圆锥曲线的统一定义教案(高一数学)MMUMKw
圆锥曲线的统一定义的教学设计1
圆锥曲线的统一定义的教学设计一、教材分析1、教材的地位与作用圆锥曲线是高中数学的重要组成部分，也是高中数学的一个难点。
圆锥曲线的统一定义是我准备在学生学习完椭圆、双曲线、抛物线的标准方程以及它们的性质之后,对圆锥曲线进行一节总结性的专题课.它一方面可以使学生进一步加深对圆锥曲线的理解与认识,使学生对圆锥曲线之间的关系有一个更加系统、完整的认识。
同时也让学生进一步提高用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合思想和分类讨论思想。
2、学情分析（1）知识分析：学生已经掌握圆锥曲线的基础知识，但知识还不系统、不完整。
已经掌握了化简、推导圆锥曲线的基本方法。
（2）年龄分析：本课的教学对象为高二学生，这个年龄段的学生思维活跃、求知欲强，已经具备对数学问题进行合作探究的能力。
但高二学生程度参差不齐，两极分化已经形成,个性差异比较明显。
(3）思维分析：学生的思维已经基本完成从形象思维向理性思维的过度，但对形象思维还有依赖，思维习惯上还有待教师引导，因此数形结合是引导学生的较好方法。
3、教学重点与难点根据学生的认知方式，这一节课内容特点，结合学情实际，我确定如下的教学重点和难点:教学重点：圆锥曲线的统一定义的生成、理解、应用。
教学难点：圆锥曲线的统一定义的应用。
4、教学目标:新课标指出“三维"目标是一个密切联系的有机整体,应该在渗透知识和技能过程，同时成为学生树立正确价值观的过程。
这要求我们在教学中以知识技能为主线,渗透态度情感价值观.因此,我制定了以下的教学目标。
（1）知识与能力目标（直接性目标）:掌握圆锥曲线的共同性质,对圆锥曲线有一个系统、完整的认识；会用圆锥曲线的统一定义解决距离、最值问题。
（2）过程与方法目标（发展性目标）:引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主构建圆锥曲线的统一定义等概念，使学生领会数形结合的数形思想和分类讨论思想.培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（3）情感态度价值观目标（可持续性目标)：在探究圆锥曲线的统一定义的过程中，培养学生主动探究知识、合作交流的意识，体验在探究问题的过程中获得的成功感。
圆锥曲线统一定义的教案
圆锥曲线统一定义的教案江苏省镇江第一中学 数学组：刘海军【学习要求】1．通过例子，归纳出圆锥曲线的统一定义．2．理解并掌握圆锥曲线的统一定义，感受圆锥曲线在解决实际问题的作用，进一步体会数形结合的思想和变化统一观点．【学法指导】通过圆锥曲线的统一定义看三种圆锥曲线的联系，从变化的观点看待圆锥曲线，利用它们的统一定义解决一些与焦点准线有关的问题.圆锥曲线可以统一定义为：平面内到 和到 (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．①当 时，该圆锥曲线为椭圆；②当 时，该圆锥曲线为抛物线；③当 时，该圆锥曲线为双曲线. 探究点一 圆锥曲线的统一定义问题1：抛物线上的点满足什么条件？答案：抛物线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线(定点不在定直线上)的距离相等，即这两个距离之比为1.问题2：F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离的比e 是小于1的 常数．那么M 点的轨迹是什么？若e >1呢？答案：用《几何画板》软件画出动点M 的轨迹，观察这个轨迹，可以发现它是一个椭圆．在0<e <1的范围内，改变e 的大小，或改变点F 与直线l 的相对位置，可以发现动点M 的轨迹仍然是一个椭圆． 若e >1，则轨迹为双曲线．例1：若点M (x ，y )与定点F (c,0)的距离和它到定直线l ：x ＝a 2c 的距离的比是常数c a(a >c >0)，求点M 的轨迹方程． 解 根据题意可得 (x －c )2＋y 2|a 2c－x |＝c a ， 化简得(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)．令a 2－c 2＝b 2，上式就可以化为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． 所以点M 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)． 问题3：若将例1中的条件“a >c >0”改为“c >a >0”，其他条件不变，M 的轨迹方程又是什么？答案：x 2a 2－y 2b2＝1 (其中b 2＝c 2－a 2) 问题4：三种圆锥曲线有什么共同特征？答案 它们可以统一定义为：平面内到一定点F 和到一条定直线(F 不在l 上)的距离之比为常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，表示椭圆；e >1时，表示双曲线；e ＝1时，表示抛物线；e 是离心率，F 是焦点，l 是准线． 跟踪训练1：(1)双曲线2mx 2－my 2＝2的一条准线为y ＝1，则m 的值为________．(2)点M 与F (0，－2)的距离比它到直线l ：y －3＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是__________． 解析 (1)2mx 2－my 2＝2化为y 2－2m －x 2－1m＝1，所以a 2＝－2m ，b 2＝－1m ， c ＝a 2＋b 2＝ －2m －1m ＝－3m .因为－2m －3m＝1，且m <0，所以m ＝－43. (2)符合抛物线定义．探究点二 圆锥曲线统一定义的应用问题1：通过圆锥曲线的统一定义可以得到曲线上的点到焦点与准线的什么关系？