八年级数学下册第18章平行四边形18.1平行四边形18.1.1平行四边形的性质第1课时课件新版新人教版
B
【例题】
【例2】在
【解析】
ABCD中,已知∠A=52 °，求其余三个角的度数。
A D
∵四边形ABCD是平行四边形 且∠A=52°（已知)
52° B C
∴ ∠A=∠C=52°（平行四边形的对角相等） 又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行） ∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180º－ 52°=128 °
或
在 ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，（平行四边形的对边相等） ∠A= ∠C, ∠B= ∠D.（平行四边形的对角相等）
【例题】
【例1】如图，已知 ABCD中，AD=3,BD⊥AD, 且BD=4, 你能求出平行四边形的周长吗?
D 3
C
4
【解析】 ∵BD ⊥AD A ∴ ∠ADB=90 ° 在Rt △ADB中，AD=3，BD=4 ∴AB= 42 32 = 5（勾股定理） 又∵四边形ABCD为平行四边形（已知） ∴ AD=BC=3 （平行四边形对边相等） AB=DC=5 ∴ □ABCD的周长=2(AD+AB) =2×(3+5) =16
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证：AB=CD，BC=DA；
∠B=∠D，∠A=∠C. 证明：连接AC
4 1
2 3
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ，AB∥CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 在△CDA和 △ABC中， ∠1＝∠2， AC＝CA， ∠3＝∠4， ∴ △CDA ≌△ABC（ASA），
一组对边平行， 一组对边不平行
两组对边 分别平行
平行四边形
四边形
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
【归纳】
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 如图：四边形ABCD是平行四边形 记作：□ ABCD 2.平行四边形不相邻的两个顶 B 点连成的线段叫平行四边形的对角线． 线段AC、BD就是 ABCD的两条对角线. 3.平行四边形相对的边称为对边,相对的角称为对角. 对边：AB与CD; BC与DA.对角: ∠ABC与∠CDA; ∠BAD 与∠DCB. C A D
2.（广州·中考）已知□ABCD的周长为32，AB=4，则 BC=（ ）
A. 4
B. 12
C. 24
D. 28
【解析】选B.根据平行四边形的性质可以得出AB=CD， BC=AD，又因AB+CD+BC+AD=32，所以BC=12.
3.(河北•中考)如图，在□ ABCD中，AC平分
∠DAB，AB=3，则□ ABCD的周长为（ A.6 C.12 B.9 D.15 ）
B A B
3.两条平行线间的距离是否 相等？
结论：两条平行线之间的距离处处相等.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做
平行四边形. 2、平行四边形的性质：对边平行 对角相等 对边相等 邻角互补.
3、两条平行线之间的任何平行线段都相等.
4.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直
线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
1.平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数
为（ A.60° ） B.80° C.100° D.120°
【解析】选C.因为平行四边形邻角互补,所以
∠A+∠B=180°,又因为∠A比∠B大20°，所以
∠A=100°，又因为平行四边形对角相等，所以 ∠C=∠A= 100°.
E
C
A
l1
l2
F D B
【归纳】 两条平行线之间的任何平行线段都相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直 线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
【议一议】 1.如图，l1 ∥ l2 ，AB∥CD，则 AB与CD是否相等，为什么？ 2.长方形是平行四边形吗？
A D l1 C l2 D C
第十八章
18.1
平行四边形
平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时
1.理解并掌握平行四边形的定义，会用定义识
别平行四边形 .
2.掌握平行四边形的性质，会初步运用这些性 质进行有关的证明和计算 . 3.理解两条平行线之间的距离的概念 .
观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
两组对边都不平行
Байду номын сангаас
【跟踪训练】
如图，在□ABCD中,根据已知你能得到哪些结论？为什
么?
A 30cm
56° B 124°
32cm 56°
D
30cm
32cm
124° C
归纳：平行四边形中,知道其中一角可求出另外三个角的度
数.知道其中相邻的两边可求出另外两边的长度.
【猜一猜】 如图，l1 //l2, 线段AB//CD//EF, 且点A、C、E在 l1上，B、D、F在l2上，则AB、CD、EF的长短相等 吗？为什么？
平行四边形可以由两个全等的三角形组成，因此在解决
平行四边形的问题时，通常可以连接对角线转化为两个全等
的三角形进行解题.
