2017-2018学年北京市海淀区2018届九年级上学期期中考试数学试题(图片版含答案)
2017-2018学年北京中国人大附中九年级(上)期中数学试卷
2017-2018学年北京中国人大附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）一元二次方程（x﹣2）2=0的解是（）A．x=2B．x1=x2=2C．x1=2，x2=﹣2D．x=﹣23．（4分）二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，则m的取值范围是（）A．m＞0B．m＞2C．m＜0D．m＜24．（4分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定5．（4分）已知关于x的函数y=（m﹣1）x m+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（）A．﹣1B．8C．﹣2D．16．（4分）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．（4分）抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣2x+3B．y=﹣x2﹣2x+3C．y=﹣x2+2x+3D．y=﹣x2+2x﹣38．（4分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°10．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（）A．B．C．D．11．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）12．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）13．（4分）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．14．（4分）已知抛物线y=x2﹣2x+5经过两点A（﹣2，y1）和B（3，y2），则y1与y2的大小关系是．15．（4分）直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为16．（4分）函数y=的最小值是．17．（4分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，那么点A的对应点A′的坐标是．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2可通过平移交换向得到抛物线y=x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是．19．（4分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为；当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．三、解答题（共3小题，满分24分）20．（8分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3，（1）请你将函数解析式化成y=（x﹣h）2+k的形式，并在直角坐标系中画出y=x2﹣2x﹣3的图象；（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示方程x2﹣2x﹣1=0的根，要求保留画图痕迹，指出方程的图形意义．21．（8分）用配方法解一元二次方程：x2+3x﹣=0．22．（8分）已知：如图在⊙O中，弦AB，CD交于点E，AD=CB，（1）利用尺规作图确定圆心O的位置，保留作图痕迹；（2）求证：AB=CD．2017-2018学年北京中国人大附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（4分）一元二次方程（x﹣2）2=0的解是（）A．x=2B．x1=x2=2C．x1=2，x2=﹣2D．x=﹣2【分析】利用直接开平方法得到x﹣2=0，然后解一元一次方程即可．【解答】解：x﹣2=0，所以x1=x2=2．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．3．（4分）二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，则m的取值范围是（）A．m＞0B．m＞2C．m＜0D．m＜2【分析】根据抛物线的开口方向即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，∴2﹣m＞0，解得：m＜2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）的开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下”是解题的关键．4．（4分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OP=7＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．5．（4分）已知关于x的函数y=（m﹣1）x m+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（）A．﹣1B．8C．﹣2D．1【分析】根据二次函数定义可得m=2，再代入3m+2即可得到答案．【解答】解：∵关于x的函数y=（m﹣1）x m+（3m+2）x+1是二次函数，∴m=2，则3m+2=8，故此解析式的一次项系数是：8．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．6．（4分）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．【解答】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选：B．【点评】此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．7．（4分）抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣2x+3B．y=﹣x2﹣2x+3C．y=﹣x2+2x+3D．y=﹣x2+2x﹣3【分析】抛物线开口向下，a＜0，与y轴的正半轴相交c＞0，对称轴在原点的右侧a、b异号，则b＞0，再选答案．【解答】解：由图象得：a＜0，b＞0，c＞0．故选：C．【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．8．（4分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ，在△APQ与△CQN中，∴△APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP=∠CQN，∠PAQ=∠CQN∵∠AQP+∠PAQ=90°，∴∠AQP+∠CQN=90°，∴∠AQC=90°，即所对的圆心角的大小是90°，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°【分析】先由∠ACB=90°、∠A=40°得∠ABC=50°，再由旋转的性质得∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，继而可得答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，又△ABC≌△AB′C′，∴∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，∴∠BCB′=80°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．10．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（）A．B．C．D．【分析】过O作弦AB的垂线，通过构建直角三角形求出弦AB的长．【解答】解：过O作OC⊥AB于C．在Rt△OAC中，OA=2，∠AOC=∠AOB=60°，∴AC=OA•sin60°=，因此AB=2AC=2．故选：B．【点评】此题主要考查了垂径定理及解直角三角形的应用．11．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．【解答】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，﹣1），∴旋转中心的坐标为（1，﹣1）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．12．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大【分析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：A、图象开口方向向下，则a＜0，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线x=2，则图象与x轴另一交点坐标为：（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数与不等式的解集，利用数形结合得出是解题关键．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）13．（4分）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（﹣2，3）关于原点O的对称点是P′（2，﹣3）【解答】解：根据两个点关于原点对称，∴点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）；故答案为（2，﹣3）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．14．（4分）已知抛物线y=x2﹣2x+5经过两点A（﹣2，y1）和B（3，y2），则y1与y2的大小关系是y1＞y2．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（﹣2，y1）和B（3，y2），分别代入二次函数的关系式，分别求得y1，y2的值，最后比较它们的大小即可．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+5经过两点A（﹣2，y1）和B（3，y2），∴y1=4+4+5=13，即y1=13，y2=9﹣6+5=8，即y2=8，∵8＜13，∴y2＜y1．故答案是：y1＞y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一定在函数图象上．15．（4分）直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为4或5【分析】直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①8为斜边长；②6和8为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．【解答】解：由勾股定理可知：①直角三角形的斜边长为：8；②直角三角形的斜边长为：=10．因此这个三角形的外接圆半径为4或5．【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．16．（4分）函数y=的最小值是﹣2．【分析】由二次项系数的正负，根据二次函数的性质即可得出其最值情况．【解答】解：在函数y=中，∵a=，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．17．（4分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，那么点A的对应点A′的坐标是（﹣3，3）．【分析】根据网格结构找出点A、B绕点C逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标即可．【解答】解：如图所示，点A的对应点A′的坐标是（﹣3，3）．故答案为：（﹣3，3）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构，作出旋转后的图形是解题的关键．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2可通过平移交换向右移2个单位，再向下移2个单位得到抛物线y=x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是4．【分析】确定出抛物线y=x2﹣2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），对称轴为直线x=2，当x=2时，y=×22=2，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，×（2+2）×2=4．故答案为：右移2个单位，再向下移2个单位，4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．19．（4分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为2；当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为﹣1．【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC=90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA=OB，在Rt△AGO中，∵AG=2，OG=1，∴AG=2OG，OA==，∴∠GAO=30°，AB=2AO=2，∴∠AGO=60°，∵GC=GA，∴∠GCA=∠GAC，∵∠AGO=∠GCA+∠GAC，∴∠GCA=∠GAC=30°，∴AC=2OA=2，MG=CG=1，∵∠AFC=90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM﹣GM=﹣1．故答案为2，﹣1．【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共3小题，满分24分）20．