20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0,
O
t
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
你能结合图形指出
所以方程无解.
为什么球不能达到
即球的飞行高度达不到20.5米. 20.5m的高度?
（4）球从飞出到落地要用多少时间？ h=20t-5t2
(3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0;
x1=-1 , x2=2 1 ＜ x＜2 x1＜-1 , x2＞2 x=2 x≠2的一切实数 x无解 x无解 x无解
y
-1
2
0
x
y= -x2+x+2
y
x2-4x+4=0
02
xபைடு நூலகம்
y -x2+x-2=0
0
x
③-x2+x-2<0.
x为全体实 数
知识要点
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
解得
x1＝1，x2＝
2 m
.
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总
有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2 与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)， B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
10 10 5
距离，y是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的 水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置 的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达 到3m？为什么？
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位 置的水平距离是多少？
抛物线与x轴 公共点 公共点个数 横坐标
0个
1个
0
2个
-2, 1
相应的一元二次 方程的根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2 1
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0根的关系
思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如 果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐 标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二 次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表：
y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象 可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个 在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个 根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
-0.4 -0.5
…
y
…
-0.04 0.25
…
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的 y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0， 即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这 时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接 近0.故x1≈-0.4.
h=20t-5t2， 考虑以下问题：
讲授新课
一 二次函数与一元二次方程的关系 h=20t-5t2 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多
少飞行时间？
h
15
O1
3
t
解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3.
你能结合上图，指出 为什么在两个时间求 的高度为15m吗？
一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.
ax2 bx c=M
y ax2 bx c(a 0)
yM
三 利用二次函数求一元二次方程的近似解
例3：求一元二次方程 x2 2x 1 0 的根的近似值（精
确到0.1）.
分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从 图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法 叫作图象法.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.
方一法元归二纳次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根 . (1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；
(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的 横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3, 另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十 等分,借助计算器确定其近似值);
四 二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
合作探究
问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 _x_1_=_-_1， x2_=_3___; 不等式ax2+bx+c>0的解集 是_x_<_-1_或___x_>_3__;
y
不等式ax2+bx+c<0的解集 是_-1_<_x_<__3___.
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称
轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的
距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
例4:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( B ) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
解 （1）由抛物线的表达式得
2.1 - x2 6 x 8
10 10 5
即
x2 6x 5 0
解得
x1=1，x2 =5.
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始
位置的水平距离是1m或5m.
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始 位置的水平距离是多少？
（2）由抛物线的表达式得
2.5 - x2 6 x 8 10 10 5
即
x2 6x 9 0
解得 x1=x2 =3.
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位
置的水平距离是3m.
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
（3）由抛物线的表达式得
x2 6 8 3- x
10 10 5
即 x2 6x 14 0 因为 =（-6）2-4114 0， 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m.
二次函数 y=ax2+bx+c的 图象与x轴交点
有两个交点
有两个重合 的交点 没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个不相等 的实数根
有两个相等的实 数根
没有实数根
b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都 有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1.
例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 y - x2 6 x 8 运行，其中x是铅球离初始位置的水平
-1 O 3 x
拓广探索：
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=2的根是 _x_1_=_-_2_，__x_2_=_4___;
不等式ax2+bx+c>2的解集是x<-2或x>4
___________;
-2<x<4 y
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.
(-2,2)
A. 3< x < 3.23
2
(4,2)
-1 O
3
x
问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有 _1___ 个交点，坐标是_(_2_,0_)__.方程ax2+bx+c=0的根是 _x_=_2___.
O
2
x
问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根， 那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有__0____个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需
要多少飞行时间？ 解方程：
20.5 h
20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0,
O
t
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
你能结合图形指出
所以方程无解.
为什么球不能达到
即球的飞行高度达不到20.5米. 20.5m的高度?
（4）球从飞出到落地要用多少时间？ h=20t-5t2
(3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0;
x1=-1 , x2=2 1 ＜ x＜2 x1＜-1 , x2＞2 x=2 x≠2的一切实数 x无解 x无解 x无解
y
-1
2
0
x
y= -x2+x+2
y
x2-4x+4=0
02
xபைடு நூலகம்
y -x2+x-2=0
0
x
③-x2+x-2<0.
x为全体实 数
知识要点
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
解得
x1＝1，x2＝
2 m
.