【想一想】 平行四边形的边、角有怎样的数量关系？
请用直尺、量角器等工具度量你手中平行四边形的 边和角，并记录下数据，验证猜想AB=DC，AD=BC， ∠A=∠C，∠B=∠D是否正确. 用你以前所学的知识证明猜想.
【解析】选C.∵四边形ABCD是平行四边形.
∴∠DAB=∠DCB，AB∥CD，AB=CD,AD∥BC，AD=BC，
又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC ∴∠DAC=∠DCA,∴AD=DC.又∵AB=3, ∴□ABCD的周长为AB+BC+CD+DA=4AB=12.
4.如图，在□ ABCD中， ∠B=110°，延长AD至F，延长 CD至E，连接EF，则∠E+∠F的值为（ ）
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B C
D 记作：
ABCD
读作：平行四边形ABCD
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵
AB∥CD， AD∥BC，
∴
AB∥CD， AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
【跟踪训练】
用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行 四边形？ 从拼图可以得到什么启示？
∴ CD=AB， DA=BC， ∠D=∠B
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3， 即∠BAD＝∠BCD.
【归纳】
平行四边形的性质
定理1：平行四边形的对边相等
定理2：平行四边形的对角相等
几何语言：
D C
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
A
B
∴ AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等） ∠A= ∠C, ∠B= ∠D.（平行四边形的对角相等）
18.1.1+平行四边形的性质+第1课时+课件-2020-2021学年人教版数学八年级下册
定理1：平行四边形的两组对边分别相等
定理2：平行四边形的两组对角分别相等
D
C
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
A
B
∴ AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）
在 ABCD中， AB＝CD，AD＝BC． （平行四边形的对边相等）
பைடு நூலகம்
124°
B
32cm C
自学提示： 自学内容：自学课本42页例1至43页练习上面的 内容，完成下列问题： 1、两条平行线之间的距离和点与点的距离、点 到直线的距离有何联系与区别？ 2、试着用其他方法证明例1 。 自学方法：认真看书，理解两条平行线之间的 距离，先自学，然后组内交流。
课堂小结
• 通过本节课的学习，你有什么收获？
猜想： AB=DC， AD=BC ∠A=∠C，∠B=∠D
AB 边、角
数据
CD
AD BC ∠A
∠B
∠C
∠D
自主学习（小组合作完成下列问题）
三、用以前所学过的知识能否证明出自己的猜想？
已知：AD//BC， AB//CD 求证：ABCD， AD BC
DA BBC，D ABC CDA
D
C
A
B
思考：
∴∠A=∠C （平行四边形的对角相等）
∵ ∠A+∠C=200° ∴∠A= 100°
又∵AD∥BC(平行四边形的对边平行)
∴∠B= 180 °－∠A= 180º－ 100°=80°
例2：
如图 小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形 的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?
2019春八年级数学下册第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.1平行四边形的性质第2课时平行四边形的对角
第十八章 平行四边形
体会图形
体会图形性质探O. OA 与OC,OB 与OD 有什
_________. OA=OC ，OB=OD. 例1如图，已知平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△DOA 的周
第1题图第2题图
ABCD中，对角线相交于点O，△AOB的周长为
，若平行四边形ABCD的周长为
方法总结：
平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形
面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
例5如图，AC,BD 交于点O ，EF 过点O,平行四边形ABCD 被EF 所分的两个四边形面积相等吗？
变式题如图，AC,BD 交于点O ，EF 过点O,平行四边形ABCD 被EF 所分的两个四边形面积相等吗？
二、课堂小结
第1题图第2题图第3题图
第4题图第5题图第6题图
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点AC，AB=3，AD=5，则
的对角线相交于点O，且AB
能力提升
8.如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AC=24，BD=18，AB=16,求△OCD的周长及AD边的取值范围．。
18.1.1平行四边形的性质平行四边形的边、角特征(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对平行四边形的性质表现出很大的兴趣。通过引入日常生活中的实例，他们能够更直观地理解平行四边形的概念。在理论讲授环节，我注意到有些学生对对角线互相平分的性质理解起来有些困难，这需要我在今后的教学中更加注意方法的多样性和逐步引导。
课堂上，我尝试用不同的案例和图示来解释平行四边形的性质，这样做的效果还不错，学生们能够跟上课程的节奏。在实践活动和小组讨论中，我发现学生们积极参与，乐于分享自己的想法，这有助于他们更好地消化和吸收知识。但同时，我也观察到有些学生在讨论中较为沉默，我需要找到方法鼓励他们更积极地参与到课堂互动中来。
18.1.1平行四边形的性质平行四边形的边、角特征（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版八年级数学下册第十八章“平行四边形”，具体内容为18.1.1平行四边形的性质——平行四边形的边、角特征。教学内容主要包括以下几点：
1.理解平行四边形的定义，掌握其基本性质。
2.掌握平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平行四边形的基本概念。平行四边形是具有两对对边平行的四边形。它在几何学中具有重要地位，广泛应用于日常生活和各类工程设计。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个实际图形，展示平行四边形在实际中的应用，以及如何利用其性质解决相关问题。