（8分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3，（1）请你将函数解析式化成y=（x﹣h）2+k的形式，并在直角坐标系中画出y=x2﹣2x﹣3的图象；（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示方程x2﹣2x﹣1=0的根，要求保留画图痕迹，指出方程的图形意义．【分析】（1）根据配方法整理即可，再求出x=﹣1、0、1、2、3时的函数值，然后画出函数图象即可；（2）求出y=﹣2时对应的x的近似值即可．【解答】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，函数图象如图所示；（2）y=﹣2时，x2﹣2x﹣3=﹣2，x2﹣2x﹣1=0，方程x2﹣2x﹣1=0的根如图所示．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象法求一元二次方程的近似根，通常利用“五点法”作二次函数图象．21．（8分）用配方法解一元二次方程：x2+3x﹣=0．【分析】在本题中，把常数项﹣移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数3的一半的平方．【解答】解：x2+3x﹣=0x2+3x=x2+3x+（）2=+（）2（x+）2=x+=±x1=，x2=．【点评】考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．22．（8分）已知：如图在⊙O中，弦AB，CD交于点E，AD=CB，（1）利用尺规作图确定圆心O的位置，保留作图痕迹；（2）求证：AB=CD．【分析】（1）作BD的垂直平分线即可；（2）同弧所对的圆周角相等，可得出△ADE和△CBE中两组对应角相等，已知两组对应角的夹边相等，可证得△ADE≌△CBE，得AE=CE，DE=BE，从而证得AB=CD．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵同弧所对对圆周角相等，∴∠A=∠C，∠D=∠B．在△ADE和△CBE中，∴△ADE≌△CBE．∴AE=CE，DE=BE，∴AE+BE=CE+DE，即AB=CD．【点评】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识的应用能力．第21页（共21页）。
2017-2018学年北京师大附中九年级(上)期中数学试卷
2017-2018学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）抛物线y=﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）2．（2分）下面的四条线段中不能成比例的是（）A．3，6，2，4B．4，6，5，10C．1，2，3，6D．2，4，5，103．（2分）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE 与△ABC的面积比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：44．（2分）将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y=﹣x2B．y=﹣x2+1C．y=﹣x2﹣1D．y=x2﹣1 5．（2分）将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB 放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）A．（2，5）B．（，5）C．（3，5）D．（3，6）7．（2分）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．8．（2分）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A．5：2B．2：5C．4：25D．25：49．（2分）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．10．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若=，则=．12．（3分）点A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y=x2﹣3x上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式．14．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为m．15．（3分）如图，在△ABC中，D为AC边上的点，∠DBC=∠A，，AC=3，则CD的长为．16．（3分）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx ﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为．三、解答题（本大题共62分：第17题-23题每题6分，第24题7分，第25题6分，第26题7分）17．（6分）已知抛物线y=x2﹣4x+3．（1）把这个二次函数化为顶点式；（2）在坐标系中利用五点作图法画出它的图象（不需要列表）；（3）请结合函数图象直接写出不等式y＞0的解集．18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．求证：（1）△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．19．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为，点C的坐标为．（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为．（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC 对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：．20．（6分）已知：关于x的二次函数y=x2+2x+2k﹣4图象与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且抛物线与x轴交点的横坐标为整数，求k的值．21．（6分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（结果保留根号）22．（6分）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC=BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2=BD•DE．23．（6分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF 在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x﹣3与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求B点与顶点D的坐标；（2）经过点B的直线l与y轴正半轴交于点M，S=5，求直线l的解析式；△ADM（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作x轴的垂线m，将抛物线在直线m 左侧的部分沿直线m对折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线l没有公共点时，t的取值范围是．25．（6分）已知矩形ABCD，AD=3，AB=m，点P是线段CD的中点，点E是线段AD上的一个动点（点E可以和点A、D重合），过点P作线段PE的垂线PF，交矩形的边AB于点F．（1）如图1，若m=，求的值；（2）如图2，若m=8，点M是线段AD上另一动点（不与点E重合），过点P作线段PM的垂线PN交边AB于点N，求的值；（3）如图3，点D关于直线PE的对称点为点N，当点E和点A重合时，点N到直线AB的距离等于1，请你直接写出m的值．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“伴随菱形”．图1为点P，Q的“伴随菱形”的一个示意图．（1）已知点A的坐标为（1，4），点B是直线y=﹣1上一点，记点B坐标为（m，﹣1），①若m=﹣1，则R（1，﹣5），S（﹣3，4），T（3，﹣1）中能够成为点A，B的“伴随菱形”顶点的是；②若点A，B的“伴随菱形”为正方形，求直线AB的解析式；（2）已知抛物线y=x2﹣2nx+，过点A（1，4）作垂直于y轴的直线y=4交抛物线于E、F两点，记抛物线在点E和点F之间（包括点E和F）的图象为图象G，若图象G上存在点C，使点A，C的“伴随菱形”为正方形，请你直接写出n的取值范围．2017-2018学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）抛物线y=﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．2．（2分）下面的四条线段中不能成比例的是（）A．3，6，2，4B．4，6，5，10C．1，2，3，6D．2，4，5，10【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b=c：d．只要代入验证即可．【解答】解：A、3：6=2：4，则a：b=c：d，即a，b，c，d成比例；B、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例；C、1：3=2：6，则a：c=b：d．故a，c，b，d成比例；D、2：4=5：10，即a：b=c：d，故a，b，c，d成比例．故选：B．【点评】本题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序，难度适中．3．（2分）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE 与△ABC的面积比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【分析】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，又由D是边AB的中点，可得AD：AB=1：2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积与△ABC的面积之比．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是边AB的中点，∴AD：AB=1：2，∴=（）2=．故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．4．（2分）将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y=﹣x2B．y=﹣x2+1C．y=﹣x2﹣1D．y=x2﹣1【分析】由于将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，可知函数图象的形状不会发生变化，只是顶点坐标和开口方向发生了变化，先画出图象，即可进行解答．【解答】解：如图，由于所得函数图象与原函数图象关于原点对称，故所得函数顶点为（0，﹣1），则所得函数为y=﹣x2﹣1．故选：C．【点评】此题考查了函数的对称变化，找到所求函数的顶点坐标是解题的关键．5．（2分）将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：∵y=﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y=﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3（x﹣1）2﹣2．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB 放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）A．（2，5）B．（，5）C．（3，5）D．（3，6）【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），∴=，∵A（1，2），∴C（，5）．故选：B．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点的关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．7．（2分）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．8．（2分）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A．5：2B．2：5C．4：25D．25：4【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：如图，∵OA=20cm，OA′=50cm，∴===，∵三角尺与影子是相似三角形，∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==2：5．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质．9．（2分）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c 与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．【解答】解：点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，∴x=ax2+bx+c，∴ax2+（b﹣1）x+c=0；由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个正实数根．∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，又∵﹣＞0，a＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∴A符合条件，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．【解答】解：当点Q在AC上时，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°=，∴y=×AP×PQ=×x×=x2；当点Q在BC上时，如下图所示：∵AP=x，AB=16，∠A=30°，∴BP=16﹣x，∠B=60°，∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）．