高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版必修4
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数学：2.1.1《平面向量的实际背景及基本概念》PPT课件(新人教A版必修4)
b· b
＝a2－b2.
的夹角为 例 4、 已 知 | | 6 , | | 4 , 与
60 ,
o
a ba b
求 （ 2 ) ( 3 ) 。
ab ab
解:
例 5 . 已 知 | a | 3 , | b | 4 , 当 且 仅 当 k 为 何 值 时 ， 向 量 a k b 与 a k b 互 相 垂 直 ？
O
θ
B1 a
A
当 a 与 b 反向时 a b | a || b |;
2 a
2 特别地 a a |a |或 |a | a a
ab ( 4 )cos | a||b|
( 5 ) | a b | | a || b |
记为a⊥b.
O
B
b O a A
我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积”的概念。
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a· b
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 CC B 0 量A 。 C C B，即A
C
B
O
O a , O C b 解：设 A 则 A ， Ca b , C B a b 由此可得： A CC B ab ab
作业：
1 、若 | a| |b| 1 ,a b 且 2 a 3 b 与 k a 4 b 也 互相垂直，求 k 的值。 2 、设 a 是非零向量，且 bc ,求证： a ba c a ( b c )
说课课件第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
猫能捉住老鼠吗?
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
明目标、知重点
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
人教A版高中数学必修4PPT课件：2.平面向量的实际背景及基本概念
人教A版高中数学必修4PPT课件：2.平 面向量 的实际 背景及 基本概 念
向量的几何表示：用有向线段表示。
B
a
A
符号表示为:AB或者a
人教A版高中数学必修4PPT课件：2.平 面向量 的实际 背景及 基本概 念
问题分析 问题1: 下列不是向量的是（ ）
① 质量; ② 速度; ③位移; ④温度; ⑤加速度; ⑥路程 ⑦ 密度;⑧功
人教A版高中数学必修4PPT课件：2.平 面向量 的实际 背景及 基本概 念
人教A版高中数学必修4PPT课件：2.平 面向量 的实际 背景及 基本概 念
二 .向量的表示：
链接：物理中，矢量的表示法
人教A版高中数学必修4PPT课件：2.平 面向量 的实际 背景及 基本概 念
用有向线 段表示力
什么是有向线段？
把所有单位向量的起点平移到同一起点P,向 量的终点的集合是什么图形?
是以P点为圆心，以1个单 位长为半径的圆。
四、向量间的关系
1.相等向量：长度相等且方向相同的向量
叫做相等向量。
向量 a与 相b等，记作： a b
•向量不能比较大小，但可以说相等不相等
•向量可以自由平移即（向量可以平移）
四、向量间的关系
2,平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
如： a
平行向量又叫做共线向量
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行。
C
o
A
向量的平行与直线 的平行一样吗？
l B
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？
高一数学(人教A版)必修4精品课件：2-2-1 向量加法运算及其几何意义 公开课一等奖课件
温故知新 1．向量的有关概念：
既有大小又有方向 (1)所谓向量是______________________ 的量，其三要素
始点，大小，方向 ． 是____________________ 大小相等，方向相同 ，所谓共线 (2)相等向量应满足______________________ 方向相同或相反 向量是指___________________ 的向量．
向量和 的方法叫做向量加法的三角形 和，记作a＋b.这种求________
法则．
第二章
2.2 2.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所 → → → → 示)，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、D 三点不共线，以AB，AD为 → 邻边作平行四边形 ABCD， 则向量 AC ＝a＋b， 这种作两个向 量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
第二章
2.2 2.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
自主预习 1．向量的加法
和 的运算，叫做向量的加法．两 (1)定义：求两个向量____ 向量 ． 个向量的和仍然是一个______
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平 → → → 面内任取一点，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做向量a与b的
第二章
2.2 2.2.1
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[拓展]①向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺 次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组 向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个 法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角 形法则的连续应用． ②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意 义． (4)规定：a＋0＝0＋a＝a. (5)结论：|a＋b|≤|a|＋|b|.