4.培养学生的数学抽象和数学运算能力，使学生能够从具体实例中抽象出平行四边形的性质，并在解决问题时进行准确运算。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握平行四边形的定义及其性质，特别是对边相等、对角相等、对角线互相平分的特性。
-学会运用平行四边形的性质解决具体问题，如计算未知长度或角度等。
初中数学：18.1.1 平行四边形的性质(人教版八年级数学下册第十八章平行四边形)
18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角的特征1.理解平行四边形的定义及有关概念。
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。
3.了解平行四边形在实际生活中的应用，能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。
重点：平行四边形的概念和性质。
难点：如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法.1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．探究点一：平行四边形的定义如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求边长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB ＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．【类型二】利用平行四边形的性质求角如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为A．35°B．55°C．25°D．30°解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论如图，点G 、E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP ，EP .求证：FP ＝EP .解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC ＝∠GCB ，根据等腰三角形性质求出∠DGC ＝∠DCG ，推出∠DCG ＝∠GCB ，根据“等角的补角相等”求出∠DCP ＝∠FCP ，根据“SAS”证出△PCF ≌△PCE 即可得出结论．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DGC ＝∠GCB .∵DG ＝DC ，∴∠DGC ＝∠DCG ，∴∠DCG ＝∠GCB .∵∠DCG ＋∠ECP ＝180°，∠GCB ＋∠FCP ＝180°，∴∠ECP ＝∠FCP .在△PCF 和△PCE ＝CE ，FCP ＝∠ECP ，＝CP ，∴△PCF ≌△PCE (SAS)，∴PF ＝PE .方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．【类型四】判断直线的位置关系如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ，M 为AB 的中点，连接DM 、MC ，试问直线DM 和MC 有何位置关系？请证明．解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM ＝∠MDC ，则∠MDC ＝12∠ADC ，同理∠MCD ＝12∠BCD .∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠DCB ＝180°，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋12∠ADC ＝90°.∵∠MDC ＋∠MCD ＋∠DMC ＝180°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．探究点三：两平行线间的距离如图，已知l1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴△EGO 的面积等于△FHO 的面积．方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．第2课时平行四边形的对角线的特征1.探索并掌握平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.2.会运用平行四边形的性质进行推理和计算.重点：平行四边形的对角线互相平分.难点：平行四边形性质的灵活运用及几何计算题的解题表达.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.探究点一：平行四边形的对角线互相平分【类型一】利用平行四边形对角线互相平分求线段已知▱ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△DOA的周长长5cm ，求这个平行四边形各边的长．解析：平行四边形周长为60cm ，即相邻两边之和为30cm.△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，而AO 为共用，OB ＝OD ，因而由题可知AB 比AD 长5cm ，进一步解答即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC .∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，∴AB －AD ＝5cm ，又∵▱ABCD 的周长为60cm ，∴AB ＋AD ＝30cm ，则AB ＝CD ＝352cm ，AD ＝BC ＝252cm.方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．【类型二】利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证：OE ＝OF .解析：根据平行四边形的性质得出OD ＝OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO ＝∠EBO ，证出△DFO ≌△BEO 即可．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD ＝OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO ＝∠EBO .在△DFO 和△BEO ∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO (ASA)，∴OE ＝OF .方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．【类型三】判断直线的位置关系如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，点E 、F 分别是AO 、CO 的中点，试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用△FOD ≌△EOB 可得出BE ＝DF ，BE ∥DF .解：BE ＝DF ，BE ∥DF .