∴==．∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B．【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若=，则=．【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．【解答】解：根据等式的性质：两边都加1，，则=，故答案为：．【点评】本题主要考查等式的性质，观察要求的式子和已知的式子之间的关系，从而利用等式的性质进行计算．12．（3分）点A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y=x2﹣3x上，则y1＞y2．（填“＞”，“＜”或“=”）【分析】先得到抛物线的对称轴为直线x=，根据二次函数的性质，通过两点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．【解答】解：由抛物线y=x2﹣3x可知对称轴x=﹣=，∵抛物线开口向上，而点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比B（3，y2）远，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．13．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式y=x2﹣1（答案不唯一）．【分析】抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可．【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写函数解析式的二次项系数一定要大于0．14．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为6m．【分析】设树的高度为xm，根据相似三角形的性质即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设树的高度为xm，根据题意得：=，解得：x=6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用以及解一元一次方程，利用相似三角形的性质列出关于x的一元一次方程是解题的关键．15．（3分）如图，在△ABC中，D为AC边上的点，∠DBC=∠A，，AC=3，则CD的长为2．【分析】先证明△BCD∽△ACB，再根据相似三角形的对应边成比例的性质求CD 的长度．【解答】解：在△BCD和△ACB中，∵∠C=∠C（公共角），∠DBC=∠A（已知），∴△BCD∽△ACB，∴=，∵，AC=3，∴CD=2．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定定理（两个三角形中，有两个角对应相等，则这两个三角形相似）及相似三角形的性质（相似三角形中，对应边成比例）．16．（3分）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx ﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为﹣3或6．【分析】根据正方形的性质得出另外两个顶点C、D的坐标，继而得出对角线的交点P的坐标，代入解析式求解可得．【解答】解：∵点A（﹣4，0）、B（﹣2，0），∴点C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），则对角线AC、BD交点P的坐标为（﹣3，﹣1），根据题意，将点P（﹣3，﹣1）代入解析式y=2x2﹣nx﹣n2﹣1，得：18+3n﹣n2﹣1=﹣1，整理，得：n2﹣3n﹣18=0，解得：n=﹣3或n=6，故答案为：﹣3或6．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握正方形的性质找到符合条件的点P的坐标．三、解答题（本大题共62分：第17题-23题每题6分，第24题7分，第25题6分，第26题7分）17．（6分）已知抛物线y=x2﹣4x+3．（1）把这个二次函数化为顶点式；（2）在坐标系中利用五点作图法画出它的图象（不需要列表）；（3）请结合函数图象直接写出不等式y＞0的解集x＜1或x＞3．【分析】（1）根据配方法可以将题目中的解析式化为顶点式；（2）根据五点作图法可以画出相应的函数图象；（3）根据（2）中的函数图象可以直接写出不等式y＞0的解集．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1；（2）图右图所示；（3）由图象可得，不等式y＞0的解集是x＜1或x＞3，故答案为：x＜1或x＞3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的三种形式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．求证：（1）△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB，又因为又∠DAE=∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以，由平行四边形的性质可知BC=AD=8，所以EC=BC﹣BE=8﹣2=6，代入计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．又∵∠DAE=∠F，∴∠AEB=∠F．∴△ABE∽△ECF；（2）∵△ABE∽△ECF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8．∴EC=BC﹣BE=8﹣2=6．∴．∴【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC．19．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为（2，8），点C的坐标为（6，6）．（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为（a﹣7，b）．（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC 对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：（1，4）或（﹣1，﹣4）．【分析】（1）直接根据图形即可写出点A和C的坐标；（2）找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；（3）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可，注意有两种情况．【解答】解：（1）A点坐标为：（2，8），C点坐标为：（6，6）；（2）所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，可知M1的坐标（a﹣7，b）；（3）所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（1，4）或（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查了旋转变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点，难度一般．20．（6分）已知：关于x的二次函数y=x2+2x+2k﹣4图象与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且抛物线与x轴交点的横坐标为整数，求k的值．【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点，求出△的取值范围，即可求出k的取值范围；（2）根据（1）的结论，且k为正整数，求出k的值，将k代入抛物线解析式，检验是否与x轴有两个交点即可；【解答】解：（1）根据题意知，△=22﹣4×1×（2k﹣4）＞0，解得：k＜；（2）∵k＜，且k为正整数，∴k=1或k=2，当k=1时，函数解析式为y=x2+2x﹣2，不符合题意，舍去；当k=2时，函数解析式为y=x2+2x，与x轴的交点为（0，0）、（﹣2，0），符合题意，故k=2．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．21．（6分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（结果保留根号）【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式．已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y=8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长．【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，由题意知，A（﹣20，0），B（20，0），C（0，10）．设过点A、B、C的抛物线方程为：y=a（x+20）（x﹣20）（a＜0）．把点C（0，10）的坐标代入，得10=a（0+20）（0﹣20），解得：a=﹣，则该抛物线的解析式为：y=﹣（x+20）（x﹣20）=﹣x2+10把y=8代入，得﹣x2+10=8，即x2=80，x1=4，x2=﹣4．所以两盏警示灯之间的水平距离为：EF=|x1﹣x2|=|4﹣（﹣4）|=8（m）．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是建立合适的平面直角坐标系，并熟练掌握待定系数法求函数解析式．22．（6分）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC=BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2=BD•DE．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明△ABD∽△EBC即可；（2）由相似三角形的判定证明△ABD∽△EBC，△ADE∽△BEC，△AED∽△ABD，再利用相似三角形的性质证明即可．【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBC，∵BA•BC=BD•BE．即，∴△ABD∽△EBC；（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD=∠BEC，∠ADB=∠BCE，∵∠AED=∠BEC，∴∠BAD=∠AED，∴△ADE∽△BEC，∴△AED∽△ABD，∴，即AD2=BD•DE．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定方法解答．23．（6分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF 在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．【分析】根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴=，=，∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，∴=，=，∴=，解得BD=52，∴=，解得AB=54．答：建筑物的高为54米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x﹣3与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求B点与顶点D的坐标；（2）经过点B的直线l与y轴正半轴交于点M，S=5，求直线l的解析式；△ADM（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作x轴的垂线m，将抛物线在直线m 左侧的部分沿直线m对折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线l没有公共点时，t的取值范围是t＞．【分析】（1）把点A的坐标（﹣1，0）代入y=ax2﹣（a+1）x﹣3中，可求得a 的值，配方后可得顶点D的坐标，由对称性可得点B的坐标；（2）根据三角形的面积=铅直高度与水平宽度的积，列等式，可得OM的长，写出M的坐标，利用待定系数法求直线l的解析式；（3）根据对折的性质得新抛物线的顶点坐标，由开口相同可知：a=1，可得解析式，当图象G与直线l没有公共点时，即两解析式联立方程组无解，可得结论．【解答】解：（1）把点A的坐标（﹣1，0）代入y=ax2﹣（a+1）x﹣3中，得：a+（a+1）﹣3=0，a=1，∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），由对称性得：B（3，0）；（2）设直线AD的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线AD的解析式为：y=﹣2x﹣2，设AD交y轴于N，∴ON=2，∴S=MN•（﹣x A+x D）=5，△ADM∴（2+OM）×（1+1）=5，OM=3，∴M（0，3），设直线l的解析式为：y=kx+b，则，解得：；直线l的解析式为：y=﹣x+3；（3）如图2，由对折得：OC=3+2（t﹣3）+2=2t﹣1，∴新抛物线的顶点为（2t﹣1，﹣4），解析式为：y=（x﹣2t+1）2﹣4，则，（x﹣2t+1）2﹣4=﹣x+3，x2﹣（4t﹣3）x+4t2﹣4t﹣6=0，当△＜0时，图象G与直线l没有公共点，即△=[﹣（4t﹣3）]2﹣4（4t2﹣4t﹣6）＜0，t＞，故答案为：．【点评】本题是一道一次函数与二次函数的综合试题，考查了二次函数与坐标轴的交点坐标的运用，轴对称的性质的运用及对折的性质，解答时根据函数之间的关系建立方程是解答本题的关键．25．（6分）已知矩形ABCD，AD=3，AB=m，点P是线段CD的中点，点E是线段AD上的一个动点（点E可以和点A、D重合），过点P作线段PE的垂线PF，交矩形的边AB于点F．（1）如图1，若m=，求的值；（2）如图2，若m=8，点M是线段AD上另一动点（不与点E重合），过点P作线段PM的垂线PN交边AB于点N，求的值；（3）如图3，点D关于直线PE的对称点为点N，当点E和点A重合时，点N到直线AB的距离等于1，请你直接写出m的值．