答案：设曲线上的点为M ，焦点为F ，M 到准线的距离设为d ，则MF d＝e ，∴MF ＝de . 问题2：圆锥曲线的共同特征体现了一种什么数学思想？答案：转化思想，曲线上的点到准线的距离和到焦点的距离可以相互转化．例2：已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是椭圆的右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到椭圆左准 线的距离为32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，连结AF 1，BF 1，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1、d 2、d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45，由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2， ∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1，∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 小结：在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪训练2：已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离． 解 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆定义PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ， 得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .又PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 【课堂练习】1．双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为________． 解析 两准线间距离为2·a 2c ，焦距是2c ，则2·a 2c 2c ＝13，a 2c 2＝13，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝3，e ＝c a＝ 3. 2．准线方程为x ＋y ＝1，相应的焦点为(1,1)的等轴双曲线方程是__________．解析 利用统一定义求得．设动点为(x ，y )，∵等轴双曲线e ＝2，∴(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y －1|2＝2，整理得，xy ＝12. 3．点M (x ，y )与定点(3,0)的距离和它到定直线l ：x ＝253的距离的比是常数35，则点M 的轨迹方程为____________． 解析 由圆锥曲线的统一定义知c ＝3，a ＝5，b ＝4，∴方程为x 225＋y 216＝1. 4．试在抛物线y 2＝4x 上求一点A ，使A 到点B (3，2)与到焦点的距离之和最小．解 由已知易得点B 在抛物线内，p 2＝1，准线方程x ＝－1，如图，过B 作C ′B ⊥准线l 于C ′，直线BC ′交抛物线于A ′，则A ′B ＋A ′C ′为满足题设的最小值．因为C ′B ∥x 轴，B 坐标为(3，2)，所以A ′点坐标为(x,2)．又因点A ′在抛物线上，所以A ′(1,2)即为所求A 点，此时最小值为BC ′＝3＋1.【课堂小结】1．三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化.。
高中数学 圆锥曲线的统一定义教案(1课时) 苏教版选修2-1
2．5 圆锥曲线的统一定义（1课时）一、教学目标1. 了解圆锥曲线的统一定义.2．掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法。
二、教学重点、难点重点：圆锥曲线的统一定义。
难点：圆锥曲线的统一定义三、教学过程（一） 创设情境我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线L （F 不在L 上）的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线。
如图（1）即1PFPA =时，点P 的轨迹是抛物线。
下面思考这样个问题：当这个比值是一个不等于1的常数时，我们来观察动点P 的轨迹又是什么曲线呢？比如：12PF PA=和2PFPA =时，动点P 的轨迹怎么变化？（二 ）师生探究（利用多媒体演示）我们可以观察出一个像椭圆，一个像双曲线。
下面我们来探讨这样个问题：（例1）：已知点P（x,y）到定点F（c,0）的距离与它到定直线l：x=2ac 的距离的比是常数ca（a＞c＞0），求点P的轨迹。
（问题的解决过程要充分体现求曲线的方程时确定曲线类型的有效手段）结论：点P的轨迹是焦点为（-c，0），（c，0），长轴、短轴分别为2a，2b的椭圆。
这个椭圆的离心率e就是P到定点F的距离和它到定直线l（F不在l上）的距离的比。
