等价关系与等价类
概率论-第十五讲 等价关系和划分
一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
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二、划分
定理9：设π是非空集合A上的划分,R是A上的等价关系,那么,
π诱导出R当且仅当R诱导出π。 证：（必要性）假设π诱导出R,R诱导出π′ 设a是A的任一元素,并设B和B′分别是π和π′的块, 使a∈B和B′，那么对任一b b∈B iff ［a］R =［b］R iff b∈B′ 所以,B=B′。 因为a是A的任一元素而π和π′都是A的覆盖,故π=π′。
若是划分，则必是覆盖；若是覆盖，则不一定是划分。
②设A是非空集合, ρ(A)-{∅ } 是A的一个覆盖,而不是A的划分,除非A是单元素集合。
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二、划分
定理6 : 设A是非空集合,R是A上的等价关系。R的等价类集合 {［a］R ｜a∈A}是A的划分。 由上面定理2，3可得出。 定义5：设R是非空集合A上的等价关系,称划分{［a］R｜a∈A} 定理2：设R是集合A上的等价关系,则对所有a,b∈A,或者 ［a］=［b］,或者［a］∩［b］= ∅ 为商集A/R,也叫A模R。
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二、划分
例4：①A={a,b,c}，则 S={{a,b},{b,c}}, Q={{a},{a,b},{a,c}}, D={{a},{b,c}}, G={{a,b,c}}, E={{a},{b},{c}}, F={{a},{a,c}}, 划分 最小划分 最大划分 既不是覆盖，也不是划分 覆盖 覆盖
等价关系
等价关系维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：1.自反性：2.对称性：3.传递性：则称R是定义在A上的一个等价关系。
例如，设，定义A上的关系R如下：其中叫做x与y模 3 同餘，即x除以 3 的餘数与y除以3 的餘数相等。
不难验证R为A上的等价关系。
等价类维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索在数学中，给定一个集合X和在X上的一个等价关系 ~，则X中的一个元素a的等价类是在X中等价于a的所有元素的子集:。
等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造集合。
在X中的给定等价关系 ~ 的所有等价类的集合表示为X/ ~ 并叫做X除以 ~ 的商集。
这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。
商集类似于除法的一个方面是如果X是有限的并且等价类都是等势的，则X/~•如果X是轿车的集合，而~ 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。
X / ~ 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
•考虑在整数集合Z上的“模2”等价关系: x~y当且仅当x-y是偶数。
这个关系精确的引发两个等价类: [0] 由所有偶数组成，[1] 由所有奇数组成。
在这个关系下[7] [9] 和[1] 都表示Z / ~ 的同一个元素。
•有理数可以构造为整数的有序对(a,b) 的等价类的集合，b不能为零，这里的等价关系定义为(a,b) ~ (c,d) 当且仅当ad = bc。
这里的有序对(a,b) 的等价类可以被认同于有理数a/b。
[编辑]性质因为等价关系的a在 [a] 中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。
得出X 的所有等价类的集合形成X的划分: 所有X的元素属于一且唯一的等价类。
反过来，X的所有划分也定义了在X上等价关系。
它还得出等价关系的性质a ~ b当且仅当[a] = [b]。
如果 ~ 是在X上的等价关系，而P(x) 是x的元素的一个性质，使得只要x~ y, P(x) 为真如果P(y) 为真，则性质P被称为良好定义的或在关系 ~ 下“类恒定”的。
集合的等价关系与等势
集合的等价关系与等势等价关系和等势是集合论中重要的概念，它们在研究集合的性质和关系时具有重要的应用。
本文将介绍等价关系和等势的定义、性质以及它们在数学中的具体应用。
一、等价关系的定义与性质等价关系是集合上的一种二元关系，满足自反性、对称性和传递性三个条件。
