2020年中考数学三轮易错复习：用函数的思想看图形的最值问题(含解析)

合集下载

2020年九年级数学中考三轮专题复习：函数及其图象(含答案)

2020年中考数学三轮专题复习函数及其图象（含答案）一、选择题（本大题共6道小题）1. 二次函数y=(x-1)2+3的图象的顶点坐标是 ()A.(1，3)B.(1，-3)C.(-1，3)D.(-1，-3)2. 若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，则使函数值y>0成立的x的取值范围是()A.x<-4或x>2B.-4≤x≤2C.x≤-4或x≥2D.-4<x<23. 如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是()A.在南偏东75°方向处B.在5 km处C.在南偏东15°方向5 km处D.在南偏东75°方向5 km处4. 第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是()5. 从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状为()6. 如图，☉O的半径为2，双曲线的解析式分别为y=和y=-，则阴影部分的面积为()A.4πB.3πC.2πD.π二、填空题（本大题共5道小题）7. 星期天，小明上午8:00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家，他离家的距离y(千米)与时间t(分)的关系如图所示，则上午8:45小明离家的距离是千米.8. 如图，直线y=kx+b(k<0)经过点A(3，1)，当kx+b<x时，x的取值范围为.9. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:x…-1 0 1 2 3 …y… 3 0 -1 0 m…(1)观察上表可求得m的值为;(2)这个二次函数的解析式为;(3)若点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，则n的取值范围为.10. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中:①b>0;②a-b+c<0;③b+2c>0;④当-1<x<0时，y>0，正确的是__________________(填写序号).11. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为.三、解答题（本大题共6道小题）12. 为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元.(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元?(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.13. 小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.请你根据图象进行探究:(1)小王和小李的速度分别是多少?(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.14. 如图，二次函数的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.(1)请直接写出点D的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.15. 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(-1，0)，D(5，-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A，D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.16. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50 m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2).(1)如图①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大?(2)如图②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.17. 在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下:x…-1 0 1 2 3 …y甲… 6 3 2 3 6 …乙写错了常数项，列表如下:x…-1 0 1 2 3 …y乙…-2 -1 2 7 14 …通过上述信息，解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当x时，y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 2020年中考数学三轮专题复习函数及其图象-答案一、选择题（本大题共6道小题）1. 【答案】A2. 【答案】D[解析]∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(-4，0)，∵a<0，∴抛物线开口向下，则使函数值y>0成立的x的取值范围是-4<x<2.3. 【答案】D[解析]目标A的位置在南偏东75°方向5 km处，故选D.4. 【答案】B[解析]根据题意可知兔子先让乌龟跑了一段距离，但是比乌龟晚到终点，故选项B正确.5. 【答案】C6. 【答案】C[解析]根据反比例函数y=，y=-及圆的中心对称性和轴对称性知，将二、四象限的阴影部分旋转到一、三象限对应部分，显然所有阴影部分的面积之和等于一、三象限内两个扇形的面积之和，也就相当于一个半径为2的半圆的面积.=π×22=2π.故选C.∴S阴影二、填空题（本大题共5道小题）7. 【答案】1.58. 【答案】x>3[解析]当x=3时，x=×3=1，∴点A在一次函数y=x的图象上，且一次函数y=x的图象经过第一、三象限，∴当x>3时，一次函数y=x的图象在y=kx+b的图象上方，即kx+b<x.9. 【答案】解:(1)3[解析]观察表格，根据抛物线的对称性可得x=3和x=-1时的函数值相等，∴m的值为3，故答案为:3.(2)y=(x-1)2-1[解析]由表格可得，二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标是(1，-1)，∴y=a(x-1)2-1.又当x=0时，y=0，∴a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x-1)2-1.(3)n>0[解析]∵点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，∴结合二次函数的图象和性质可知n>0.10. 【答案】①③④[解析]根据图象可得:a<0，c>0，对称轴:直线x=-=1，∴b=-2a.∵a<0，∴b>0，故①正确;把x=-1代入y=ax2+bx+c，得y=a-b+c.由抛物线的对称轴是直线x=1，且过点(3，0)，可得当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，故②错误;当x=1时，y=a+b+c>0.∵b=-2a，∴-+b+c>0，即b+2c>0，故③正确;由图象可以直接看出④正确.故答案为:①③④.11. 【答案】4[解析]过点D作DH⊥x轴于H点，交OE于M，∵反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，E，∴S△ODH=S△ODA=S△OEC=，∴S△ODH-S△OMH=S△OEC-S△OMH，即S△OMD=S四边形EMHC，∴S△ODE=S梯形DHCE=3，设D(m，n)，∵D为AB的中点，∴B(2m，n).∵反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，E，∴E2m，，∴S梯形=+n m=3，DHCE∴k=mn=4.三、解答题（本大题共6道小题）12. 【答案】解:(1)设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据题意，得解得答:1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元.(2)设购买A型节能灯a只，则购买B型节能灯(200-a)只，总费用为w元，w=5a+7(200-a)=-2a+1400，∵a≤3(200-a)，∴a≤150，∵-2<0，w随a的增大而减小，∴当a=150时，w取得最小值，此时w=1100，200-a=50.答:最省钱的购买方案是:购买A型节能灯150只，B型节能灯50只.13. 【答案】解:(1)从线段AB得:两人从相距30 km的两地同时出发，1 h后相遇，则v小王+v小李=30 km/h，小王从甲地到乙地行驶了3 h，∴v小王=30÷3=10(km/h)，∴v小李=20 km/h.(2)C点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了30÷20=1.5(h)，此时小王和小李的距离是1.5×10=15(km)，∴C点坐标是(1.5，15).设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(1，0)，C(1.5，15)分别代入解析式，得解得:∴线段BC的解析式为y=30x-30(1≤x≤1.5).14. 【答案】解:(1)D(-2，3).(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)，根据题意，得解得∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x<-2或x>1.15. 【答案】[分析] (1)将点A，D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解;(2)设出P点坐标，用参数表示PE，PF的长，利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.解:(1)将点A，D的坐标代入y=kx+n得:解得:故直线l的表达式为y=-x-1.将点A，D的坐标代入抛物线表达式，得解得故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∵直线l的表达式为y=-x-1，∴C(0，-1)，则直线l与x轴的夹角为45°，即∠OAC=45°，∵PE∥x轴，∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y轴，∴∠EPF=90°，∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，则点F(x，-x-1)，∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18，∵-2<0，∴当x=2时，PE+PF有最大值，其最大值为18.(3)由题意知N(0，4)，C(0，-1)，∴NC=5，①当NC是平行四边形的一条边时，有NC∥PM，NC=PM.设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，则点M的坐标为(x，-x-1)，∴|y M-y P|=5，即|-x2+3x+4+x+1|=5，解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0)，则点M坐标为(2+，-3-)或(2-，-3+)或(4，-5);②当NC是平行四边形的对角线时，线段NC与PM互相平分.由题意，NC的中点坐标为0，，设点P坐标为(m，-m2+3m+4)，则点M(n'，-n'-1)，∴0==，解得:n'=0或-4(舍去n'=0)，故点M(-4，3).综上所述，存在点M，使得以N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标分别为:(2+，-3-)，(2-，-3+)，(4，-5)，(-4，3).16. 【答案】解:(1)∵y=x·=-(x-25)2+，∴当x=25时，占地面积y最大.(2)y=x·=-(x-26)2+338，∴当x=26时，占地面积y最大.即当饲养室长为26 m时，占地面积最大.∵26-25=1≠2，∴小敏的说法不正确.17. 【答案】解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时，y=c=3是正确的，由甲同学提供的数据，选择x=-1，y=6;x=1，y=2代入y=ax2+bx+3，得解得a=1是正确的.根据乙同学提供的数据，选择x=-1，y=-2;x=1，y=2代入y=x2+bx+c，得解得b=2是正确的，∴y=x2+2x+3.(2)≥-1[解析]抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1，∵二次项系数为1，故抛物线开口向上，∴当x≥-1时，y的值随x值的增大而增大.故答案为≥-1.(3)∵方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根，即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4-4(3-k)>0，解得k>2.。

易错点03 函数-中考数学考试易错题(解析版)

易错点03 函数1．平面直角坐标系与函数2．一次函数的图像与性质3．一次函数的应用4．反比例函数5．二次函数的图像性质与性质6．二次函数的应用01各个待定系数表示的意义。

1．一次函数y＝﹣3x﹣4的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】解答：解：∵一次函数y＝﹣3x﹣4，k＝﹣3，b＝﹣4，∵该函数经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选：A．1．已知反比例函数y＝bx的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2﹣bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵反比例函数的图象在一、三象限，∵0b>，A．∵二次函数的开口向上，对称轴在y轴右侧，∵a、b异号，a>，∵0b>不相符，故A错误；∵0b<，与0B. ∵二次函数的开口向下，对称轴在y轴右侧，∵a、b异号，∵0a<，b->，∵0与已知b>0矛盾故B错误；C.∵二次函数的开口向上，对称轴在y轴右侧，∵a、b异号，∵0a<，b>，∵0∵二次函数图象与y轴交于负半轴，c<，∵0∵一次函数y＝cx+a的图象过二、三、四象限，故C错误；D. ∵二次函数的开口向上，对称轴在y轴右侧，∵a、b异号，a>，c<0∵0b-<，则b>0,∵0所以一次函数图象经过第一、二、四象限故D 正确；故选D ．20(1)k -有意义，则一次函数(1)1y k x k =-+-的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：∵0(1)k -有意义，∵10,10k k -≥-≠，∵k -1>0，∵一次函数(1)1y k x k =-+-的图象可能是A ，故选：A ．3．已知抛物线2(1)y m x x =++的开口向上，则m 的取值范围是（）．A ．1m >B ．1m <C ．1m >-D ．1m <-【答案】C【解析】解：根据题意，∵抛物线2(1)y m x x =++的开口向上，∵10m +>，∵1m >-；故选：C ．02 各种函数解析式的求法以及函数与几何图形的关系应用。

2020年中考数学函数图象判断问题专题复习(含答案)