理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点，∴OE ＝OF ，又∵∠FOD ＝∠EOB ，∴△FOD ≌△EOB (SAS)，∴BE ＝DF ，∠ODF ＝∠OBE ，∴BE ∥DF .方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．探究点二：平行四边形的面积在▱ABCD 中，(1)如图①，O 为对角线BD 、AC 的交点．求证：S △ABO ＝S △CBO ；(2)如图②，设P 为对角线BD 上任一点(点P 与点B 、D 不重合)，S △ABP 与S △CBP 仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．解析：(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO ＝CO ，再根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形的性质可得点A 、C 到BD 的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答．(1)证明：在▱ABCD 中，AO ＝CO .设点B 到AC 的距离为h ，则S △ABO ＝12AO ·h ，S △CBO ＝12CO ·h ，∴S △ABO ＝S △CBO ；(2)解：S △ABP ＝S △CBP .理由如下：在▱ABCD 中，点A 、C 到BD 的距离相等，设为h ，则S △ABP ＝12BP ·h ，S △CBP ＝12BP ·h ，∴S △ABP ＝S △CBP .方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．本节学习总结：1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．更多内容请见：资料下载汇总表（提示：按住ctrl+鼠标左键打开链接）。
人教版初中数学第十八章知识点总结
第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.1平行四边形的性质1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用“□”表示，平行四边形ABCD记作“□ABCD”2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形。
3.两条平行线的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离。
18.1.2平行四边形的判定1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2.判定定理：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
4.三角形中位线定理;三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质:①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相等③矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4.矩形的判定:（1）对角线相等的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形。
18.2.2菱形1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
3.菱形的判定定理：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形。
4.“对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半”。
18.2.3正方形1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
因此，正方形既是矩形，又是菱形。
2.正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质。
18.1.1平行四边形的性质(对角线的特征)-2022-2023学年人教版八年级数学下册教案(含详解
18.1.1 平行四边形的性质（对角线的特征）教案概述本教案是针对2022-2023学年人教版八年级数学下册中的18.1.1节的内容编写的。
本节课主要介绍了平行四边形对角线的性质，包括对角线的长度和角度之间的关系。
教学目标•理解平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质；•掌握平行四边形的对角线长度相等的特征；•掌握平行四边形对角线之间角度关系的特征；•能够应用所学知识解决与平行四边形相关的问题。
教学步骤步骤一：导入新知•引导学生回顾平行四边形的定义，让学生讲解平行四边形的性质。
步骤二：对角线的特征1.第一性质：平行四边形的对角线长度相等。
–让学生观察图示，提出猜想。
对角线长度相等–学生自主探究，绘制平行四边形，测量对角线长度，验证猜想。
–教师总结，平行四边形的对角线长度相等。
2.第二性质：平行四边形的对角线互相平分。
–让学生观察图示，提出猜想。
对角线互相平分–学生自主探究，绘制平行四边形，测量对角线长度，验证猜想。
–教师总结，平行四边形的对角线互相平分。
3.第三性质：平行四边形的对角线互相垂直。
–让学生观察图示，提出猜想。
对角线互相垂直–学生自主探究，绘制平行四边形，测量对角线长度和对角线夹角，验证猜想。
–教师总结，平行四边形的对角线互相垂直。
步骤三：应用训练•给学生提供一些平行四边形的例题，让他们应用所学知识解决问题。
步骤四：拓展延伸•引入更复杂的平行四边形相关问题，让学生思考和解决。
步骤五：课堂小结•总结本节课的重点内容，强调平行四边形对角线的特征。
课堂练习1.如下图，ABCD为平行四边形，AC和BD分别为对角线，求证：AC=BD。
练习12.如下图，ABCD为平行四边形，AC和BD分别为对角线，求证：对角线AC与对角线BD互相平分。
练习2总结通过本节课的学习，我们了解了平行四边形对角线的性质。
对角线长度相等、互相平分、互相垂直是平行四边形对角线的重要特征。
掌握了这些性质后，我们能够更好地解决与平行四边形相关的问题。
八年级数学下册第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边角的特征导
