小学三年级奥数下册多笔画及应用问题教案

小学三年级奥数下册多笔画及应用问题教案

发布:佚名时间:2009-9-25 15:39:00 来源:京翰教育中心录入:杨人气:1380

【文字：大小】多笔画及应用问题

上一讲中，我们主要研究了利用奇偶点来判别一笔画，学习了利用一笔画来研究一些简单的实际问题.然而，实际生活中，许多问题的图并不能一笔画出，也就是说，一笔画理论不能直接用来解决这些问题.因此，在一笔画的基础上，我们有必要对这一类的问题作一些深入研究。

一、多笔画

我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.首先，我们来考虑一个不能一笔画成的图，至少用几笔才能画完呢？（为了研究的方便，我们仍然只研究连通图，非连通图可转化为连通图.）

下面，我们就用简单熟悉的图来研究这个问题.通过前面的学习我们已经知道：当奇点个数不是0或2时，图不能一笔画出.因此，我们可以猜想；奇点个数是研究多笔画问题的关键。

观察下面的图形，并列出奇点的个数与笔画数（至少几笔画完此图）的关系表格。

为了表示得清楚一些，我们把图中第一笔画出的部分用实线表示，第二笔画出的部分用虚线表示，第三笔画出的部分用点线表示，其余部分请大家自己画出.

奇点个数与笔画数的关系可列表如下：

容易看出，笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.公式如下：

奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n。

细心的同学可能会问：2n是表示一个偶数，但假若有奇数个奇点怎么办？实际上，这种情况不可能出现，连通图中，奇点的个数只能是偶数.想一想，这是为什么呢？

例1 观察下面的图，看各至少用几笔画成？

分析解答

（1）图中有8个奇结点，因此需用4笔画成。

（2）图中有12个奇点，需6笔画成。

（3）图是无奇点的连通图，可一笔画成。

例2 判断下面的图能否一笔画成；若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？

分析解答

图中共有4个奇点，因此，显然无法一笔画成.要想改为一笔画，关键在于减少奇点的数目（把奇点的个数减少到0或2），具体方法有两种：

①去边.即将多余的两奇点间的边去掉.这种方法只适用于多余的两奇点间有边相连的情况，如对下图就不适用.

本题中，可去掉连结奇点B、C的边BC。

②添边.即在多余的两奇点间添上一条边.本题中，可以在奇点A、C间添上边AC.添边的方法适用于任意多笔画的图。

改为一笔画时，具体实现的方案很多，如本题中，我们可以通过上述两种方法把奇点个数减少到0。

小结：对于有2n（n为大于1的自然数）个奇点的连通图来说，改为一笔画的方法一般是：在多余的n-1（或n）对奇点间，各添上一条边；如果这n-1对（或n对）奇点间都有边相连，也可以在这n-1（或n）对间各去掉一条边。