椭圆焦半径公式的证明和应用精品
椭圆和双曲线的焦半径公式
椭圆和双曲线的焦半径公式椭圆和双曲线的焦半径公式是数学中的重要公式，它们可以用来计算椭圆和双曲线的焦点到中心的距离。
下面我们来详细介绍这两个公式的推导过程。
一、椭圆的焦半径公式椭圆是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，中心为O，长轴长度为2a，短轴长度为2b。
则椭圆的焦半径公式为：r = √(a^2 - b^2)其中，r表示椭圆的焦半径。
推导过程如下：1. 根据椭圆的定义，可以得到以下两个方程：PF1 + PF2 = 2aPF1PF2 = 4b^2其中，PF1和PF2分别表示点P到焦点F1和F2的距离。
2. 将PF1和PF2表示成坐标形式，设点P的坐标为(x,y)，焦点F1的坐标为(-c,0)，焦点F2的坐标为(c,0)（其中，c为椭圆的离心率），则有：PF1 = √[(x + c)^2 + y^2]PF2 = √[(x - c)^2 + y^2]3. 将PF1和PF2代入第一个方程中，得到：√[(x + c)^2 + y^2] + √[(x - c)^2 + y^2] = 2a4. 对上式两边平方，化简得：x^2 + y^2 = a^2 - c^25. 将c表示成a和b的形式，即c = √(a^2 - b^2)，代入上式中，得到：x^2 + y^2 = b^2这是一个标准的椭圆方程，中心在原点，长轴为2b，短轴为2a。
6. 由于椭圆的焦半径r等于焦点到中心的距离，因此有：r = √(c^2 + b^2) = √(a^2 - b^2)这就是椭圆的焦半径公式。
二、双曲线的焦半径公式双曲线是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之差等于常数的点的集合。
设双曲线的两个焦点分别为F1和F2，中心为O，焦距为2c。
则双曲线的焦半径公式为：r = √(c^2 + b^2)其中，b表示双曲线的半轴长度。
推导过程如下：1. 根据双曲线的定义，可以得到以下两个方程：PF1 - PF2 = 2aPF1PF2 = -b^2其中，PF1和PF2分别表示点P到焦点F1和F2的距离。
(完整版)椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用.椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径,根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。
在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
一、公式的推导设P（，）是椭圆上的任意一点,分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。
证法1:。
因为,所以∴又因为，所以∴，证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以,而。
∴，。
二、公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（)、C（）到焦点F（4,0）的距离成等差数列，求的值。
解：在已知椭圆中,右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。
∵，，，而｜AF｜、｜BF|、|CF|成等差数列.∴，即，。
评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解,即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。
例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。
已知P、、是一个直角三角形的三个顶点,且，求的值。
解：由椭圆方程可知a=3，b=2,并求得,离心率.由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。
由焦半径公式，得，。
(1）若∠为直角，则，即，解得，故。
（2)若∠为直角，则，即=，解得，故。
评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。
例3 已知椭圆C：，为其两个焦点,问能否在椭圆C上找一点M，使点M到左准线的距离|MN｜是与的等比中项.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