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总
有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2 与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)， B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
10 10 5
距离，y是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的 水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置 的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达 到3m？为什么？
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位 置的水平距离是多少？
抛物线与x轴 公共点 公共点个数 横坐标
0个
1个
0
2个
-2, 1
相应的一元二次 方程的根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2 1
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0根的关系
思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如 果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐 标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二 次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表：
y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象 可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个 在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个 根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
-0.4 -0.5
…
y
…
-0.04 0.25
…
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的 y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0， 即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这 时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接 近0.故x1≈-0.4.
h=20t-5t2， 考虑以下问题：
讲授新课
一 二次函数与一元二次方程的关系 h=20t-5t2 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多
少飞行时间？
h
15
O1
3
t
解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3.
你能结合上图，指出 为什么在两个时间求 的高度为15m吗？
一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.
ax2 bx c=M
y ax2 bx c(a 0)
yM
三 利用二次函数求一元二次方程的近似解
例3：求一元二次方程 x2 2x 1 0 的根的近似值（精
确到0.1）.
分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从 图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法 叫作图象法.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.
方一法元归二纳次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根 . (1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；
(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的 横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3, 另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十 等分,借助计算器确定其近似值);
四 二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
合作探究
问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 _x_1_=_-_1， x2_=_3___; 不等式ax2+bx+c>0的解集 是_x_<_-1_或___x_>_3__;
y
不等式ax2+bx+c<0的解集 是_-1_<_x_<__3___.
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称
轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的
距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则
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人教版九年级上册数学课件：二次函数与一元二次方程
x
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
归纳:
当二次函y数 a x2 bxc,当给定y的值时,则二次函数
可转化为一元二次. 方程
如:二次函数 y x24x的值为 3,求自变量 x的值, 可以解一元二次方x程 2 4x 3(即x2 4x30). 反过来,解方程x2 4x30又可以看作已知二次 函数y x24x3的值为 0,球自变量 x的值.
如果h=20，那50-20t2= 20 ，
如果h=0，那50-20t2= 0 。 如果要想求t的值，那么我们可以求 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
的解。
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
问题:王明手里抛出的篮球的飞行路线是一条抛物线,如果
不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
呢？
∴当球飞行2s时，它的高度为4m。 （3）解方程4.1=4t-t2 即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，
从上面我们看出， 对于二次函数 高为个度什时为么间3在球mh其 二两的=？实 次4就 方（t –是程4t）∴2把的t中球1解=函解的，0方,t飞数。程已2=行0值4知=高4hht换度-的t2达成值不常，即到数：求4.，1t时2m-求4间。t=一t0，元
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
拓展升华
二次函数 yax2 bxc(a0)的图像如图，
根据图像解答下列问题：
（1）写出方程 ax2bxc0的两个根；
人教版数学九年级上册二次函数与一元二次方程课件PPT
h 15
O1
3
t
你能结合图形指出
为什么在两个时间
球的高度为15m？
?
人教版数学九年级上册22.2.1二次函 数与一 元二次 方程课 件
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能， 需要多少飞行时间？ ( h=20t-5t2)
你能结合图形指出 为什么只在一个时间 球的高度为20m？
人教版数学九年级上册22.2.1二次函 数与一 元二次 方程课 件
人教版数学九年级上册22.2.1二次函 数与一 元二次 方程课 件
利用二次函数的图象求方程x2-2x-2=0的实
数根（精确到0.1）.
归纳：利用二次函数的
y
Y=x2-2x-2
图象求一元二次方程的
步骤是什么？
步骤:(1)作出函数图象 (2)写出交点的横坐标 (3)得出方程的解.
. (-0.7,0)
. (2.7,0)
练习： 1、抛物线y=x2-x+m与x轴有两个交点，
则m的取值范围是 m﹤1/4 。
2、如果关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等 的实数根，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有
两 个交点。 3、抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为（C）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无法确定
人教版数学九年级上册22.2.1二次函 数与一 元二次 方程课 件
?
人教版数学九年级上册22.2.1二次函 数与一 元二次 方程课 件
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能， 需要多少飞行时间？ ( h=20t-5t2)
20.5 h
O
t
你能结合图形指出
为什么球不能达到 20.5m的高度?
O1
3
t
你能结合图形指出
为什么在两个时间
球的高度为15m？
?
人教版数学九年级上册22.2.1二次函 数与一 元二次 方程课 件
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能， 需要多少飞行时间？ ( h=20t-5t2)
你能结合图形指出 为什么只在一个时间 球的高度为20m？
人教版数学九年级上册22.2.1二次函 数与一 元二次 方程课 件
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利用二次函数的图象求方程x2-2x-2=0的实
数根（精确到0.1）.
