38从两道高考试题到等周问题的变式研究

３８数学通报

２０１４年第５３卷第１０期

从两道高考试题到等周问题的变式研究①王芝平ｉ蚺（北京宏志中学１０００１３）（北京市第八十中学１００１０２）试题１（２００６年高考全国卷理科１２题）用长度分别为２、３、４、５、６（单位：ｃｍ）的５根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）Ａ．８√５ｃｍ２Ｂ．６￣／１０ｃｍ２Ｃ．３√－ｃｍ２Ｄ．２０ｃｍ２试题２（２０１３年高考全国新课标乙卷理科１２题）设△Ａ。Ｂ。Ｃ。的三边长分别为口。，６。，巳，△Ａ，Ｂ。Ｃ。的面积为Ｓ。，挖一１，２，３，…，若６。＞ｆ，，，—』—．九６１＋ｃ１—２ｎ１，ｎ。＋１一ｎ。，６。十１一生之兰，ｃ。＋ｌ一厶鲨墨，则（）厶Ａ．｛Ｓ。）为递减数列Ｂ．｛Ｓ。）为递增数列Ｃ．｛ｓ。。一，｝为递增数列，｛Ｓ：。）为递减数列Ｄ．（Ｓ。Ｈ｝为递减数列，（Ｓ：。）为递增数列试题１中的５根细木棒“允许连接，但不允许折断”，显然，他们围成的三角形有许多，是多少个？一时也不特别清楚，但一定是有限个！那么其中必有一个面积最大．一一考察它们应该较为复杂，转换视角，可发现这里隐含着一个重要信息：这些三角形有一个共同的周长２０（不变量！）．直觉告诉我们，当这个三角形的三边长比较接近时，它的面积最大．调整△ＡＢＣ的三个边，使其尽可能的相等，只能是７，７，６，此时三角形面积为６￣／ｌＯｃｍ２．对于试题２，我们可以借助几何直观形象地解释这个问题：我们不妨将△Ａ。Ｂ。Ｃ。的三边长度ｎ。，６。，ｃ。分别标记在数轴上，它们对应的点不妨分别记作Ａ。，Ｂ。，Ｇ．由题设可知，△Ａ川Ｂ川Ｃ。＋。的三边长度

口。＋。，６。＋。，ｃ。＋。，在数轴上对应的点分别是点Ａ。，线段Ａ。Ｃ。的中点是Ｂ。十。，线段Ａ。Ｂ。的中点是Ｃ。＋。．如下图所示：ＣｉｌＢ？¨Ａ？｜ＣｍＢｎ

ｃ，，６Ⅲ％‰６。

Ｊ

观察上图，我们立即获得如下２个结论：６。＋１＋ｃ。＋１—６。＋ｃ。＝…＝６ｌ＋ｃｌ，即△Ａ。Ｂ。Ｃ。的周长保持不变；６。，ｃ。同时趋向ｎ。一ｎ１．亦即△Ａ。Ｂ。Ｃ。逐渐逼近正三角形，且其周长保持不变．至此，直觉告诉我们，△Ａ。Ｂ。Ｃ。的面积Ｓ。逐渐增加，即｛Ｓ。）为递增数列．故选Ｂ．显然，上述两道时隔７年的高考试题具有相同的本质：三角形的周长是定值！也就是，无论两题中三角形怎样变化，他们的周长都是固定不变的，这就显现了两个考题的背景：“等周问题”．等周问题：在周长一定的平面咒边形中，以正九边形面积最大；在周长一定的平面封闭图形中，以圆的面积最大．在上述两年高考结束后，我们都曾经有意识地对一些老师和学生做过访谈，遗憾的是有很多人不知道，或不十分清楚等周问题的具体内容．为扩大中学生的数学视野、提高数学教师对“等周问题”的理解与认识，我们现将“等周问题”进行简单梳理，并用初等方法由特殊到一般、有具体到抽象地给予介绍．首先，由参考文献［１］知，周长给定的平面图形面积一定有最大值．这是本文下面所有讨论的基础．

