2014广西高考压轴卷 理科数学 Word版含答案

2014广西高考压轴卷理科数学一．选择题：（每小题5分，共60分）1．若ix ＋yi ＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋yi 的模是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．若A={2，3，4}，B={x|x=mn ，m ．n ∈A 且m≠n}，则集合B 的非空真子集有（ ）个。

A ．3B ．6C ．7D ．8A ．p 真q 假B ．p 且q 真C ．p 或q 真D ．p 或q 假4．函数y=2+log (1)(1)a x x + >-的反函数为（ ） A ．21(2)x y a x -=- > B ．21()x y a x R -=- ∈ C ．21(2)x y ax +=- > D ．21()x y a x R +=- ∈5．若直线||1y a x =+与直线||y b x =平行，,a b 为非零向量，则必有（ ） A ．a b ⊥ B ．//a b C ．()()a b a b +⊥- D ．()//()a b a b +- 6．已知数列{n a }为等差数列，且39664,sin cos 3a a a a π+=的值为（ ）A ．BC ．±D ．7．现有16张不同的卡片，其中红色．黄色．蓝色．绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） A ．232 B ．252 C ．472 D ．4848．将抛物线24(3)(0)x a y a +=- ≠按(4,3)n =-平移后所得的抛物线的焦点坐标为（ ）A ．1(,0)4a B ．1(,0)4a - C ． 1(,0)aD ．1(,0)a - 9．已知平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组04054x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩给出，若M （x,y ）为D上的动点，点A(2,-1)，则||z OM OA =-的最小值为（ ）AB．17 C．6D．10．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，60DAB ∠=，E 为AB 的中点，将ADE与BEC 分别沿ED ，EC 向上翻折，使A,B 重合，A B C ．2π D11．设抛物线C 的方程24y x =,O 为坐标原点，P 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于M,N 两点，若直线PM 与ON 相交于点Q ，则cos MQN ∠=( )A ．5 B ．5- C ．10 D ．10- 12．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意,a b R ∈满足*(2)(2)()()(),(2)2,,,(),2n n n n n f f f a b af b bf a f a b n N n ⋅=+===∈考察下列结论：①(0)(1)f f = ②(x)f 为偶函数 ③数列{}n a 为等比数列 ④数列{}n b （为等比数列,其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①④ 二．填空题：（每小题5分，共20分）13．25(1)(12)x x +-的展开式中，4x 的系数为 。

14．若1cos()34πα-=,则cos(2)3πα+= 。

15．椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A ．B ，当FAB 的周长最大时，FAB 的面积是 。