解:设存在点M（），使,由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即＋48=0，解得,或.因此，点M不存在。
评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时,如果直接用两点间距离公式,运算将非常复杂,而选用焦半径公式可使运算简。
椭圆焦半径定理[详解]
![椭圆焦半径定理[详解]](https://img.taocdn.com/s3/m/788324dadb38376baf1ffc4ffe4733687e21fcab.png)
000焦半径公式00连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。
00椭圆的焦半径公式00设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。
00推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e000可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。
00所以：∣MF1∣= a+em，∣MF2∣= a-em00双曲线的焦半径公式00双曲线的焦半径及其应用：0001：定义：双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
002．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1000总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）00具体：00点P(x,y)在右支上00│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a000点P(x,y)在左支上00│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)00抛物线的焦半径公式00抛物线r=x+p/2</CA>00通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦00双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c000a²－b²=c²00抛物线的通径是2p00抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2. 000000。
椭圆焦半径定比的一个性质及应用
椭圆焦半径定比的一个性质及应用胡贵平(甘肃省白银市第一中学ꎬ甘肃白银７３０９００)摘㊀要:圆锥曲线焦点弦问题中涉及定比分点ꎬ常规解法是把比例关系坐标表示ꎬ计算量较大ꎬ借用定义很容易得出离心率㊁倾斜角与定比的一个性质ꎬ应用性质解焦点弦问题ꎬ事半功倍.关键词:椭圆ꎻ焦半径ꎻ定比中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００４３－０３收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:胡贵平(１９７８－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀圆锥曲线中焦点弦是同一直线上两个焦半径之和.由于过焦点ꎬ焦点弦所在直线方程由倾斜角确定ꎬ焦点Ｆ是焦点弦ＡＢ的定比分点ꎬ若ＡＦң＝λＦＢң(λ>０)ꎬ则离心率ｅ㊁直线的倾斜角θ与定比λ之间满足ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.利用焦半径定比性质解决圆锥曲线焦点弦问题更加简捷有效.１椭圆焦半径定比性质设椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的右焦点为点Ｆꎬ过点Ｆ的直线ｌ与椭圆相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ直线ｌ的倾斜角为θꎬ且ＡＦң＝λＦＢң(λ>０)ꎬ则ｅ㊁θ㊁λ间满足ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.证明㊀在әＡＦ１Ｆ中ꎬ根据椭圆的定义ꎬ有ＡＦ１＋ＡＦ＝２ａ.由余弦定理ꎬ得｜ＡＦ１｜２＝｜ＡＦ｜２＋｜Ｆ１Ｆ｜２－２ＡＦＦ１Ｆｃｏｓ(π－θ).即(２ａ－ＡＦ)２＝ＡＦ２＋(２ｃ)２＋２ＡＦ(２ｃ) ｃｏｓθ.所以ａ２－ｃ２＝ＡＦ (ａ＋ｃｃｏｓθ).即ＡＦ＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ.同理可得ＢＦ＝ｂ２ａ－ｃｃｏｓθ.