变式：如果我们在例１中，将条件（a＞c＞0）改为（c＞a＞0），点Ｐ的轨迹又发生如何变化呢？（双曲线的类似命题由学生思考，发现，从而引导学生建立圆锥曲线的统一定义）下面，我们对上面三种情况总结归纳出圆锥曲线的一种统一定义．（教师引导学生共同来发现规律）结论：圆锥曲线统一定义：平面内到一个定点Ｆ和到一条定直线L（F不在L上）的距离的比等于常数e的点的轨迹．当０＜e ＜１时，它表示椭圆；当e＞１时，它表示双曲线；当e＝１时，它表示抛物线．（其中e是圆锥曲线的离心率，定点Ｆ是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线）下面，我们对圆锥曲线的准线作一下探讨：（利用图形的对称性解决）对于上述问题中的椭圆或双曲线，我们发现其中心在原点，焦点在x轴上，那么我们可得到与之相对应的准线方程：如：焦点Ｆ（－c，０）与准线x＝－2a对应，焦点Ｆ（c，０）c与准线x＝2a对应．c思考一：想一想：焦点在x轴的抛物线的准线方程又如何？思考二：对于焦点在y轴上的椭圆，双曲线，抛物线（标准形式）的准线方程又如何呢？例２：求下列曲线的焦点坐标，准线方程（１）22-=（3）216y x=x y8322516400x y+=（2）22例3：已知动点M到A（2，0）的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍，求点M的轨迹方程。
圆锥曲线的统一定义说课稿
圆锥曲线的统一定义说课稿一、教材分析：1、教学内容：今天要跟大家共同探讨的是普通高中新课程标准实验书《数学》选修2—1第二章第5节《圆锥曲线的统一定义》。
本章主要研究圆锥曲线的定义、方程、几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。
2、教材的地位与作用：高一我们已经学习了直线和圆的方程，前面我们又对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求圆锥曲线的标准方程和利用圆锥曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。
本节是在这个基础上学习圆锥曲线的统一定义，研究它们的共同性质，进一步熟悉和掌握坐标法。
本节课是学习完三种圆锥曲线几何性质之后的总结，总结的是椭圆、双曲线、抛物线的几何条件，标准方程及性质，然后从中归纳它们的共同性质，使学生比较清楚的掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系。
3、教学重点、难点：主要有以下两点：（1）圆锥曲线的统一定义中，焦点与准线要对应，到定点与到定直线距离之比不能颠倒。
（2）圆锥曲线的统一定义中，常数的范围不同，对应的圆锥曲线也不同。
4、教学目标：（1）、知识目标：圆锥曲线统一定义及其应用。
（2）、能力目标：培养数学建模、解决问题的能力。
渗透特殊到一般，具体到抽象的数学思想。
（3）、德育目标：培养学生的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。
（4）、情感目标：在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物二．教法与学法分析：1、学情分析：（1）初步掌握了椭圆、双曲线、抛物线的定义和它们的标准方程；（2）学习了椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质；（3）已经具有一定的运用坐标法建系的能力：（4）不足：比较畏惧有实际背景的数学应用问题，分析问题、解决问题的能力比较薄弱；数学建模能力不足。
2、教法：诱思探究教学法我们知道研究曲线及其性质的基本方法是坐标法。
用坐标法研究曲线有两个基本环节，一是建立坐标系，二是建立方程。
在学生已经初步掌握坐标法的前提下，本节课以学生为主体，教师为主导，训练为主线，思维为主攻。
《圆锥曲线的统一定义》教学设计
《圆锥曲线的统一定义》教学设计作者：姚圣海来源：《新课程·教研版》2010年第16期【教材分析】《圆锥曲线的统一定义》是苏教版高中数学选修2-1第二章第五节的内容。
本教科书对本章总体设计思路是“总—分—总”,即先从整体上认识圆锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系,再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质,进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。
最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题。
这一设计体现了数学的文化价值、科学价值及应用价值,反映了数学的美学意义,遵循了“适度形式化”的课程理念。
【教学目标】1.知识与技能目标:通过本节的学习,了解圆锥曲线的统一定义,掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用。
2.过程与方法目标:教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线,通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。
3.情感、态度与价值观目标:通过本节的学习,可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力,感受圆锥曲线的统一美。
【重点与难点】重点:圆锥曲线统一定义的推导。
难点:对圆锥曲线统一定义的理解与运用。
【教法分析】将椭圆、双曲线的统一定义安排在学习抛物线之后集中处理,是从整体、统一以及追求和谐的理念出发的设计。
教学时以抛物线的定义作为新知识的生长点,设计了用电脑实验探索的问题情境,为猜想的形成提供足够的感性认识的基础。
再通过建立方程加以证实。
根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用也需要学生掌握。
所以,在教学中也设计了形式多样的练习,如填表等,让学生在趣味中形成新的认知结构。
