苏教版八年级下册数学压轴题

压轴题精选

1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点

A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点

B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A

时间为t 秒． ⑴求直线AB 的解析式；

⑵当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？

2、“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数x

y 1

的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴

和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=3

1

∠AOB ．要

明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1

,(b

b R ，求直线OM 对应

的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．

（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在

直线OM 上，并据此证明∠MOB=3

1

∠AOB ．

x

O

P

B

3、（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E 坐标为(4，0)，顶点G 坐标为(0，2)．将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在轴的点N 处，得到矩形OMNP ，OM 与GF 交于点A ．

（1）判断△OGA 和△OMN 是否相似，并说明理由； （2）求过点A 的反比例函数解析式；

（3）设（2）中的反比例函数图象交EF 于点B ，求直线AB 的解析式； （4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG 的对称中心，并说明理由．

4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ，且与x

轴的正半轴相交于点A ，点P 、点Q 在线段AB 上，点M 、N 在线段AO 上，且

OPM V 与QMN V 是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形，

90OPM MQN ∠=∠=o 。试求：

（1）AN ∶AM 的值；

（2）一次函数y kx b =+的图象表达式。

5、（本题满分10分）当x =6时,反比例函数y =x

k

和一次函数y =-x －7的值相等. (1)求反比例函数的解析式；

(2)若等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数的图象上,顶点C 、D 在这个反比例函数的图象上,且BC ∥AD ∥y 轴,A 、B 两点的横坐标分别是a 和a +2(a >0),求

a 的值.

6、 如图，一人工湖的对岸有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好. 站在完好的桥头A 测得路边的小树D 在它的北偏西30°，前进32米到断口B 处，又测得小树D 在它的北偏西45°，请计算小桥断裂部分的长(结果用根号表示).(7分)

7、(本题6分)如图，点C 、D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形,若DB AC CD ?=2.

求∠APB 的度数．

（第7题图）

A

B

C D

P

8、如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作

EF CE ⊥，交BD 于F ． （1）求证：BF FD =；

（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件1

4

DG DA =，并说明理由．

9、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，

垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ． （1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD ；

A

B

C D F

E

M

（2）已知AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x ），

四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；

②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值．

10、如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．

⑴ 求证：CE ＝CF ；

⑵ 在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？

⑶ 运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝

12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．

A

B

C

D E

F

P ·

B C

11、如图，已知直线1l 的解析式为63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动。点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（101<

（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式。 （3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？

12、已知：如图①，在Rt ACB △中，90C ∠=o ，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，

速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<）

，解图1

图2

B C

A D

E

答下列问题：

（1）当t 为何值时，PQ BC ∥？

（2）设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC ，并把PQC △沿QC 翻折，得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若

13、已知反比例函数

y ＝

8

m x

-(m 为常数)的图象经过点A （－1，6）． （1）求m 的值；

（2）如图，过点A 作直线AC 与函数y ＝

8

m x

-（x<0）的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标． （3）求△AOB 的面积。（9分）

A

图①

A

14、等腰△ABC ，AB=AC ，∠BAC=120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．

（1）如图１，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．说明：△BPE ∽△CFP ； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图２情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．

① 探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论） ② 探究２：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由；

(3) 将三角板绕点P 旋转的过程中，三角板的两边所在的直线分别与直线AB 、AC 于点E 、F ．

① △PEF 是否能成为等腰三角形？若能，求出△PEF 为等腰三角形时∠BPE 的度数；若不能，请说明理由．

② 设BC=8，EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．

图１

Ｐ Ｂ

Ｃ 图２

Ｐ Ｂ

Ｃ

15、在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，在△ADE 中，AD=DE ，∠ADE=90°连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM ．

（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图１，证明：BM=DM 且BM⊥DM；

（2）若将图１中的△ADE 绕点A 逆时针旋转45°的角，如图２，那么(1)中的结论是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请举出反例；

（3）若将图１中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图３，那么(１)中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请举出反例．

A

C

B

D

E

M

图２

A

B

C

D

E

M

图１

M

A B

C

E D

图３

16、如图，点O是边为2的正方形ABCD的中心，点E从A点开始沿AD边运动，点F从D点开始沿AD边运动，并且AE=DE。

（1）求正方形ABCD的对角线AC的长；

（2）若点E、F同时运动，连结OE、OF，请你探究：四边形DEOF的面积S与正方形ABCD的面积关系，并求出四边形DEOF的面积S；

（3）在（2）的基础上，设AE=x，△EOF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并利用图象说明当x在什么范围时，

y 5

8

。

17、 （本题满分10分）如图，Rt△ABC 在中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D ，