【分析】（1）先判断出∠PFG=∠EPD，进而得出△PDE∽△FGP，即：，即可得出结论；（2）先判断出，，即：，再判断出△MPE∽△NPF，求出AH=2，即可得出结论；（3）先求出IN=AH=2，AI=NH=1再判断出∠ADN=∠APD，进而得出△ADP∽△NID，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点F作FG⊥CD于G，FG=AD=3，∴∠PFG+∠FPG=90°，∵∠EPF=90°，∴∠DPE+∠FPG=90°，∴∠PFG=∠EPD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠FGP=90°，∴△PDE∽△FGP，∴，∵CD=AB=6，而点P是CD的中点，∴DP=3，∴=；（2）如图2，过点F作FG⊥CD于G，同（1）的方法得，∴△PDE∽△FGP，∴，∵CD=AB=8，而点P是CD的中点，∴DP=4，∴；过点N作NQ⊥CD于Q，同理：，∴，∵∠EPF=∠MPN=90°，∴∠MPE=∠NPF，∵，∴△MPE∽△NPF，∴；（3）如图3，∵点N是点D关于PE的对称点，∴AP⊥DN，AN=AD=3，∵点N到直线AB的距离为1，∴NH=1，在Rt△AHN中，AH==2，过点N作NI⊥AD交DA的延长线于I，∴四边形AHNI是矩形，∴IN=AH=2，AI=NH=1，∴DI=AD+AI=3+1=4，∵∠ADN+∠PDN=90°，∠APD+∠PDN=90°，∴∠ADN=∠APD，∵∠DIN=∠PDA=90°，∴△ADP∽△NID，∴，∵点P是CD中点，∴DP=m，∴，∴m=6．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，对称的性质，解本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形，是一道很好的题目．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“伴随菱形”．图1为点P，Q的“伴随菱形”的一个示意图．（1）已知点A的坐标为（1，4），点B是直线y=﹣1上一点，记点B坐标为（m，﹣1），①若m=﹣1，则R（1，﹣5），S（﹣3，4），T（3，﹣1）中能够成为点A，B的“伴随菱形”顶点的是S、T；②若点A，B的“伴随菱形”为正方形，求直线AB的解析式；（2）已知抛物线y=x2﹣2nx+，过点A（1，4）作垂直于y轴的直线y=4交抛物线于E、F两点，记抛物线在点E和点F之间（包括点E和F）的图象为图象G，若图象G上存在点C，使点A，C的“伴随菱形”为正方形，请你直接写出n的取值范围．【分析】（1）当m=﹣1时，B（﹣1，﹣1），然后画出图形，最后，依据“伴随菱形”的定义进行判断即可；（2）过点A作AC∥y轴，作BC∥x轴．由点A，B的“伴随菱形”为正方形，可得到∠ABC=45°，当点B在点A的右侧时设直线AB的解析式为y=﹣x+b，当点B位于点A的左侧时，设直线AB的解析式为y=x+b，将点（1，4）求解即可；（3）由（2）可知：当A、B的伴随菱形为正方形，则AB的解析式为y=﹣x+5或y=x+3，故此图象G上存在点C，使点A，C的“伴随菱形”为正方形，图象C 与直线AB有交点，然后将该问题转化为方程组有解的问题解决即可．【解答】解：（1）当m=﹣1时，B（﹣1，﹣1）．如图1所示：∵点R到B的距离不等于AB，∴点R不能构成点A，B的“伴随菱形”顶点．∵点S为以AS为对角线的菱形的顶点，点为以BT为对角线的菱形的顶点，∴能够成为点A，B的“伴随菱形”顶点的是S、T为．故答案为：S、T．（2）如图2所示：当点B位于点A的右侧时，过点A作AC∥y轴，作BC∥x轴．。
北师大版度九年级上期期中测试卷(2018届)
2017-2018学年第一学期期中测试卷九年级数学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案） 1、已知y x32=，则下列比例式成立的是（ ）A 、32y x =B 、23y x = C 、32=y x D 、y x 32= 2、下列主视图正确的是（ ）3、用配方法解一元二次方程0542=--x x 的过程中，配方正确的是（ ）A 、 9)2(2=-xB 、1)2(2=-xC 、 9)2(2=+xD 、1)2(2=+x 4、某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中2只有标志，从 而估计该地区有黄羊（ ）A 、200只B 、C 、800只D 、1000只5、 如下图，A 为反比例函数x k的图象上一点，AB 垂直x 轴于B ，若S △AOB ＝2，则k 的值为（ ） A 、4 B 、2 C 、-2 D 、1（第9题） (第5题) （第6题） 6、如上图，在直角三角形ABC 中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x 的三个正方形， 则x 的值为（ ）5 B 、6 C 、7 D 、87、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价%a 后售价为128元。
下列所列方 程中正确的是( )A 、128%)21(168=-aB 、128%)1(1682=+aC 、128%)1(1682=-aD 、128%)1(1682=-a 8、 斜边上的高，如果AD=6，BD=2，那么CD 等于( ) A 、2 B 、4 C 、32 D 、2（第8题）9、如上图是一个几何体的三视图，根据图示，该几何体的体积为（ ） A 、12π B 、24π C 、36π D 、10π10、下列命题正确的个数有 ( )① 两边成比例且有一角对应相等的两个三角形相似； ② 对角线相等的四边形是矩形；③ 任意四边形的中点四边形是平行四边形； ④ 两个相似多边形的面积比为2:3，则周长比为4:9. A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个11、反比例函数x y 6-=图象上有三个点),(11y x ，),(22y x ，),(33y x ，其中3210x x x <<<，则321,,y y y 的大小关系是( )A 、321y y y << B 、 312y y y << C 、213y y y << D 、123y y y <<12、四边形ABCD 、AEFG 都是正方形，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45°时，如图，连接DG 、BE ，并延长BE 交DG 于点H ，且BH ⊥DG 与H,若AB=4，则线段BH 的长是( )A 、 24B 、16C 、 5108D 、2103二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，每小题只有一个正确答案） 13、如图，同一时刻在阳光照射下，树AB 的影子小明的影子mC B 5.1=''，已知小明的身高B A 7.1=''则树高AB=14、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点0.6 处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少 m 处。
北师大版2017-2018学年度第一学期九年级数学上册期中检测试卷（有答案）
北师大版2017-2018学年度第一学期九年级数学上册期中检测试卷（有答案）北师大版2017-2018学年度第一学期九年级数学上册期中检测试卷考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.如图，已知某广场菱形花坛的周长是米，，则花坛对角线的长等于（）A.米B.米C.米D.米2.已知矩形纸片中，，如图，剪去正方形，得到的矩形与矩形相似，则的长为（）A. B. C. D.3.下列说法正确的有（）一组对边相等的四边形是矩形；两条对角线相等的四边形是矩形；四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；四条边都相等的四边形是菱形．A. B. C. D.4.下列一元二次方程中没有实数根是（）A. B.C. D.5.已知，若与的周长比为，则与的面积之比为（）A. B. C. D.6.如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（）A. B. C. D.7.如图，在中，，是斜边上一定点，过点作直线与一直角边交于点，使图中出现两个相似三角形，这样的点有（）A.个B.个C.个D.个8.如图所示，在矩形中，是上的一点，平分交于点，且，垂足为点，，，则的长是（）A. B. C. D.9.平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形10.如图所示，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆长为米，测得米，米．则楼高是（）A.米B.米C.米D.米二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.某农场粮食产量在两年内由吨增加到吨，设这两年的年平均增长率为，列出关于关于的方程为________．12.如图，矩形中，，，点从开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当________时，四边形也为矩形．13.某小区规划在一个长为米，宽为米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与平行，另一条与垂直，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为米，则甬路的宽度为________米．14.如图，正方形的边长为，对角线、相交于点，是的中点，连接，过点作于点，交于点，则的长为________．。
2017-2018学年北京市第八中学九年级上学期期中数学试题(含答案)
A BCD E2017-2018学年度第一学期期中考试年级： 九年级 科目： 数学 班级：________ 姓名：________一、 选择题 (每题4分, 共40分) 1. 如果252=+b b a ，那么b a 的值是( )A.21 B.2 C.51D.52. 关于x 的一元二次方程042=++mx x 有两个正整数根，则m 可能取的值为( ) A.0>m B.4>m C. −4，−5 D. 4，53. 将抛物线()312+-=x y 向左平移1个单位，向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )A.()22-=x y B.()622+-x C.62+=x y D.2x y =4. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E ．若AD =1，DB =2， 则△ADE 的面积与△ABC 的面积的比等于( ) A .21B .C .D .91 5. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，列方程为( )A.()200210030-=-x xB.()200302100=--x x xC.()200210030=-xD. ()()200210030=--x x 6. 如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM ∽△ABC ，则点M 所在位置应是F 、G 、H 、K 四点中的( ) A ．K B ．H C ．G D ．F第6题图 ABCDEF G H K. . . . . .第4题图7. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，E 为BC 中点，则sin ∠AEB 的值是( )A.55 B. 54 C. 53 D. 43 8. 若二次函数bx x y +=2的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线， 则关于x 的方程52=+bx x 的解为( ) A. 01=x ，42=xB. 11=x ，52=xC. 11=x ，52-=xD. 11-=x ，52=x9. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点P 在BC 边上运动，连接DP ，过点A 作AE ⊥DP ，垂足为E ，设DP =x ，AE =y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是( )10．如图是二次函数y =ax 2+bx +c( a ≠ 0 )在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ①b > 0；② a −b +c < 0；③ 2a +b > 0； ④ b 2+8a > 4ac 中正确的是( )A. ①②B. ①③C. ③④D.二、填空题 (每题4分, 共24分)11．已知二次函数()1322+-=x y ．当 时，y 随x 的增大而减小．12. 在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形构成中心对称图形，该小正方形的序号是 ． 13．如果关于x 的一元二次方程x 2 + 4x – m = 0没有实数根，那么m 的取值范围是________．第12题图 第9题图第7题图14．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6cm ，BC =8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．若△BPQ 与△ABC 相似，则t 的值为______． 15. 如图，∠AOB ＝90º，将Rt △OAB 绕点O 按逆时针方向旋转至Rt △O A′B′，使点B 恰好落在边A′B′上．已知B tan = 2，OB = 5，则BB′ = ．16．在平面直角坐标系xoy 中，直线x = 2和抛物线2ax y =在第一象限交于点A ，过A 作AB x ⊥轴于点B .如果a 取1，2，3，…，n 时对应的△AOB 的面积为1S ，2S ，3S ，…，n S ，那么=1S _____；=++++n S S S S ...321_____________．三、解答题（共56分）17.(5分)计算：()011345sin 2230cos 3--︒-+︒-18. (5分)解方程:19.(6分) 如图，在△ABC 中，AB=AC=8，BC =6，点D 为BC 上一点，BD =2．过点D 作射线DE 交AC 于点E ，使∠ADE=∠B ．求线段EC 的长度．20.