2020年中考数学函数图象判断问题专题复习(名师精选全国真题，值得下载练习)1.“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先,但它因为骄傲在途中睡觉,而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛.下列函数图象可以体现这一故事过程的是()解析由于兔子开始的时候领先,所以开始时兔子的速度比乌龟快,所以D选项错误;因为乌龟最终赢得比赛,即乌龟比兔子所用时间少,所以A,C均错误;故选B.2.甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80 km/h的速度行驶1 h后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1 h后,再以原速度按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示.下列说法:①乙车的速度是120 km/h;②m=160;③点H的坐标是(7,80);④n=7.5.其中说法正确的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④解析由图象可知,乙出发时,甲、乙相距80 km,2小时后,乙车追上甲.则说明乙每小时比甲快40 km,则乙的速度为120 km/h,①正确;由图象第2~6小时,乙由相遇点到达B,用时4小时,每小时比甲快40 km,则此时甲乙距离4×40=160 km,则m=160,②正确;当乙在B 休息1 h时,甲前进80 km,则H点坐标为(7,80),③正确;乙返回时,甲、乙相距80 km,到两车相遇用时80÷(120+80)=0.4小时,则n=6+1+0.4=7.4,④错误.故选A.3.已知直线y1=kx+1(k<0)与直线y2=mx(m>0)的交点坐标为,则不等式组mx－2<kx+1<mx的解集为()A.x>B.<x<C.x<D.0<x<代入y1=kx+1,可得m=k+1,解得k=m－2,∴y1=(m－2)x+1,令y3=mx－2,则当y3<y1时,mx－2<(m－2)x+1,解得x<;当kx+1<mx时,(m－2)x+1<mx,解得x>,∴不等式组mx－2<kx+1<mx的解集为<x<,故选B.4.春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是学校高度重视的一项工作,为此,某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中,先经过5 min的集中药物喷洒,再封闭宿舍10 min,然后打开门窗进行通风,室内每立方米空气中含药量y(mg/m3)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系,在打开门窗通风前分别满足两个一次函数,在通风后又成反比例,如图所示.下面四个选项中错误的是()A.经过5 min集中喷洒药物,室内空气中的含药量最高达到10 mg/m3B.室内空气中的含药量不低于8 mg/m3的持续时间达到了11 minC.当室内空气中的含药量不低于5 mg/m3且持续时间不低于35分钟时,才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效D.当室内空气中的含药量低于2 mg/m3时,对人体才是安全的,所以从室内空气中的含药量达到2 mg/m3开始,需在59 min后,学生才能进入室内正确.不符合题意;B.由题意x=4时,y=8,∴室内空气中的含药量不低于8 mg/m3的持续时间达到了11 min,正确,不符合题意;C.y=5时,x=2.5或24,24－2.5=21.5<35,故本选项错误,符合题意;D.正确.不符合题意,故选C.5.小明参加100 m短跑训练,2018年1~4月的训练成绩如下表所示:体育老师夸奖小明是“田径天才” 请你预测小明5月后(6月份)100 m短跑的成绩为() (温馨提示:目前100 m短跑世界纪录为9秒58)A.14.8 sB.3.8 sC.3 sD.预测结果不可靠设y=kx+b依题意得解答－∴y=－0.2x+15.8.当x=5时,y=－0.2×5+15.8=14.8.故选A.6.如图,一次函数y=－x－2与y=2x+m的图象相交于点P(n,－4),则关于x的不等式组－－的解集为.－－2<x<2一次函数y=－x－2的图象过点P(n,－4),∴－4=－n－2,解得n=2,∴P(2,－4),又∵y=－x－2与x轴的交点是(－2,0),∴关于x的不等式2x+m<－x－2<0的解集为－2<x<2.7.某日上午,甲、乙两车先后从A地出发沿一条公路匀速前往B地,甲车8点出发,如图是其行驶路程s(千米)随行驶时间t(小时)变化的图象.乙车9点出发,若要在10点至11点之间(含10点和11点)追上甲车,则乙车的速度v(单位:千米/小时)的范围是.千米/小时≤v≤80千米/小时:甲车的速度为120÷3=40千米/小时 2≤t≤3若10点追上,则v=2×40=80千米/小时,若11点追上,则2v=120,即v=60千米/小时,∴60千米/小时≤v≤80千米/小时.8.已知一艘轮船上装有100吨货物,轮船到达目的地后开始卸货,设平均卸货速度为v(单位:吨/小时),卸完这批货物所需的时间为t(单位:小时):(1)求v关于t的函数表达式;(2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物,那么平均每小时至少要卸货多少吨?由题意可得100=vt,则v=.(2)∵不超过5小时卸完船上的这批货物,∴t≤5 则v≥=20.答:平均每小时至少要卸货20吨.9.某学校积极响应“三城同创”的号召,绿化校园,计划购进A、B两种树苗,共21棵,已知A种树苗每棵90元,B种树苗每棵70元.设购买A种树苗x棵,购买两种树苗所需费用为y元.(1)求y与x的函数表达式,其中0≤x≤21;(2)若购买B种树苗数量少于A种树苗的数量,请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.根据题意,得y=90x+70(21－x)=20x+1 470,所以函数表达式为y=20x+1 470.(2)∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,∴21－x<x,解得x>10.5,又∵y=20x+1 470,且x取整数,∴当x=11时,y有最小值=1 690,∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵,A种树苗11棵,所需费用为1 690元.10.一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商,水果店根据该酒店以往每月的需求情况,本月初专门为他们准备了2 600 kg的这种水果.已知水果店每售出1 kg该水果可获利润10元,未售出的部分每1 kg将亏损6元,以x(单位:kg 2 000≤x≤3 000)表示A酒店本月对这种水果的需求量,y(元)表示水果店销售这批水果所获得的利润.(1)求y关于x的函数表达式;(2)当A酒店本月对这种水果的需求量如何时,该水果店销售这批水果所获的利润不少于22 000元?由题意得,当2 000≤x≤2 600时,y=10x－6(2 600－x)=16x－15 600;当2 600<x≤3 000时,y=2 600×10=26 000;(2)由题意得16x－15 600≥22 000 解得x≥2 350.∴当A酒店本月对这种水果的需求量小于等于3 000 kg,不少于2 350 kg时,该水果店销售这批水果所获的利润不少于22 000元.11.一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.(1)求y关于x的函数关系式;(不需要写定义域)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?设该一次函数解析式为y=kx+b,将(150,45)、(0,60)代入y=kx+b中,解得－∴该一次函数解析式为y=－x+60.(2)当y=－x+60=8时,解得x=520.即行驶520千米时,油箱中的剩余油量为8升.530－520=10千米,油箱中的剩余油量为8升时,距离加油站10千米.∴在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油时,离加油站的路程是10千米.12.为了落实党的“精准扶贫”政策,A,B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产,已知A,B两城共有肥料500吨,其中A城肥料比B城少100吨,从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨;从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨.现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨.(1)A城和B城各有多少吨肥料?(2)设从A城运往C乡肥料x吨,总运费为y元,求出最少总运费.(3)由于更换车型,使A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,这时怎样调运才能使总运费最少?设A城有化肥a吨,B城有化肥b吨,根据题意,得解得－答:A城和B城分别有200吨和300吨肥料;(2)设从A城运往C乡肥料x吨,则运往D乡(200－x)吨从B城运往C乡肥料(240－x)吨,则运往D乡(60+x)吨如总运费为y元,根据题意,则y=20x+25(200－x)+15(240－x)+24(60+x)=4x+10 040由于函数是一次函数,k=4>0所以当x=0时,运费最少,最少运费是10 040元.(3)从A城运往C乡肥料x吨,由于A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,所以y=y=(20－a)x+25(200－x)+15(240－x)+24(60+x)=(4－a)x+10 040,当0<a≤4时,∵4－a≥0,∴当x=0时,运费最少;当4<a<6时,∵4－a<0,∴当x=240时,运费最少.所以:当0<a≤4时,A城化肥全部运往D乡,B城运往C乡240吨,运往D乡60吨,运费最少;当4<a<6时,A城化肥全部运往C乡,B城运往C乡40吨,运往D乡260吨,运费最少.。

2020年中考数学三轮题型突破函数图象专题练习(含答案)

2020中考数学三轮题型突破函数图象专题（含答案）1.小明每天早上沿着矩形公园ABCD跑步，爸爸站在AC的某一个固定点处负责进行计时指导．假设小明在矩形公园ABCD的边上沿着A→B→C→D→A的方向跑步一周，小明跑步的路程为x米，小明与爸爸之间的距离为y米．y与x之间的函数关系如图②所示，则爸爸所在的位置可能为图①的()第1题图A. A点B. M点C. O点D. N点B【解析】矩形ABCD关于点O成中心对称，若爸爸在点O处，函数图形应为中心对称图形，图象与已知实际不符，故C错；若爸爸在A处，当小明在A处时，小明和爸爸的距离是0，图象与实际不符合，故A错；若爸爸在点M处，如解图，点S，点D，点R，点C，点U，点B，点W，点A代表小明在矩形的不同位置，通过观察MA，MW，MB，MV，MC，MR，MD，MS的大小可以知道，图形与实际符合，所以B选项是正确的；若小明在点N处，开始时刻小明与爸爸的距离最远，图象与实际不符，故D错.第1题解图2.如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是()A. 凌晨4时气温最低为－3 ℃B. 14时气温最高为8 ℃C. 从0时至14时，气温随时间增长而上升D. 从14时至24时，气温随时间增长而下降第2题图C【解析】A.由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点为－3，∴凌晨4时气温最低为－3℃，正确；B.由图象可知，在14点函数图象在最高点为8，∴14时气温最高为8℃，正确；C.由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上升，不是从0时，故本选项错误；D.由图象可知，从14时至24时，气温随时间增长而下降，正确，故选C.3.我市某小区实施供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的函数关系如图所示，则下列说法中，正确的个数有()个．①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x＝4 时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．A. 1B. 2C. 3D. 4第3题图D【解析】由图象可得，甲队每天挖：600÷6＝100米，故①正确，乙队开挖两天后，每天挖：(500－300)÷(6－2)＝50米，故②正确，当甲乙挖的管道长度相等时，100x＝300＋(x －2)×50，得x＝4，故③正确，甲队比乙队提前完成的天数为：(600－300)÷50＋2－6＝2(天)，故④正确．4.某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时．调进物资4小时后同时开始调出物资(调进与调出物资的速度均保持不变)．该仓库库存物资w(吨)与时间t(小时)之间的函数关系如图．则这批物资调出的速度(吨/小时)及从开始调进到全部调出所需要的时间(小时)分别是()A. 10, 10B. 25, 8.8C. 10, 8.8D. 25, 9第4题图B 【解析】调进物资的速度是60÷4＝15(吨/时)，当在第4小时时，库存物资应该有60吨，在第8小时时库存20吨，所以调出速度是60－20＋15×44＝25(吨/时)，所以剩余的20吨完全调出需要20÷25＝0.8(小时)．故这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是8＋0.8＝8.8(小时)．5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为斜边AB 的中点，动点P 从B 点出发，沿B →C →A 运动．如图①所示，设S △DPB ＝y ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图②所示，则图②中Q 点的坐标是( )第5题图A. (4，4)B. (4，3)C. (4，6)D. (4，12)B 【解析】根据题意和图象可得，BC ＝4，AC ＝7－4＝3，∵∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，点x ＝4时，S △DPB ＝S △ACB 2，∴y ＝S △DPB ＝12S △ACB ＝12×3×42＝3，即点Q 的坐标是(4，3)．6. 设圆、等腰直角三角形、正方形和等边三角形边界上的一个定点为Q (如四个选项中的图形)，动点P 从点Q 出发，在其边界上按顺时针方向匀速运动一周后又回到起点Q .设点P 运动的时间是t ，点P 和点Q 之间的距离是d ，如图是d 与t 之间函数关系的大致图象，则该图形可能是( )第6题图D 【解析】A.圆，随着点P 运动，d 的长度先变速增加至PQ 为直径，然后再变速减小至点P 回到点Q ，题干图象不符合；B.等腰直角三角形，点P 在一开始沿直角边运动时，d 的长度为直线变化增大，沿另一条直角边运动时，设直角边长为a ，则d ＝a 2＋（t －a ）2(a <t <2a )，在斜边运动时，d 的长度为直线变化减小，且长度与直角边不相等，题干图象不符合；C.正方形，点P 在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至∠Q 的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；D.等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在点Q的对边上时，设等边三角形的边长为a，则y＝（32＋（32a－t）22a）(a<x<2a)，符合题干图象．7.如图，直角边长为 2 的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上，等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为t，两图形重合部分的面积为S，则S关于t的图象大致为()第7题图B【解析】根据题意可得，等腰直角三角形斜边为2，斜边上的高为1，而等边三角形，故等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，出现等的边长为3，高为332腰直角三角形完全处于等边三角形内部的情况，故两图形重合部分的面积先增大，然后不变，再减小，S关于t的图象的中间部分为水平的线段，故A，D选项错误；当t＝0时，S＝0，故C 选项错误，B 选项正确．8. 如图，正方形ABCD 的边长为2 cm ，动点P 从点A 出发，在正方形的边上沿A →B →C 的方向运动到点C 停止，设点P 的运动路程为x (cm)，在下列图象中，能表示△ADP 的面积y (cm 2)关于x (cm)的函数关系的图象是( )第8题图A 【解析】当P 点由A 运动到B 点时，即0≤x ≤2时，y ＝12×2x ＝x ，当P 点由B 运动到C 点时，即2<x <4时，即y ＝12×2×2＝2，∴符合题意的函数关系的图象是A.9. 李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下修车，车修好后，因怕耽误时间，于是加快了车速．如用s 表示李明离家的距离，t 为时间．在下面给出的表示s 与t 的关系图中，符合上述情况的是( )C【解析】∵停下修车时，路程没变化，观察图象，A、B、D的路程始终都在变化，故错误；C、修车时的路程没变化，所以C选项是正确的．10.小强将一个球竖直向上抛起，球升到最高点，垂直下落，直到地面．在此过程中，球的高度(h)与时间(t)的关系可以用图中的哪一幅来近似地刻画()C【解析】因为是小强将一个球竖直向上抛，小强有一定的身高，故D一定不符合；小强抛出小球后，小球开始是向上运动的，故高度在增加，故A一定错误；小球升到一定高度后，会自由落下，高度就会降低，故B错误，C正确．11.小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是()D【解析】由题意可知，当先向空玻璃杯注水时，玻璃杯内水位迅速上升，注满玻璃杯后，鱼缸水位开始上升，此时最高水位h不变，当鱼缸水位与玻璃杯水位相等后在继续注水，鱼缸内水位h缓慢上升，由此可判断D选项符合题意．12.某市煤气公司计划在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)的函数图象大致是()A【解析】根据题意可知：S＝104d(S＞0，d＞0)，依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．故选A.13.如图，将一个边长为6的正方形纸片(如图①)，在四个角上分别剪去边长为x的同样大小的小正方形，翻折粘合成一个无盖的长方体(如图②)，设无盖的长方体的侧面积为S，则反映S与x之间的函数关系的大致图象是()第13题图D 【解析】因为正方形纸片的边长为6，所以0<x <3，长方体的底面边长为6－2x ，高为x ，则侧面积S ＝4(6－2x )x ＝－8x 2＋24x ＝－8(x －32)2＋18，所以对应的图象为选项D.14. 随着移动互联网的快速发展，OFO 、摩拜等互联网共享单车应运而生并快速发展．小冬骑的摩拜单车，爸爸骑的摩托车，沿相同路线由A 地到B 地，行驶过程中路程y 和时间x 的函数关系的图象如图，根据图象分析，何时俩人相遇，谁先到达B 地( )第14题图A. 4分钟时相遇，爸爸先到B. 20分钟时相遇，爸爸先到C. 4分钟时相遇，小冬先到D. 20分钟时相遇，小冬先到B【解析】观察函数图象可以知道，两函数图象的交点为(20，4)，且爸爸先到，∴俩人20分钟时相遇．。

2020中考数学函数图象的性质(包含答案)

2020中考数学函数图象的性质（含答案）一、单选题（共有17道小题）1.正比例函数y kx =和反比例函数21y k x=-+（k 是常数且k ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）参考答案:C2.反比例函数my x=的图象如图所示，下列结论： ①常数1m <-；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大； ③若点()1,A h -，()2,B k 在图象上，则h k <； ④若点(),P x y 在图象上，则点()',P x y --也在图象上。

