提公因式PPT教学课件
合集下载
提取公因式课件
在数学解题中的应用
在解决数学问题时，提取公因式是一种常用的解题方法，可 以帮助解题者快速找到问题的解决方案。
提取公因式可以简化数学问题的复杂度，使问题更容易解决 ，提高解题效率。
感谢您的观看
THANKS
提取公因式的目的
01
02
03
简化多项式
通过提取公因式，可以将 多项式化简，使其更易于 计算和理解。
便于因式分解
提取公因式是因式分解的 一种方法，可以将多项式 分解成更简单的因式形式 。
应用在数学问题中
提取公因式在数学问题中 有着广泛的应用，如代数 方程的求解、不等式的证 明等。
提取公因式的应用场景
总结词
识别公因式是提取公因式的第一步，需要观察多项式的各项 ，寻找可以提取的公因式。
详细描述
在多项式中，公因式是指各项都包含的公共因子。通过观察 多项式的各项，可以发现一些数字或字母是各项都包含的， 这些就是可以提取的公因式。例如，在多项式 2x^2 + 4x + 6x 中，公因式是 x。
提取公因式
合并项
在化简过程中，如果存在同类项或 相似项，应合并这些项，简化表达 式。
提取公因式的局限性
适用范围
提取公因式的方法适用于多项式 的因式分解，不适用于一些复杂
数学表达式的处理。
复杂度限制
对于一些高次多项式或复杂的多 项式，提取公因式可能会变得非
常困难或无法实现。
人工操作
提取公因式需要人工操作，对于 大规模的多项式，处理效率可能
01
提取公因式是化简代数式的一种 常用方法，通过提取公因式，可 以将复杂的代数式简化成更易于 理解和计算的形式。
02
提取公因式可以减少代数式的项 数，简化计算过程，提高解题效 率。
人教版八年级上册14.提公因式法课件
(3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100.
14．(8分)(1)计算：53.6×1.6＋18.4×53.6－20×53.6； 解：原式＝53.6×(1.6＋18.4－20)＝0 (2)(黔南州中考)若ab＝2，a－b＝－1，求代数式a2b－ab2的值． 解：原式＝ab(a－b)＝－2
3.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（ C ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n
D ．5mn2
4.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，
分是（ D ）
A．x+1 B．2x C．x+2
D．x+3
5．(3分)下列各组多项式没有公因式的是( ) C
A．2x－2y与y－x B．x2－xy与xy－y2 C．3x＋y与x＋3y D．5x＋10y与－2y－x 6．(3分)下列多项式能用提公因式法分解因式的是( )
pa+pb+pc
x2＋x
相同因式p
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
pa+ pb +pc = p( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
基础知识检测
15 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：
含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进 行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子， 然后将a±b，ab的值整体带入即可.
14．(8分)(1)计算：53.6×1.6＋18.4×53.6－20×53.6； 解：原式＝53.6×(1.6＋18.4－20)＝0 (2)(黔南州中考)若ab＝2，a－b＝－1，求代数式a2b－ab2的值． 解：原式＝ab(a－b)＝－2
3.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（ C ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n
D ．5mn2
4.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，
分是（ D ）
A．x+1 B．2x C．x+2
D．x+3
5．(3分)下列各组多项式没有公因式的是( ) C
A．2x－2y与y－x B．x2－xy与xy－y2 C．3x＋y与x＋3y D．5x＋10y与－2y－x 6．(3分)下列多项式能用提公因式法分解因式的是( )
pa+pb+pc
x2＋x
相同因式p
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
pa+ pb +pc = p( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
基础知识检测
15 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：
含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进 行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子， 然后将a±b，ab的值整体带入即可.