E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ ＝x ，QR ＝y ．

（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的

x 的值；若不存在，请说明理由．

18、（本题满分10分）如图，Rt△AB C 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC

交斜边于点E ，CC

的延长线交BB

于点F ．

（1）证明：△ACE ∽△FBE ； （2）设∠ABC =α，∠CAC

=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与

△FBE 是全等三角形，并说明理由．

A

B C

D E

R

P H Q 第24题图

19、（本题满分10分）

如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90DAB ∠=?，24AD DC ==，6AB =．动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与线段CD 的交点为E ，与折线A -C -B 的交点为Q ．点

M 运动的时间为t （秒）．

（1）当0.5t =时，求线段QM 的长；

（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；

（3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQ

RQ

是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

20、（本题满分10分）

A

B

C

D

（备用图1）

A

B

C

D

（备用图2）

Q A

B

C

D

l M

P

E

如图，在Rt ABC

、是等边三角形．

??

?中，AD是斜边BC上的高，ABE ACF

（1）试说明：ABD

?；

?∽CAD

（2）连接DE、DF、EF，判断DEF

?的形状，并说明理由．

21、（本题满分10分）

如图，一次函数y ax b

=+的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数

k

y

=的图象相交于C、D两点，分别过C，D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、x

F，连接CF、DE．

（1）△CEF与△DEF的面积相等吗？为什么？

22、（本题满分14分）阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，

把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB、BC相

交于点P、Q,易说明△APD∽△CDQ．

猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF（其中∠EDF=30°）的锐角顶点D与等腰三角形ABC（其中∠ABC= 120°）的底边中点O重合，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q．写出图中的相似三角形（直接填在横线上）；

验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段AB的延长线、边BC相交于点P、Q．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形,并说明理由．连结PQ，△APD与△DPQ是否相似？为什么?

探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）（2）中所有结论仍然成立吗？请写出这两个三角形需满足的条件．

探究（4）：在（2）的条件下，若AC = 4，CQ = x，AP = y，请你求出y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Ｅ

图1

图2

Ｄ(O)

B

C

F

E

P

Q

A

图3

A

C

B

小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干

是多的，但要再买一袋牛奶就不够

了！今天是儿童节，我给你买的饼干 阿姨，我买一盒

饼干和一袋牛奶

（递上10元钱）.

23、 (本题满分8分)

仔细观察下图，认真阅读对话：

根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？

24、（本题12分）、如图，已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG=CG ；

（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证

明）

F

B

A

D

C

E

G

第24题图①

E

25、(本题满分10分)

如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC 固定不动，?AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E(点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE=m ，CD=n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围.

（3）以?ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，

建立平面直角坐标系(如图2).在边BC 上找一点D ，使BD=CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证BD 2＋CE 2=DE 2.

（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2＋CE 2=DE 2是否始终成立,若成立,

请证明,若不成立,请说明理由.

F

B

A

C

E

第24题图③

D

26、(10分)如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．（1）求梯形ABCD的面积S；

（2）动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以2cm/s的速度、沿C→D→A方向，向点A运动．若P、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t 秒．

问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD 的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；

若不存在，请说明理由；

②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

27、（本题满分8分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

（1）求证：BE = DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

A D

B E

F

O

C

M

28、（本题满分12分）如图，一条直线与反比例函数k

y x

=

的图象交于A （1，4）,B （4，n ）两点，与x 轴交于D 点，AC ⊥x 轴，垂足为C ． （1）如图甲，①求反比例函数的关系式；

②求n 的值及D 点坐标；

（2）如图乙，若点E 在线段AD 上运动，连接CE ，作∠CEF=45°，EF 交AC 于F 点．

①试说明△CDE ∽△EAF ；

②当△ECF 为等腰三角形时，求F 点坐标.

29、（本题满分10分）如图，已知△ABC ∽△111C B A ，相似比为)1(>k k ，且△

ABC 的三边长分别为a 、

b 、

c )(c b a >>，△111C B A 的三边长分别为1a 、1b 、1c .

⑴若1a c =，求证： kc a =；

⑵若1a c =，试给出符合条件的一对△ABC 和△111C B A ，使得a 、b 、c 和1a 、

1b 、1c 都是正整数，并加以说明；

⑶若1a b =，1b c =，是否存在△ABC 和△111C B A 使得2=k ？请说明理由.

30、（本题满分10分）如图,已知△ABC 中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D 为AB 的中点.

(1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q

在线段CA 上由C 点向A 点运动.

①若点Q 的运动速度与点p 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？

⑵若点Q 以②中运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出

发，都逆

时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？