其中正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4参考答案:B3.在同一直角坐标系中，函数ay=-与()1,0y ax a =+≠的图象可能是（）参考答案:B4.在同一坐标系中，函数y ax b=+与2y ax b =+的图象可能为下列哪个（）yxDOy xC Oy x A O y xB O参考答案:C5.如果函数()0,2≠-=k kx y 的图象不经过第一象限，那么函数xky=的图象一定在（） A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限参考答案:D6.在同一直角坐标系中，反比例函数()0ky k x=≠和正比例函数()0y kx k =≠的图象可能是（）A. B. C. D. 参考答案:C7.在同一坐标系中，函数xky =和2+=kx y 的图象大致可能是（）x yO xyO xyOxyOC. D.参考答案:A8.在同一平面直角坐标系内，一次函数b ax y +=与二次函数b x ax y ++=82的图象可能是( )参考答案:C9.若0ab <，则正比例函数y ax =和反比例函数y bx=在同一坐标系中的大致图象可能是（）参考答案:B10.若正比例函数()0y mx m =≠，y 随x 的增大而减小，则它和二次函数2y mx m =+的图象大致可能是（）y x A O yxBOyxDOyxCOyxDO yx COyxB OB参考答案:B12.如图，在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =-和二次函数2y ax c =-+的图象大致可能为( )参考答案:D13.在同一平面直角坐标系中，一次函数b ax y +=和二次函数c bx ax y ++=2的图象可能为（）参考答案:A14.二次函数bx ax y +=2的图象如图所示，那么一次函数y ）参考答案:C15.已知0b <，二次函数22y ax bx a =++-A A BCDyxDOyxCOyxBOy xAOC D试根据图象分析，a 的值应等于（）A ．－2B ．－1C ．1D ．2参考答案:C16.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数by x=与一次函数y cx a =+在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）参考答案:B17.在同一平面直角坐标系中，函数y mxm =+,和函数222,)0y mx x m m =-++≠（是常数,且的图象可能是( )参考答案:D。

2020中考常见最值问题总结归纳微专题九函数最值设X构造函数法(解析版)

2020中考常见最值问题总结归纳微专题九：设X构造函数法WORKINGPLAN微专题九：设X 构造函数法考法指导把几何最值问题，通过设X ，构造二次函数或一次函数，根据函数的性质求解最值。