第十八章 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质第1课时 平行四边形的边、角特征学习目标：1.掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质；2. 根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明；3. 经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的思维水平.重点：掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质. 难点：根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.一、知识回顾1.平行四边形的定义是什么？如何表示一个平行四边形？2.如图，DC ∥GH ∥AB ，DA ∥EF ∥CB ，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.一、要点探究探究点1：平行四边形的边、角的特征量一量1.画一个平行四边形ABCD ，用尺子等工具度量它的四条边，并记录下数据，你能发现AB 与DC ，AD 与BC 之间的数量关系吗? 2.再用量角器等工具度量它的四个角，并记录下数据，你能发现∠A 与∠C ，∠B 与 ∠D 之间的数量关系吗?思考 你发现了什么规律？证一证 已知：四边形ABCD 是平行四边形.求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD___BC ，AB___CD, ∴∠1___∠2，∠3___∠4.又∵AC 是△ABC 和△CDA 的公共边， ∴ △ABC____△CDA,∴AD___BC ，AB___CD ，∠ABC___∠ADC. ∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，∴∠BAD___∠BCD.思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？要点归纳：平行四边形的对边____________；平四边形的对角___________． 典例精析(1) 若∠A =32°,求其余三个角的度数.(2) 连接AC ，已知平行四边形ABCD 的周长等于20 cm ，AC=7cm ，求△ABC 的周长.课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3-4）2.探究点1新知讲授（见幻灯片10-23）教学备注2.探究点1新知讲授（见幻灯片10-23）变式题(1)在平行四边形ABCD中,∠A:∠B=2:3,求各角的度数.(2)若平行四边形ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度.方法总结:已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程.例2如图，在平行四边形ABCD中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证： BE=DF.针对训练1.如图，在平行四边形ABCD中.(1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ，∠D=______.(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= ______.(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=______.2.如图，在平行四边形ABCD中，若AE平分∠DAB，AB=5cm,AD＝9cm,则EC＝_________.3.剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？探究点2：平行线间的距离想一想:如图,若m // n,作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n于B、D、F.由________________________易知四边形ABCD，CDEF均为教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片24-27）__________________.由平行四边形的性质得AB______CD_______EF. 填一填:如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别是E ，F ．求证：DE=BF ． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ ∠A_____∠C ，AD______CB. 又∠AED= ∠CFB=90°，∴ △ADE____△CBF （_____）, ∴AE_____CF.要点归纳：1.两条平行线之间的任何平行线段都__________.2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的_________.两条平行线间的距离__________. 典例精析AB ∥CD ，BC ⊥AB ，若AB=4cm ，S △ABC =12cm 2，求△ABD 中AB 边上的高．二、课堂小结平行四边形 内 容定 义两组对边分别平行的四边形 性 质1. 两组对边分别平行，相等2. 两组对角分别相等，邻角互补其它结论1.两条平行线间的距离相等2.两条平行线间的平行线段也相等(1)四平行四边形两组对边分别平行且相等 ( ) (2)平行四边形的四个内角都相等 ( ) (3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180° ( )(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm 和3cm ，那么周长是10cm ( ) (5)在平行四边形ABCD 中，如果∠A=42°，那么∠B=48° ( ) (6)在平行四边形ABCD 中，如果∠A=35°，那么∠C=145° ( ) 2.在平行四边形ABCD 中，M 是BC 延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD 的度数是（ ）当堂检测教学备注 配套PPT 讲授 4.课堂小结（见幻灯片34）5.当堂检测（见幻灯片28-33）A .45° B. 55° C. 65° D. 75°3.如图，D 、E 、F 分别在△ABC 的边AB 、BC 、AC 上，且DE ∥AC,DF ∥BC,EF ∥AB ，则图中有_____个平行四边形.4.如图，直线AE//BD,点C 在BD 上,若AE=5，BD=8,△ABD 的面积为16,则△ACE 的面积为____________.5.已知在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC,BF 平分∠ABC.求证:AE=CF.6.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF 部分打碎了，现在只测得AE=60cm ，BC=80cm ，∠B=60°且AE ∥BC 、AB ∥CF,你能根据测得的数据计算出DE 的长度和∠D 的度数吗？7.如图，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,点M,E,F 分别是AB,AD,AC 上的点,四边形BEFM 是平行四边形.求证：AF=BM.第2题图 第3题图 第4题图教学备注5.当堂检测（见幻灯片28-33）。
18.1.1 平行四边形的性质 人教版八年级数学下册
(1)在平行四边形中,利用对角相等、邻角互补可以求出其他角的度数;
(2)在平行四边形中,如果一条线段平分一个内角,那么这条线段与相
邻两边组成的三角形是等腰三角形.