(6分) 已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根第19题图第14题图A第15题图APBQ C（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．21. (5分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边 的三角形称为格点三角形，图中的△ABC 就是格点三角形．在建立平面直角坐标系后， 点B 的坐标为(-1，-1)．(1) 把△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB 1C 1，画出△AB 1C 1的图形并直接写出 点B 1的坐标为 ；(2) 在现有坐标系下．．．．．．．把△ABC 以点A 为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1 : 2， 画出△AB 2C 2．22.(6分)如图，小明住在一栋住宅楼AC 上，他在家里的窗口点B 处，看楼下一条公路的两侧点F 和点E 处（公路的宽为EF ），测得俯角α、β分别为30°和60°，点F 、E 、C 在同一直线上.（1）请你在图中画出俯角α和β．（2）若小明家窗口到地面的距离BC =6米，求公路宽EF 是多少米？（结果精确到0.1米；可能用到的数据73.13≈）23. (5分)已知在△ABC 中，BAC ∠=90°，AD BC ⊥于点D ，点E 为AC 中点，延长ED 、AB 交于点F ．求证：FADFAC AB =24. (7分)已知:二次函数y =ax 2+bx +c ， y 与x 的一些对应值如下表：（1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ；（2）填齐表格中空白处的对应值并利用上表，用五点作图法，画出二次函数y =ax 2+bx +c 的图象. （3）当 1 < x ≤ 4时，y 的取值范围是 ;（4）设y =ax 2 + bx + c 的图象与x 轴的交点为A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ，P 点为线段AB 上一动点，过P 点作PE ∥AC 交BC 于E ，连结PC ，当△PEC 的面积最大时， 求P 点的坐标．25.(5分)阅读下面材料:F E DCBA小明遇到下面一个问题：如图1所示，AD 是△ABC 的角平分线，m AB =，n AC =， 求DCBD的值.小明发现，分别过B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为E ，F .通过推理计算，可以解决问题（如图2）． （1）请回答，=DCBD参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，四边形ABCD 中，2=AB ，6=BC ，︒=∠60ABC ， BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥.AC 与BD 相交于点O .（2）=OC AO （3）=∠DCO tan26. (6分)已知：在等边△ABC 中，点D 为BC 边的中点，点F 在AB 上，连结DF 并延长到点E ，使BDF BAE ∠=∠，点M 在线段DF 上，且DBM ABE ∠=∠. （1）如图，线段AE 、MD 之间的数量关系为 ； 请证明你的结论．（2）在（1）的条件下，延长BM 到P ，使BM MP =，连接CP ， 若AB ＝7，AE ＝72，求tan ∠BCP 的值．2017-2018学年度第一学期九年级数学期中练习答案一．选择题（每题4分，共40分，每题只有一个正确答案）：图2图1图3第26题图二．填空题（每题4分，共24分）：三．解答题 ( 共56分)：解：αβ。
2017-2018北师大版九年级数学上册各章测试题及期中、期末测试题及答案(共10套)
北师大版九年级数学上册第一章测试题 班级： 姓名： 考号：一、填空题(本大题有10小题，每小题3分，共30分．将答案填在题中横线上) 1.在ABC ∆中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 .2.如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是 度.3.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 .4. ABC ∆中， 90=∠C ，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ,若7=DC ，则D 到AB 的距离是 .5.如图，ABC ∠＝DCB ∠，需要补充一个直接条件才能使ABC ∆≌DCB ∆．甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是：甲“DC AB =”；乙“DB AC =”；丙“D A ∠=∠”；丁“ACB ∠＝DBC ∠”．那么这四位同学填写错误的是 .6. 用反证法证明 “三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“ ”，则与“ ”矛盾，所以原命题正确．7.补全“求作AOB ∠的平分线”的作法：①在OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD =OE .②分别以D 、E 为圆心，以 为半径画弧，两弧在AOB ∠内交于点C .③作射线OC 即为AOB ∠的平分线.8.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B 处(如图)，上午9时行到C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里(结果保留根号).9.在ABC ∆中，A ∠＝90°，AC AB =，BD 平分B ∠交AC 于D ，BC DE ⊥于E ，若10=BC ，则DEC ∆的周长是 .10.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为522cm 和42cm ，则直角三角形的两条直角边的和是 cm .二、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）11.两个直角三角形全等的条件是（ ）（A ）一锐角对应相等； （B ）两锐角对应相等； （C ）一条边对应相等； （D ）两条边对应相等. 12.到ABC ∆的三个顶点距离相等的点是ABC ∆的（ ）. （A ）三边垂直平分线的交点； （B ）三条角平分线的交点； （C ）三条高的交点； （D ）三边中线的交点. 13.如图，由21∠=∠，DC BC =，EC AC =，得ABC ∆≌EDC ∆的根据是（ ）（A ）SAS （B ）ASA （C ）AAS （D ）SSSABC D（第15题）(第18题)(第20题)（第3题）14.ABC ∆中，AC AB =，BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ， 75=∠BDC ，则A ∠的度数为（ ）（A ）35° （B ）40° （C ）70° （D ）110° 15.下列两个三角形中，一定全等的是（ ） （A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形；（B ）两个等边三角形； （C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形；（D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形.16.适合条件A ∠=B ∠ =C ∠31的三角形一定是（ ）（A ）锐角三角形； （B ）钝角三角形； （C ）直角三角形； （D ）任意三角形. 17.有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（ ）.（A ）3米 （B ）4米 （C ）5米 （D ）6米18. 一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）.（A ）等腰三角形; （B ）等边三角形; （C ）直角三角形; （D ）等腰直角三角形.19.如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B 、B '分别在边AP 、AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB =B A '，那么该条件不可以是（ ）(A)AC B B ⊥' (B)C B BC '=(C)ACB ∠=B AC '∠ (D)ABC ∠ =C B A '∠20.如图，AO FD ⊥于D ，BO FE ⊥于E ，下列条件：①OF 是AOB ∠的平分线；②EF DF =；③EO DO =；④OFD ∠=OFE ∠.其中能够证明DOF ∆≌EOF ∆的条件的个数有（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个三、解答题(本大题有6小题，共60分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)21.（8分）已知：如图，A ∠=90=∠D ，BD AC =.求证：OC OB =.AB7（第7题）（第9题）(第10题)22.（8分）如图，OCB OBC ∠=∠，AOC AOB ∠=∠，请你写一个能用全部已知条件才能推出的结论，并证明你的结论.23.（10分）已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝CD ．求证：BD ＝DE .24.（10分）已知：如图，ABC ∆中，AC AB =，120=∠A .(1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交BC 、AB 于点M 、N (保留作图痕迹，不写作法).(2)猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想.AB COA B C25. （本题满分12分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且CDE BAE ∠=∠． 求证：CD AB =. 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证CD AB =，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．AB C D E F A B C D E EF =DE （3）F GA B C D E （1） AB C D ECF ∥AB （2） F26．（12分）已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，可以说明：ACN ∆≌MCB ∆，从而得到结论：BM AN =．现要求：（1）将ACM ∆绕C 点按逆时针方向旋转180°，使A 点落在CB 上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）所得到的图形中，结论“BM AN =”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）在（1）所得到的图形中，设MA 的延长线与BN 相交于D 点，请你判断△ABD 与四边形MDNC 的形状，并说明你的结论的正确性．北师大版九年级数学上册第一章测试题参考答案一、DAABCDDCBD二、11.PC PB PA ==； 12. 80或 20； 13. 75； 14.7； 15.乙；16.三角形的三个内角都小于 60，三角形的内角和是 180；17.大于DE 21的长为半径；18. 320；19.10；20. 10.三、21由A ∠= 90=∠D ，BD AC =，BC BC =知BAC ∆≌CDB ∆，因此有DC AB =.又DOC AOB ∠=∠（对顶角），A ∠= 90=∠D ，所以BAC ∆≌CDB ∆，所以OD AO =.又BD AC =，所以BO BD AO AC -=-，即OC OB =.22.∵ ∠OBC =∠OCB ，∴ OB =OC .又∵ ∠AOB =∠AOC ，OA =OA ， ∴ △AOB ≌△AOC ，∴AB =AC .23. BD 是正三角形ABC 的AC 边的中线得AC BD ⊥，BD 平分ABC ∠，30=∠DBE .由CE CD =知∠CDE ＝∠E .由∠ACE ＝ 120°，得∠CDE ＋∠E ＝60°，所以∠CDE ＝∠E ＝300，则有BD ＝ DE ．24.（1）作图略；（2）连接AM ，则BM =AM .∵ AB =AC ，∠BAC =120°，∴ ∠B =∠C =30°于是 ∠MAB =∠B =30°，∠MAC =90°.∴ .21CM AM =故CM BM 21=，即CM =2BM .25.方法一：作BF ⊥DE 于点F ，CG ⊥DE 于点G . ∴ ∠F =∠CGE =90°.又∵ ∠BEF =∠CEG ，BE =CE ，∴ △BFE ≌△CGE .∴ BF =CG .在△ABF 和△DCG 中，∵ ∠F =∠DGC =90°，∠BAE =∠CDE ，BF =CG ，∴ △ABF ≌△DCG .∴ AB =CD .方法二：作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F .∴ ∠F =∠BAE .又∵ ∠ABE =∠D ，∴ ∠F =∠D .∴ CF =CD .∵ ∠F =∠BAE ，∠AEB =∠FEC ，BE =C E ，∴ △ABE ≌△FCE .∴ AB =CF . ∴ AB =CD .方法三：延长DE 至点F ，使EF =DE .又∵ BE =CE ，∠BEF =∠CED ，∴ △BEF ≌△CED . ∴ B F=CD ，∠D =∠F . 又∵ ∠BAE =∠D ，∴ ∠BAE =∠F . ∴ AB =BF .∴ AB =CD .26.（1）作图略.（2）结论“AN =BM ”还成立. 证明：∵ CN =CB ，∠ACN =∠MCB =60°，CA =CM ，∴ △ACN ≌△MCB .∴ AN =BM . （3）△ABD 是等边三角形，四边形MDNC 是平行四边形.证明： ∵ ∠DAB =∠MAC =60°，∠DBA =60°∴ ∠ADB =60°.∴ △ABD 是等边三角形.∵ ∠ADB =∠AMC =60°，∴ ND ∥CM .∵ ∠ADB =∠BNC =60°，∴ MD ∥CN .∴ 四边形MDNC 是平行四边形.北师大版九年级数学上册第二章测试题班级： 姓名： 考号：一、选择题(每题3分，计30分)1．下列方程中，一元二次方程共有（ ）．