目前构造函数法求最值，主要分为两大类别：（1）第一类为动点的几何最值问题（2）第二类为函数几何结合的求面积，线段和，差，积的最值问题。

【典例精析】类型一函数几何求面积线段最值例题1．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的边BC 在x 轴上，90ABC ∠=，以A 为顶点的抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)C ，交y 轴于点(0,3)E ，动点P 在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P 从A 点出发，沿A B →方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B 停止，设运动时间为t 秒，过点P 作PD AB ⊥交AC 于点D ，过点D 平行于y 轴的直线l 交抛物线于点Q ，连接,AQ CQ ，当t 为何值时，ACQ ∆的面积最大？最大值是多少？（3）若点M 是平面内的任意一点，在x 轴上方是否存在点P ，使得以点,,,P M E C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）当2t =时，其最大值为1；（3）①(2,3M -；②点M 或(2,3M -或(2,2)M【详解】解：（1）将点,C E 的坐标代入二次函数表达式得：9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，故抛物线的表达式为：2y x 2x 3=-++，则点(1,4)A ；（2）将点,A C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC 的表达式为：26y x =-+，点(1,4-)P t ，则点,2+42t t D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设点22+,+424t t Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22141244ACQt t S DQ BC t t -+=⨯⨯==-+， ∵104-<，故ACQ S ∆有最大值，当2t =时，其最大值为1；（3）设点(1,)P m ，点(,)M x y ，①当EC 是菱形一条边时，当点M 在x 轴下方时，点E 向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C ，则点P 平移3个单位、向下平移3个单位得到M ，则13x +=，3m y -=，而MP EP =得：2221(3)(1)()m x y m +-=-+-，解得：3y m =-=故点M ；当点M 在x 轴上方时，同理可得：点(2,3M -+；②当EC 是菱形一对角线时，则EC 中点即为PM 中点，则13x +=，3y m +=，而PE PC =，即221(3)4(2)m m +-=+-，解得：1m =，故2x =，3312y m =-=-=，故点(2,2)M ；综上，点M 或(2,3M -+或(2,2)M ．【针对训练】1．（2018·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A、B两点，交y 轴于点C、0、、43、、OA=1、OB=4，直线l 过点A ，交y 轴于点D ，交抛物线于点E ，且满足tan ∠OAD=34、、1）求抛物线的解析式；、2）动点P 从点B 出发，沿x 轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，动点Q 从点A 出发，沿射线AE 以每秒1个单位长度的速度向点E 运动，当点P 运动到点A 时，点Q 也停止运动，设运动时间为t 秒．①在P、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△ADC 与△PQA 相似，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．②在P、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=21433x x +-（（2（①存在t=10047或t=3534，使得△ADC与△PQA 相似；②当t=139时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大. 【详解】解：（1）∵OA=1，OB=4，∴A （1，0），B （﹣4，0），设抛物线的解析式为y=a （x+4）（x ﹣1），∵点C （0，﹣43）在抛物线上， ∴﹣4=4(1)3a ⨯⨯-，解得a=13. ∴抛物线的解析式为y=2114(4)(1)333x x x x +-=+-. （2）存在t ，使得△ADC 与△PQA 相似．理由：①在Rt △AOC 中，OA=1，OC=43，则tan ∠ACO=34OA OC =， ∵tan ∠OAD=34， ∴∠OAD=∠ACO ，∵直线l 的解析式为y=3(1)4x -， ∴D （0，﹣34）， ∵点C （0，﹣43）， ∴CD=4373412-=，由AC 2=OC 2+OA 2，得AC=53，在△AQP 中，AP=AB ﹣PB=5﹣2t ，AQ=t ，由∠PAQ=∠ACD ，要使△ADC 与△PQA 相似，只需AP CD AQ AC =或AP AC AQ CD=，则有7521253tt -=或5523712tt -=，解得t 1=10047，t 2=3534，∵t 1＜2.5，t 2＜2.5，∴存在t=10047或t=3534，使得△ADC 与△PQA 相似；②存在t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大，理由：作PF ⊥AQ 于点F ，CN ⊥AQ 于N ，在△APF 中，PF=AP•sin ∠PAF=352)5t -（，在△AOD 中，由AD 2=OD 2+OA 2，得AD=54，在△ADC 中，由S △ADC =11··22AD CN CD OA = ，∴CN=71·7125154CD OA AD ⨯==，∴S △AQP +S △AQC =21137313169()[(52)]()2251559135AQ PF CN t t t +=--+=--+ ，∴当t=139时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大.2．（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值为94，E（32，﹣34）．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB 中点坐标为（2，0）设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点坐标为：22m + ，即：22m +＝2，解得：m ＝2，故点P （2，﹣1）；故：点P （4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +3，设点E 坐标为（x ，x 2﹣4x +3），则点D （x ，﹣x +3），S 四边形AEBD ＝12AB （y D ﹣y E ）＝﹣x +3﹣x 2+4x ﹣3＝﹣x 2+3x ， ∵﹣1＜0，故四边形AEBD 面积有最大值，当x ＝32，其最大值为94，此时点E （32，﹣34）． 3．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．【答案】(1)抛物线的表达式为：223y x x =--；(2)POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916；(3)点Q -或1122⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭．【详解】解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得：直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++， ∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916；(3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况： ①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，BC =AC =，过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：AH =，则sinAH ACB AC ∠==，则tan 2ACB ∠=，则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②，联立①②并解得：x =舍去负值)，故点Q -②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠，则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，联立①③并解得：12x -+=，故点1122Q ⎛-+ ⎝⎭；综上，点Q -或⎝⎭． 4．（2019·海南中考真题）如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结CD ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ． ①当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P ，使得PBC BCD ∠=∠若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）265y x x =++；（2）①278；②存在，37,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(0,5)．【详解】解：（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式得：2555016453a b a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得：16a b =⎧⎨=⎩，故抛物线的表达式为：265y x x =++…①，令=0y ，则=1x -或5-，即点(1,0)C -；（2）①如图1，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点G ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：=+1y x …②，设点(,+1)G t t ，则点()2,65P t t t ++， ()()221331516562222PBC C B S PG x x t t t t t =-=+---=---， 302<，PBC S ∴有最大值，当52t =-时，其最大值为278； ②设直线BP 与CD 交于点H ，当点P 在直线BC 下方时，PBC BCD ∠=∠，∴点H 在BC 的中垂线上，线段BC 的中点坐标为53,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过该点与BC 垂直的直线的k 值为﹣1，设BC 中垂线的表达式为：=+y x m -，将点53,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入上式并解得：直线BC 中垂线的表达式为：=4y x --…③，同理直线CD 的表达式为：=2 +2y x …④，联立③④并解得：=2x -，即点(2,2)H --，同理可得直线BH 的表达式为：112y x =-…⑤，联立①⑤并解得：32x =-或4-（舍去4-），故点37,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当点()P P '在直线BC 上方时， PBC BCD ∠=∠，BP CD '∴∥，则直线BP ′的表达式为：=2 +y x s ，将点B 坐标代入上式并解得：=5s ，即直线BP ′的表达式为：=2 +5y x …⑥，联立①⑥并解得：=0x 或4-（舍去4-），故点(0,5)P ；故点P 的坐标为37,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(0,5)．5．（2018·内蒙古中考真题）如图，抛物线y=ax 2+bx、5与坐标轴交于A、、1、0、、B、5、0、、C、0、、5）三点，顶点为D、、1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D 的坐标；、2）连接BC 与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点（点P 不与B、C 两点重合），过点P 作PF ∥DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m、①是否存在点P ，使四边形PEDF 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．②过点F 作FH ⊥BC 于点H ，求△PFH 周长的最大值．【答案】（1（y=x 2（4x（5（顶点坐标为D（2（（9（（（2（①存在点P（3（（2）使四边形PEDF为平行四边形（②△PFH 周长的最大值为254. 【详解】（1）把A（（1（0（（B（5（0）代入抛物线y=ax 2+bx（5，得0502555a b a b =--⎧⎨=+-⎩（解得（14a b =⎧⎨=-⎩（ ∴y=x 2（4x（5=（x -2（2-9（∴顶点坐标为D（2（（9（（（2（①存在（设直线BC 的函数解析式为y=kx+b（k≠0（（把B（5（0（（C（0（（5）代入得505k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：15k b =⎧⎨=-⎩（ ∴BC 解析式为y=x（5（当x=m 时，y=m（5（∴P（m（m（5（（当x=2时，y=2（5=（3（∴E（2（（3（（∵PF ∥DE ∥y 轴（∴点F 的横坐标为m（当x=m 时，y=m 2（4m（5（∴F（m（m 2（4m（5（（∴PF=（m（5（（（m 2（4m（5（=（m 2+5m（∵E（2（（3（（D（2（（9（（∴DE=（3（（（9（=6（如图，连接DF（∵PF ∥DE（∴当PF=DE 时，四边形PEDF 为平行四边形（即﹣m 2+5m=6（解得m 1=3（m 2=2（舍去）（当m=3时，y=3（5=2（此时P（3（（2（（∴存在点P（3（（2）使四边形PEDF 为平行四边形（②由题意（在Rt △BOC 中，OB=OC=5（∴（∴C △BOC（∵PF ∥DE ∥y 轴（∴∠FPE=∠DEC=∠OCB（∵FH ⊥BC（∴∠FHP=∠BOC=90°（∴△PFH ∽△BCO（ ∴PFH BCO C PF C BC（即C △PFH =))()22515m m m m -+=-+（ ∵0（m（5（∴当m=（()55212=⨯-时，△PFH 周长的最大值为254.6．（2019·吉林中考真题）如图，抛物线()21y x k =-+与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点()0,3C-．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且0m >．⑴求此抛物线的解析式；⑵当点P 位于x 轴下方时，求ABP ∆面积的最大值；⑶设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ． ①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当9h =时，直接写出BCP ∆的面积．【答案】（1）223y x x =--；（2）8；（3）（22h m m =-+（01m <≤），1h =（12m <≤），221h m m =-+（2m >）；（6. 【详解】解：（1）因为抛物线()21y x k =-+与y 轴交于点()0,3C -，把()0,3-代入()21y x k =-+，得 ()2301k -=-+，解得4k =-，所以此抛物线的解析式为()214y x =--，即223y x x =--；（2）令0y =，得()2140x --=，解得121,3x x =-=，所以()()1,0,3,0A B -，所以4AB =；解法一：由（1）知，抛物线顶点坐标为()1,4-，由题意，当点P 位于抛物线顶点时，ABP ∆的面积有最大值，最大值为14482ABP S ∆=⨯⨯=；解法二由题意，得()2,23P m m m --，所以()214232ABP S m m ∆=⨯⨯-++ 2246m m =-++()2218m =--+，所以当1m =时，ABP S ∆有最大值8；（3）（当01m <≤时，()223232h m m m m =----=-+；当12m <≤时，()341h =---=；当2m >时，()2223421h m m m m =----=-+；（当h=9时若-m 2+2m=9，此时△＜0，m 无解；若m 2-2m+1=9，则m=4，∴P （4，5），∵B （3，0），C （0，-3），∴△BCP 的面积=1118451222⨯⨯-⨯⨯-⨯（4+1）×3=6； 7．（2017·贵州中考真题）如图、直线y、2x、6与反比例函数y、k x (k、0)的图像交于点A(1、m)、与x 轴交于点B、平行于x 轴的直线y、n(0、n、6)交反比例函数的图像于点M、交AB 于点N、连接BM.(1)求m 的值和反比例函数的表达式；(2)直线y、n 沿y 轴方向平移、当n 为何值时、△BMN 的面积最大？【答案】（1（m（8，反比例函数的表达式为y（8x（（2（当n（3时，△BMN 的面积最大．【详解】解：（1）∵直线y=2x+6经过点A （1，m ），∴m=2×1+6=8，∴A（1，8），∵反比例函数经过点A （1，8）， ∴8=1k ， ∴k=8，∴反比例函数的解析式为y=8x．（2）由题意，点M ，N 的坐标为M （8n ，n ），N （62n -，n ）， ∵0＜n ＜6， ∴62n -＜0， ∴S △BMN =12×（|62n -|+|8n |）×n=12×（﹣62n -+8n ）×n=﹣14（n ﹣3）2+254， ∴n=3时，△BMN 的面积最大．8．（2017·四川中考真题）如图1，抛物线：与：相交于点O 、C ，与分别交x 轴于点B 、A ，且B 为线段AO 的中点．（1）求的值；（2）若OC⊥AC ，求⊥OAC 的面积；（3）抛物线C 2的对称轴为l ，顶点为M ，在（2）的条件下：①点P 为抛物线C 2对称轴l 上一动点，当⊥PAC 的周长最小时，求点P 的坐标； ②如图2，点E 在抛物线C 2上点O 与点M 之间运动，四边形OBCE 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）①P（，）；②E（，），．【详解】：（1）在y=x2+ax中，当y=0时，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，∴B（﹣a，0），在y=﹣x2+bx中，当y=0时，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，∴A（0，b），∴B为OA的中点，∴b=﹣2a，∴；（2）联立两抛物线解析式可得：，消去y整理可得，解得，，当时，，∴C（，），过C作CD∴x轴于点D，如图1，∴D（，0），∴∴OCA=90°，∴∴OCD∴∴CAD，∴，∴CD2=AD•OD，即，∴a1=0（舍去），（舍去），，∴OA=-2a=，CD==1，∴；（3）①抛物线，∴其对称轴，点A关于l2的对称点为O（0，0），C（，1），则P为直线OC与l2的交点，设OC的解析式为y=kx，∴1=k，得k=，∴OC的解析式为，当时，，∴P（，）；②设E（m，）（），则，而B（，0），C（，1），设直线BC的解析式为y=kx+b，由，解得：k=，b=-2，∴直线BC的解析式为，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，则，即x=∴EN=∴∴S 四边形OBCE =S △OBE +S △EBC，∴，∴当时，，当时，，∴E （，），．9．（2017·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）与y 轴交与点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）233384y x x =-++；（2）S=299105t t -+，运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910；（3）t=2417或t=3019．【详解】（1）∵点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1， ∴A （﹣2，0），把点A （﹣2，0）、B （4，0）、点C （0，3），分别代入2y ax bx c =++（a≠0），得：423016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：38343a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以该抛物线的解析式为：233384y x x =-++；（2）设运动时间为t 秒，则AM=3t ，BN=t ，∴MB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，3）．在Rt △BOC 中，．如图1，过点N 作NH ⊥AB 于点H ， ∴NH ∥CO ， ∴△BHN ∽△BOC ，∴HN BN OC BC =，即35HN t=， ∴HN=35t ，∴S △MBN =12MB•HN=12（6﹣3t ）•35t ，即S=229999(1)1051010t t t -+=--+，当△PBQ 存在时，0＜t ＜2，∴当t=1时，S △PBQ 最大=910．答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910；（3）如图2，在Rt △OBC 中，cos ∠B=45OB BC =．设运动时间为t 秒，则AM=3t ，BN=t ，∴MB=6﹣3t ．①当∠MNB=90°时，cos ∠B=45BN MB =，即4635t t =-，化简，得17t=24，解得t=2417；②当∠BMN=90°时，cos ∠B=6345t t -=，化简，得19t=30，解得t=3019．综上所述：t=2417或t=3019时，△MBN 为直角三角形．10．（2017·四川中考真题）抛物线y=4x 2﹣2ax+b 与x 轴相交于A （x 1，0），B （x 2，0）（0＜x 1＜x 2）两点，与y 轴交于点C ．（1）设AB=2，tan ∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D 为直线BC 下方抛物线上一动点，当△BCD 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）是否存在整数a ，b 使得1＜x 1＜2和1＜x 2＜2同时成立，请证明你的结论．【答案】（1）y=4x 2﹣16x+12；（2）P （32，﹣3）．（3）不存在．理由见解析.【详解】（1）∵tan∠ABC=4∴可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），∴可以假设抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），得m=3，∴抛物线的解析式为y=4（x﹣3）（x﹣1），∴y=4x2﹣16x+12，（2）如图，设P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H．∵B（3，0），C（0，12），∴直线BC的解析式为y=﹣4x+12，∴H（m，﹣4m+12），∴S△PBC=S△PHC+S△PHB=12（﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12）•3=﹣6（m﹣32）2+272，∵﹣6＜0，∴m=32时，△PBC面积最大，此时P（32，﹣3）．（3）不存在．理由：假设存在．由题意可知，201644-204160a b a b a b >-+>->⎧+⎪⎨⎪⎩且1＜﹣-2a 8＜2， ∴4＜a ＜8， ∵a 是整数， ∴a=5 或6或7，当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．综上所述，不存在整数a 、b ，使得1＜x 1＜2和1＜x 2＜2同时成立． 11．（2017·天津中考真题）已知抛物线（是常数）经过点.（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P(m ，t)为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为.①当点落在该抛物线上时，求的值；②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值.【答案】（1），顶点的坐标为（1，-4）；（2）；（3）.【详解】 (1)∴抛物线经过点，∴0=1-b -3，解得b=-2. ∴抛物线的解析式为，∴，∴顶点的坐标为（1，-4）. (2)①由点P(m ，t)在抛物线上，有.∴关于原点的对称点为，有P’（-m ，-t ）. ∴，即∴解得②由题意知，P’（-m，-t）在第二象限，∴-m<0，-t>0，即m>0，t<0.又抛物线的顶点的坐标为（1，-4），得-4≤t<0.