具体地说，对于集合A上的等价关系R，对任意元素x，都有自反性xRx；对于任意元素x和y，若xRy，则yRx，即对称性；对于任意元素x、y和z，若xRy且yRz，则xRz，即传递性。
等价关系将集合A划分成若干个非空子集，这些子集称为等价类。
等价类具有以下性质：1）等价类之间两两不相交；2）集合A中的每个元素都属于某个等价类；3）两个元素属于同一个等价类，当且仅当它们之间存在等价关系。
二、等势的定义与性质等势是集合之间的一种对应关系，表示两个集合具有相同的基数（元素个数）。
具体地说，对于集合A和B，若存在一个双射（一一对应）f: A→B，则称A与B等势。
等势具有以下性质：1）等势关系满足自反性、对称性和传递性；2）若集合A与B等势，集合B与C等势，则集合A与C等势；3）对于有限集合，等势关系等价于具有相同的基数；4）对于无限集合，存在真子集与原集合等势。
三、等价关系与等势的具体应用1. 等价关系的应用等价关系在数学中有广泛的应用。
在抽象代数中，等价关系可以用来定义商集，从而构造模结构；在拓扑学中，等价关系可以用来定义同伦等概念；在图论中，等价关系可以用来定义等价类，揭示图的结构等。
2. 等势的应用等势是研究集合基数的重要工具。
等势关系可以用来比较集合的大小，并且可以用来证明两个集合等势的方法有很多，例如通过构造双射、利用Cantor-Bernstein定理等。
除了应用于集合论和数学基础理论之外，等价关系和等势还在其他学科中起到重要的作用。
在计算机科学中，等价关系和等势广泛应用于数据库、图像处理和人工智能等领域。
在社会科学中，等价关系和等势常常用于建立分类系统、分析关系网络等。
等价类的名词解释
等价类的名词解释等价类是数学中一个重要的概念，特别在集合论、等价关系以及分类问题中得到广泛的应用。
等价类是将一个集合划分成不相交的子集，使得每个子集内的元素在某种意义下具有相同的特性或属性。
在本文中，我们将通过几个具体的例子来解释等价类的含义及其在不同领域的应用。
首先，我们以学生为例子来讲解等价类的概念。
假设我们有一个学生的数据集合，其中每个学生都有一个不同的学号。
我们可以将这个集合根据学生所属的年级来进行等价类划分。
每个学生的年级属性将成为划分的依据。
例如，所有一年级的学生构成一个等价类，所有二年级的学生构成一个等价类，以此类推。
这样的划分使得每个等价类内的学生具有相同的年级属性。
在实际应用中，等价类可以帮助学校管理年级级别、分配教室、排课等任务。
另一个例子是在电子商务中的用户分类。
当一个用户在平台上购买物品时，平台需要根据用户的购买行为将其分类，以便为其提供个性化的推荐。
用户的购买行为可以视为等价类的划分依据。
例如，我们可以将用户划分为经常购买电子产品的等价类、购买家居用品的等价类、购买时尚服饰的等价类等等。
根据用户所属的等价类，平台可以向用户提供与他们购买行为相匹配的相关商品推荐。
这样的分类可以提高用户购买满意度，并提升平台的销售业绩。
在计算机科学中，等价类也有重要的应用。
例如，在编程语言中，等价类测试被广泛应用于软件测试。
等价类测试是一种测试策略，目的是在给定的测试输入集合中选择代表性的测试用例，以覆盖系统的不同状态和行为。
等价类测试的核心思想是将输入值划分成不同的等价类，以保证测试用例的代表性和覆盖率。
例如，对于一个需要输入年龄的程序，我们可以将年龄分为少于18岁、18-30岁、31-45岁以及大于45岁等多个等价类。
然后，我们可以选择每个等价类的一个或多个输入值作为测试用例。
这样的测试方法可以有效地减少测试用例的数量，但又能够覆盖程序的不同行为。
此外，在社会学中，等价类也有着广泛的应用。
等价关系与划分3.1
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划分(partition)
注： 等价关系Ｒ把Ａ的元素分为若干类，各 类之间没有公共元素。 划分: 设A, AP(A),若A满足 (1) A ; (2) x,y( x,yA xy xy= ) (3) UA = A 则称A为A的一个划分, A中元素称为划分 块(block).
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例2(续)
tsr(R)=trs(R) str(R)=srt(R) =rts( R ) =rst( R ) 自反 对称 传递 等价关 (等价闭包) 系
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等价类(equivalence class)
设R是A上等价关系,xA,令 [x]R={ y | yA xRy }, 称[x]R为x关于R的等价类, 简称x的等价类, 简记为[x].