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念课件(3)
但同向的可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小
精品PPT
作业：
P77，第1题；P78，第1题.
精品PPT
谢 谢 观 赏！
精品PT
量叫做向量
精品PPT
（二）思考问题
1. 向量与数量有何区别？
2. 如何表示向量？
数量只有大小，是一个 代数量，可以进行代数 运算、比较大小；
请听下一讲
向量有方向、大小，不 能比较大小
精品PPT
（三）练习
例1.下列各量中是向量的是( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量
例2.下列说法正确的是（ ） A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，
平面向量的 实际背景及基本概念
人教Ａ版必修４§2.1.1
精品PPT
学法
本节是本章的入门课，概念较多，但难 度不大.学生可根据在原有的位移、力等物 理概念来学习向量的概念，结合图形事物 区分平行向量、相等向量和共线向量等概 念.
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2.1.1向量的物理背景与概念
在物理学中，我们知道有很多 类似于位移的量，这种量有方向 和大小，称为矢量。
D
的路线BD实际上都是有方向、有长
度的量。
结论：不能，猫的速度再快也没用， 因为方向错了
精品PPT
请同学们指出哪些量既有大小又有方向？ 哪些量只有大小没有方向？
有大小与方向：力，位移，速度等. 有大小，没有方向：路程，年龄，温度等.
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二、新课学习
（一）向量的概念 我们把既有大小又有方向的
那么，在数学中，也用到了有 方向和大小的量。
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引言：
在研究物体的受力分析时，其中的力都是有 大小与方向的.
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作业：
P77，第1题；P78，第1题.
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谢 谢 观 赏！
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量叫做向量
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（二）思考问题
1. 向量与数量有何区别？
2. 如何表示向量？
数量只有大小，是一个 代数量，可以进行代数 运算、比较大小；
请听下一讲
向量有方向、大小，不 能比较大小
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（三）练习
例1.下列各量中是向量的是( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量
例2.下列说法正确的是（ ） A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，
平面向量的 实际背景及基本概念
人教Ａ版必修４§2.1.1
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学法
本节是本章的入门课，概念较多，但难 度不大.学生可根据在原有的位移、力等物 理概念来学习向量的概念，结合图形事物 区分平行向量、相等向量和共线向量等概 念.
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2.1.1向量的物理背景与概念
在物理学中，我们知道有很多 类似于位移的量，这种量有方向 和大小，称为矢量。
D
的路线BD实际上都是有方向、有长
度的量。
结论：不能，猫的速度再快也没用， 因为方向错了
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请同学们指出哪些量既有大小又有方向？ 哪些量只有大小没有方向？
有大小与方向：力，位移，速度等. 有大小，没有方向：路程，年龄，温度等.
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二、新课学习
（一）向量的概念 我们把既有大小又有方向的
那么，在数学中，也用到了有 方向和大小的量。
精品PPT
引言：
在研究物体的受力分析时，其中的力都是有 大小与方向的.
高一数学必修4课件：2-1平面向量的实际背景及基本概念
a＝b
有向线段 条________来表示，并且与有向线段的起点无
关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有 向线段表示同一个向量
第二章
2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
相同或相反 方向____________的非零向量叫做平
行向量 平行 规定：零向量与任何向量都______ 平行 向量 说明：任一组平行向量都可以移动到
个向量间不能比较大小，因此，A不正确．两个向量的模相 等，但方向却不一定相同，因此B不正确．相等的向量方向一 定相同，相等向量一定共线，因此C正确．对于选项D，两个 向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b有共线的可能，故D不正确.
第二章
2.1
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ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可；(2)共线 向量只需找方向相同或相反的向量即可．
第二章 2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析] 1，
(1)作出图形如图，由已知，有|a|＝|c|＝|e|＝|g|＝
|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝ 2 ，而在正方形ABCD中，|AB|＝|CD|＝ |BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝ 2.