【学法分析】对圆锥曲线的统一定义和性质,鼓励学生根据方程形式、图形特征进行直觉猜想,通过对特殊情形的研究引发从特殊到一般的归纳猜想。
同时,也不忽视让学生适当运用方程等工具进行逻辑探索,从各个侧面、不同层次上提高学生的数学素养。
人教版高中选修(B版)4-12.2.4圆锥曲线的统一定义教学设计
人教版高中选修(B版) 4-12.2.4 圆锥曲线的统一定义教学设计教学目标1.理解圆锥曲线的统一定义方法。
2.能够根据圆锥曲线的不同参数绘制出不同类型的图形。
3.掌握圆锥曲线的一些基本概念，如焦距、离心率等。
4.熟练掌握圆锥曲线的基本公式和性质。
教学重点1.圆锥曲线的统一定义方法。
2.圆锥曲线的基本公式和性质。
教学难点1.理解和掌握圆锥曲线的统一定义方法。
2.对圆锥曲线的不同参数，如焦距，离心率等的理解和运用。
教学方法1.授课法2.演示法教学准备1.课件2.准备好黑板、多彩粉笔、直尺、圆规等教学工具1. 导入新课1.引入圆锥曲线。
2.过渡到圆锥曲线的统一定义。
2. 讲解圆锥曲线的统一定义1.通过展示圆锥切割图来说明圆锥曲线的本质。
2.介绍圆锥曲线的统一定义方法。
3.给出圆锥曲线的基本形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0。
解释各参数的含义。
3. 讲解圆、椭圆、双曲线、抛物线的统一定义方法1.给出不同参数下的统一定义公式。
2.利用统一定义方法，绘制出不同类型的图形，如圆、椭圆、双曲线、抛物线。
4. 讲解圆锥曲线的性质及运用1.圆锥曲线的焦点和焦距的概念及运用。
2.圆锥曲线的离心率及相关公式的推导。
3.圆锥曲线的常见性质及相关公式的推导。
5. 课堂小结1.确认本节课的教学内容。
2.总结圆锥曲线的统一定义方法，以及圆、椭圆、双曲线、抛物线的统一定义公式和性质。
通过课堂教学，学生们对圆锥曲线有了更深入的理解，能够根据不同的参数绘制出不同类型的图形，同时也能够掌握圆锥曲线的基本公式和性质。
但是，在课堂中存在一些小问题，如学生对部分概念的理解不够深入，需要加强课后的练习和巩固。
另外，需要更加注重学生的思维能力和创造性思维的培养，增强学生实际应用能力。
圆锥曲线高中数学讲解教案
圆锥曲线高中数学讲解教案
一、教学目标：
1. 了解圆锥曲线的定义和基本性质；
2. 掌握圆锥曲线的标准方程和性质；
3. 能够根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
4. 能够利用圆锥曲线解决实际问题。
二、教学重点：
1. 圆锥曲线的定义；
2. 圆锥曲线的标准方程；
3. 圆锥曲线的性质。
三、教学难点：
1. 圆锥曲线的方程求解；
2. 圆锥曲线的性质证明。
四、教学过程：
1. 圆锥曲线的定义和基本概念（15分钟）
- 圆锥曲线的定义；
- 圆锥曲线的类别；
- 圆锥曲线的几何性质。
2. 圆锥曲线的标准方程和性质（20分钟）
- 圆的标准方程和性质；
- 椭圆的标准方程和性质；
- 双曲线的标准方程和性质；
- 抛物线的标准方程和性质。
3. 圆锥曲线的方程求解（30分钟）
- 根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
- 利用圆锥曲线求解实际问题。
4. 圆锥曲线的性质证明（15分钟）
- 圆锥曲线的对称性证明；
- 圆锥曲线的焦点、准线和直径关系证明。
五、教学总结：
通过本节课的学习，我们对圆锥曲线的定义、标准方程和性质有了更深入的了解，掌握了圆锥曲线的求解方法和应用能力。
希望同学们能够认真复习，做好练习，提高对圆锥曲线的理解和应用能力。
下节课将继续深入学习圆锥曲线的相关内容，敬请期待。
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案2
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案教学目标1.知识与内容：(1)通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2(2)利用Dandelin 双球证明定理2中情况(1)(3)通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解2.情感态度价值观：通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题.教学重、难点重点：(1)定理2的证明(2)椭圆准线和离心率的探究难点：椭圆准线和离心率的探究教学过程椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种.生成椭圆的方法有许多，例如：(1)圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图；(2)椭圆的定义(3)平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0<e <1)的点的轨迹(4)一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线.思考： AD 是等腰三角形ABC 底边BC 上的高，∠BAD =α.直线l 与AD 相交于点P ，且与A D 的夹角为(0).2πββ<<试探究：当α与β满足什么关系时， (1)l 与AB (或AB 的延长线)、AC 都相交；(2)l 与AB 不相交；(3)l 与BA 的延长线、AC 都相交.可以有如下结论：(1)当l 与AB (或AB 的延长线)、AC 都相交时，设l 与AB (或AB 的延长线)交于E ，与AC 交于F .因为β是△AEP 的外角，所以必然有β>α；反之，当β>α时，l 与AB (或AB 的延长线)、AC 都相交.(2)当l 与AB 不相交时，则l //AB ，这时有βα=；反之，当βα=时，l //AB ，那么l 与A B 不相交.