因为ＡＦң＝λＦＢң(λ>０)ꎬ所以ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ＝λ ｂ２ａ－ｃｃｏｓθ.所以ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.推导椭圆焦半径定比性质也可以使用椭圆的第二定义ꎬ通过 将焦半径转化为到准线的距离 即可.如果以椭圆的右焦点为极点ꎬｘ轴正方向为极轴ꎬ建立极坐标系ꎬ则椭圆上任意一点(ρꎬθ)满足的极坐标方程为ρ＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ.应用公式注意ꎬ当焦点Ｆ为弦ＡＢ内分点时有ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ当焦点Ｆ为弦ＡＢ外分点时有－ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.推论㊀椭圆焦点弦公式ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ＋ｂ２ａ－ｃｃｏｓθ＝２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２θ.特别地ꎬＡＢｍｉｎ＝２ｂ２ａꎬ当且仅当ｃｏｓ２θ＝０时ꎬＡＢ最小ꎬ此时焦点弦垂直于ｘ轴ꎻＡＢｍａｘ＝２ａꎬ当且仅当ｃｏｓ２θ＝１时ꎬＡＢ最大ꎬ此时焦点弦为长轴长.对于焦点在ｙ轴上时ꎬ焦半径公式将ｃｏｓθ换成ｓｉｎθ.很容易得到对于经过椭圆左焦点的弦长ꎬ此公３４式同样适用.２椭圆焦半径定比性质应用２.１求离心率例１㊀设Ｆ１㊁Ｆ２分别是椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点ꎬ过点Ｆ１的直线交椭圆Ｅ于ＡꎬＢ两点.若ＡＦ１＝３Ｆ１ＢꎬＡＦ２ʅｘ轴ꎬ则椭圆Ｅ的离心率为.解析㊀设直线ＡＢ的倾斜角为θꎬ则Ｆ１Ｆ２＝２ｃꎬＡＦ１＝ｂ２ａ.所以ｃｏｓθ＝２ｃ４ｃ２＋ｂ４/ａ２.因为ＡＦ１＝３Ｆ１Ｂꎬ由ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ得ｅ ２ｃ４ｃ２＋ｂ４/ａ２＝３－１３＋１＝１２.即４ｅｃ４ｃ２＋ｂ４/ａ２＝１.所以４ｅ＝４＋ｂ４ａ２ｃ２＝４＋(１ｅ－ｅ)２.解得ｅ２＝１３(负值已舍)ꎬ所以ｅ＝３３.２.２求方程例２㊀(２０１９年全国Ⅰ卷理)已知椭圆Ｃ的焦点为Ｆ１(－１ꎬ０)ꎬＦ２(１ꎬ０)ꎬ过点Ｆ２的直线与Ｃ交于Ａ㊁Ｂ两点.若｜ＡＦ２｜＝２｜Ｆ２Ｂ｜ꎬ｜ＡＢ｜＝｜ＢＦ１｜ꎬ则Ｃ的方程为(㊀㊀).Ａ.ｘ２２＋ｙ２＝１㊀㊀㊀Ｂ.ｘ２３＋ｙ２２＝１Ｃ.ｘ２４＋ｙ２３＝１Ｄ.ｘ２５＋ｙ２４＝１解析㊀由椭圆Ｃ的焦点为Ｆ１(－１ꎬ０)ꎬＦ２(１ꎬ０)可知ｃ＝１.设直线ＡＢ的倾斜角为θꎬ因为｜ＡＦ２｜＝２｜Ｆ２Ｂ｜ꎬ由ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ得ｅｃｏｓθ＝１３.即ｃｏｓθ＝１３ｅ.又｜ＡＢ｜＝｜ＢＦ１｜ꎬ可设｜ＢＦ２｜＝ｍꎬ则｜ＡＦ２｜＝２ｍꎬ｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝３ｍ.根据椭圆的定义可知｜ＢＦ１｜＋｜ＢＦ２｜＝３ｍ＋ｍ＝２ａ.得ｍ＝１２ａ.所以｜ＢＦ２｜＝１２ａꎬ｜ＡＦ２｜＝ａ.由焦半径可知ꎬ｜ＡＦ２｜＝ｂ２ａ－ｃｃｏｓθ.所以ａ＝ｂ２ａ－ｃ/３ｅ.即２ａ２＝３ｂ２.联立ａ２＝ｂ２＋ｃ２ꎬ得ａ２＝３ꎬｂ２＝２.所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２３＋ｙ２２＝１.２.３求斜率例３㊀(２０１０年全国Ⅱ卷理)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的离心率为３２ꎬ过右焦点Ｆ且斜率为ｋ(ｋ>０)的直线与Ｃ相交于Ａ㊁Ｂ两点.若ＡＦң＝３ＦＢңꎬ则ｋ＝(㊀㊀).㊀Ａ.１㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.２解析㊀设直线ＡＢ的倾斜角为θ(０<θ<π２)ꎬ因为ＡＦң＝３ＦＢңꎬ由ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ得３２ｃｏｓθ＝３－１３＋１.解得ｃｏｓθ＝３３.所以ｋ＝ｔａｎθ＝２.３椭圆焦半径定比性质推论应用３.１求面积例４㊀已知椭圆ｘ２３＋ｙ２２＝１的左㊁右焦点为Ｆ１㊁Ｆ２ꎬ过点Ｆ１的直线交椭圆于Ｂ㊁Ｄ两点ꎬ过点Ｆ２的直线交椭圆于Ａ㊁Ｃ两点ꎬ且ＡＣʅＢＤꎬ则四边形ＡＢＣＤ的面积的最小值为.