新知应用
1.(2023潍坊期末)如图所示,在平行四边形ABCD中,∠A-∠B=50°,则
∠D的度数是( C )
A.130°
B.115°
中错误的是( D )
A.AB=CD
B.CE=FG
C.A,B两点的距离就是线段AB的长度
D.l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
平行四边形对角线的性质
[例 2] 如图所示,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,AB⊥AC,AB=1,
BC= .
(1)求对角线 BD 的长;
(2)求平行四边形 ABCD 的面积 S▱ABCD.
形(不包括△ABD)有( B )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.(2023扬州模拟)如图所示,▱ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点
O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为9 cm,则▱ABCD的周长为 18 cm .
4.如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为OC,OA的中点.
AB=DC,∠A=∠C,
在△ABE 和△CDF 中,
= ,
∠ = ∠,
= ,
∴△ABE≌△CDF.
6.(2023南充)如图所示,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.
求证:
(1)AE=CF;
(2)BE∥DF.
证明:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,
4.如图所示,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作
18.1 第1课时 平行四边形的边和角的性质 华东师大版八年级数学下册(共29张PPT)
B
D
C
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
如图：平行四边形ABCD
记作： ABCD
注意：各顶点字母要按顺时针
方向或逆时针方向标注
A
D
B
C
平行四边形相对的边称为 对边
平行四边形相对的角称为 对角
A
D
平行四边形不相邻的两个顶点连
的线段叫平行四边形的对角线． B
C
如图:线段AC、BD就是 ABCD 的对角线。
到▱ ABCD．
➢ 根据定义，平行四边形的对边有什么特点？ 两组对边分别平行.
由此可知平行四边形的相邻两个内角什么关系？ 互补. ➢ 除此之外，平行四边形的边、角还有什么性质呢？
平行四边 形是否是 中心对称 图形？
A
D
B
C
➢ 将两个形状大小完全一样的 ABCD和 EFGH 重
合在一起，连结AC、BD交于点O，用一枚图钉穿
∴∠B=180°-∠A=180°-40°=140° ∴ ∠D= ∠B=140°
平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四 边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角 或已知两邻角的关系可求出其他三个角的度数．
例2 如图，在▱ ABCD中，已知AB=8，周长等于24，
求其余三条边的长 .
解：在 ▱ ABCD中
即 2（x+x+4）=24, 4x+8=24,
D
C
解得 x=4.
A
B
所以，该平行四边形相邻两边的长分别为4和8.
在平行四边形的计算或证明中，常证明四边形是
平行四边形，利用平行四边形的性质定理——对 边相等来得到线段相等.
人教版八年级下册数学平行四边形的性质
平行 四边形
性质
两组对边分别平行且相等 两组对角分别相等，邻角互补
两条平行线间的平行线段相等 两条平行线间的距离处处相等
作业
必做题： 教科书第49页习题18.1第1、2、8题.
选做题： 如图， ABC 是等腰三角形，P是底边BC上一动点，
且PE∥AB，PF∥AC．求证：PE+PF=AC．
A E
F
B
线 间
b
的
A
B
距
离
两条平行线之间的垂线段相等.
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直 线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
以致用
如图，直线a∥b ，△PAB与△CAB 的面积相等吗？为 什么？
a
P
C
b
A
H
BQ
你还能画出一些与△PAB 面积相等的三角形吗？
课小堂 总结结
定 义 两组对边分别平行的四边形
ABCD
读作： 平行四边形ABCD
活动二
D
C
A
B
根据定义可知平行四边形的 对边互相平行。除此之外还有什 么性质呢？
观察猜想
平行四边形的性质
A
D
B
C
平行四边形的对边相等． 平行四边形的对角相等．
求证:平行四边形的对边相等、对角相等.
证一证
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. 证明：如图，连接AC.
2.如图，在 ABCD中，BC=9cm,CD=5cm,若BE平分∠ABC
，则ED＝______
A
E
Ｄ
B
Ｃ
活动三
平行线间的距离