(3)当l 与BA 的延长线、AC 都相交时，设l 与AB 的延长线交于G ，因为α是△APG 的外角，所以必然有β<α；反之，当β<α时，l 与AB 的延长线、AC 都相交.思考：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面.如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？ 归纳提升：定理2 在空间中，取直线l 为轴，直线l '与l 相交于O 点，其夹角为α，l '围绕l 旋转得到以O 为顶点，l '为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l 交角为β(π与l 平行，记住β＝0)，则：(1)β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；(3)β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.思考：你能仿照定理1的证明方法证明定理2的结论(1)吗？下面给出交线为椭圆时的证明.利用Dandelin 双球(这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切)证明：β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆.讨论：点A 到点F 的距离与点A 到直线m 的距离比小于1).证明1：利用椭圆第一定义，证明 F A +AE =BA +AC =定值，详见课本.证明2：①上面一个Dandelin 球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π/；②如果平面π与平面π/的交线为m ，在图中椭圆上任取一点A ，该Dandelin 球与平面π的切点为F ，则点A 到点F 的距离与点A 到直线m 的距离比是(小于1).(称点F 为这个椭圆的焦点，直线m 为椭圆的准线，常数为离心率e .)点评：利用②可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准.探究：找出椭圆的准线；(2)探讨P 到焦点F 1的距离与到两平面交线m 的距离之比. 上面一个Dandelin 球与圆锥的交线为圆S ，记圆S ，所在的平面为π′.设π与π′的交线为m .在椭圆上任取一点PF 1，连接P .在π中过P 作m 的垂线，垂足为A .过P 作π的垂线，垂足为B ，连接AB ，则AB 是P A 在平面π′上的投影.容易证明，m ⊥AB .故∠P AB 是平面π与平面π′交成的二面角的平面角.在Rt △ABP 中，∠APB =β，所以cos .PB PA β=(1)设过P 的母线与圆S 交于Q 1，则在Rt △PQ 1B 中，∠Q 1PB =α，所以11cos cos .PB PQ αPF α==(2)由(1)(2)得：1cos .cos PF βPA α= 10,2cos cos .cos 1.cos παββαPF βPA α<<<∴<∴=<由上述可知，椭圆的准线为m ，椭圆上任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数cos cos βα，因此椭圆的离心率cos cos βe α=，即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比. 最后，我们延用讨论椭圆结构特点的思路，讨论一下双曲线的结构特点.当βα<时，平面π与圆锥的两部分相交.在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin 球，与平面π的两个切点分别是F 1、F 2，与圆锥两部分截得的圆分别为S 1、S 2.在截口上任取一点P ，连接PF 1、PF 2.过P 河圆锥的顶点O 作母线，分别与两个球相切与Q 1、Q 2，则PF 1=PQ 1，PF 2=PQ 2.所以121212.PF PF PQ PQ QQ -=-=由于Q 1Q 2为两圆S 1、S 2所在平行平面之间的母线段长，因此Q 1Q 2得长为定值.由上所述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为常数.课堂小结回顾本课学习了哪些知识？。
高中数学圆锥曲线教案
高中数学圆锥曲线教案
一、教学目标
1.了解圆锥曲线的定义和基本性质。
2.能够掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.能够解决与圆锥曲线相关的问题。
二、教学重点和难点
重点：掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
难点：理解圆锥曲线的定义及性质。
三、教学内容
1.圆锥曲线的定义和基本性质。
2.圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.圆锥曲线的相关问题解决方法。
四、教学过程
1.导入新知识：通过引入一个问题或实际应用场景引起学生的兴趣。
2.讲解圆锥曲线的定义和基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。
3.介绍圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
4.通过实例分析，让学生熟悉解决与圆锥曲线相关的问题的方法。
5.组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识。
6.总结本节课内容，提出问题进行思考，激发学生的学习兴趣。
五、课堂作业
1.完成练习题。
2.思考如何将圆锥曲线应用到实际生活中。
