《勾股定理》进阶练习(三) (2)

《勾股定理》进阶练习
一、选择题
1.啸鸣放学后以50米／分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分，又沿南北马路向南走了19.2分到家，则他家与学校距离为( )米．
A.100
B.10000
C.1240
D.1000
2.在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）
A.10
B.8
C.6或10
D.8或10
3.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a,较长直角边为b,那么的值为（）
A.13
B.19
C.25
D.169
二、填空题
4. 如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为m.
第四题图第五题图第六题图
5.如图，让两个长为12，宽为8的矩形重叠，已知图中线段AB长为7，则两个矩形重叠的阴影部分面积为 .
6.如图将一根长24㎝的筷子，置于底面径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为h㎝,则h的取值范围是。

三、计算题
7. 如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF;
（2）若∠FCB=30°，BF=1，求△AEC的面积.
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.17
5.42
6.11cm≤h≤12cm
7.1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：在Rt△FBC中，∠FBC=90° ，
∵∠FCB=30°，BF=1，
∴FC=2BF=2.
由（1）可知Rt△ABE≌Rt△CBF
∴AE=FC=2，BE=BF=1.
∴AB=BC==，
∴CE=BC-BE=-1，
∴△AEC的面积为.
1. 【分析】
本题主要考查勾股定理的应用，由题意可求啸鸣放学后向东走的距离和向南走的距离，东西方向与南北方向构成直角，利用勾股定理即可求解．
【解答】
解：啸鸣放学后向东走了5.6×50米，向南走了19.2×50米，
∵东西方向与南北方向互相垂直，
∴啸鸣家离学校的距离为=
=1000米．
故选D．
2.解：根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB=10，AC=2，AD=6，
在Rt△AB D和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD==8，CD==2，
此时BC=BD+CD=8+2=10；
如图2所示，AB=10，AC=2，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD==8，CD==2，此时BC=BD-CD=8-2=6，则BC的长为6或10．
故选C．
分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABC与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
3. 【分析】
注意完全平方公式的展开：(a+b)2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得(a+b)2．
【解答】
解：(a+b)2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+(13-1)=25．
故选C．
4. 【分析】
本题考查了勾股定理的应用，一元一次方程的应用，数形结合思想和作图，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x-2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【解答】
解：如图，
设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x-2）m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-2）2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故答案为17．
5. 【分析】
本题考查了矩形的性质和直角三角形中勾股定理的运用，此题难度不大，但是要看出阴影面积=S△A EC+S△ACD．首先连接AC，根据题干条件求出CD=8，CE=12，AE=8-7=1，然后根据三角形面积公式求出S△AEC和S△ACD，即阴影部分的面积．
【解答】
解：如图所示，CD=8，CE=12，AE=8-7=1，
Rt△ACE中，AC==，
Rt△ADC中，AD==9，
阴影部分的面积=S△AEC+S△ACD=CD×AD÷2+AE×CE÷2=42．
故答案为42．
6. 【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【解答】
解：
∵将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，x=12，
最长时等于杯子斜边长度是：x==13，
∴h的取值范围是：(24-13)cm≤h≤(24-12)cm，
即11cm≤h≤12cm．
故答案为11cm≤h≤12cm．
7. 本题考查了直角三角形全等的判定与含30°角直角三角形性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由（1）可得AB=CB，BE=BF，利用30°所对直角边等于斜边一半，可求出CF，再根据勾股定理求出BC，表示出CE，即可求出△AEC的面积.。