解析㊀设直线ＢＤ的倾斜角为θꎬ４４则直线ＡＣ的倾斜角为θ＋π２或θ－π２ꎬＢＤ＝２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２θꎬＡＣ＝２ａｂ２ａ２－ｃ２ｓｉｎ２θꎬ所以四边形ＡＢＣＤ的面积Ｓ＝１２ＡＣ ＢＤ＝１２ ２ａｂ２ａ２－ｃ２ｓｉｎ２θ ２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２θ＝２ａ２ｂ４ａ４－ａ２ｃ２＋(ｃ４ｓｉｎ２２θ)/４＝２４６＋(ｓｉｎ２２θ)/４.因为０ɤｓｉｎ２２θɤ１ꎬ所以当ｓｉｎ２２θ＝１时ꎬ四边形ＡＢＣＤ的面积取得最小值９６２５.３.２求坐标例５㊀(２０１１年浙江卷理)设Ｆ１㊁Ｆ２分别为椭圆ｘ２３＋ｙ２＝１的左㊁右焦点ꎬ点Ａ㊁Ｂ在椭圆上ꎬ若Ｆ１Ａң＝５Ｆ２Ｂңꎬ则点Ａ的坐标是.解析㊀设直线ＡＦ１的倾斜角为θꎬ则ＡＦ１＝ｂ２ａ－ｃｃｏｓθꎬＢＦ２＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ.因为Ｆ１Ａң＝５Ｆ２Ｂңꎬ所以ｂ２ａ－ｃｃｏｓθ＝５ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ.即１３－２ｃｏｓθ＝５３＋２ｃｏｓθ.解得ｃｏｓθ＝６３.所以ＡＦ１＝１３－２ˑ６/３＝３.又ａ＝３ꎬ根据椭圆短轴的端点到焦点的距离等于长半轴长ꎬ所以点Ａ的坐标为０ꎬ１()或０ꎬ－１().３.３综合应用例６㊀(２０１１年浙江卷理)设椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左焦点为Ｆꎬ过点Ｆ的直线与椭圆Ｃ相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ直线ｌ的倾斜角为６０ʎꎬＡＦң＝２ＦＢң.(１)求椭圆Ｃ的离心率ꎻ(２)如果｜ＡＢ｜＝１５４ꎬ求椭圆Ｃ的方程.解析㊀(１)设直线ＡＢ的倾斜角为θꎬ则ＡＦ＝ｂ２ａ－ｃｃｏｓθꎬＢＦ＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ因为ＡＦң＝２ＦＢңꎬ由ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ得ｅｃｏｓ６０ʎ＝２－１２＋１.所以离心率ｅ＝２３.(２)因为ＡＢ＝２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２θꎬ即２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２６０ʎ＝１５４.所以３２ａｂ２＝４５ａ２＋１５ｂ２.由ｅ＝ｃａ＝２３ꎬ得ｂ＝５３ａ.联立解得ａ＝３ꎬｂ＝５.所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２９＋ｙ２５＝１.拓展㊀双曲线也有类似结论.设双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的右焦点为Ｆꎬ过点Ｆ的直线ｌ与双曲线相交于同一支上Ａ㊁Ｂ两点ꎬ直线ｌ的倾斜角为θꎬ且ＡＦң＝λＦＢң(λ>０)ꎬ则ｅ㊁θ㊁λ间满足ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.推论㊀当Ａ㊁Ｂ位于双曲线同一支上时ꎬ焦点弦长ＡＢ＝２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２θ.当Ａ㊁Ｂ位于双曲线不同支上时ꎬ焦点弦长ＡＢ＝２ａｂ２ｃ２ｃｏｓ２θ－ａ２.抛物线类似结论比较简单ꎬ请读者自行归纳.参考文献:[１]曲大海.椭圆与双曲线焦半径的新算法[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２０１９(０３):８－１０.[责任编辑:李㊀璟]５４。
椭圆焦半径定理[详解]
000焦半径公式00连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。
00椭圆的焦半径公式00设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。
00推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e000可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。
00所以：∣MF1∣= a+em，∣MF2∣= a-em00双曲线的焦半径公式00双曲线的焦半径及其应用：0001：定义：双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