过点P’作P’H∴x轴，H为垂足，有H（-m，0）.又，，则当点A和H不重合时，在Rt∴P’AH中，当点A和H重合时,AH="0,"，符合上式.∴，即记，则，∴当t=-时，y’取得最小值.把t=-代入，得解得由m>0，可知不符合题意∴.12．（2017·贵州中考真题）如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA 的面积S 与t 的函数关系式，并求出四边形PBCA 的最大面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使得△ABH 是直角三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）217422y x x =-++；（2）S =﹣8t 2+32t +32，当t =2时，S 有最大值，且最大值为64；（3）H （72，11），（72， 122）．【详解】（1）∵A （8，0），D （﹣1，0），设过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式为y =a （x +1）（x ﹣8），将B （0，4）代入得﹣8a =4，∴a =﹣12，∴抛物线的解析式为()()1182y x x =-+-，即217422y x x =-++ ；（2）△ABC 中，AB =AC ，AO ⊥BC ，则OB =OC =4，∴C （0，﹣4）．由A （8，0）、B （0，4），得：直线AB ：y =﹣12x +4；依题意，知：OE =2t ，即 E （2t ，0）；∴P （2t ，﹣2t 2+7t +4）、Q （2t ，﹣t +4），PQ =（﹣2t 2+7t +4）﹣（﹣t +4）=﹣2t 2+8t ；S =S △ABC +S △PAB =12×8×8+12×（﹣2t 2+8t ）×8=﹣8t 2+32t +32=﹣8（t ﹣2）2+64；∴当t =2时，S 有最大值，且最大值为64；（3）存在，∵抛物线的对称轴为：x =182-+=72，∵直线x =72垂直x 轴，∴∠HAB ＜90°，①当∠ABH =90°时，由A （8，0）、B （0，4），得：直线AB ：y =﹣12x +4，所以，直线BH 可设为：y =2x +h ，代入B （0，4），得：h =4，∴直线BH ：y =2x +4，当x =72时，y =11，∴H （72，11），②当∠AHB =90°时，过B 作BN ⊥对称轴于N ，则BN =72，AG =92，设对称轴交x 轴于G ，∵∠AHG =∠HBN =90°﹣∠BHN ，∠BNH =∠AGH =90°，∴△AHG ∽△BHN ，∴AG HGHN BN=，∴9272HG HN=，∴HN （HN +4）=634，∴4（HN ）2+16HN ﹣63=0，解得：HN值舍去），∴H （72，，综上所述，H （72，11），（72，）．13．（2017·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，，直线MN 分别与x 轴、y 轴交于点M （6，0），N （0，，等边△ABC 的顶点B 与原点O 重合，BC 边落在x 轴正半轴上，点A 恰好落在线段MN 上，将等边△ABC 从图l 的位置沿x 轴正方向以每秒l 个单位长度的速度平移，边AB ，AC 分别与线段MN 交于点E ，F （如图2所示），设△ABC 平移的时间为t （s ）．⊥1）等边△ABC 的边长为_______⊥⊥2）在运动过程中，当t =_______时，MN 垂直平分AB ⊥⊥3）若在△ABC 开始平移的同时．点P 从△ABC 的顶点B 出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线BA —AC 运动．当点P 运动到C 时即停止运动．△ABC 也随之停止平移． ①当点P 在线段BA 上运动时，若△PEF 与△MNO 相似．求t 的值；②当点P 在线段AC 上运动时，设PEF S S ∆=，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）3；（2）3；（3）①t =1或34或32；②S =2，当t =32时，△PEF，此时P （3，）．【详解】解：（1）∵直线MN 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点M 、N ，OM =6cm ，ON=∴tan ∠OMN =ON OM，∴∠OMN =30°，∴∠ONM =60°，∵△ABC 为等边三角形，∴∠AOC =60°，∠NOA =30°，∴OA ⊥MN ，即△OAM 为直角三角形，∴OA =12OM =12×6=3．故答案为：3．∴2）易知当点C 与M 重合时直线MN 平分线段AB ，此时OB =3，所以t =3．故答案为：3∴ （3）①如图1中，由题意BP =2t ，BM =6﹣t ，∵∠BEM =90°，∠BME =30°，∴BE =3﹣2t，AE =AB ﹣BE =2t ，∵∠BAC =60°，∴EFAE，当点P 在EF 下方时，PE =BE ﹣BP =3﹣52t ，由{23 5302t t t ≥≤->，解得0≤t ＜65，∵△PEF 与△MNO 相似，∴PE EF或EF PE，532t-=2532t -=t =1或t =34．当点P 在EF 上方时，PE =BE ﹣BP =52t -3，∵△PEF 与△MNO 相似，∴PE EF或EF PE，53t -2532t -t =32或3．∵0≤t ≤32，且52t -3＞0，即65＜t ≤32，∴t =32. 综上所述，t =1或34或32．②当P 点在EF 上方时，过P 作PH ⊥MN 于H ，如图2中，由题意，EF=2t ，FC =MC =3﹣t ，∠PFH =30°，∴PF =PC ﹣CF =（6﹣2t ）﹣（3﹣t ）=3﹣t ，∴PH =12PF =32t -，∴S =12•EF •PH =12××32t -= 2+=232t ⎫-⎪⎝⎭，∵32≤t ≤3，∴当t =32时，△PEF，此时P （3，），当t =3时，点P 与F 重合，故P 点在EF 下方不成立．故S= 2+，当t =32时，△PEF 的面积最大，，此时P （3，）．14．（2017·四川中考真题）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为（3、0）．与y 轴交于点C 、0、3、、、1）求抛物线的解析式；、2）点P 在x 轴下方的抛物线上，过点P 的直线y =x +m 与直线BC 交于点E ，与y 轴交于点F ，求PE +EF 的最大值；、3）点D 为抛物线对称轴上一点．①当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标； ②若△BCD 是锐角三角形，求点D 的纵坐标的取值范围．【答案】（1）243y x x =-+；（2）（3）①D 点坐标为（2，5）或（2，﹣1）；②点D 的纵坐标的取值范围为32+＜y ＜5或﹣1＜y ＜32．【详解】解：（1）把B （3（0（（C （0（3）代入2y x bx c =++得（9303b c c ++=⎧⎨=⎩，解得（43b c =-⎧⎨=⎩（（抛物线的解析式为243y x x =-+（（2）易得BC 的解析式为y =（x +3（（直线y =x （m 与直线y =x 平行，（直线y =（x +3与直线y =x （m 垂直，（（CEF =90°（（（ECF 为等腰直角三角形，作PH （y 轴于H （PG （y 轴交BC于G ，如图1（（EPG 为等腰直角三角形，PE PG ，设P （t （t 2（4t +3（（1（t （3），则G （t （（t +3（（（PF PH t （PG =（t +3（（t 2（4t +3（=（t 2+3t （（PE =2PG =222t -+（（PE +EF =PE +PE +PF =2PE +PF =2+=2+=22)t -+t =2时，PE +EF 的最大值为（（3（（如图2，抛物线的对称轴为直线x =42--=2，设D （2（y ），则BC 2=32+32=18（DC 2=4+（y （3（2（BD 2=（3（2（2+y 2=1+y 2，当（BCD 是以BC 为直角边，BD 为斜边的直角三角形时，BC 2+DC 2=BD 2，即18+4+（y （3（2=1+y 2，解得y =5，此时D 点坐标为（2（5（（当（BCD 是以BC 为直角边，CD 为斜边的直角三角形时，BC 2+DB 2=DC 2，即4+（y （3（2=1+y 2+18，解得y =（1，此时D 点坐标为（2（（1（（综上所述：D 点坐标为（2（5（或（2（（1（（（当（BCD 是以BC 为斜边的直角三角形时，DC 2+DB 2=BC 2，即4+（y （3（2+1+y 2=18，解得y 1=32+（y 2=32，此时D 点坐标为（2（32+）或（2（32），所以（BCD是锐角三角形，点D 的纵坐标的取值范围为32+（y （5或﹣1（y （32（15．（2017·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x轴、y 轴上，点B 坐标为（4、t 、、t 、0），二次函数2y x bx =+、b 、0）的图象经过点B ，顶点为点D 、、1）当t =12时，顶点D 到x 轴的距离等于、、2）点E 是二次函数2y x bx =+、b 、0）的图象与x 轴的一个公共点（点E 与点O 不重合），求OE •EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；、3）矩形OABC 的对角线OB 、AC 交于点F ，直线l 平行于x 轴，交二次函数2y x bx =+、b 、0）的图象于点M 、N ，连接DM 、DN ，当、DMN 、、FOC 时，求t 的值．【答案】（1）14；（2）OE •AE 的最大值为4，抛物线的表达式为22y x x =-；（3）．【详解】解：（1）当t =12时，B （4（12（（将点B 的坐标代入抛物线的解析式得：16+4b =12，解得：b =（1（（抛物线的解析式2y x x （（211()24y x =--（（D （12（14（（（顶点D 与x 轴的距离为14．故答案为14（（2）将y =0代入抛物线的解析式得：x 2+bx =0，解得x =0或x =（b （（OA =4（（AE =4（（（b （=4+b （（OE •AE =（b （4+b （=（b 2（4b =（（b +2（2+4（（OE •AE 的最大值为4，此时b 的值为﹣2（（抛物线的表达式为22y x x =-（（3）过D 作DG （MN ，垂足为G ，过点F 作FH （CO ，垂足为H （（（DMN （（FOC （（MN =CO =t （DG =FH =2（（D （（2b （（24b （（（N （（22b t +（（24b +2），即（2t b -（284b -）．把点N 和坐标代入抛物线的解析式得：284b - =（2t b -（2+b •（2t b -），解得：t =±t （0（（t =（16．（2017·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++、a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =2、OB =8、OC =6、、1）求抛物线的解析式；、2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时，点N 从B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当、MBN 存在时，求运动多少秒使、MBN 的面积最大，最大面积是多少？、3）在（2）的条件下，、MBN 面积最大时，在BC 上方的抛物线上是否存在点P ，使、BPC 的面积是、MBN 面积的9倍？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）239684y x x =-++；（2）运动53秒使△MBN 的面积最大，最大面积是52；（3）P （3，758）或（5，638）．【详解】解：（1（（OA =2（OB =8（OC =6（（根据函数图象得A （（2（0（（B （8（0（（C （0（6），根据题意得（42064806a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得（38946a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩（（抛物线的解析式为239684y x x =-++（（2）设运动时间为t 秒，则AM =3t （BN =t （（MB =10（3t ．由题意得，点C 的坐标为（0（6）．在Rt（BOC 中，BC．如图，过点N 作NH （AB 于点H （（NH （CO （（（BHN （（BOC （（HN BN OC BC =，即610HN t =（（HN =35t （（S △MBN =12MB •HN =12（10（3t （•35t =29310t t -+=（910（t （53（2+52，当（MBN 存在时，0（t （2（（当t =53时，S △MBN 最大=52（答：运动53秒使（MBN 的面积最大，最大面积是52（（3）设直线BC 的解析式为y =kx +c （k ≠0（（把B （8（0（（C （0（6）代入，得（806k c c +=⎧⎨=⎩，解得（346k c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（（直线BC的解析式为364y x =-+ （（点P 在抛物线上，（设点P 的坐标为（m （239684m m -++），如图，过点P 作PE （y 轴，交BC 于点E ，则E 点的坐标为（m （364m -+（（（EP =239684m m -++（（364m -+（=2338m m -+，当（MBN 的面积最大时，S △PBC =9 S △MBN =452（（S △PBC =S △CEP +S △BEP =12EP •m +12•EP •（8（m （=12×8EP =4×（2338m m -+（=23122m m -+，即23122m m -+=452．解得m 1=3（m 2=5（（P （3（758）或（5（638（（17．（2017·四川中考真题）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过A （-1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO （O 是坐标原点），求点D 的坐标；（3）点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交BC ，y 轴与点E 、F ，若△PEB 、△CEF 的面积分别为S 1、S 2，求S 1-S 2的最大值．【答案】（1）抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）点D 的坐标为（3，2）或（-5，-18）；（3）当t=85时，有S 1-S 2有最大值，最大值为165.【详解】解：（1）由题意可得016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）当点D 在x 轴上方时，过C 作CD ∥AB 交抛物线于点D ，如图1，∵A 、B 关于对称轴对称，C 、D 关于对称轴对称， ∴四边形ABDC 为等腰梯形， ∴∠CAO=∠DBA ，即点D 满足条件， ∴D （3，2）；当点D 在x 轴下方时， ∵∠DBA=∠CAO ， ∴BD ∥AC ， ∵C （0，2），∴可设直线AC 解析式为y=kx+2，把A （-1，0）代入可求得k=2， ∴直线AC 解析式为y=2x+2，∴可设直线BD 解析式为y=2x+m ，把B （4，0）代入可求得m=-8，∴直线BD 解析式为y=2x -8，联立直线BD 和抛物线解析式可得22813222y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩解得40x y =⎧⎨=⎩或518x y =-⎧⎨=-⎩， ∴D （-5，-18）；综上可知满足条件的点D 的坐标为（3，2）或（-5，-18）；（3）设213,222P t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭∵AB=5，OC=2， ∴S △PAB =2211351525522244t t t t ⎛⎫-++⨯=-++ ⎪⎝⎭，21131222OF t t t ∴=+-++， 1(4)2OF t ∴=--，1111(4)(4)224AFOSt t ⎡⎤∴=⨯⨯--=--⎢⎥⎣⎦，且1242BOCS =⨯⨯， 222125151558165(4)444444455S S t t t t t t ⎛⎫∴-=-+++--=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当t=85时，有S 1-S 2有最大值，最大值为165.【典例精析】类型二动点几何最值例题1．（2019·江苏中考真题）已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =.如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示：(1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v=在B 点相遇得到方程152.5v= ∴5=7.515=2.5vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩∵在边BC 上相遇，且不包含C 点 ∴2/6/3cm s v cm s ≤＜②如下图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形 ()()5152525751022x x ⨯-⨯-=---=15过M 点做MH ⊥AC，则12MH CM = ∴112152S MH AP x =⋅=-+ （22S x =()122152S S x x ⋅=-+⋅ =2430x x -+ =215225444x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭因为152.57.54＜＜，所以当154x=时，12S S⋅取最大值2254.【针对训练】1．（2017·浙江中考真题）在一空旷场地上设计一落地为矩形的小屋，．拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗在不能进人小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为.(1)如图，若，则．(2)如图,现考虑在(1)中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正区域,使之变成落地为五边的小屋,其它条件不变.则在的变化过程中,当取得最小值时，边长的长为．【答案】.【详解】（1）在B点处是以点B为圆心，10为半径的个圆；在A处是以A为圆心，4为半径的个圆；在C处是以C为圆心，6为半径的个圆；所以S=；（2）设BC=x,则AB=10-x，=（-10x+250），当x=时，S最小，即BC=.2．（2019·内蒙古中考模拟）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为______s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2、【答案】 3 18 【详解】设运动时间为t （0≤t≤6），则AE=t ，AH=6﹣t ，根据题意得：S 四边形EFGH =S 正方形ABCD ﹣4S △AEH =6×6﹣4×t （6﹣t ）=2t 2﹣12t+36=2（t ﹣3）2+18，∴当t=3时，四边形EFGH 的面积取最小值，最小值为18．3．（2019·江苏初三月考）已知Rt OAB ∆、90OAB ∠=︒、30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图1，连接BC 、、1）填空：OBC ∠= ︒、、2）如图1，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；、3）如图2，点M 、N 同时从点O 出发，在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N 的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【答案】（1）60；（2；（3）x 83=时，y 有最大值，最大值=．【详解】（1）由旋转性质可知：OB ＝OC ，∠BOC ＝60°， ∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC ＝60°．故答案为60．（2）如图1中．∵OB ＝4，∠ABO ＝30°，∴OA 12=OB ＝2，AB =＝∴S △AOC 12=•OA •AB 12=⨯=∵△BOC 是等边三角形，∴∠OBC ＝60°，∠ABC ＝∠ABO +∠OBC ＝90°，∴AC =∴OP 27AOC S AC ===．（3）①当0＜x 83≤时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE ⊥OC 且交OC 于点E ．则NE ＝ON •sin60°=，∴S △OMN 12=•OM •NE 12=⨯1.5x 2x ，∴y =x 2，∴x 83=时，y 有最大值，最大值3=． ②当83＜x ≤4时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动．作MH ⊥OB 于H ．则BM ＝8﹣1.5x ，MH ＝BM •sin60°=8﹣1.5x ），∴y 12=⨯ON ×MH 8=-x 2x ．当x 83=时，y 取最大值，y ③当4＜x ≤4.8时，M 、N 都在BC 上运动，作OG ⊥BC 于G ．MN ＝12﹣2.5x ，OG ＝AB ＝，∴y 12=•MN •OG ＝x ，当x ＝4时，y 有最大值，最大值＝综上所述：y ．4．（2019·宁夏中考真题）如图，在ABC ∆中，90A ∠=，3AB =，4AC =，点,M Q 分别是边,AB BC 上的动点（点M 不与,A B 重合），且MQ BC ⊥，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有QBM ∆∽ABC ∆；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由；（3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．【答案】（1）见解析；（2）当BQ MN =时，四边形BMNQ 为平行四边形；（3）当458x =时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为752．【详解】解：（1）（MQ BC ⊥，（90MQB ︒∠=，（MQB CAB ∠=∠，又QBM ABC ∠=∠，（QBM ∆（ABC ∆；（2）当BQ MN =时，四边形BMNQ 为平行四边形，（//MN BQ ，BQ MN =，（四边形BMNQ 为平行四边形；（3）（90,3,4A AB AC ︒∠===，（5BC ==，（QBM ∆（ABC ∆，（QB QM BM AB AC BC ==，即345x QM BM==，解得，45,33QM x BM x ==，（//BC MN ，（MN AM BC AB=，即53353x MN -=，解得，2559MN x =-，则四边形BMNQ 的面积2125432457552932782x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（当458x =时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为752． 5．（2019·山东中考真题）如图，在正方形ABCD 中，10AB cm =，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ，CE ，过E 点作EF AE ⊥，交直线BC 于点F ．E 点从B 点出发，沿着BD 方向以每秒2cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止．设BEF ∆的面积为2y cm ，E 点的运动时间为x 秒．(1)求证：CE EF =；(2)求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； (3)求BEF ∆面积的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)22522022522y x x y x x ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩；(3)BEF ∆面积的最大值是50．【详解】(1)证明：过E 作MNAB ，交AD 于M ，交BC 于N ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD BC ∥，AB AD ⊥， ∴MN AD ⊥，MN BC ⊥，∴90AME FNE NFE FEN ∠=∠=︒=∠+∠， ∵AE EF ⊥，∴90AEF AEM FEN ∠=∠+∠=︒， ∴AEM NFE ∠=∠，∵45DBC ∠=︒，90BNE ∠=︒， ∴BN EN AM ==， ∴()AEM EFN AAS ∆≅∆， ∴AE EF =，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD CD =，ADE CDE ∠=∠， ∵DE DE =，∴()ADE CDE SAS ∆≅∆， ∴AE CF EF ==；（2）解：在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD ==∴，由题意得：BE=2x ，∴，。