《提公因式法》课件
解析
• 类型一解析 • 题目一解析：将原式进行因式分解，得到(x+2)^2=0，解得x=-2。 • 题目二解析：将原式进行因式分解，得到(x+2)(x-2)=x^2-4，直接开平方得到x^2-4=0，解得x=±2。 • 题目三解析：将原式进行因式分解，得到(x+3)(x-3)=x^2-9，直接开平方得到x^2-9=0，解得x=±3。 • 类型二解析 • 题目四解析：将原式进行因式分解，得到(x+4)(x-1)+(x+1)(x-4)=3x^2-8x-3，直接开平方得到3x^2-8x-
提公因式的性质
唯一性
对于一个多项式，如果存在公因式，那么这个公因式是唯一 的。
不可约性
如果一个多项式的公因式是可以约掉的，那么约掉后剩下的 多项式一定还有其他的公因式。
提公因式的应用
分解因式
通过提公因式法，我们可以将一个多项式分解成两个或多个因式的乘积，以 便于进行进一步的数学运算。
解决实际问题
3=0，解得x=(8±√(64+4×3×8))/6=(4±2√13)/3。 • 题目五解析：将原式进行因式分解，得到(x+2)(x-5)-(x-1)(x-6)=4x^2-19x+10，直接开平方得到4x^2-
19x+10=0，解得x=(19±√(19^2-4×4×10))/8=(19±√371)/8。
提公因式法在实际问题中也有广泛的应用，比如在解决一些简单的数学建模 问题时，可以通过提公因式法简化计算。
02
提公因式法的理论基础
域的扩张
定义
域扩张是将一个域中的元素映射到另一个域中，使得映射保持域中元素的加法、 乘法等运算
常见的域扩张
整数到多项式、多项式到复数、实数到复数
七年级数学提取公因式PPT优秀课件
例1. 下列各式分解因式：
(1) 3x6
(2) 7x221x
(3) 8 a3 b2 1a 23c b ab(4) 2x4 3 1x2 22x8
解：(1) 3 x 6 3 x 3 2 （找公因式：把各项写成公因式与一个单项式
的乘积的形式。）
3(x2)（提取公因式）
(2) 7 x 2 2 x 1 7 x x 7 x 3 （找公因式） 7x(x3) （提取公因式）
1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的相
例如： 同因式, 叫做这个多项式各项的公因式.
(1) 多项式 abbc的公因式是 b
是字母
(2) 多项式 3x2 3y的公因式是 3
是数字系数
(3) 多项式 7a22a1的公因式是 7a (4) 多项式 3x36x2 的公因式是 3x2
是数字系数与字母的乘积 是数字系数与字母的乘积
观察分析： abbcb(ac) 3x2 x x(3x1) m2ynyyy(my n1 )
提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式 , 那么就可以把这
个公因式提出来, 从而将多项式化成两个因式乘积的形式, 这种分解因式的方法叫做提公因式法。
1.填空:（口答）
(1) 2 R2 r2 (Rr)
(3)
2. 辨别正误并指明错因：
(1) 分解因式：8 a 3 b 2 1 a 4 2 4 b a 4 a b ( 2 a 2 b 3 b 3 ) 还
错因分析：由于“漏乘”所致
可
正确解答：8 a 3 b 2 1 a 4 2 4 a b 4 a b ( 2 a 2 b b 3 b 3 1 ) 能
1. 将下列各式分解因式： (1) 8a3b21a 23b c4a2b (2a23b)c
提公因式法ppt课件
知1－练
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x
＋
)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x
＋
)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )
提公因式法ppt课件
用“ ”来“留守”，不能为“ ”.
【正解】 − + = ( − +) .
1. 下面的多项式中，能分解因式的是( D )
A. +
B. − +
C. −
2. 下列多项式中，哪个多项式各项的公因式是 ？ ( A )
A. +
化难为易．比如：
简便计算：19＋19 2－20 2．
解：原式＝19×(1＋19)－20 2
＝19×20－20 2＝20×(19－20)＝－20．
3．运用提公因式法分解因式，简便计算：
9×168＋9×723＋9×109．
解：原式＝9×(168＋723＋109)＝9 000．
4．【例1】下列式子变形是因式分解的是( D )
【点拨】先采用提公因式法分解所求式子，从而改变式子的结构，然后整体代入
即可求值.
变式 已知 + = ， = ，求 ( + )( − ) − ( + ) 的值.