Ｒ是等价关系，但不直观，用关系图表示。
三个不连通的图
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二元关系R是自反的，对称的，传递的，且把Ａ分 成了三个等价类，
（Ａ）＝｛｛０｝，｛１，２，３｝，｛４，５｝｝
A/R＝｛［０］，［１］，［４］｝ 例6 ： Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ≡ｂ （ｍｏｄ３）， ａ，ｂ∈Ｉ｝ 是整数集合Ｉ上模３同余的二元关系. 证明R是等价关系。
等价关系与划分
内容提要 等价关系,等价类,商集 划分, 第二类Stirling数
1
等价(equivalence)关系
定义 同余关系 等价类 商集 划分 划分的加细 Stirling子集数
2
等价关系Equivalence Relations
[定义1] Ａ上的二元关系Ｒ，如果Ｒ是
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也可表示为： [ 定义 ] 集合的划分：把集合Ａ分为若干子 集Ａ1，Ａ2，…，满足： （1）当ｉ≠ｊ时Ａi∩Ａj＝ （2） ａ∈Ａ， ｉ， 使ａ∈Ａi（ｉ＝１，２，…） 则集合 Pr（Ａ）＝｛Ａ 1 ，Ａ 2 ， … ，Ａ n，…｝ 称为Ａ的一个划分/partition。
等价关系,商集和集合的划分
等价关系,商集和集合的划分1.等价关系所需要的三个性质 --- 自反的，对称的，传递的必须同时具备，缺一不可2.同余关系纠正：同余关系需要三个数，一个正整数m，和两个整数a,b，如果整数(a - b)能够被m整除的话，则称a和b 是同余关系（需要注意的是整数0能够被仍和整数整除，整除的结果为0）1.关于第二点：负号不影响整除关系1通过特定规则（这个特定规则就是上面的这个生成元规则）获取的等价关系的子集称为等价类2.任何等价类都是非空集合，因为在这个等价类中一定包含了生成元本身3.有些等价类是完全相同的，有些等价类是完全不一样的4.所有等价类并在一起就能够得到总的集合a1.第二点的b证明处：证明两个集合没有交集的常用方法是反证法 --- 即证明有交集是矛盾的来得出没有交集这个结论2.关于第三点：两个集合互为子集则这两个集合等价1.商集其实就是集合的集合2.在集合中相同的元素只需要写一个，不用重复写最后一句话的意思就是：直到最后给定集合中的所有的元素都被找完第二部分 --- 集合的划分1.注意这里面的si都是非空集合a的非空子集1.通过等价关系，等价类和商集对集合进行划分1.关系的复合运算是左右两个关系中间一个圈，左右两个集合中间一个乘号这是笛卡尔积 --- 得到的结果是一个序偶集合，其中序偶的定义域由称号左边的集合元素提供，值域由乘号右边的集合元素提供2.上面这个等价关系是由每个划分的块集合的全关系序偶集合取并集得到的一个总的序偶集合，且每个块集合的全关系序偶集合都不一样（因为每个块集合的元素都不相同），所以等价关系这个序偶集合中的任意一个序偶元素都来自于某一个块集合的全关系序偶集合一个集合上的所有等价关系个数与这个集合的所有划分方式的个数相等。
举例等价关系高等代数
举例等价关系高等代数等价关系是指在一个集合中，两个元素之间存在一种特定的关系，使得它们在某种意义下是相等的。
在高等代数中，等价关系是一个重要的概念，它在集合的划分、等价类的定义以及商集的构建等方面有着广泛的应用。
下面我将列举一些高等代数中常见的等价关系，并给出相应的例子。
1. 自反关系：对于集合A中的元素a，如果a与自身具有某种关系，则称这种关系是自反的。
例如，集合A为自然数集合，关系R定义为“a和a的差是偶数”。
则R是一个自反关系，因为对于任意的自然数a，a-a=0是一个偶数。
2. 对称关系：对于集合A中的元素a和b，如果a与b具有某种关系，则b与a也具有这种关系，则称这种关系是对称的。
例如，集合A为人的集合，关系R定义为“a是b的亲戚”。
则R是一个对称关系，因为如果a是b的亲戚，那么b也是a的亲戚。
3. 传递关系：对于集合A中的元素a、b和c，如果a与b具有某种关系，b与c也具有这种关系，则a与c也具有这种关系，则称这种关系是传递的。
例如，集合A为整数集合，关系R定义为“a 能被b整除”。
则R是一个传递关系，因为如果a能被b整除，b 能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 等价关系：等价关系是自反、对称和传递的关系的叠加。
例如，集合A为实数集合，关系R定义为“a和b的绝对值相等”。
则R 是一个等价关系，因为它满足自反性（任意实数a的绝对值等于自身的绝对值），对称性（如果a的绝对值等于b的绝对值，则b的绝对值等于a的绝对值），以及传递性（如果a的绝对值等于b的绝对值，b的绝对值等于c的绝对值，则a的绝对值等于c的绝对值）。
5. 同余关系：在数论中，同余关系是一种特殊的等价关系。