① ② ③ ④⑤ A ． 2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个 2．方程的根为（ ）． A ． B ． C ． D ． 3．若方程有解，则的取值范围是（ ）． A ． B ． C ． D ．无法确定4．若分式的值为零，则x 的值为（ ）．A ．3B ．3或-3C ．0D ．-35．用配方法将二次三项式a 2+ 4a +5变形，结果是（ ）．A.(a –2)2+1B.(a +2)2+1C.(a –2)2-1D.(a +2)2-1 6．一元二次方程x 2-x+2=0的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根7．已知一个三角形的两边长是方程x 2-8x+15=0的两根，则第三边y 的取值范围是（ ）． A ．y<8 B ．3<y<5 c ．2<y<8 D ．无法确定8．方程x 2+4x=2的正根为( )．A ．2-B ．2+C ．-2-D ．-2+9．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（ ）． A ．62 B ．44 C ．53 D ．3510．王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（ ）． A ．5% B ．20% C ．15% D ．10% 二、填空题(每题3分，计30分) 11．把方程（2x+1）（x —2）=5－3x 整理成一般形式后，得 ，其中常数项是 ．12．方程用 法较简便，方程的根为.2320x x +=22340x xy -+=214x x -=21x =2303xx -+=2(3)5(3)x x x -=-52x =3x =125,32x x ==125,32x x =-=-()a x =-24a 0≤a 0≥a 0>a 2926x x --666622(2)250x x --=12____,____x x ==13．方程是一元二次方程，则.14．已知方程的一个根是2，则的值是 ，方程的另一个根为 ．15．当x=________时，代数式3x 2-6x 的值等于12．16．请你给出一个c 值, c= ，使方程x 2-3x+c=0无解． 17．已知x 2＋4x －2=0，那么3x 2＋12x ＋2002的值为 ．18．菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程的一个根，则菱形ABCD 的周长为 . 19．第二象限内一点A （x —1，x 2—2），关于x 轴的对称点为B ，且AB=6，则x=_________． 20．两个正方形，小的正方形的边长是大的正方形的边长一半多4cm ，大的正方形的面积是小的正方形的面积2倍少32cm 2．则大、小两正方形的边长分别为____________. 三、解答题(共40分) 21．（6分）用适当的方法解方程： （1） ； （2） ．22．（5分）已知，且当时，,求的值．23．（5分）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个解与方程解相同． （1）求k 的值；（2）求方程x 2＋kx －2＝0的另一个根．22(2)(3)20mm x m x --+--=____m =22155k x x =+-k 01272=+-x x 2)2)(113(=--x x 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x 222a ax x y --=1=x 0=y a 311=-+x x24．（8分）我们知道：对于任何实数，①∵≥0，∴+1＞0；②∵≥0，∴+＞0. 模仿上述方法解答： 求证：（1）对于任何实数，均有：＞0；（2）不论为何实数，多项式的值总大于的值．25．（8分）若把一个正方形的一边增加2 cm ，把另一边增加1 cm ，所得的矩形比正方形面积多14 cm 2，求原来得正方形边长． 26．（8分）三个连续正奇数，最大数与最小数的积比中间一个数的6倍多3，求这三个正奇数．四、拓广提高（共20分） 27．（10分）某校2006年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2008年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？x 2x 2x 2)31(-x 2)31(-x 21x 3422++x x x 1532--x x 2422--x x28．（10分）为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6km到科技展览馆参观．返回时比去时每小时少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时．求学生返回时步行的速度．北师大版九年级数学上册第二章测试题参考答案一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10． D 二、填空题11． 12．因式分解法， 13．—2 14．15． 16．3等 17．2008 18．16 19． 20．16cm ，12cm 三、解答题21．（1）,； （2）,22．把x=1,y=0代入得 23．（1）方程的解为，x=2，把x=2代入方程x 2＋kx －2＝0得：4+2k-2=0，k=—1； （2）x 2—x －2＝0的根为,所以方程x 2＋kx －2＝0的另一个根为—1． 24．（1）；（2） 即>.25．设原正方形的边长为x ，则． 所以，原来得正方形边长为4cm ．26．设中间一个正奇数为x ，则 由于x 为正奇数,x=—1舍去，三个正奇数为5，7，9 四、拓广提高27．设该校捐款的平均年增长率是x ，则， 整理，得，解得，所以，该校捐款的平均年增长率是50%． 28．设返回的速度为xkm/h ，则（舍去） 7,0722-=-x 21,31-3,3±51±5-020173,222116322=+-=+--x x x x x 4,3521==x x ,6331244),2)(1(312)1(422-+=-++-=-+x x x x x x x x 062=-+x x 3,221-==x x 2,1,20212-==--=a a a a 311=-+x x 1,221-==x x 01)1(234222>++=++x x x 043)21(1)242(1532222>+-=+-=-----x x x x x x x 1532--x x 2422--x x 4,14)1)(2(2=+=++x x x x 1,7,36)2)(2(21-==+=-+x x x x x 75.4)1(1)1(112=+⨯++⨯+x x 75.132=+x x ),(5.3%,505.021舍去不合题意-===x x 4,3,012,62116212-===-+=++x x x x xx所以，学生返回时步行的速度为3km/h ．北师大版九年级数学上册第三章测试题 班级： 姓名： 考号：1、四边形的四个内角中，最多时钝角有A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2、四边形具有的性质是A 对边平行B 轴对称性C 稳定性D 不稳定性 3、一个多边形的每一个外角都等于720，则这个多边形的边数是A 四边B 五边C 六边D 七边 4、下列说法不正确的是A 平行四边形对边平行B 两组对边平行的四边形是平行四边形C 平行四边形对角相等D 一组对角相等的四边形是平行四边形 5、一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为A ︒30B ︒45C ︒60D ︒756、平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是A 2 对B 3对C 4对D 5 对7、 菱形具有而平行四边形不具有的性质是A .内角和是360°； B. 对角相等； C. 对边平行且相等； D. 对角线互相垂直. 8、 平行四边形各内角的平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是 A. 矩形； B. 平行四边形； C. 菱形； D. 正方形9、 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC= a cm ，∠A=60°，BD 平分∠ABC ，则这个梯形的周长是A. 4a cm ；B. 5a cm ；C.6a cm ；D. 7a cm ；10、等边三角形的一边上的高线长为cm 32，那么这个等边三角形的中位线长为 A cm 3 B cm 5.2 C cm 2 D cm 4 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。
#2017-2018年初三数学上册期中考试试卷与答案
2018— 2018 年学年度第一学期九年级数学期中考试题卷一、选择题： <每小题 4 分，共 32 分） 1、下列图形中，是中心对称图形的是 ( >2、下列等式成立的是 < ）A ．4949 B ．27 33 C ．33 3 3D ． ( 4)243、下列各式中是一元二次方程的是 < ）C DA 1 B1x 1A ． x 2 1B ． ( x 1)( x 1) x x 21 C ． 2x 23x 1 D ． x 2x24、下列二次根式中属于最简二次根式的是< ）A ． 4 a4B ．48C ． 14D ．ab5、若代数式 2 5x 有意义，则 x 的取值范围是 <）A.x ≥﹣2B.x≤2C. x≥2D. x≤-2 BqnfnJ41j955556、关于关于 x 的一元二次方程x 2x 2 0 的根的情况是 < ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法判断7、三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是方程x 2－12x ＋20＝0 的一个实数根，则三角形的周长是( > BqnfnJ41j9A.24B. 26 或 16C. 26D. 16BqnfnJ41j98、某旅游景点三月份共接待游客 25 万人次，五月份共接待游客 64 万人次，设每月的平均增长率为 x ，则可列方程为 < ）BqnfnJ41j9 A 、 25(1 x)264B 、 25(1 x) 264C 、 64(1 x) 225 D 、 64(1 x)225二、填空题 <每小题 4 分，共 20 分）9、若点 A<a –2，3）与点 B<4 ， –3）关于原点对称，则 a=。
A10、已知 x ＝‐ 1 是方程 x 2－ ax ＋ 6＝ 0 的一个根，则 a ＝____________ 。
E11．若 2<x<3，化简(x 23 x 的正确结果是 _ 。
2018-2019学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（2分）抛物线21y x=+的对称轴是()A．直线1y=x=-B．直线1x=D．直线1x=C．直线02．（2分）点(2,1)P-关于原点对称的点P'的坐标是()A．(2,1)--B．(2,1)--C．(1,2)-D．(1,2)3．（2分）下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是()A．B．C．D．4．（2分）用配方法解方程2240--=，配方正确的是()x xA．2x-=D．2(1)3x+=(1)5x-=C．2(1)3x-=B．2(1)45．（2分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2 ，小圆半径为 1 ，则AB的长为()A ．23B ．22C ．5D ．26．（2分）将抛物线2=+-向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为(y x(1)2)A．1-B．1C．2-D．27．（2分）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90︒后能与原来的图案重合的是() A．B．C．D ．8．（2分）已知一个二次函数图象经过11(3,)P y -，22(1,)Py -，33(1,)P y ，44(3,)P y 四点，若324y y y <<，则1y ，2y ，3y ，4y 的最值情况是( )A ．3y 最小，1y 最大B ．3y 最小，4y 最大C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）写出一个以0和2为根的一元二次方程： ．10．（2分）若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则ac 0（填“>”或“=”或“<” )． 11．（2分）若关于x 的方程2410x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．12．（2分）如图，四边形ABCD 内接于O e ，E 为直径CD 延长线上一点，且//AB CD ，若70C ∠=︒，则ADE ∠的大小为 ．13．（2分）已知O 为ABC ∆的外接圆圆心，若O 在ABC ∆外，则ABC ∆是 （填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形” )． 14．（2分）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，依题意，可列方程为 ．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)，(3,0)两点，请写出一个满足0y <的x 的值 ．16．（2分）如图，O e 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，(090)BED αα∠=︒<<︒．在①BOD α∠=，①90OAB α∠=︒-，①12ABC α∠=中，一定成立的是 （填序号）．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）17．（5分）解方程：(2)36x x x +=+．18．（5分）如图，将ABC ∆绕点B 旋转得到DBE ∆，且A ，D ，C 三点在同一条直线上．求证：DB 平分ADE ∠． 19．（5分）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程． 已知：O e ．求作：O e 的内接正三角形． 作法：如图， ①作直径AB ；①以B 为圆心，OB 为半径作弧，与O e 交于C ，D 两点； ①连接AC ，AD ，CD ． 所以ACD ∆就是所求的三角形． 