16．已知,i j 是夹角为60的单位向量，关于实数x 的方程20ix jx n ++=有解，则i n 的取值范围是 。

三．解答题：（共70分） 17. （本小题满分10分）设ABC ∆是锐角三角形，a ．b ．c 分别是内角A ．B ．C 所对边长，并且)3sin()3sin()sin )(sin sin (sin B B B A B A -⋅+=-+ππ.（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积等于36，72=a ，求b ．c （其中c b <）.18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥面ABCD ，且2PA AD ==,点,M N 分别在,PD PC 上，1,.2PN NC PM MD == （Ⅰ）求证：PC ⊥面AMN ； （Ⅱ）求二面角B AN M --的余弦值.DCMNPAB19．（本小题满分12分）甲．乙两个围棋队各派出三名选手A ．B ．C 和a ．b ．c 并按A ．B ．C 和a ．b ．c 的出场顺序进行擂台赛（擂台赛规则是：败者被打下擂台，胜者留在台上与对方下一位进行比赛，直到一方选手全部被打下擂台比赛结束），已知A 胜a 的概率为35，而B ．C 和a ．b ．c 五名选手的实力相当，假设各盘比赛结果相互独立． （Ⅰ）求到比赛结束时共比赛三盘的概率；（Ⅱ）用ξ表示到比赛结束时选手A 所胜的盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．20．（20）（本小题满分12分））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()n n n nS a ,a 11431434-⋅=-=. （Ⅰ）求数列{}n S 的通项公式； （Ⅱ）设,3n nnb a =若n T 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n T →∞的值.21．（本小题满分12分）已知定点A （-3,0），M ．N 分别为x 轴．y 轴上的动点（M ．N 不重合），且MN AN ⊥,点P 在直线MN 上，32NP MP =. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点Q 是曲线228150x y x +-+=上任一点，试探究在轨迹C 上是否存在点T ，使得点T 到点Q 的距离最小？若存在，求出该最小距离和点T 的坐标，若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()()22ln 1f x x ax =++()1a ≤.(Ⅰ) 讨论()f x 的单调性； (Ⅱ) 证明：11ln(1)123n +<+++ (1)2ln(1)n n+<+(*)n N ∈2014广西高考压轴卷理科数学参考答案一．选择题二．填空题． 13．120 14．78 15．3 16．1(,]16-∞ 三．解答题：17．解：（Ⅰ） )3sin()3sin()sin )(sin sin (sin B B B A B A -⋅+=-+ππ，∴)sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin sin 22B B B B B A -⋅+=-， 即B B B A 2222sin 41cos 43sin sin -=-， ∴43sin 2=A . 又ABC ∆是锐角三角形，∴23sin =A ，从而3π=A . …………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知，得ABC ∆的面积bc A bc 43sin 21==36，∴24=bc ①. 由余弦定理知，5cos 2222=-+=A bc c b a ，将72=a 及24=bc 代入，得5222=+c b ②由①．②可得10=+c b .因此c b ,是一元二次方程024102=+-t t 的两个根，解此方程并由c b <知，6,4==c b . …………………10分18．解：（1）证法1：PA ⊥面ABCD ，∴PA CD ⊥.,,CD AD PAAD A ⊥=∴CD ⊥面.PADAM ⊂面PAD ,∴CD AM ⊥.1分M 是PD 的中点，且2PA AD ==， ∴AM PD ⊥,∴AM ⊥面PCD .而PC ⊂面PCD ，∴PC AM ⊥.3分1,2PN NC =∴N 点是PC 的三等分点. PC ==∴PN =4分,PN PA APN CPA PA PC ==∠=∠∴0,90PAN PCA ANP ∆=∆∴∠=，∴AN PC⊥6分又PC AM ⊥且AM AN A =,∴PC ⊥面AMN .7分证法2：PC AM ⊥，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥面ABCD ，故可以建立如图所示的空间直角坐标系. 又2PA AD ==，∴002P（，，），020D （，，），200B （，，）∴011M （，，），220C （，，）.∴(2,22),(0,1,1).PC AM =-=，0220PC AM ⋅=+-=,∴PC AM ⊥,3分 设(,,)N x yz 1,2PN NC =求得224,)333N （，.5分4480333PC AN ⋅=+-=,∴AN PC ⊥.又PC AM ⊥且AMAN A =, ∴PC ⊥面AMN .7分（Ⅱ）设平面BAN 的法向量为(,,)n x y z =，0,0,n AB n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴(0,2,1)n =-(2,2,2)PC =-是平面AMN 的法向量，10分∴15cos ,n PC n PC n PC⋅<>==12分∴二面角B AN M --的余弦值19．解：（I ）设到比赛结束时共比赛三盘为事件M ，再设在这比赛过程中，A 胜出为事件A ，a 胜出为事件a则33321179()()()()555522250P M P A a P A P a =+=+=⨯⨯+⨯⨯=， ………………5分（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3，………………6分则2(0)5P ξ==，326(1)5525P ξ==⨯=，23218(2)()55125P ξ==⨯=，3327(3)()5125P ξ===，∴ξ的分布列如下：………………10分ξ的数学期望2618271470123525125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分1-111111120.(1)2.234(41)()(41)(41)141414144(41).41399n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S S n S S S S S S S S S S S n N ------*≥=-∴≥=--⇒-=-⎧⎫⇒∴⎨⎬---⎩⎭∴⇒-∈-解当时，当时，＝数列是公比为的等比数列。