对于整数集合，关系R定义为“a与b除以一个正整数m所得的余数相等”。
则R是一个同余关系，因为它满足自反性（任意整数a与自身除以m所得的余数相等），对称性（如果a与b除以m所得的余数相等，则b与a除以m所得的余数相等），以及传递性（如果a 与b除以m所得的余数相等，b与c除以m所得的余数相等，则a与c除以m所得的余数相等）。
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：${}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
—一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
离散数学等价关系
等价类：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。
设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。
等价类应用十分广泛，如在编程语言中，我们使用等价类来判定标识符是不是表示同一个事物。
定义：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。
设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。
A的关于R的等价类记作。
当只考虑一个关系时，我们省去下表R并把这个等价类写作[a]。
在软件工程中，是把所有可能输入的数据，即程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例，从而减少了数据输入量从而提高了效率，称之为等价类方法，该方法是一种重要的、常用的黑盒测试用例设计方法。
分类：在离散数学中，等价类的划分基于以下定理：设R是定义在集合A上的等价关系。
那么R的等价类构成S的划分。
反过来，给定集合S的划分{ |i∈I},则存在一个等价关系R，它以集合作为它的等价类。
因为等价关系的a 在a 中和任何两个等价类要么相等要么不交集不相交的性质。
得出X 的所有等价类的集合形成X 的集合划分划分: 所有X 的元素属于一且唯一的等价类。
反过来，X 的所有划分也定义了在X 上等价关系。
在软件工程中等价类划分及标准如下：划分等价类等价类是指某个输入域的子集合。
在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试，因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。
等价类划分有两种不同的情况：有效等价类和无效等价类。
1）有效等价类是指对于程序的规格说明来说是合理的、有意义的输入数据构成的集合。
利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明所规定的功能和性能。
近世代数之等价关系与集合的分类
与 b 有关系,记作a b ;否则 a称b与无关系 .关 系也称为二元关系.
2
例1
设 S是一个非空集合,S 的所有子集组成的
B A 集合记为P ( S ) .因为对S 的任意两个子集A, , B
或A B 有且仅有一个成立,所以集合的包含关系" "
是 ( S ) 的一个关系.进一步讨论可以发,这个关系还 P 具有下面两条性质: (1) 反身性,即对S 的任一子集 A ,有 A A; (2) 传递性, 即对S 的任意子集 A , B , C , 如果
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例9 设 S = {a, b, c} , 试确定集合S 上的全部等价 关系. 解 由定理1.1.1知,只要求出的 S 全部分类,也 即求出的 S 所有可能的子集分划即可. (1) 如果 S 分划为一个子集, 则有 Ρ1 = {S } ; (2) 如果S 分划为两个子集, 则有
Ρ 2 = {{a} ,{b, c}} , Ρ3 = {{b} ,{a, c}} , Ρ 4 = {{c} ,{a, b}} ;
Β ( n + 1) = ∑ C Β ( k ), n ≥ 1 其中, C 为二项式系数, 并
规定 Β ( 0 ) = 1, Β (1) = 1
k =0 k n
k n
n
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参考文献及阅读材料
[1] 闵嗣鹤, 严士健. 初等数论(第2版).北京: 高等教育出版社, 1990 本书的第1章有关于整数整除性的详细讨论, 第3章 则介绍了同余的概念及其性质. [2] binatorial Theory:Springer-Verlag;New York:Heiderberg,1979
6
例4
易知, 三角形的全等,相似, 数域Κ上n 阶方