解： ∵ + = , = ，
∴ 原式 = ( + )[( − ) − ( + )]
（2） 若分解式子： + + (+) + (+) + (+) ，则需应用上述方法____
(+)
次，结果是__________．
（2） ( − ) − ( − ) .
解：原式 = ( − )( − − ) .
8. 已知 = ， + = ，求 + 的值.
解： ∵ = , + = ( + ) = ，
143提公因式法共20张PPT
（1）a2b 2ab2 ab(a 2b)（ ）
温馨提示
（2）(x+2)(x-2）= x2-4（ ）
判断是否是因式分 （3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1（ ）解 要看等式的左边是 （4）ax2+ay2=a(x2+y2) （ ） 否是一个多项式，右
边是否是几个整式的 积的形式。
下面两个式子中哪个是因式分解？
注意：公因式可以 是数字，字母，也
可以是单项式，还 可以是多项式。
在下面这个式子的因式分解过程中， 先找到这个多项式的公因式，再将原式除 以公因式，得到一个新多项式，将这个多 项式与公因式相乘即可。
这种方法叫做提公因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
提公因式法一般步骤：
这些在分解因式时，符号都可 当做公因式，但要注意符号.
快速计算：
（1） 9992 + 999
已知a+b=5，ab=4， 求ab2+a2b-a-b的值.
例3、用提公因式法分解因式 5a(x-y)-10b(y-x)
先分解因式（1）、（2）、（3），再解答 后面问题；
（1）1+a+a（1+a）； （2）1+a+a（1+a）+a（1+a）2； （3）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 问题：
公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘 积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.分解因式的方法：提公因式法
注意符号变化
提公因式法PPT课件(华师大版)
分子的最大公约数是4，所以公因式的系数是
4 27
；两
项都有x，y，且x的最低次数是1，y的最低次数是2，
所以公因式是
4 27
xy2.
(3)视察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，所以公 因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项是“－”，应将“－”提取变为－(27a2b3－ 36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2－9a2b各项系数的最 大公约数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低 次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b.
－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.其中
有公因式的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
知识点 2 提公因式法分解因式
提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取 出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
总结
准确地找出公因式是分解因式的关键，(3)题将(x－ 2y)3和(2y－x)3化成同底数幂时，要注意符号的变化．
1 2x(－x＋y)2－(x－y)3分解因式应提取的公因式
是( )
A．－x＋y
B．x－y
C．(x－y)2
D．以上都不对
2 (中考·邵阳)把2a2－4a因式分解的最终结果是( )
A．2a(a－2)
12.5 因式分解
第2课时 提公因式法
公因式的定义 提公因式法分解因式
知识点 1 公因式的定义
试一试(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)中m的特点.
公因式的定义：多项式中的每一项都含有一个相同 的因式，我们称之为公因式．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）分解-4x3+8x2+16x的结果是（D ） （A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16） （C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）
2020/12/10
10
PPT精品课件
谢谢观看
Thank You For Watching
11
2020/12/10
3
随堂练习：
1、下列式子从左到右的变形中，属于因式分解 的有(4（) ）
⑴（x+3)(x+2)=x2+x-6
⑵ax-ay-1=a(x-y)-1
⑶8a2b3=2a2·4b3
⑷x2-4=（x+2)(x-2)
⑸x2-2x-3=x(x-2-3／x) ⑹x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
2020/12/10
5
三、自学讨论： [例1]把8a3b2-12ab3c分解因式
[例2]把2a（b+c）-3（b+c）分解因式．
[例3]把3x3-6xy+x分解因式．