002．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1000总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）00具体：00点P(x,y)在右支上00│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a000点P(x,y)在左支上00│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)00抛物线的焦半径公式00抛物线r=x+p/2</CA>00通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦00双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c000a²－b²=c²00抛物线的通径是2p00抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2. 000000。
证明焦半径公式
证明焦半径公式一、椭圆焦半径公式的证明。
（一）椭圆的标准方程。
设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F_1(-c,0)，F_2(c,0)（其中c^2=a^2-b^2）。
（二）设点P(x_0,y_0)在椭圆上。
1. 求PF_1（左焦半径）- 根据两点间距离公式，PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}。
- 因为点P(x_0,y_0)在椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1上，所以y_0^2=b^2(1-frac{x_0^2}{a^2})。
- 将y_0^2=b^2(1 - frac{x_0^2}{a^2})代入PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}中，得到：PF_1=√((x_0)+c)^2+b^2(1-frac{x_{0^2}{a^2})} =√(x_0)^2+2cx_{0+c^2+b^2-frac{b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{a^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^2c^2+a^2b^2-b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{(a^2)-b^{2)x_0^2+2a^2cx_0+a^2(b^2+c^2)}{a^2}}- 又因为c^2=a^2-b^2，所以：PF_1=√(frac{c^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^4}{a^2}} =√(frac{(cx_0)+a^2)^2{a^2}} =<=ft frac{cx_0+a^2}{a}right- 因为-a≤slant x_0≤slant a且a > 0，c>0，所以cx_0+a^2>0，则PF_1 = a +ex_0（其中e=(c)/(a)为椭圆的离心率）。
2. 求PF_2（右焦半径）- 同样根据两点间距离公式，PF_2=√((x_0)-c)^2+y_{0^2}。
椭圆的焦半径公式
椭圆的焦半径公式椭圆是一种常见的几何形状，它有两个焦点和一个不变的总长度。
在数学中，椭圆可以通过其焦点到弦的距离比的平方等于1的定义来描述。
焦半径是一个用来描述椭圆形状的参数，它是从焦点到椭圆上的一点的距离。
下面将介绍椭圆的焦半径公式以及其推导过程。
在椭圆上任意取一点P，并设其距离左焦点F1的距离为r1，距离右焦点F2的距离为r2、根据椭圆的定义，可以得到以下的等式：(r1+r2)^2=(2a)^2其中，2a表示椭圆的长轴长度。
接下来，我们将推导出焦半径公式。
将焦点F1处的坐标设为(-c,0)，焦点F2处的坐标设为(c,0)。
椭圆的离心率定义为c/a。
根据离心率的定义，我们可以得到以下等式：c^2=a^2-b^2其中，a表示椭圆的长轴长度，b表示椭圆的短轴长度。
将上述等式代入到等式(r1+r2)^2=(2a)^2中，可以得到：(r1+r2)^2=(2a)^2[(r1+r2)^2]/(4a^2)=1[(r1^2+2r1r2+r2^2)]/(4a^2)=1[(r1^2+2r1r2+r2^2)]/(4a^2)=[(r1^2+r2^2-b^2)]/(a^2)（将c^2=a^2-b^2代入）r1^2+2r1r2+r2^2=4a^2-4b^2接下来，我们对等式进行处理，得到焦半径公式。