六、教学反思
本节课主要对圆锥曲线的定义和基本性质进行了讲解，并通过实例让学生掌握了圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
同时也引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。
在教学过程中需要注意引导学生正确理解圆锥曲线的概念，帮助他们建立深刻的认识。
苏教版选修(2-1)2.5《圆锥曲线的统一定义》word教案
圆锥曲线的统一定义主备人： 熊慧 审核人：杨鹤飞学 案一、学生自主学习阅读课本P 51--52中的椭圆、双曲线的第二定义和抛物线的定义，从中找出共同点，思考能否用统一的形式把定义归纳出来。
二、结合学习的内容思考如下问题： 平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的________, 定点F 叫做圆锥曲线的________, 定直线l 就是该圆锥曲线的__________.三、自主解答几道题目1.填空:(书本P 53习题1)2. 如果双曲线 上一点P 到右焦点 的距离等于 ，那么点P 到右准线的距离是_______3.椭圆 上一点P 到其右准线的距离为10，则该点到其左焦点的距离是_____ 教 案一、教学内容：圆锥曲线的统一定义二、教学目标：知识目标圆锥曲线统一定义及其应用。
能力目标1．分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
2．利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
3．解题过程中，培养学生运算与思维能力。
情感目标（1） 在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。
（2） 讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
三、教学重难点：教学重点：圆锥曲线的统一定义的理解与运用教学难点：圆锥曲线的统一定义的运用（一）课前自主学习检查1121322=-y x 1313610022=+y x2. 513 3. 12 （二）导入(创设情景)1．复习：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 L ( F 不在L 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线2．思考：当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？3．思考：将推导椭圆标准方程中得到的方程： ()222y c x a cx a +-=-变形为 ()a c x ca y c x =-+-222 你能解释这个式子的几何意义吗？（三）分析（互动对话）:讨论以上问题,并解答以下问题。
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(1)完成下表:
探究1: 平面内到一个定点F 的距离和到一个定直线l （F 不在l 上）的距离的比
等于1的动点P 的轨迹是抛物线．当这个比值是一个不等于１的常数时，定点P 的轨迹又是什么曲线呢？
探究2:在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程
222)(y c x a cx a +-=-，
将其变形为
a
c
x c
a y c x =
-+-2
2
2)(，你能解释这个方程的几何意义吗？ 在推导双曲线标准方程时，我们也得到一个类似的方程，你能写出来并解释其几何意义吗？
探究３:根据问题１与问题２，你能得出什么结论呢？
例1．已知点),(y x P 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线c
a x l 2
:=的距离的比是常数
)0(>>c a a
c
，求点P 的轨迹．
探究４:例１中若括号中条件)0(>>c a 变为)0(>>a c ，点P 的轨迹是何种曲线？
探究５:焦点在y 轴上的椭圆与双曲线其准线方程是什么？
例２．已知双曲线136
642
2=-y x 上一点P 到左焦点的距离是14，求点P 到右准线的距
离。
三、思维训练
１.试写出下列曲线的焦点坐标与准线方程：
（１）14491622=+y x ；（2）（２）328422=-y x ；（３）y x 3
22-=．
２.若动圆的圆心在抛物线y x 122=上，且圆与直线03=+y 相切，则此动圆恒过定 点 ．
３.已知点)2,1(A 在椭圆112
162
2=+y x 内点F 的坐标为)0,2(，在椭圆上求一点P ，使
PF PA 2+最小． 四、课后巩固
1．椭圆64322=+y x 的离心率为 ．
2．若椭圆13622=+m y x 的焦点在x 轴上，离心率3
2
=e ，则=m ．
3．若椭圆11622
2=+b
y x 过点)3,2(-，则其焦距为 ．
4． 2222=-my mx 的一条准线是1=y ，则=m ．
5．已知方程1232
2=-+-k
y k x 表示双曲线，则k 的取值范围为 ．
6．已知双曲线
192
2
2=-b y x )0(>b 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围为 ．
７.AB 是抛物线2x y =的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为１，则弦AB 的长度的最大值为 ．
８. 椭圆14
22
=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为椭圆上一动点，当21PF F ∠为钝角时，求
点P 的横坐标的取值范围．。