＝＝＝ （）-12323412311144(41)34(41),b 93341231123,.4444444441113111111444.44444443344144344lim .9949n n n n n n n n n nn n n nn nn n n n n n n n n n n n S S a a a n nT T n n n T n T T ++++→∞-=-=⇒===++++=++++-⇒=++++-=-=---+⇒=-⇒=（2）将＝代入得21．解：（Ⅰ）设点M ．N 的坐标分别为(,0),(0,)a b ，（0,0a b ≠≠）点P 的坐标为(,)x y ， 则(3,),(,)AN b NM a b ==-，(,),(,)MP x a y NP x y b =-=-， 由MN AN ⊥得230a b -=，------------------（※）............2分 由32NP MP =得33(),22x x a y b y =--=∴11,32a xb y ==-代入（※）得24y x =...5分 ∵0,0a b ≠≠∴0,0x y ≠≠∴动点P 的轨迹C 的方程为24y x =（0x ≠）...7分（Ⅱ）曲线228150x y x +-+=即22(4)1x y -+=，是以B （4,0） 为圆心，以1为半径的圆,设 T 为轨迹C 上任意一点，连结TB,则||||||TQ QB TB +≥⇒||||1TQ TB ≥-∴当||TB 最小时，||TQ 最小..9分∵点T 在轨迹C 上，设点2(,)4m T m （0m ≠）∴||TB == ......10分 当28m =，即m =±||TB有最小值，min ||TB =，当28m =时，224m =∴在轨迹C 上存在点T，其坐标为(2,±，使得||TQ最小，min ||1TQ =.12分22. 解：（Ⅰ）令2t x =，()ln(1)(0,1)g t t at t a =++≥< ∵1'()1g t a t=++ ①当01a ≤≤时，对任意[0,)t ∈+∞都有'()0g t >()g t ⇒是 [0,)+∞上的增函数， 由于当[0,)x ∈+∞时，2t x =是增函数，当(,0]x ∈-∞时，2t x =是减函数，由复合函数的单调性知，()()22ln 1f x x ax =++在(,0]-∞单调递减，在[0,)+∞单调递增；………２分②当1a ≤-，对任意(0,)t ∈+∞都有'()0g t <()g t ⇒是 [0,)+∞上的减函数，从而()()22ln 1f x x ax =++在(,0]-∞单调递增，在[0,)+∞单调递减；………………3分③当10a -<<时，则11'()001a g t a t t a+=+>⇔≤<-+，11'()01a g t a t t a+=+≤⇔≥-+ 则()ln(1)g t t at =++在1[0,]a a +-递增，在1[,)a a+-+∞递减 从而()()22ln 1f x x ax =++在区间(,-∞和单调递增，在区间)+∞和[单调递减； ………………5分 综上所述，①当1a ≤-时，()f x 在(,0]-∞单调递增，在[0,)+∞单调递减；②当10a -<<时，从而()f x 在区间(,-∞和单调递增，在区间)+∞和[单调递减； ③当01a ≤<时，()f x 在(,0]-∞单调递减，在[0,)+∞单调递增；………………6分 (Ⅱ) 证明：①当1a =-时，由(Ⅰ)知，()ln(1)g x x x =+-在[0,)+∞单调递减，令1x n=，有1()(0)g g n <，即111ln(1)0ln(1)ln n n n n n +-<⇔>+-(*)n N ∈ 累加得1111ln(1)23n n+++⋅⋅⋅+>+………………9分 ②当12a =-时，由(Ⅰ)知，1()ln(1)2g x x x =+-在[0,1]单调递增，令1x n=，有1()(0)g g n >，即111ln(1)0ln(1)ln 22n n n n n +->⇔<+-(*)n N ∈ 累加得11112ln(1)23n n+++⋅⋅⋅+<+ ………………11分 从而111ln(1)12ln(1)23n n n+<+++⋅⋅⋅+<+对任意*n N ∈都成立。