①“北京市中小学名师发展工程（（）ｕｔｓｔａｎｄｊｎｇＴｅａｃｈｅｒＰｒｏｇｒａｍｍｅ）”研究成果．

万方数据２０１４年第５３卷第１０期数学通报３９

定理１周长给定的平面多边形面积最大时，它一定是凸多边形．证明假设周长一定、且面积最大的平面多边形Ａ。Ａ。Ａ。…Ａ。不是凸多边形，那么一定存在两个点，不妨设为Ａ。，Ａ。，使得线段Ａ。Ａ。落在这个多边形的外部，如图１．ＡＡＡ２Ａ３Ａ２图ｌ图２连接Ａ。Ａ。，作图形凹人的部分关于直线Ａ－Ａ。的对称图形，如图２，则新的多边形Ａ７。Ａ。Ａ。…Ａ。周长不变，而面积增大．与假设矛盾．所以定理得证．显然，上述证明也适用于平面闭曲线的情形，即：周长给定的平面闭曲线所围的面积最大时，它一定是平面凸曲线．即，连接曲线上任意两点的线段必全部在曲线上或在曲线所围的区域内．嘲定理２周长与一条边长给定的三角形，当另外两条边长相等时面积最大．证明设△ＡＢＣ中，ＢＣ边长为定值２ｆ，ＡＢ＋ＡＣ为定值２口．以直线ＢＣ为ｚ轴，线段ＢＣ的中垂线为ｙ轴，建立平面直角坐标系，如图３．因为ＡＢ＋ＡＣ＝２口，且２口＞２ｆ，所以点Ａ在以Ｂ，Ｃ为厂。～』，／／仆一＼口ＤＣｌ？ｘｏ．—夕图３焦点的椭圆≥＋紊一１（６一￣／孑二７）上（除去椭圆长轴的两个端点）．由对称性，不妨设点Ａ（ｓ，￡）在ｚ轴上方，则△ＡＢＣ的面积等于Ｓ—ｃｚ．因为ｏ＜￡≤６，所以Ｓ—ｆｆ≤６ｃ．当且仅当ＡＢ—ＡＣ时Ｓ一６ｆ．定理２的证明是容易的，但是学习数学不能以找到正确答案为唯一目的，必须养成对解题的方法进行反思的习惯，对每一个具体问题不仅要争取找到较优的解题方法，而且更要挖掘出问题背后所蕴涵的深刻含义，增长数学活动经验．在图３中，用运动、变化的观点观察△ＡＢＣ的面积，当点Ａ是椭圆短轴的端点时，其面积取得最大值６ｆ．对这个问题换个角度看，即知，当△ＡＢＣ的周长（２ｎ＋２ｆ）一定并且一条边（ＢＣ＝２ｃ）固定时，另外两条边越接近，其面积越大，特别地，以等腰三角形的面积最大．［３１定理３在周长给定的三角形中，等边三角

形的面积最大．证明设△ＡＢＣ的三角形的三条边长分别为ｎ，６，ｃ，则２声＝口＋６＋ｃ是定值．由海伦公式，

得Ｓ△ＡＢｃ＝￣／户（户一ｎ）（户一６）（ｐ—ｆ）．根据均值不等式可知，（夕一ｎ）（ｐ一６）（ｐ—ｆ）≤『竺尘丛车必盟型］３＿譬，Ｌ＇）Ｊ

厶，

当且仅当户一ｎ＝乡一６一户一ｆ，即口＝６＝ｃ时三角形的面积取到最大值．所以在周长给定的三角形中，以等边三角形的面积最大．定理得证．定理４在边长给定的四边形中，内接于圆

的四边形面积最大．此定理的证明，请见参考文献［４］．定理５如果一个四边形的周长与一条边给月定，那么当另三条边相等时该四边形面积最大．

Ｄ日Ｂ

图４

Ｃ

证明如图５，在四边形ＡＢＣＤ中，设ＡＢ是

定值口，则另三条边的长度６，ｆ，ｄ之和也是定值．假设６，ｆ，ｄ不全相等，不妨设６≠ｃ．如图６，在三角形ＢＣＤ中，作线段ＢＤ的中垂线，在其上取点Ｃ７，使三角形ＢＣ７Ｄ与三角形ＢｃＤ周长相等（这是可以做到的）．