归纳：利用二次函数的
y
Y=x2-2x-2
图象求一元二次方程的
步骤是什么？
步骤:(1)作出函数图象 (2)写出交点的横坐标 (3)得出方程的解.
. (-0.7,0)
. (2.7,0)
练习： 1、抛物线y=x2-x+m与x轴有两个交点，
则m的取值范围是 m﹤1/4 。
2、如果关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等 的实数根，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有
两 个交点。 3、抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为（C）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无法确定
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?
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（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能， 需要多少飞行时间？ ( h=20t-5t2)
20.5 h
O
t
你能结合图形指出
为什么球不能达到 20.5m的高度?
人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT优秀课件
函数
与一元二次方程
人教版九年级上册数学
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
___x___是自变量，__y__是__x__的函数。
当 y = 0 时， ax²+ bx + c = 0
ax²+ bx + c = 0
这是什么方程？ 一元二次方程与二次函数 有什么关系？
上一章中我们学习了“一元二次方程”
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
探究
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1） y = 2x2＋x－3
y
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1
o
x
令 y= 0，解一元二次方程的根
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的 飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
探究
（1） y = 2x2＋x－3 y
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
3
o
x 1 =－ ，x 2 = 1
x
2
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
人教版九年级数学上册二次函数与一元二次方程精品课件PPT
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第2课时
人 教 版 九 年 级数学 上册22 .2 二 次 函 数 与 一元 二次方 程2 课 件
会利用二次函数图象求一元二次方程的根． 【例 1】利用二次函数的图象求一元二次方程 x2＋2x－2＝0 的近似根．(精 确到 0.1) 【思路分析】 先画图象，然后观察图象与 x 轴交点的横坐标，该横坐标 就是方程的根．
人 教 版 九 年 级数学 上册22 .2 二 次 函 数 与 一元 二次方 程2 课 件
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解：(1)解方程 x2＋4x－5＝0 得 x1＝－5，x2＝1，∴A(－5,0)，B(1,0)，可设 抛物线为 y＝a(x＋5)(x－1)，即 y＝ax2＋4ax－5a，则 D 点坐标为(－2，－
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10．已知函数 y＝x2－4x＋3. (1)画出函数的图象； 解：画函数 y＝x2－4x＋3 的图象如图所示.
(2)根据图象说明 x 取何值时，y＝0，y＞0，y＜0? 解：由图可知，当 x＝1 或 x＝3 时，y＝0；当 x＞3 或 x＜1 时，y＞0；当 1 ＜x＜3 时，y＜0.
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3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ( D)
22.2 二次函数与一元二次方程 第2课时
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会利用二次函数图象求一元二次方程的根． 【例 1】利用二次函数的图象求一元二次方程 x2＋2x－2＝0 的近似根．(精 确到 0.1) 【思路分析】 先画图象，然后观察图象与 x 轴交点的横坐标，该横坐标 就是方程的根．
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解：(1)解方程 x2＋4x－5＝0 得 x1＝－5，x2＝1，∴A(－5,0)，B(1,0)，可设 抛物线为 y＝a(x＋5)(x－1)，即 y＝ax2＋4ax－5a，则 D 点坐标为(－2，－
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10．已知函数 y＝x2－4x＋3. (1)画出函数的图象； 解：画函数 y＝x2－4x＋3 的图象如图所示.
(2)根据图象说明 x 取何值时，y＝0，y＞0，y＜0? 解：由图可知，当 x＝1 或 x＝3 时，y＝0；当 x＞3 或 x＜1 时，y＞0；当 1 ＜x＜3 时，y＜0.
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3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ( D)
九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程课件 (新版)新人教版.ppt
可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图 所示)，它与x轴的公共点的横坐 标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7.
8 6 4 2
－4 －2 －2 －4
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
o
x
x 1 =－
3 2
，x 2 = 1
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
二次函数的两点式
y =a（x－x1）（x－ x 1）
15
典例精析
y
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0
20 h
O
4
t
t1=t2=2.
你能结合图形指出为什
当球飞行2秒时，它的高度为20米. 么只在一个时间球的高 度为20m？
10
课堂探究
h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少
飞行时间？ 解方程：
20.5 h
20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程 无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
只有一个交点 有两个相等的实数根 b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0
19
随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图 所示)，它与x轴的公共点的横坐 标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7.
8 6 4 2
－4 －2 －2 －4
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
o
x
x 1 =－
3 2
，x 2 = 1
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
二次函数的两点式
y =a（x－x1）（x－ x 1）
15
典例精析
y
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0
20 h
O
4
t
t1=t2=2.
