(完整版)椭圆焦半径公式及应用面面观

椭圆焦半径公式及应用面面观

在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。

一、椭圆焦半径公式

P 是椭圆x a y b

222

2+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。

P 是椭圆y a x b

a b 222

210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。

以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。

（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式

数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.

例1 已知点P （x ，y ）是椭圆122

22=+b

y a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+

x a c ；|PF 2|=a -x a

c . 【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y ”即可.

【解答】 由两点间距离公式，可知 |PF 1|=22)(y c x ++ (1) 从椭圆方程12

2

22

=+b y a x 解出 )(2222

2x a a b y -= (2)

代（2）于（1）并化简，得

|PF 1|=x a

c a +

(-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x a c a - (-a ≤x ≤a)

【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式

r 1=a+ex r 2=a-ex (e=a c ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）.

（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径

用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.

椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.

例2． P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点F 1（-c ，0），F 2（c ，

0）的距离的和为2a （a>c>0）.试用x ，y 的解析式来表示r 1=|PF 1|和r 2=|PF 2|.

【分析】 问题是求r 1=f （x ）和r 2=g （x ）.先可视x 为参数列出关于r 1和r 2的方程组，然后从中得出r 1和r 2.

【解答】 依题意，有方程组

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(① 22222222121 y c x r

y c x r a r r ②-③得④ 42221cx r r =-

代①于④并整理得r 1-r 2=x a

c 2 ⑤ 联立①，⑤得 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=+=x a c a r x a c a r 21 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c 而无b ，其基础性显然.

二、 焦半径公式与准线的关系

用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.

如图右，点P （x ，y ）是以F 1（-c,0）为焦点，以l 1：

x=-c

a 2

为准线的椭圆上任意一点.PD ⊥l 1于D.按椭圆 的第二定义，则有

ex a c

a x e PD e PF e PD PF +=+==⇒=)(||||||||2

即r 1=a+ex,同理有r 2=a-ex.

对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线c

a x 2

±=缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.

例3． P （x ，y ）是以F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为2a 的椭圆上任

意一点.直线l 为x=-c

a 2

，PD 1⊥l 交l 于D 1. 求证：e PD PF =|

|||11. 【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a+ex.

对|PD 1|用距离公式 |PD 1|=x-)(2c a -=x+c

a 2

. 故有e c

a x c a x e c a x ex a PD PF =++=++=2

2

211)(||||. 【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F 1（-c,0）（F 2（c,0））与定直线

l 1:x=-c a 2(l 2：x=c

a 2

)的距离之比为定值e （0

三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程

现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.

其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.

例4． 设点P （x ，y ）适合方程122

22

=+b y a x .求证：点P （x ，y ）到两定点F 1（-c,0）

和F 2（c ，0）的距离之和为2a （c 2=a 2-b 2）.

【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.

【解答】 P （x ，y ）到F 1（-c,0）的距离设作r 1=|PF 1|.由椭圆的焦点半径公式可知

r 1=a+ex ①

同理还有

r 2=a-ex ②

①+② 得 r 1+r 2=2a

即 |PF 1|+|PF 2|=2a.