图５图６

显然，由定理２得，三角形ＢＣ７Ｄ的面积大于三角形ＢＣＤ的面积．

万方数据４０数学通报２０１４年第５３卷第１０期所以，为了使四边形ＡＢＣＤ的面积最大，必须有６＝ｃ．同理ｄ—ｆ．从而当ｄ＝６＝ｃ时四边形ＡＢＣＤ的面积最大．定理得证．由定理４，５立即得到推论如图７，如果一个四边形的周长与一条边给定，那么，以定边为底边、其它三图７条边相等时的等腰梯形的面积最大．特别地，周长给定的四边形以正方形的面积最大．以上述这些具体情形做基础，我们马上可以得到一个一般性的结论：定理６周长给定的以（ｎ≥３）边形以正行边形的面积为最大．证明首先证明周长给定的ｎ边形面积最大时其各边相等．如图８，设ｎ边形Ａ。Ａ：Ａ。…Ａ。的边长分别为ｎ１，ｎ２，ｎ３，…，口。，假设口１≠口２，保持多边形Ａ。Ａ。Ａ；…Ａ。的形状不变，由定理２，保持△Ａ。Ａ：Ａ。的周长不变，调整口。，口ｚ的大小至盘，一ｎ：，可增大△Ａ。Ａ。Ａ。的面积，进而增大咒边形Ａ。Ａ。Ａ。…Ａ。的面积．由上可知，如果规边形Ａ，Ａ：Ａ。…Ａ。的任意两条边不相等，通过调整大小，总可以增大咒边形的面积，所以周长给定的孢边形面积最大时各边相等．其次证明各边相等的咒边形面积最大时其各角相等．如图９，如果ｎ边形Ａ。Ａ。Ａ。…Ａ。的各角不全相等，则必存在两个相邻的内角不相等，不妨设么Ａ。Ａ：Ａ。≠么Ａ。Ａ。Ａ。，保持多边形ＡｌＡ。…Ａ。的形状不变，由定理４，５的推论可知，为使四边形Ａ。Ａ。Ａ。Ａ。的面积最大，需使其为等腰梯形，即么Ａ１Ａ２Ａ３一么Ａ２Ａ３Ａ４．爿。爿。彳４爿图８图９由上可知，如果挖边形Ａ，Ａ。Ａ。…Ａ。的任意两个内角不等，通过调整角度，总可以在不改变周长的情况下增大，ｚ边形的面积，所以各边相等的咒边形为正咒边形时面积最大．定理７周长给定的正挖（咒≥３，竹∈Ｎ）边形的面积Ｓ（咒）是以的单调增函数．证明设正咒边形的周长为Ｚ，显然其面积为

ｓ㈤一等・七．

７２ｔａｎ——令厂（ｚ）一嘲ｎ詈（ｚ≥３），ｚｓｉｎ塾一２兀则厂７（ｚ）一——生一

２ｚｃｏｓ２旦Ｚ

显然厂（３）一３ｔａｎ詈＝３万，，（４）一４ｔａｎ孕一４，所Ｊｔ

以厂（３）＞厂（４）．

当ｚ＞４时，ｚｓｉｎ塑一２兀＜ｚ・堡一２７ｃ—ｏ，ＺＺ

即．厂（ｚ）一ｚｔａｎ旦是区间［４，＋ｏ。）上的减函数，上

所以Ｓ（咒）是咒（ｎ≥３，咒∈Ｎ）的单调增函数．对定理７的证明，文献［４］第２８页给出了如下巧妙的方法，令人叹服．设Ｐ为正７２边形Ａ。Ａ。Ａ。…Ａ。，Ｑ为正孢＋１边形Ｂ。Ｂ：Ｂ。…Ｂ。＋。．在Ｐ的任一边上取定中点Ｅ，将这条边看作是由两条边相交于Ｅ点、不过交角是平角（图１０）．这样一来，Ｐ就成为咒＋１边形了，但不是正咒＋１边形．又因为周长相等的孢＋１边形中，正咒＋１边形具有最大的面积．因此Ｓ，＜ＳＱ，即正咒＋１边形比正竹边形的面积来得大．

爿ｌＥ爿２图ｌＯ图１ｌ所以周长给定的正ｎ（咒≥３，孢∈Ｎ）边形的面积Ｓ（规）是竹的单调增函数．该定理说明，周长给定的正咒（竹≥３，咒∈Ｎ）边

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