[例4]把-4a3+16a2-18a分解因式．
[例5]把6（x-2）+x（2-x）分解因式．
思考：
提公因式法分解因式应注意哪些？
2020/12/10
人教版八年级上
15.4 因 式 分 解
15.4.1 提公因式法
2020/12/10ห้องสมุดไป่ตู้
1
一、用简便方法计算．
（1）180×（-3）2+540×（-3）
=（-3）〔180×（-3）+540〕
=（-3）（-540+540）
=0
（2）1012-992
=（101+99）（101-99）
=200×2
=400
（3）572+2×57×43+432
6
提公因式法分解因式的技巧：
• 各项有“公”先提“公”， • 首项有负常提负． • 某项提出莫漏1． • 括号里面分到“底”．
2020/12/10
7
四、巩固练习： 把下列各式分解因式： (1)5y3+20y2 (2)a2b-2ab2+ab (3)a(x-3)+2b(3-x) (4)6(m-n)3-12(n-m)2 (5)-28x2y+21xy2-7xy
2020/12/10
8
.课堂小结
• 分解因式与整式乘法是互逆过程. • 分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
2020/12/10
9
（1）多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式（C ） （A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2C
=（57+43）2
=100 2
=10000 2020/12/10
2
二、试一试：
• 把下列多项式写成整式的乘积的形式 • （1）x2+x= x(x+1) • （2）x2-1= (x+1)(x-1) • （3）am+bm+cm= m(a+b+c)
因式分解：像这种把一个多项式化成几个整 式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式 分解，也叫把这个多项式分解因式．
2020/12/10
4
探究：找出下列多项式的公因式
（1）a2b+a (2)a2b+ab (3)2a2b+6ab (4)8m2n-2mn+6mn2
（5）12x3y3z-9x2y2 (6)p(a+b)-q(a+b)
a ab 2ab 2mn 3x2y2 (a+b)
找公因式的方法：一看系数，二看字母，三看指数
2020/12/10
10
PPT精品课件
谢谢观看
Thank You For Watching
11
2020/12/10
3
随堂练习：
1、下列式子从左到右的变形中，属于因式分解 的有(4（) ）
⑴（x+3)(x+2)=x2+x-6
⑵ax-ay-1=a(x-y)-1
⑶8a2b3=2a2·4b3
⑷x2-4=（x+2)(x-2)
⑸x2-2x-3=x(x-2-3／x) ⑹x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
2020/12/10
5
三、自学讨论： [例1]把8a3b2-12ab3c分解因式
[例2]把2a（b+c）-3（b+c）分解因式．
[例3]把3x3-6xy+x分解因式．
[例4]把-4a3+16a2-18a分解因式．
[例5]把6（x-2）+x（2-x）分解因式．
思考：
提公因式法分解因式应注意哪些？
2020/12/10
人教版八年级上
15.4 因 式 分 解
15.4.1 提公因式法
2020/12/10ห้องสมุดไป่ตู้
1
一、用简便方法计算．
（1）180×（-3）2+540×（-3）
=（-3）〔180×（-3）+540〕
=（-3）（-540+540）
=0
（2）1012-992
=（101+99）（101-99）
=200×2
=400
（3）572+2×57×43+432
6
提公因式法分解因式的技巧：
• 各项有“公”先提“公”， • 首项有负常提负． • 某项提出莫漏1． • 括号里面分到“底”．
2020/12/10
7
四、巩固练习： 把下列各式分解因式： (1)5y3+20y2 (2)a2b-2ab2+ab (3)a(x-3)+2b(3-x) (4)6(m-n)3-12(n-m)2 (5)-28x2y+21xy2-7xy
2020/12/10
8
.课堂小结
• 分解因式与整式乘法是互逆过程. • 分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
2020/12/10
9
（1）多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式（C ） （A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2C
=（57+43）2
=100 2
=10000 2020/12/10
2
二、试一试：
• 把下列多项式写成整式的乘积的形式 • （1）x2+x= x(x+1) • （2）x2-1= (x+1)(x-1) • （3）am+bm+cm= m(a+b+c)
因式分解：像这种把一个多项式化成几个整 式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式 分解，也叫把这个多项式分解因式．
2020/12/10
4
探究：找出下列多项式的公因式
（1）a2b+a (2)a2b+ab (3)2a2b+6ab (4)8m2n-2mn+6mn2
（5）12x3y3z-9x2y2 (6)p(a+b)-q(a+b)
a ab 2ab 2mn 3x2y2 (a+b)
找公因式的方法：一看系数，二看字母，三看指数