你能结合图形指出为什
当球飞行2秒时，它的高度为20米. 么只在一个时间球的高 度为20m？
10
课堂探究
h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少
飞行时间？ 解方程：
20.5 h
20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程 无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
只有一个交点 有两个相等的实数根 b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0
19
随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程
2
3
4
5
6
7
7.利用二次函数的图象求方程1
1 2
x +x+2=0的近似解(精确到0.1).
2
解: 函数 y=-2x2+x+2 的图象如图.
1 2
设-2x +x+2=0
的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
1
因为当 x=-1 时,y=-2×(-1)2-1+2=0.5>0,
的交点个数是3.故选A.
A
解析
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3.已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且
当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(
)
A.a≥-2
B.a<3
C.-2≤a<3
D.-2≤a≤3
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
4.(2023·浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说
1
时,y=-2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
当 x=-1.5
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3
1 2
时,y=-2×3 +3+2=0.5>0,当
1
时,y=- ×3.52+3.5+2=-0.625<0,
人教版数学九年级上册2二次函数与一元二次方程课件
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点
D. 不能确定
4. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根， 则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.
5. 已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.
6. 若抛物线 y=x2 + bx+ c 的c =0
22.2 二次函数与一元二次 方程
复习
二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由 什么决定呢？ 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质： (1)顶点坐标与对称轴； (2)位置与开口方向； (3)增减性与最值．
活动
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示． (1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程 x2－2x＋2＝0有根吗？
D. 0
2. 抛物线y＝4x2－4x－1与x轴的交点的个数是
.
3. 已知抛物线y＝(a＋2)x2＋2x＋1与x轴没有交点，则a的取值范围
是
.
利用二次函数的图象求一元二次方程的近 似根
根据二次函数与一元二次方程的关系，可得函数图象与x轴的交点 的横坐标就是相应的方程的解.
例题
如图22－2－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点 A(3,0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，则图象与x轴的另一个 交点坐标是
的根的情况是＿＿＿＿＿.
7. 已知抛物线y＝x2－ m x＋m－１. (1)若抛物线经过坐标系原点，则m______ (2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m____ (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______ (4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
《二次函数与一元二次方程》参考PPT课件
有两个不相 等的实数根
b2 – 4ac > 0
只有一个交点 有两个相等的 实数根
b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0 16
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1－2 ， x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐
标是＿＿(＿-2＿，＿0)＿(＿5/＿3，. 0)
19
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
20.5 m
6
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
7
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图
象与x轴交点情况是（ C ）
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
17
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
个相等的实数根，则m=＿1＿＿，此时抛物线 y=x2－ 2x+m与x轴有＿1＿个交点.
九年级数学上册第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程同步课件新版新人教版
教学课件
数学 九年级上册 RJ版
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
22.2 二次函数与一元二次方程
1、学习二次函数与一元二次方程的关系 2、会用一元二次方程解决二次函数图象
与x轴的交点问题
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其 图象有关的问题。
如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物 线形拱桥的跨度、拱高的计算等．
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c 是一个一元二次方程。
如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋 转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数 y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求 水流的落地点D到A的距离是多少？
y
弄清一种关系----函数与一元二次方程的关系
如果抛物线 y=ax2 +bx+c 与x轴有公共点(x0 ,o),那么x=x0 就是方程 ax2 +bx+c=0的一个根.
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个交点
有两个相异的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式
B
-1
A0
Dx
想一想，这一个旋转喷水头，水流落地来自盖的最大面 积为多少呢？分析：根据图象可知，水流的 落地点D的纵坐标为0，横坐 标即为落地点D到A的距离。 即：y=0 。
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第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
22.2 二次函数与一元二次方程
1、学习二次函数与一元二次方程的关系 2、会用一元二次方程解决二次函数图象
与x轴的交点问题
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其 图象有关的问题。
如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物 线形拱桥的跨度、拱高的计算等．
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c 是一个一元二次方程。
如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋 转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数 y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求 水流的落地点D到A的距离是多少？
y
弄清一种关系----函数与一元二次方程的关系
如果抛物线 y=ax2 +bx+c 与x轴有公共点(x0 ,o),那么x=x0 就是方程 ax2 +bx+c=0的一个根.
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个交点
有两个相异的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式
B
-1
A0
Dx
想一想，这一个旋转喷水头，水流落地来自盖的最大面 积为多少呢？分析：根据图象可知，水流的 落地点D的纵坐标为0，横坐 标即为落地点D到A的距离。 即：y=0 。