第二章
2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
单位向量的长度等于(
)
A．0 B．1 C．2 D．不确定
[答案] B
第二章
2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
→ 如图所示，在平行四边形ABCD中，与 AB 共线的向量有 ________．
→ → → [答案] BA，DC，CD
第二章
→ 行到B地的位移，则|AB|＝1400km. → BC 表示飞机从B地按东偏南75° 方向飞行到C地的位移， → 则|BC|＝1400km.
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⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解析答案
跟踪训练1
判断下列命题是否正确，并
→ → ②若AB＝DC，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点； → → ③在平行四边形 ABCD 中，一定有AB＝DC；
④若向量a与任一向量b平行，则a＝0； ⑤若a＝b，b＝c，则a＝c； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
→ → 向线段的起点和终点字母表示，例如AB，CD.
知识点二
向量名称
向量的有关概念
定义
零向量
单位向量 平行向量 (共线向量) 相等向量
长度为0的向量，记作0
长度等于 1个单位 的向量 方向 相同或相反 的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规 定：零向量与任一向量 长度 且方向 的向量；向量a，b相等，记作a＝b
解析答案
→ → 3.如图，在四边形 ABCD 中，若AB＝DC，则图中相等的向量是(
)
→ → A.AD与CB → → C.AC与BD
→ → B.OB与OD → → D.AO与OC
解析
→ → ∵AB＝DC，∴四边形 ABCD 是平行四边形，
→ → ∴AC，BD 互相平分，∴AO＝OC.
解析答案
4.判断下列命题中不正确的命题个数为( ①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
题型探究
类型一 关于向量的概念和特殊向量的概念 例1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
重点难点 个个击破
→ → ①向量AB与CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
→ → ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当AB＝DC；
)
②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； ③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b； ④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反. A.1 B.2 C.3 D.4
解析答案
5. 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a； 解 根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，
→ → → 分别写出图中所示与OA，OB，OC相等的向量.
解
→ → → OA＝CB＝DO；
→ → → OB＝DC＝EO； → → → → OC＝AB＝ED＝FO.
解析答案
类型三 生活中向量的应用 例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向 西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到 达D点.
1.向量与数量 (1)向量：既有 (2)数量：只有 2.向量的几何表示 (1) 带有方向 的线段叫做有向线段.它包含三个要素： .
→ → 有向线段 (2)向量可以用 表示，向量AB的大小，也就是向量AB的 称 (或
，又有 ，没有
的量叫做向量. 的量称为数量. 、 、
→ )，记作|AB|.向量也可用字母 a，b，c，…表示，或用表示向量的有
解析答案
类型二 平行向量与共线向量 例2 下列命题正确的是( )
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解析答案
跟踪训练 2
如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，
解析答案
跟踪训练 3
一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地
向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东
60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向
行驶2千米才到达B地.
→ → → → (1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB； → → → → 解 向量AD，DC，CB，AB如图所示.
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 向量的定义和表示法
新知探究 点点落实
思考1
在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这
些量有什么区别？
答
方向. 思考2 答
面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有
对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？
利用有向线段来表示.
A.单位圆 C.线段
)
B.一段弧 D.直线
2.下列说法正确的是(
)
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 解析 A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A不正确； 由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B不正确； C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C不 正确； D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确.
且长度相等方向相同(作图略).
解析答案
(2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使|c|＝ 5，并说出向量 c 的终点的 轨迹是什么？
第二章
平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量
与数量的区别.
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与
区别，会用字母表示向量.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量
的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
→ → → (1)作出向量AB，BC，CD； 解 → → → 向量AB，BC，CD如图所示.
解析答案
→ (2)求|AD|. 解 → → → → 由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线，
→ → 又|AB|＝|CD|，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
→ → → → ∴AD＝BC，∴|AD|＝|BC|＝200 km.
解析答案
(2)求B地相对于A地的位置向量.
解 → → 由题意知AD＝BC，∴AD 綊 BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
→ → ∴AB＝DC，
∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”.
解析答案
达标检测
1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量
的终点形成的轨迹是(