根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明：证明：在O e 中，连接OC ，OD ，BC ，BD ， OC OB BC ==Q ，OBC ∴∆为等边三角形( )（填推理的依据）． 60BOC ∴∠=︒．180120AOC BOC ∴∠=︒-∠=︒．同理120AOD ∠=︒，120COD AOC AOD ∴∠=∠=∠=︒．(AC CD AD ∴== )（填推理的依据）． ACD ∴∆是等边三角形．20．（5分）已知1-是方程20x ax b +-=的一个根，求222a b b -+的值．21．（5分）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心AB 为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A 到顶棚的距离为0.8a ，顶棚到路面的距离是3.2a ，点B 到路面的距离为2a ．请你求出路面的宽度l ．（用含a 的式子表示）22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x ax b =++经过点(2,0)A -，(1,3)B -．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C ，直接写出点C 的坐标和BOC ∠的度数．23．（6分）如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y 2m （铝合金条的宽度不计）． （1）求出y 与x 的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．（6分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ． （1）求证：DE 与O e 相切；（2）若CD BF =，3AE =，求DF 的长． 25．（6分）有这样一个问题：探究函数|3|32x x y -++=的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数|3|32x x y -++=的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当3x …时，y = ，当3x <时y = ； （2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数|3|32x x y -++=的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程|3|312x x ax -+++=只有一个实数根，直接写出实数a 的取值范围： ．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y ax x a =-≠与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）． （1）当1a =-时，求A ，B 两点的坐标；（2）过点(3,0)P 作垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于点C ． ①当2a =时，求PB PC +的值；①若点B 在直线l 左侧，且14PB PC +…，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围． 27．（7分）已知MON α∠=，P 为射线OM 上的点，1OP =．（1）如图1，60α=︒，A ，B 均为射线ON 上的点，1OA =，OB OA >，PBC ∆为等边三角形，且O ，C 两点位于直线PB 的异侧，连接AC ．①依题意将图1补全；①判断直线AC 与OM 的位置关系并加以证明；（2）若45α=︒，Q 为射线ON 上一动点(Q 与O 不重合），以PQ 为斜边作等腰直角PQR ∆，使O ，R 两点位于直线PQ 的异侧，连接OR ．根据（1）的解答经验，直接写出POR ∆的面积．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 是x 轴外的一点，若平面内的点B 满足：线段AB 的长度与点A 到x 轴的距离相等，则称点B 是点A 的“等距点”．（1）若点A 的坐标为(0,2)，点1(2,2)P ，2(1,4)P -，3(P ，1)中，点A 的“等距点”是 ； （2）若点(1,2)M 和点(1,8)N 是点A 的两个“等距点”，求点A 的坐标；（3）记函数(0)y x =>的图象为L ，T e 的半径为2，圆心坐标为(0,)T t ．若在L 上存在点M ，T e 上存在点N ，满足点N 是点M 的“等距点”，直接写出t 的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 1．（2分）抛物线21y x =+的对称轴是( ) A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线0x =D ．直线1y =【解答】解：Q 抛物线21y x =+，∴抛物线对称轴为直线0x =，即y 轴，故选：C ．2．（2分）点(2,1)P -关于原点对称的点P '的坐标是( ) A ．(2,1)-B ．(2,1)--C ．(1,2)-D ．(1,2)-【解答】解：点(2,1)P -关于原点对称的点P '的坐标是(2,1)-， 故选：A ．3．（2分）下列App 图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．此图案是轴对称图形，不符合题意；B ．此图案既不是中心对称图形也不是轴对称图形，符合题意；C ．此图案是轴对称图形，不符合题意；D ．此图案是中心对称图形，不符合题意；故选：B ．4．（2分）用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是( ) A ．2(1)3x -=B ．2(1)4x -=C ．2(1)5x -=D ．2(1)3x +=【解答】解：2240x x --=Q 故选：C ．5．（2分）如图， 以O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB 是小圆的切线， 点P 为切点 ． 若大圆半径为 2 ，小圆半径为 1 ，则AB 的长为( )A ．B ．CD ． 2【解答】解： 如图： 连接OP ，AOAB Q 是O e 切线OP AB ∴⊥，在Rt APO ∆中，AP ==故选：A ．6．（2分）将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为() A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：新抛物线的解析式为：22(1)221y x a x x a =+-+=+-+， Q 新抛物线恰好与x 轴有一个交点，∴①44(1)0a =--+=，解得2a =． 故选：D ．7．（2分）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90︒后能与原来的图案重合的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．此图案绕中心旋转36︒或36︒的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；B ．此图案绕中心旋转45︒或45︒的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；C ．此图案绕中心旋转60︒或60︒的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；D ．此图案绕中心旋转72︒或72︒的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选：B ．8．（2分）已知一个二次函数图象经过11(3,)P y -，22(1,)Py -，33(1,)P y ，44(3,)P y 四点，若324y y y <<，则1y ，2y ，3y ，4y 的最值情况是( )A ．3y 最小，1y 最大B ．3y 最小，4y 最大C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定【解答】解：Q 二次函数图象经过11(3,)P y -，22(1,)Py -，33(1,)P y ，44(3,)P y 四点，且324y y y <<， ∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，11(3,)P y ∴-离对称轴的距离最大，33(1,)P y 离对称轴距离最小， 3y ∴最小，1y 最大，故选：A ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）写出一个以0和2为根的一元二次方程： 220x x -= ．【解答】解：022+=Q ，020⨯=，所以以0和2为根的一元二次方程为220x x -=， 故答案为：220x x -=．10．（2分）若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则ac < 0（填“>”或“=”或“<” )． 【解答】解：Q 抛物线的开口向下， 0a ∴<，Q 与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，0c ∴>， 0ac ∴<．故答案为<．11．（2分）若关于x 的方程2410x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 5k < ． 【解答】解：根据题意得①2(4)4(1)0k =--->， 解得5k <． 故答案为5k <．12．（2分）如图，四边形ABCD 内接于O e ，E 为直径CD 延长线上一点，且//AB CD ，若70C ∠=︒，则ADE ∠的大小为 110︒ ．【解答】解：70C ∠=︒Q ，//AB CD ， 110ADE ∴∠=︒．故答案为：110︒．13．（2分）已知O 为ABC ∆的外接圆圆心，若O 在ABC ∆外，则ABC ∆是 钝角三角形 （填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形” )．【解答】解：Q 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．又O Q 为ABC ∆的外接圆圆心，若O 在ABC ∆外， ABC ∴∆是钝角三角形，故答案为钝角三角形．14．（2分）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，依题意，可列方程为 245.1(1)172.9x += ． 【解答】解：设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x ， 根据题意得：245.1(1)172.9x +=． 故答案为：245.1(1)172.9x +=．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)，(3,0)两点，请写出一个满足0y <的x 的值 2（答案不唯一） ．【解答】解：Q 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)，(3,0)两点，∴当0y <的x 的取值范围是：13x <<，x ∴的值可以是2．故答案是：2（答案不唯一）．16．（2分）如图，O e 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，(090)BED αα∠=︒<<︒．在①BOD α∠=，①90OAB α∠=︒-，①12ABC α∠=中，一定成立的是 ①① （填序号）．【解答】解：如图，连接OC ，设OB 交CD 于K ． AB CD =Q ，OD OC OB OA ===，()AOB COD SSS ∴∆≅∆， CDO OBA ∴∠=∠， DKO BKE ∠=∠Q ， DOK BEK α∴∠=∠=，即BOD α∠=，故①正确， 不妨设，90OAB α∠=︒-， OA OB =Q ， OAB OBA ∴∠=∠， 90OBE BEK ∴∠+∠=︒， 90BKE ∴∠=︒，OB CD ∴⊥，显然不可能成立，故①错误， CD AB =Q ， ∴¶¶CBCD =， ∴¶¶BD AC =，1122ABC DOB α∴∠=∠=，故①正确．故答案为①①．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）17．（5分）解方程：(2)36x x x +=+． 【解答】解：(2)3(2)0x x x +-+=， (2)(3)0x x +-=， 20x +=或30x -=，所以12x =-，23x =．18．（5分）如图，将ABC ∆绕点B 旋转得到DBE ∆，且A ，D ，C 三点在同一条直线上．求证：DB 平分ADE ∠． 【解答】证明：Q 将ABC ∆绕点B 旋转得到DBE ∆，BA BD ∴=． A ADB ∴∠=∠． A BDE ∠=∠Q ， ADB BDE ∴∠=∠． DB ∴平分ADE ∠．19．（5分）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程． 已知：O e ．求作：O e 的内接正三角形． 作法：如图， ①作直径AB ；①以B 为圆心，OB 为半径作弧，与O e 交于C ，D 两点； ①连接AC ，AD ，CD ． 所以ACD ∆就是所求的三角形． 根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明：证明：在O e 中，连接OC ，OD ，BC ，BD ， OC OB BC ==Q ，OBC ∴∆为等边三角形( 三条边都相等的三角形是等边三角形 )（填推理的依据）． 60BOC ∴∠=︒．180120AOC BOC ∴∠=︒-∠=︒．同理120AOD ∠=︒，120COD AOC AOD ∴∠=∠=∠=︒．(AC CD AD ∴== )（填推理的依据）． ACD ∴∆是等边三角形．【解答】（1）解：如图，ACD ∆为所作；（2）证明：在O e 中，连接OC ，OD ，BC ，BD ， OC OB BC ==Q ，OBC ∴∆为等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）． 60BOC ∴∠=︒．180120AOC BOC ∴∠=︒-∠=︒．同理120AOD ∠=︒，120COD AOC AOD ∴∠=∠=∠=︒．AC CD AD ∴==（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等）， ACD ∴∆是等边三角形．