注意到等式左边可以写为一个完全平方的形式，可表示为(r1+r2)^2，因此我们将等式进行如下变形：r1^2+2r1r2+r2^2=(r1+r2)^2=4a^2-4b^2r1^2+r2^2+2r1r2=4a^2-4b^2(r1-r2)^2=4a^2-4b^2r1-r2=±2√(a^2-b^2)r1+r2=2a将上述两个等式相加，可以得到：2r1=2a±2√(a^2-b^2)r1=a±√(a^2-b^2)类似地，对焦点F2处的坐标进行处理，可以得到：r2=a∓√(a^2-b^2)因此，我们得到了椭圆的焦半径公式，即：r1=a±√(a^2-b^2)r2=a∓√(a^2-b^2)需要注意的是，焦半径的计算需要知道椭圆的长轴长度a和短轴长度b。
椭圆焦半径公式的证明及巧用
椭圆焦半径公式的证明及巧用
一、椭圆焦半径公式的证明
设椭圆的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，中心点为
O(0,0)，则椭圆的参数方程为：
x=a*cosθ
y=b*sinθ
其中，θ为椭圆上任意一点P的极角，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。
将P的坐标代入椭圆焦半径的定义式，得到：c=(F1P+F2P)/2
c=[(-c-x)²+y²+(c-x)²+y²]½/2
c=[2a²-2x²]½/2
将x=a*cosθ代入上式，得到：
c=[2a²-2a²cos²θ]½/2
c=a(1-cos²θ)½
c=a*sinθ
因此，椭圆焦半径的公式为c=a*sinθ。
二、椭圆焦半径公式的巧用
1.焦距的计算
在光学中，焦距是指光线从远处垂直射入透镜后汇聚到的点与透镜的距离。
对于一个椭圆形的反射器或折射器，其焦距可以通过椭圆焦半径公式计算得到。
2.卫星轨道的计算
卫星轨道是指卫星绕地球或其他天体运行的路径。
对于一个地球同步轨道，其轨道形状为椭圆，可以通过椭圆焦半径公式计算出卫星与地球的距离。
3.椭圆的绘制
在计算机图形学中，椭圆的绘制是一个常见的问题。
通过椭圆焦半径公式，可以计算出椭圆上每个点的坐标，并将其绘制出来。
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椭圆焦半径公式的证明及巧用
2008年08月31日星期日 21:56
命题：
证明：
说明：
巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。
一、用于求离心率
例
分析：
所以，
所以。
二、用于求椭圆离心率的取值范围
例
分析：
由得
故，即，又。
所以。
三、用于求焦半径的取值范围
例
分析：
所以。
四、用于求两焦半径之积
例
分析：
由知，所以的最小值为，最大值为。
五、用于求三角形的面积
例
分析：。
由余弦定理得。
解得
所以
六、用于求点的坐标
例
分析：
及得
，
解得
所以。
七、用于证明定值问题
例
分析：
化简得
所以为定值。
八、用于求角的大小
例
分析：
所以
所以。
九、用于求线段的比。
例
分析：
由两式相减并化简得。
所以。
所以。
令，则，故
所以，
所以。
如图设的坐标为，椭圆与双曲线的离心率分别为，则
，，消去得
，。
不妨设，由成等差数列得，即。
易知易知
的最值不妨设为椭圆的左焦点，而
，则。
故。
设的坐标为，则如图，连，则
，由焦半径公式得，即。
若椭圆的焦点在轴上，则有。
我们把椭圆上的点
到两焦点的距离称为焦半径，而（或）、（或）称为焦半径公式。
如图1，椭圆的准线方程为和。
由椭圆的第二定义得
，化简即得1如图为椭圆
的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率。
2已知
为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。
3若是椭圆上的点，
为椭圆的焦点，求的取值范围。
4若为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。
5 若是椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求
的面积S。
6 若为椭圆上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_________。
由，，7已知为椭圆上两点，为椭圆的顶点，F为焦点，若成等差数列，求证：
为定值。
，8 如图3，设椭圆与双曲线
有公共焦点，为其交点，求。
9过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于，则。
4，设的坐标分别为，AB的中点为，则。
AB的垂直平行线方程为N的坐标为若椭圆的焦点为。