2020安徽中考数学专题复习(一)：函数图像的分析判断(16张PPT)

例5题图
1
【解析】∵四边形ABCD是正方形且边长为，∴AC＝BD＝2，OB＝OD＝2 BD＝
1，①当P在OB上时，即0≤x≤1，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，EF∴ B＝P ，
即EF ＝x
，∴EF＝2BP＝2x，∴y＝1
EF·OP＝1
AC OB ×2x(1－x)＝－x2＋x；②当P在2122Fra bibliotek1 2
2
2
2
2
＝－ x2＋2x，∴y＝S四边形ADOE－S△ADE＝4－( x2＋2x)＝ x2－2x＋4＝ (x－2)2
＋2，即y关于x的函数图象是对称轴为直线x＝2，开口向上的抛物线，且当x＝2时，
y取最小值2，故选D.
例4题解图
例5 如图，在边长为 2 的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F.设BP＝x，△OEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的函数图象为( B )
OD上时，即1＜x≤2，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DAC，∴
EF
＝ DP
，
即EF ＝2
x
，∴EF＝4－2x，∴y＝1
EF·OP＝
1
AC OD ×(4－2x)·(x－1)＝－x2＋3x－2，
22
2
2
根据题意可知符合题意的图象只有选项B.
提分要点以几何图形中动点问题为背景，判断函数图象的题目，一般的解题思路有两种情形： 1．找因变量与自变量x(或t)之间存在的函数关系，用含x(或t)的式子表示，再找出相对应的函数图象，要注意是否分类讨论自变量x(或t)的取值范围； 2．不需要列函数关系式，直接根据几何量的变化趋势判断函数图象；根据题目中自变量与因变量对应的几何量及动点的运动轨迹，先确定转折点，然后判断每个转折点前后区间内相关量的增减性，最后判断函数图象．

2020中考数学复习专题最值问题解析版

专题33最值问题在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种： 1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有①若a >0当x ba =-2时，y 有最小值。

y acb a min =-442；②若a <0当x ba=-2时，y 有最大值。

y ac b a max =-442。

2.一次函数的增减性一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。

4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。

8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为．【答案】﹣4．【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），所以最小值为﹣4．【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是．【答案】．【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′===5，∴MN 最大=．【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求P 点坐标及最大面积的值；（4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问AQ ＋12QC 是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a 、b 、c 的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD 为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，交BC 于点E ，令P (m ，m 2－4m ＋3)，易知直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，则E (m ，－m ＋3)，PE ＝(－m ＋3)－(m 2－4m ＋3)＝－m 2＋3m ．再由S △PBC ＝S △PBE ＋S△CPE，转化为12PE •OB ＝12×3×(－m 2＋3m )，最后将二次函数化为顶点式即可锁定S △PBC 的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQ ＝t ，则CQ ＝3－t ，AQ ＋12QC1(3)2t -，取CQ 的中点G ，以点Q 为圆心，QG 的长为半径作⊙Q ，则当⊙Q 过点A 时，AQ ＋12QC ＝⊙Q 的直径最小）、二求（由 AQ ＝12QC ，解关于t 的方程即可）．【解题过程】（1）∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点， ∴令抛物线解析为y ＝a (x －1)(x －3)． ∵该抛物线过点C (0，3)，∴3＝a×(0－1)×(0－3)，解得a＝1．∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3．∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的顶点D的坐标为(2，－1)．综上，所求抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3，顶点坐标为(2，－1)．（2）如答图1，连接AD、BD，易知DA＝DB．∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠MBA＝45°．∵D(2，－1)，A(3，0)，∴∠DBA＝45°．∴∠DBM＝90°．同理，∠DAM＝90°．又∵AM⊥BC，∴四边形ADBM为矩形．又∵DA＝DB，∴四边形ADBM为正方形．图1（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．∵S △PBC ＝S △PBE ＋S △CPE ＝12PE •BF ＋12PE •OF ＝12PE •OB ＝12×3×(－m 2＋3m ) ＝－32(m －32)2＋278，∴当m ＝32时，S △PBC 有最大值为278，此时P 点的坐标为(32，－34)．（4）如答图3，设OQ ＝t ，则CQ ＝3－t ，AQ ＋12QC1(3)2t -，取CQ 的中点G ，以点Q 为圆心，QG 的长为半径作⊙Q ，则当⊙Q 过点A 时，AQ ＋12QC ＝⊙Q 的直径最小，此时，√t 2+1=12(3−t)，解得t ＝2√63－1，于是AQ ＋12QC 的最小值为3－t ＝3－(2√63－1)＝4－2√63．1.（2018河南）要使代数式√2−3x 有意义，则x 的（） A.最大值为23 B.最小值为23 C.最大值为32D.最大值为32【答案】A.【解析】要使代数式√2−3x 有意义，必须使2-3x ≥0，即x ≤23，所以x 的最大值为23。

2020年中考数学压轴专题二次函数中的最值问题(含答案)

2020中考数学压轴专题二次函数中的最值问题（含答案）1. 如图,已知c ＜0,抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (x 1,0),B (x 2,0)两点(x 2＞x 1),与y 轴交于点C . (Ⅰ)若x 2=1,BC =5,求函数y =x 2＋bx ＋c 的最小值;(Ⅱ)过点A 作AP ⊥BC ,垂足为P (点P 在线段BC 上),AP 交y 轴于点M .若OA OM=2,求抛物线y =x 2＋bx ＋c 顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.第1题图解:(Ⅰ)∵x 2=1,∴OB =1,∵BC =5, ∴OC =22BC OB =2,∴C (0,－2),把B (1,0),C (0,－2)代入y =x 2＋bx ＋c ,得:0=1＋b －2,解得:b =1,∴抛物线的解析式为:y =x 2＋x －2.转化为y =(x ＋12)2－94; ∴函数y =x 2＋bx ＋c的最小值为－94; (Ⅱ)∵∠OAM ＋∠OBC =90°,∠OCB ＋∠OBC =90°,∴∠OAM =∠OCB ,又∵∠AOM =∠BOC =90°,∴△AOM ∽△COB ,∴OA OC OM OB ＝,满足点P在线段BC上的x最小取值,使P、C、M重合,根据根与系数的关系,对于x2＋bx＋c=0,由c=2b－4,解得c=－1,2.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a<0)过(m,b),(m＋1,a)两点, (Ⅰ)若m=1,c=1,求抛物线的解析式;(Ⅱ)若b≥a,求m的取值范围;(Ⅲ)当b≥a,m＜0时,二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,求a的最大值. 解:(Ⅰ)∵m=1,c=1,∴抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋1(a<0)过(1,b),(2,a)两点,∴1421a b ba b a++=⎧⎨++=⎩,解得11ab=-⎧⎨=⎩,∴抛物线的解析式为y=－x2＋x＋1;(Ⅱ)依题意得22(1)(1)am bm c ba mb mc a⎧++=⎪⎨++++=⎪⎩①②,由②－①得b=－am,∵b≥a,∴－am≥a,∵a＜0,∴m≥－1;(Ⅲ) 由(Ⅱ)得b=－am,代入①得am2－am2＋c=b,∴c=b=－am,∵b≥a,m＜0,∴－1≤m＜0,∵二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,∴244ac ba-=－2,∴8a=m2＋4m,∴8a= (m＋2)2－4,∵－1≤m＜0,∴－3≤(m＋2)2－4＜0,∴a≤－8 3 ,∴a的最大值为－8 3 .3.平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2－2m2x＋2交y轴于A点,交直线x=4于B点.(Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);(Ⅱ)若AB∥x轴,求抛物线的解析式;(Ⅲ)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(x p,y p),一定满足y p≤2,求m的取值范围.∴抛物线的对称轴为直线x=m;(Ⅱ)当x=0时,y=mx2－2m2x＋2=2,∴点A(0,2).∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,∴m=2,∴抛物线的解析式为y=2x2－8x＋2;(Ⅲ)当m＞0时,如解图①,∵A(0,2),∴要使0≤x p≤4时,始终满足y p≤2,只需使抛物线y=mx2－2m2x＋2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.∴m≥2;当m＜0时,如解图②,m＜0时,y p≤2恒成立.综上所述,m的取值范围为m＜0或m≥2.第3题解图4.已知抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1).(Ⅰ)求抛物线的表达式;(Ⅱ)若－1≤x≤3,试求y的取值范围;(Ⅲ)若M(n2－4n＋6,y1)和N(－n2＋n＋74,y2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y1与y2的大小,并说明理由.解:(Ⅰ)∵抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),∴设抛物线的表达式为:y=a(x－2)2＋5,把(0,1)代入得:a(0－2)2＋5=1,a=－1,∴抛物线的表达式为:y=－(x－2)2＋5=－x2＋4x＋1;(Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=－1,对称轴为直线x=2,且－1≤x≤3,∴当x=－1时,y有最小值,最小值为y=－(－1－2)2＋5=－4,当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,∴y的取值范围是－4≤y≤5;(Ⅲ)∵n2－4n＋6=(n－2)2＋2≥2,－n2＋n＋74=－(n－12)2＋2≤2,∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,∵N(－n2＋n＋74,y2),∴点N关于对称轴对称的点坐标为(n2－n＋94,y2),∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,5.b, m2－mb＋n),其中a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求证:抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;(Ⅲ)当－1≤x≤1时,设抛物线y=ax2＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.把点(m－b,m2－mb＋n)代入抛物线,得:a(m－b)2＋b(m－b)＋c=m2－mb＋n∴a(m－b)2＋b(m－b)=m2－mb,am2－2abm＋ab2＋bm－b2－m2＋mb=0,(a－1)m2－(a－1)•2bm＋(a－1)b2=0,(a－1)(m2－2bm＋b2)=0,(a－1)(m－b)2=0,若∴a=1,∴抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;大的点的纵坐标为h,在x轴下方与x轴距离最大的点是(－1,y0),∴|H|＞|h|,当b=0时等号成立,在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y0),在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y0),∴|H|＞|h|,6.在平面直角坐标系中,直线l:y=x＋3与x轴交于点A,抛物线C:y=x2＋mx＋n的图象经过点A.(Ⅰ)当m=4时,求n的值;(Ⅱ)设m=－2,当－3≤x≤0时,求二次函数y=x2＋mx＋n的最小值;(Ⅲ)当－3≤x≤0时,若二次函数y=x2＋mx＋n时的最小值为－4,求m、n的值.解:(Ⅰ)当y=x＋3=0时,x=－3,∴点A 的坐标为(－3,0).∵二次函数y =x 2＋mx ＋n 的图象经过点A ,∴0=9－3m ＋n ,即n =3m －9,∴当m =4时,n =3m －9=3;当m =－2时,对称轴为x =1,n =3m －9=－15,∴当－3≤x ≤0时,y 随x 的增大而减小,∴当x =0时,二次函数y =x 2＋mx ＋n 取得最小值,最小值为－15.在－3≤x ≤0范围内,y 随x 的增大而增大,当x =－3时,y 取得最小值0,不符合题意;∵二次函数最小值为－4, 解得:23m n -⎧⎨⎩＝＝或1021m n ⎧⎨⎩＝＝(舍去), ∴m =2,n =－3;∴4930n m n --+⎧⎪⎨⎪⎩＝＝, 综上所述:m =2,n =－3.7. 在平面直角坐标系中,抛物线y =x 2－2x ＋c (c 为常数)的对称轴为x =1.(Ⅰ)当c=－3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2－2x＋c上,求y1的最小值;(Ⅲ)当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围. 解:(Ⅰ)当c=－3时,抛物线为y=x2－2x－3,∴抛物线开口向上,有最小值,∴y1的最小值为－4;(Ⅱ)抛物线与x轴有两个交点,①当点A、B都在原点的右侧时,如解图①,∴B(2m,0),∵二次函数y=x2－2x＋c的对称轴为x=1,∵点A在抛物线y=x2－2x＋c上,②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图②,∴B(2n,0),由抛物线的对称性得n＋1=2n－1,解得n=2,∴A(－2,0),∵点A 在抛物线y =x2－2x ＋c 上,∴0=4＋4＋c ,解得c =－8,此时抛物线的解析式为y =x 2－2x －8,综上,抛物线的解析式为y =x 2－2x ＋89或y =x 2－2x －8;(Ⅲ)∵抛物线y =x 2－2x ＋c 与x 轴有公共点,∴对于方程x 2－2x ＋c =0,判别式b 2－4ac =4－4c ≥0,∴c ≤1.当x =－1时,y =3＋c ;当x =0时,y =c ,∵抛物线的对称轴为x =1,且当－1＜x ＜0时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点,∴3＋c ＞0且c ＜0,解得－3＜c ＜0,综上,当－1＜x ＜0时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点时,c 的取值范围为－3＜c ＜0.第7题解图8. 已知抛物线 y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点.(Ⅰ)求m 的取值范围;(Ⅱ)若m ＜0,且点A 在点B 的左侧,OA :OB =3:1,试确定抛物线的解析式;(Ⅲ)设(Ⅱ)中抛物线与y 轴的交点为C ,过点C 作直线l ∥x 轴,将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当直线y ＝－x ＋b 与新图象只有一个公共点P (x 0,y 0)且 y 0≥－5时,求b 的取值范围.解:(Ⅰ)∵抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点,∴()210241)0(m m m -≠-+⎩-⎧⎨＞①②, 由①得m ≠1,由②得m ≠0,∴m的取值范围是m≠0且m≠1;(Ⅱ)∵点A、B是抛物线y=(m－1)x2＋(m－2)x－1与x轴的交点,∴令y=0,即 (m－1)x2＋(m－2)x－1=0.∵m＜0,∵点A在点B左侧,∵OA:OB=3:1,∴m＝－2.∴抛物线的解析式为y＝－3x2−4x−1.(Ⅲ)∵点C是抛物线y＝－3x2−4x−1与y轴的交点,∴点C的坐标为(0,－1).依题意翻折后的图象如解图所示.令y=－5,即－3x2−4x−1＝－5.∴新图象经过点D(－2,－5).当直线y＝－x＋b经过D点时,可得b=－7.当直线y＝－x＋b经过C点时,可得b=－1.当直线y＝－x＋b(b＞−1)与函数y＝－3x2−4x−1的图象仅有一个公共点P(x0,y0)时,得－x0＋b＝－3x02−4x0−1.整理得 3x02＋3x0＋b＋1＝0.由32－12(b＋1)=－12b－3=0,得b＝−1 4 .结合图象可知,符合题意的b的取值范围为－7≤b＜－1或b＞−1 4 .第8题解图9.如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.(Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标;(Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为74,最大值为4,求a,b应满足的条件;(Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3,得－9＋6(m－2)＋3=0,解得m=3,则二次函数为y=－x2＋2x＋3,∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4,∴顶点D的坐标为(1,4);(Ⅱ)把y=74代入y=－x2＋2x＋3中,得74=－x2＋2x＋3,解得x1=－12,x2=25,又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4),结合图象知－12≤a≤1.当a=－12时,1≤b≤25,当－12＜a≤1时,b=25;(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形,当x=0时,y=3,∴点C坐标为(0,3).当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:①如解图①,当DC=DP时,由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,∴点P坐标为(2,3);②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P, 过点D作x轴的平行线交y轴于点H,过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,∵HD=HC=1,PC=PD,∴HP是线段CD的垂直平分线.∵HD=HC,HP⊥CD,∴HP平分∠MHN,∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N,∴PM=PN.设P(m,－m2＋2m＋3),则m=4－(－m2＋2m＋3),解得m=253,∴点P的坐标为(253－,255＋)(解图中未标记此点)或(253＋,255－);③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(253－,255＋)或(253＋,255－).图①图②图③第9题解图。