故答案为三条边都相等的三角形是等边三角形；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．20．（5分）已知1-是方程20x ax b +-=的一个根，求222a b b -+的值． 【解答】解：1-Q 是方程20x ax b +-=的一个根，10a b ∴--=， 1a b ∴+=，222()()221a b b a b a b b a b b a b ∴-+=+-+=-+=+=．21．（5分）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心AB 为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A 到顶棚的距离为0.8a ，顶棚到路面的距离是3.2a ，点B 到路面的距离为2a ．请你求出路面的宽度l ．（用含a 的式子表示）【解答】解：如图，连接OC ，AB 交CD 于E ，由题意知：0.8 3.226AB a a a a =++=， 所以3OC OB a ==，32OE OB BE a a a =-=-=，由题意可知：AB CD ⊥，AB Q 过O ，2CD CE ∴=，在Rt OCE ∆中，由勾股定理得：CE ===，2CD CE ∴==，所以路面的宽度l 为．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x ax b =++经过点(2,0)A -，(1,3)B -． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C ，直接写出点C 的坐标和BOC ∠的度数． 【解答】解：（1）Q 抛物线2y x ax b =++经过点(2,0)A -，(1,3)B -， ∴42013a b a b -+=⎧⎨-+=-⎩， 解得68a b =⎧⎨=⎩，268y x x ∴=++．（2）2268(3)1y x x x =++=+-Q ，∴顶点C 坐标为(3,1)--，(1,3)B -Q ．2221310OB ∴=+=，2223110OC =+=，222[(3)(1)](13)20BC =---+--=， 222OB OC BC ∴+=，则OBC ∆是以BC 为斜边的直角三角形， 90BOC ∴∠=︒．23．（6分）如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y 2m （铝合金条的宽度不计）． （1）求出y 与x 的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【解答】解：（1）Q 大长方形的周长为6m ，宽为xm ，∴长为632xm -， 2(63)33(02)22x y x x x x -∴==-+<<g ，（2）由（1）可知：y 和x 是二次函数关系， 302a =-<，∴函数有最大值，当3132()2x=-=⨯-时，232y m=最大．答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为21.5m．24．（6分）如图，在ABC∆中，AB AC=，以AB为直径作Oe交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与Oe相切；（2）若CD BF=，3AE=，求DF的长．【解答】（1）证明：连接OD，ABQ是Oe的直径，90ADB∴∠=︒，AD BC∴⊥，又AB AC=Q，12∴∠=∠，OA OD=Q，2ADO∴∠=∠，1ADO∴∠=∠，//OD AC∴，DE AC⊥Q，90ODF AED∴∠=∠=︒，OD ED∴⊥，ODQ过0，DE∴与Oe相切；（2）解：AB AC=Q，AD BC⊥，12∴∠=∠，CD BD=，CD BF=Q，BF BD ∴=，3F ∴∠=∠，4323F ∴∠=∠+∠=∠，OB OD =Q ， 423ODB ∴∠=∠=∠， 90ODF ∠=︒Q ，330F ∴∠=∠=︒，460ODB ∠=∠=︒， 90ADB ∠=︒Q ， 2130∴∠=∠=︒，2F ∴∠=∠， DF AD ∴=，130∠=︒Q ，90AED ∠=︒，2AD ED ∴=，222AE DE AD +=Q ，3AE =，AD ∴=，DF ∴=25．（6分）有这样一个问题：探究函数|3|32x x y -++=的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数|3|32x x y -++=的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当3x …时，y = x ，当3x <时y = ；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数|3|32x x y -++=的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程|3|312x x ax -+++=只有一个实数根，直接写出实数a 的取值范围： ． 【解答】解：（1）当3x …时，|3|33322x x x x y x -++-++===；当3x <时，|3|333322x x x x y -++-++===；故答案为x ，3；（2）根据（1）中的结果，画出函数|3|32x x y -++=的图象如下：（3）根据画出的函数图象，当0a <时，直线1y ax =+与函数|3|32x x y -++=只有一个交点；当1a …时，直线1y ax =+与函数3(3)y x =<的图象有一个交点，与函数(3)y x x =…无交点；当23a =时，直线213y x =+经过点(3,3)． 故若关于x 的方程|3|312x x ax -+++=只有一个实数根，实数a 的取值范围：0a <或1a …或23a =，故答案为0a <或1a …或23a =． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y ax x a =-≠与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）． （1）当1a =-时，求A ，B 两点的坐标；（2）过点(3,0)P 作垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于点C ． ①当2a =时，求PB PC +的值；①若点B 在直线l 左侧，且14PB PC +…，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =-时，有22y x x =--． 令0y =，得：220x x --=． 解得10x =，22x =-． Q 点A 在点B 的左侧，(2,0)A ∴-，(0,0)B ．（2）①当2a =时，有222y x x =-． 令0y =，得2220x x -=． 解得10x =，21x =． Q 点A 在点B 的左侧，(0,0)A ∴，(1,0)B ．2PB ∴=．当3x =时，292312C y =⨯-⨯=． 12PC ∴=． 14PB PC ∴+=．①点B 在直线l 左侧，14PB PC +Q …，23214x ax x ∴-+-…，可得：59a -…或2a …， 结合图象和①的结论，可得：0a >时，2a …， 0a <时，59a -…． 27．（7分）已知MON α∠=，P 为射线OM 上的点，1OP =．（1）如图1，60α=︒，A ，B 均为射线ON 上的点，1OA =，OB OA >，PBC ∆为等边三角形，且O ，C 两点位于直线PB 的异侧，连接AC ． ①依题意将图1补全；①判断直线AC 与OM 的位置关系并加以证明；（2）若45α=︒，Q 为射线ON 上一动点(Q 与O 不重合），以PQ 为斜边作等腰直角PQR ∆，使O ，R 两点位于直线PQ 的异侧，连接OR ．根据（1）的解答经验，直接写出POR ∆的面积． 【解答】解：（1）①如图所示： ①结论：//AC OM ．． 理由：连接AP1OA OP ==Q ，60POA ∠=︒， OAP ∴∆是等边三角形．OP PA ∴=，60OPA OAP ∠=∠=︒，PBC ∆Q 是等边三角形， PB PC ∴=，60BPC ∠=︒， OPA APB BPC APB ∴∠+∠=∠+∠，即OPB APC ∠=∠， ()OBP ACP SAS ∴∆≅∆． 60PAC O ∴∠=∠=︒， OPA PAC ∴∠=∠， //AC OM ∴．（2）作PH OQ ⊥于H ，取PQ 的中点K ，连接HK ，RK ． 90PHQ PRQ ∠=∠=︒Q ，PK KQ =， HK PK KQ RK ∴===，P ∴，R ，Q ，H 四点共圆，45RHQ RPQ ∴∠=∠=︒， 45RHQ POQ ∴∠=∠=︒， //RH OP ∴，1124POR POH S S ∆∆∴===． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 是x 轴外的一点，若平面内的点B 满足：线段AB 的长度与点A 到x 轴的距离相等，则称点B 是点A 的“等距点”．（1）若点A 的坐标为(0,2)，点1(2,2)P ，2(1,4)P -，3(P ，1)中，点A 的“等距点”是 1P ，3P ； （2）若点(1,2)M 和点(1,8)N 是点A 的两个“等距点”，求点A 的坐标；（3）记函数(0)y x =>的图象为L ，T e 的半径为2，圆心坐标为(0,)T t ．若在L 上存在点M ，T e 上存在点N ，满足点N 是点M 的“等距点”，直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）1202AP =-=Q ，2AP =32AP， ∴点A 的“等距点”是1P ，3P ．故答案为：1P ，3P ．（2）Q 点(1,2)M 和点(1,8)N 是点A 的两个“等距点”， AM AN ∴=，∴点A 在线段MN 的垂直平分线上．设MN 与其垂直平分线交于点C ，点A 的坐标为(,)m n ，如图1所示． Q 点(1,2)M ，点(1,8)N ，∴点C 的坐标为(1,5)，5AM AN n ===，3CM ∴=，4AC =， 143m ∴=-=-或145m =+=，∴点A 的坐标为(3,5)-或(5,5)．（3）依照题意画出图象，如图2所示． ①当1T e 过点O 时，1T e 与L 没有交点， 1T Q e 的半径为2，∴此时点1T 的坐标为(0,2)-；①当2T e 上只有一个点M 的“等距点”时，过点2T 作2T M ⊥图象L 于点M ，交2T e 于点N ，过点M 作MD x ⊥轴于点D ，Q 图象L 的解析式为(0)y x =>， 60MOT ∴∠=︒，230OT M ∠=︒． Q 点2T 的坐标为(0,)t ，12OM t ∴=，1124DM OM t ==，2T M ．由“等距点”的定义可知：22MN T M T N DM =-=124t -=，解得：163811t+ =．综上所述：t的取值范围为1638211t+-<…．更多资料，访问微博。
人教版2018年九年级数学上学期期中试卷(含答案)
2018年九年级数学上册期中试卷一、选择题：1、一元二次方程x2+x－2=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A.x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100B.x2+8x+9=0化为（x+4）2=25C.2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=D.3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=3、.点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y34、如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A.40°B.60°C.70°D.80°5、如图所示，△ABC的顶点坐标分别为A(3，6),B(1，3),C（4,2）.若将△ABC绕着点C顺时针旋转90º，得到△A＇B＇C＇,点A，B的对应点A＇，B＇的坐标分别为(a，b)，(c,d),则(ab-cd)2017的值为（）A.0B.1C.-1D.无法计算6、如图所示，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60º，得到△BAE，连接ED，则下列结论中：①AE∥BC；②∠DEB=60º；③∠ADE=∠BDC，其中正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.只有①7、根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c=0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( )A.3＜x＜3.23B.3.23＜x＜3.24C.3.24＜x＜3.25D.3.25＜x＜3.268、“服务他人，提升自我”，某学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男3女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（）A. B. C. D.9、小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）的概率是（）A. B. C. D.10、如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A.π+1B.π+2C.π﹣1D.π﹣211、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=5，CD=2.以A为圆心，AD为半径的圆与BC 边相切于点M，与AB交于点E，将扇形A﹣DME剪下围成一个圆锥，则圆锥的高为（）A.1B.4C.D.12、已知二次函数y=ax2+bx+1（a＜0）的图象过点（1，0）和（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，下列5个判断中：①b＜0；②b﹣a＜0；③a＞b﹣1；④a＜﹣；⑤2a＜b+，正确的是（）A.①③B.①②③C.①②③⑤D.①③④⑤二、填空题:13、若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一根为x=﹣1，则a+b= .14、二次函数y=2(x－3)2－4的最小值为 .15、在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同。