指数函数习题(经典 含答案及详细解析)

指数函数习题
一、选择题
1．定义运算⎩⎨
⎧>≤=⊗b
a b b a a b a ，则函数x
x f 21)(⊗=的图象大致为( )
2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )>f (c x )
D ．大小关系随x 的不同而不同
3．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2) 4．设函数f (x )＝ln[(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x )＝lg(a x －2x －1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围( ) A ．a >3 B ．a ≥3 C ．a > 5
D ．a ≥ 5
5．已知函数⎩
⎨
⎧>≤--=-77)3)(3()(6
x a x x a x f x ，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *
)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．[9
4，3)
B ．(9
4，3)
C ．(2,3)
D ．(1,3)
6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<1
2，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0，1
2]∪[2，＋∞)
B ．[1
4，1)∪(1,4]
C ．[1
2，1)∪(1,2]
D ．(0，1
4
)∪[4，＋∞)
二、填空题
7．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a
2，则a 的值是________．
8．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．
三、解答题
10．求函数y ＝2
11．(2011·银川模拟)若函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．
12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；
(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．
指数函数答案
1.解析：由a ⊗b ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a
a ≤
b b a >b
得f (x )＝1⊗2x
＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
x ，
1 x
答案：A
2. 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝
3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．
若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x
)．
若x <0，则3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x
)．
∴f (3x )≥f (2x
)． 答案：A
3.解析：由于函数y ＝|2x
－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1. 答案：C
4. 解析：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由A ⊆B 知a x －2x
>1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，则u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，所以函数u (x )在(1,2)上单调递增，则u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3. 答案：B
5. 解析：数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *
)，则函数f (n )为增函数，
注意a 8－6
>(3－a )×7－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a >13－a >0
a 8－6
－a －3
，解得2<a <3.
答案：C
6. 解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2
－12
的图象，
当a >1时，必有a －1
≥12，即1<a ≤2，
当0<a <1时，必有a ≥12，即1
2≤a <1，
综上，1
2≤a <1或1<a ≤2.
答案：C
7. 解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝a
x
在[1,2]上单调递减，故a －a 2
＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32
.
答案：12或3
2
8. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．
曲线|y |＝2x
＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x
＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]． 答案：[－1,1]
9. 解析：如图满足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：1
10. 解：要使函数有意义，则只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2
＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1. ∴函数的定义域为{x |－4≤x ≤1}．
令t ＝－x 2－3x ＋4，则t ＝－x 2
－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254
，
∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，此时x ＝－3
2，t min ＝0，此时x ＝－4或x ＝1.
∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2
－3x ＋4≤52.
∴函数y ＝1()
2
[
2
8
，1]．
由t ＝－x 2
－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254(－4≤x ≤1)可知，
当－4≤x ≤－3
2时，t 是增函数，
当－3
2≤x ≤1时，t 是减函数．
根据复合函数的单调性知：
y ＝1()2
[－4，－32]上是减函数，在[－3
2
，1]上是增函数．
∴函数的单调增区间是[－32，1]，单调减区间是[－4，－3
2
]．
11. 解：令a x
＝t ，∴t >0，则y ＝t 2
＋2t －1＝(t ＋1)2
－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数
在[－1，＋∞)上是增函数．
①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[1a
，a ]，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2
＋2a －1＝14，
解得a ＝3(a ＝－5舍去)． ②若0<a <1，∵x ∈[－1,1]，
∴t ＝a x
∈[a ，1a ]，故当t ＝1a
，即x ＝－1时，
y max ＝(1
a
＋1)2－2＝14.
∴a ＝13或－1
5(舍去)．
综上可得a ＝3或13
.
12. 解：法一：(1)由已知得3a ＋2
＝18⇒3a
＝2⇒a ＝log 32.
(2)此时g (x )＝λ·2x －4x
，
设0≤x 1<x 2≤1，
因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，
所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．
由于2x 2＋2x 1>20＋20
＝2，
所以实数λ的取值范围是λ≤2.
法二：(1)同法一．
(2)此时g (x )＝λ·2x －4x
，
因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，
所以有g′(x)＝λln2·2x－ln4·4x＝ln2[－2·(2x)2＋λ·2x]≤0成立．设2x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u2＋λu≤0恒成立．
因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，
所以实数λ的取值范围是λ≤2.。