2020重庆中考复习数学利用二次函数求几何最值问题二(含答案解析)

2020重庆中考数学专题复习----如何用二次函数求几何最值问题二（含答案解析）例1、（2018秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是．练习：（2013秋•周口校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值等于．例2、（2017春•江汉区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是．练习：如图：△ABC是等边三角形，AB＝12，E是AC中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值为．例3、（2019•无锡八中定时练习六）如图,在△ABC 中，5,45AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 .练习：（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD ，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE ，连接BE ，则S △BDE 的最大值为．例4、（2013春•建湖县期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝2，点D 为线段BC 上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，连接AP，则△ACP的面积的最大值为．练习：（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．2020重庆中考数学专题复习----如何用二次函数求几何最值问题二（含答案解析）例1、（2018秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是3．解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，∴DP＝BP，∠DPB＝90°，∴∠DPE+∠BPC＝90°，且∠BPC+∠PBC＝90°，∴∠DPE＝∠PBC，且DP＝BP，∠DEP＝∠C＝90°，∴△DEP≌△PCB（AAS），∴DE＝CP，EP＝BC＝9，∵AE+PC＝AC﹣EP＝6，∴AE+DE＝6，设AE＝x，DE=6﹣x，∵AD2＝AE2+DE2，∴AD2＝x 2+（6﹣x）2=2（x﹣3）2+18，当x＝3时，AD有最小值为3，练习：（2013秋•周口校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值等于．解：过D作DE⊥AC于E，∵∠C＝∠DPB＝90°，∴∠DEP＝∠C＝90°，∠EDP+∠DPE＝90°，∠DPE+∠BPC＝90°，∴∠EDP＝∠BPC，在△DEP和△PCB中，，∴△DEP≌△PCB（AAS），∴PE＝BC＝3，DE＝CP，设PC＝x，则AD2＝x2+（2﹣x）2＝2（x﹣1）2+2，∴AD2的最小值是2，∴AD的最小值是，例2、（2017春•江汉区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D 运动时，AF 的最小值是 +1 ．解：作DM ⊥AC 于M ，FN ⊥AC 于N ，如图，设DM ＝x ，在Rt △CDM 中，CM ＝DM ＝x ，而EM +x ＝2，∴EM ＝﹣x +2，∵线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，∴ED ＝EF ，∠DEF ＝90°，易得△EDM ≌△FEN ，当D 在BC 上时，∴DM ＝EN ＝x ，EM ＝NF ＝﹣x +2，在Rt △AFN 中，AF 2＝（﹣x +2）2+（2+x ）2＝（x +）2+4+2，此时AF 2没有最小值，当D 在BC 的延长线上时，∴DM ＝EN ＝x ，EM ＝NF ＝x +2，在Rt △AFN 中，AF 2＝（x +2）2+（2﹣x ）2＝（x ﹣）2+4+2，当x ＝时，AF 2有最小值4+2，∴AF 的最小值为＝+1．练习：如图：△ABC 是等边三角形，AB ＝12，E 是AC 中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值为 3+3．例3、（2019•无锡八中定时练习六）如图,在△ABC 中，5,45AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点面积的最大值为.(B点除外),以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则BDE解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．练习：（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B 点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM中∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝AC＝6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，∴当BD＝4，5时，S△BDE有最大值为.例4、（2013春•建湖县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D为线段BC上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，连接AP，则△ACP的面积的最大值为．解：如图，过点A作AG⊥BC于G，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AG＝BG＝BC＝×2＝1，设BD＝x，则DG＝|x﹣1|，在Rt△ADG中，AD＝＝＝，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，在正方形ADEF中，∠DAF＝90°，AD＝AF，∵∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝90°，∠CAF+∠CAD＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴S△APC＝S△ACF﹣S△APF＝S△ABD﹣S△APF，＝x•1﹣AF•AD，＝x﹣AD2，＝x﹣（x2﹣2x+2），＝﹣（x2﹣3x+2），＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，S有最大值，即BD＝时，△ACP的面积有最大值为．练习：（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．解：作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，如图所示：∵∠A＝45°，∠ABC＝60°，∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM＝30°，∴AM＝CM，CM＝BM，设BM＝x，则AM＝CM＝x，∴AB＝x+x＝3+，解得：x＝，∴BM＝，CM＝AM＝3，设AD＝y，则DM＝3﹣y，BD＝3+﹣y，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°CD＝CE，∴∠DCM+∠BCE＝30°＝∠BCM，在MB上截取MH＝MD＝3﹣y，连接CH，则CD＝CH＝CE，∵CM⊥DH，∴∠DCM＝∠HCM，∴∠BCH＝∠BCE，在△BCH和△BCE中，，∴△BCH≌△BCE（SAS），∴∠CBH＝∠CBE＝60°，BH＝BE＝3+﹣y﹣2（3﹣y）＝y+﹣3，∴∠EBN＝60°，∵EN⊥AB，∴∠BEN＝30°，∴BN＝BE，EN＝BN＝BE＝（y+﹣3），∵△BDE的面积＝BD×EN＝×（3+﹣y）×（y+﹣3）＝（﹣y2+6y﹣6）＝﹣（y﹣3）2+，∴当y＝3，即AD＝3时，△BDE面积的最大值为．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2020年中考数学三轮易错复习：专题14 用函数的思想看图形的最值问题【例1】（2019·河南南阳一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx－32与抛物线y=ax2+bx+52交于点A、C，与y轴交于点B，点A的坐标为（2,0），点C的横坐标为－8.（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；（2）点D是直线AB上方的抛物线上一动点（不与A、C重合），作DE⊥AC于E，设点D的横坐标为m，求DE的长关于m的函数解析式，并写出DE长的最大值；（3）平移△AOB，使得平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A的对应点A’的坐标.【变式1-1】（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值.图1 图2【例2】（2019·省实验一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，C（1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ．当△PDE 的周长最大时，求出点P 的坐标.【变式2-1】（2019·平顶山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y =212x bx c -++，经过点A （1，3）、B （0，1），过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C .（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）如图，点G 是BC 上方抛物线上的一个动点，分别过点G 作GH ⊥BC 于点H 、作GE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ，在点G 运动的过程中，△GFH 的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【例3】（2019·安阳一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (-2，0)，B (4，0)，与直线332y x =-交于点C (0，-3)，直线332y x =-与x 轴交于点D ．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD ，当△PCD 的面积最大时，求点P 的坐标．【变式3-1】（2018·河南第一次大联考）如图，抛物线2y ax bx c=++()0a≠与x轴交于点A和点B （1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=–1，P为抛物线上第二象限的一个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）当点P的纵坐标为2时，求点P的横坐标；（3）当点P在运动过程中，求四边形PABC面积最大时的值及此时点P的坐标．强化精炼：1.（2019·开封二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝43x﹣4与抛物线y＝43x2+bx+c交于坐标轴上两点A、C，抛物线与x轴另一交点为点B；（1）求抛物线解析式；（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上；①作直线BD，交线段AC于点E，交y轴于点F，连接AD；求△ADE与△CEF面积差的最大值，及此时点D的坐标；②如图2，作DM⊥直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．2.（2018·信阳一模）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4 B．C．7 D．83.（2019·叶县一模）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标.4.（2019·南阳模拟）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．5.（2019·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y2-+x轴交于A，C （A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．（1）求直线BC的函数表达式；（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值.6.（2019·安阳二模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝12OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．7.（2019·平顶山三模）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为．8.（2019·名校模考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F （1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由.9.（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A 的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值.10.（2019·焦作二模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线3:4l y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B （0，-1），抛物线212y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C （4，n ）. （1）求n 的值和抛物线的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0<t <4），DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）.若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A ’O ’B ’，点A 、O 、B 的对应点分别是点A ’、O ’、B ’. 若△A ’O ’B ’的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A ’的横坐标.参考答案【例1】（2019·河南南阳一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx－32与抛物线y=ax2+bx+52交于点A、C，与y轴交于点B，点A的坐标为（2,0），点C的横坐标为－8.（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；（2）点D是直线AB上方的抛物线上一动点（不与A、C重合），作DE⊥AC于E，设点D的横坐标为m，求DE的长关于m的函数解析式，并写出DE长的最大值；（3）平移△AOB，使得平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A的对应点A’的坐标.【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）过D作DF⊥x轴交AC于F，利用三角函数知识将DE 长度转化为DF的长度，借助二次函数最值问题求解；（3）设出平移后的点的坐标，分两种情况（O、B在竖直线上，平移后不可能同时在函数图象上）讨论，将坐标代入解析式中求解.【解析】解：（1）将点A坐标代入直线表达式得：0＝2k﹣32，解得：k＝34，故一次函数表达式为：y＝34x﹣32，则点C坐标为（﹣8，﹣352），将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得：函数表达式为：y＝﹣14x2﹣34x+52；（2）作DF⊥x轴交直线AB于点F，∴∠DFE＝∠OBA，点D 的横坐标为m ，则点D （m ，﹣14m 2﹣34m +52），点F （m ，34m ﹣32），DF ＝﹣14m 2﹣34m +52﹣(34m ﹣32）＝﹣14m 2﹣32m +4，由勾股定理得：AB ＝52，∵sin ∠DFE ＝sin ∠OBA ＝45OA AB =， ∴DE ＝DF •sin ∠DFE＝45（﹣14m 2﹣32m +4）＝﹣15（m +3）2+5，∴当m =－3时，DE 的最大值为5；（3）设三角形向左平移t 个、向上平移n 个单位时，三角形有2个顶点在抛物线上，则平移后点A 、O 、B 的坐标分别为（﹣t +2，n ）、（﹣t ，n ）、（﹣t ，﹣32+n ），∵O 、B 在竖直线上，∴这两点平移后的点不可能都在抛物线上， ①当点O 、A 平移后的点在抛物线上时，()()2213544213522442t t n t t n ⎧-++=⎪⎪⎨⎪--+-+=⎪⎩，解得：t ＝52，即点A ′（﹣12，4516）．②当点B 、A 平移后的点在抛物线上时，()()221353442213522442t t n t t n ⎧-++=-+⎪⎪⎨⎪--+-+=⎪⎩，解得：t ＝4，即点A ′（﹣2，3）．综上所述，点A ’的坐标为（﹣12，4516）或（﹣2，3）.【变式1-1】（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD ＝1， ∴OB ＝1，由AB ＝4，得OA ＝3， ∴A （﹣3，0），B （1，0），∵抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点， ∴a +b +2=0，9a －3b +2=0，解得：a =23-，b =43-， ∴抛物线解析式为y ＝23-x 243-x +2；（2）在y ＝23-x 243-x +2中，当y ＝2时，x ＝0或x ＝﹣2，∴E （﹣2，2），∴直线OE 解析式为y ＝﹣x ，∠PGH ＝∠COE ＝45°，∵P （m ，23-m 243-m +2），PG ∥y 轴， ∴G （m ，﹣m ），∴PG ＝23-m 243-m +2﹣（﹣m ）＝23-214m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+4924， ∵∠PGH ＝∠COE ＝45°，∴l＝214m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴当m ＝14-时，l . 【例2】（2019·省实验一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，C （1，0），与y 轴交于点B （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ．当△PDE 的周长最大时，求出点P 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点B （0，﹣3），C （1，0），∴c =-3，1+b +c =0，解得：b =2，c =-3，∴抛物线的解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）在y ＝x 2+2x ﹣3中，y ＝0时，x 1＝1，x 2＝﹣3，∴A （﹣3，0），∵B （0，-3），∴OA ＝OB ＝3，∴∠BAO ＝45°，∵PF ⊥x 轴，∴∠AEF ＝45°，可得△PDE 是等腰直角三角形，由A （﹣3，0），B （0，3）得直线AB 的解析式为：y =-x -3，C △PDE =PE +PD +DP=PE +2PE +2PE=+1）PE ，设P （m ，m 2+2m ﹣3），则E (m ，－m －3)，PE =－m 2－3mC △PDE =+1）（－m 2－3m ）=+1）（m +32）2+94+1）， ∴当m =－32时，△PDE 的周长越大，此时P 点坐标为（－32，－154）. 【变式2-1】（2019·平顶山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y =212x bx c -++，经过点A （1，3）、B （0，1），过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C .（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）如图，点G 是BC 上方抛物线上的一个动点，分别过点G 作GH ⊥BC 于点H 、作GE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ，在点G 运动的过程中，△GFH 的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =212x bx c -++过点A （1，3）、B （0，1），∴1021b c c ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，解得：521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即抛物线的表达式为：y =215122x x -++，y =215122x x -++ =21533228x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴顶点坐标为：53328⎛⎫⎪⎝⎭，；（2）∵A （1，3），由对称轴可知C （4，3）由B （0，1）、C （4，3），得直线BC 的解析式为：112y x =+，BC=，由题意知，∠ACB =∠FGH ，延长CA 与y 轴交于点I ，则I （0，3）∴BI =2，CI =4，由△BCI ∽△FGH ，得：BC CI BI FG GH FH ==,42GH FH==，∴FH =，GH =，即△GFH 的周长为：C =FH +GH +FG=1FG ⎫+⎪⎝⎭，设G (m , 215122m m -++)，则F (m , 112m +)， ∴C=1FG ⎫⎪⎝⎭=21122m m ⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()2112212m ⎫⎫-+-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴当m =2时，△GFH的周长有最大值，最大值为：21⎫⎪⎝⎭.【例3】（2019·安阳一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (-2，0)，B (4，0)，与直线332y x =-交于点C (0，-3)，直线332y x =-与x 轴交于点D ．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD ，当△PCD 的面积最大时，求点P 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵C (0,-3)，∴c =-3，将A 、B 坐标代入y =ax 2+bx -3得：423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y =38x 234-x －3. （2）332y x =-中，当y =0时，x =2，即D (2,0)，连接OP ，设P (m ，38m 234-m －3)，其中：0<m <4， S △PCD =S △ODP +S △OCP －S △OCD =2133112332328422m m m ⎛⎫⨯-+++⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ =()2327388m --+， ∵38-<0， ∴当m =3时，△PCD 的面积取最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（3，158-）. 【变式3-1】（2018·河南第一次大联考）如图，抛物线2y ax bx c =++()0a ≠与x 轴交于点A 和点B（1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x =–1，P 为抛物线上第二象限的一个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）当点P 的纵坐标为2时，求点P 的横坐标；（3）当点P 在运动过程中，求四边形PABC 面积最大时的值及此时点P 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：3012c a b c ba ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=-⎩，解得：a =－1，b =－2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =－x 2－2x +3；（2）在y =－x 2－2x +3中，y =2时，得：2=－x 2－2x +3，解得：x =－或x =－1，∵点P 在第二象限，∴x =－1，即点P 的横坐标为：－1；（3）连接AC ，过P 作PE ⊥x 轴交AC 于E ，设直线AC 的解析式为：y =kx +n ，得：n =3，－3k +n =0，∴直线AC 的解析式为：y =x +3，S四边形P ABC=S△ABC+S△APC=12×4×3+12×PE×OA=362+PE，设P（m，－m2－2m+3）,则E点坐标为（m，m+3）, ∴PE=－m2－2m+3－（m+3）=－m2－3m，∴S四边形P AOC=362+PE=362+（－m2－3m）=－32（m+32）2+758,∵－32<0，∴点P在运动过程中，当m=－32时，四边形PABC面积最大，最大值为758，此时点P的坐标为（－32，154）.强化精炼：1.（2019·开封二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝43x﹣4与抛物线y＝43x2+bx+c交于坐标轴上两点A、C，抛物线与x轴另一交点为点B；（1）求抛物线解析式；（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上；①作直线BD，交线段AC于点E，交y轴于点F，连接AD；求△ADE与△CEF面积差的最大值，及此时点D的坐标；②如图2，作DM⊥直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）在y＝43x﹣4中，当x＝0，y＝﹣4，即C（0，﹣4）；当y＝0，x＝3，即A（3，0）；把点A、C坐标代入y＝43x2+bx+c，并解得：b=83-，c=－4，∴抛物线解析式为：y＝43x283-x－4；（2）设D（m，43m283-m－4），其中：0＜m＜3，①连接OD，由A（3，0），B（﹣1，0），D（m，43m283-m－4），知OB=1，OA＝3，OC＝4，tan∠ABD＝OFOB，tan∠ABD＝1Dym+，∴OF＝43-（m﹣3），∴S△ADE﹣S△CEF＝S四边形AOFD﹣S△AOC＝12AO•|y D|+12OF•|x D|﹣12OA•OC＝28927 388m⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴当m＝98时，S△ADE﹣S△CEF的最大值为278，此时点D坐标为（98，8516-）.2.（2018·信阳一模）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4 B．C．7 D．8【答案】D.【解析】解：由题意知，若MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN=4，NE=12MN=3，由勾股定理得：PE=5，∴AE=12MN=3，AP的最大值为：AE+EP=5+3=8．故答案为：D．3.（2019·叶县一模）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，3）∴-1-b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴3k+m=0，m=3，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，∴S△BDC＝12 PD·OB＝32 PD＝﹣32（a﹣32）2+278，∵﹣32<0，∴当a＝32时，△BDC的面积最大，此时P点坐标为：（32，32）；4.（2019·南阳模拟）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为：y＝ax（x﹣6），把A（8，4）代入得：a＝14，抛物线解析式为：y ＝14x 2﹣32x ；（2）设M （t ，0），过点N 作ND ⊥x 轴于D ，过A 作AC ⊥x 轴于C ，∴ND ∥AC ， ∴ND ODAC OC =，由（1）知，AC =4，BC =2，OC =8， ∴48ND OD=，即ND =12OD ，∵MN ∥AB ，∴∠NMD =∠ABC ，∴tan ∠NMD =tan ∠ABC ，即42DNMD =，DN =2DM ，∴OD =2DN =4DM ，即OD =43OM ，∵M （t ，0），∴OM =t ，OD =43t ，ND =23t ，S △AMN =S △OAM －S △OMN =12t ×4－12t ×23t =()21333t --+，∴当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ），∵∠OPQ ＝∠ACO ，（1）当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即84PQ PO =， ∴PQ ＝2PO ，即|14m 2﹣32m |＝2m ，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝14，m 3＝-2，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）；（2）∴当PQ PO AC CO=时，△PQO ∽△CAO ， ∴PQ ＝12PO ，即|14m 2﹣32m |＝12m ，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝8（舍去），m 3＝4，P 点坐标为（4，0）；综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．5.（2019·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y 2-+x 轴交于A ，C （A 在C 的左侧），点B 在抛物线上，其横坐标为1，连接BC ，BO ，点F 为OB 中点．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）若点D 为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD ，CD ，点E 为x 轴上一动点，当△BCD 的面积的最大时，求点D 的坐标，及|FE ﹣DE |的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y ＝255x -+中，当y ＝0，解得：x 1＝32，x 2＝72， ∴A （32，0），C （72，0）当x ＝1时，y ＝即B （1，），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b得：702k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，直线BC 的解析式为y＝x.（2）设点D （m2-），则点H （m，m）过点D 作DH ⊥x 轴交BC 于点H ，HD＝m2-＝294m ⎫-⎪⎝⎭，S △BCD =12×DH ×（x C －x B ） =54DH ，∴当m ＝94时，HD 取最大值，此时S △BCD 的面积取最大值．此时D （94.作D 关于x 轴的对称点D ′则D ′（94，连接D ′H 交x 轴于一点E ，此时|D ′E ﹣FE |最大，最大值为D ′F 的长度，∵F （12） ∴D ′F，即|FE ﹣DE |． 6.（2019·安阳二模）如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，点A 在x 轴负半轴上，且OA ＝12OB ，抛物线y ＝ax 2+bx +4经过A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第一象限内抛物线上的动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ，用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4；当y ＝0时，x ＝4，∴B （4，0），C （0，4），∴OB ＝OC =4，∴OA ＝12OB ＝2，即A （﹣2，0），把A （﹣2，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx +4中，得424016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为：y ＝﹣12x 2+x +4；（2）过P 作PF ∥y 轴，交BC 于F ，在Rt△OBC中，∵OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°，∴∠PFD=45°，∴PD PF，由P(m，﹣12m2+m+4)，F(m，－m+4)，得：PF=﹣12m2+2m，∴PD=2（﹣12m2+2m）=m﹣2）2，其中，0＜m＜4，＜0，∴当m＝2时，PD．7.（2019·平顶山三模）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为．【答案】见解析.【解析】解：过A作AH⊥CD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB∥CD，∠D+∠BAD＝180°，∠D＝60°，∵AD＝AB＝2，∴AH＝AD•sin60°由折叠性质知：BE＝EB′，当BE的值最小时，AE的值最大，由垂线段最短可知，当EB’⊥CD，即EB’=AHBE的值最小，AE的最大值为：2故答案为：28.（2019·名校模考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F （1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由.【答案】见解析．【解析】解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴A（﹣3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），则F（m，13m2+23m﹣1）∴EF＝（m+3）﹣（13m2+23m﹣1）＝13-（m ﹣12） 2+4912， ∴当m =12时，EF 的长度有最大值，最大值为4912，此时点E 的坐标为（12，72）. 9.（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为(-1，0)，点 C 的坐标为(0，3)，点D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴交于点 E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F ，过点 F 作 FG ⊥AD 于点 G ，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H ，求△FGH 周长的最大值.【答案】见解析．【解析】解：（1）将 (-1，0)， (0，3)代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：－1－b +c =0，c =3，解得：b =2，c =3，即抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3.（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴抛物线对称轴为直线 x ＝1，点 D 和点 C 关于直线x ＝1对称，∴D （2，3），设直线 AD 的解析式为 y ＝kx +b ，把 A （﹣1，0），D （2，3）代入得：023k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为：y ＝x +1；∴E （0，1），∵OA ＝OE ，∴△OAE 为等腰直角三角形，∴∠EAO ＝45°，∵FH ∥OA ，△FGH 为等腰直角三角形，过点 F 作 FM ⊥x 轴交 AD 于 M ，如图，可得FM =FH ，∵FG ＝GH FH FM ，∴C △FGH ＝（）FM ，设F (m ，﹣m 2+2m +3)，则M (m ，m +1)，FM =﹣m 2+m +2∴C △FGH ＝（）FM ，=（）（﹣m 2+m +2）=﹣（）21924m ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴当 x ＝12时，△FGH 周长由最大值，最大值为：94+. 10.（2019·焦作二模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线3:4l y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B （0，-1），抛物线212y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C （4，n ）. （1）求n 的值和抛物线的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0<t <4），DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）.若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A ’O ’B ’，点A 、O 、B 的对应点分别是点A ’、O ’、B ’. 若△A ’O ’B ’的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A ’的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将B （0，-1）代入34y x m =+得：m =－1，在314y x =-中，当y =0时，x =43，即A (43，0)， ∵34y x m =+过点C （4，n ），得：n =2，即C (4，2)，将B （0，-1）、C （4，n ），代入212y x bx c =++得：2421b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：541bc ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：215124y x x =--.（2）由（1）知，OA =43，OB =1，在Rt △OAB 中，由勾股定理得：AB =53，∵DE ∥y 轴，∴∠ABO =∠DEF ，∴sin ∠DEF = sin ∠ABO =45，cos ∠DEF =cos ∠ABO =35，∴EF =DE ·cos ∠DEF =35DE ，DF =DE ·cos ∠DEF =45DE ，∴p =2（DE +DF ）=145DE ，∵点D 的横坐标为t ，∴D (t ，215124t t --)，E (t ，314t -)，∴DE =314t -－（215124t t --）=2122t t -+，p =145（2122t t -+） =()2728255t --+，∴当t =2时，p 有最大值285.（3）由题意知，A ’、O ’横坐标相等，此二点不会同时在抛物线上， ①当点O ’、B ’在抛物线上时，由O ’B ’=OB =1，抛物线的对称轴：x =54得，O ’横坐标为54－12=34，即A ’横坐标为：34；②当点A ’、B ’在抛物线上时，由A ’B ’=AB =53，设点A ’(n ，y )，则B ’(n +1，y －43)， ∴()()2215124415111324y n n y n n ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=+-+-⎪⎩，解得：n =712-即A ’横坐标为：712-；综上所述，点A ’的横坐标为：34或712-.。