最新人教版高中数学必修2第四章《圆与圆的位置关系》典型例题

典题精讲

例1如图2-3-(3,4)-3已知圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两交点为P 、Q ，且OP ⊥OQ(O 为原点)，求圆的方程.

图2-3-(3,4)-3

思路分析:涉及到直线与圆的交点问题，可以联立方程求解.

解法一:设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2).

由???=+-++=-+,

06,03222c y x y x y x 消去x,得(3-2y)2+y 2+(3-2y)-6y+c=0，

即5y 2-20y+12+c=0.

由韦达定理，得y 1+y 2=4，y 1y 2=

512c +. 如图2.3(3.4)3所示，

∵OP ⊥OQ ， ∴2

211x y x y ?=-1， 即123232

211-=-?-y y y y . 解得9-6(y 1+y 2)+5y 1y 2=0. ∴9-6×4+5×

512c +=0，解得c=3. 从而所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0.

解法二:设过圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的交点P 、Q 的圆的方程为x 2+y 2+x-6y+c+λ(x+2y -3)=0，

即x 2+y 2+(1+λ)x -(2λ-6)y+c-3λ=0.

∵OP ⊥OQ ，故该圆过原点,c-3λ=0,①

且圆心(21λ+-，2

62--λ)在直线x+2y-3=0上, 21λ+-+2·(2

62--λ)-3=0.② 由①②求得λ=1，c=3.

故所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0.

绿色通道：在解析几何中，更多的是把垂直转化为斜率问题，而较少利用勾股定理.在判定直线与圆的位置关系时，应选择能体现圆的几何性质的方法，即用圆心到直线距离与半径作比较，这样更简捷.

变式训练1(2006天津高考,文14)若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=33x(x≥0)相切，则这个圆的方程为_________________.

思路解析:若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=3

3x(x≥0)相切，则圆心在直线y=3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这个圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=1. 答案：1

变式训练2(2006重庆高考,文3)以点(2，-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为

( )

A.(x-2)2+(y+1)2=3

B.(x+2)2+(y-1)2=3

C.(x-2)2+(y+1)2=9

D.(x+2)2+(y-1)2=3

思路解析:根据题意,圆心到切线的距离即为圆的半径r=22435

)1(423++-?-?=3，故选C.

答案：C

例2已知动直线l:(m+3)x-(m+2)y+m=0与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9.

(1)求证:无论m 为何值，直线l 与圆C 总相交.

(2)m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小?并求出该最小值.

思路分析:分析已知条件:圆是定圆，直线不确定(方程中含有未知数m)，解题关键在于发现直线的特征:过定点.

(1)证法一:设圆心C(3，4)到动直线l 的距离为d ，则 d=21)25(21)2()3(|

4)2(3)3(|222++=++++?+-?+m m m m m m ≤2.

∴当m=2

5-时，d max =2＜3(半径). 故动直线l 总与圆C 相交.

证法二:直线l 变形为m(x-y+1)+(3x-2y)=0.

令???=-=+-,023,01y x y x 解得?

??==.3,2y x 如图2-3-(3,4)-4所示，故动直线l 恒过定点A(2，

3).

图2-3-(3,4)-4

而|AC|=32)43()32(22<=-+-，

∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交.

(2)解法一:由平面几何知识知,弦心距越大,弦长越小.

由(1)知,当m=2

5-时，弦长最小. ∴最小值为72)2(3222=-.

解法二:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，

∴过点A 且垂直AC 的直线被圆C 所截弦长最小.

∴k l =11

-=-AC k . ∴

,12

3-=++m m 解得m=25-. 此时弦长为72)2(92||32222=-=-AC .

故当m=2

5-时，直线被圆C 所截弦长最小，最小值为72. 绿色通道：解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运算量小. 解法二从所要证的结论分析，总与定圆相交的动直线可能是过定点的直线系，且定点必在圆内.于是抓住动直线与定圆的几何特征，数形结合，生动直观，迅速解决问题.

变式训练3(2006陕西高考,理5)设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为

( ) A.±2 B.±2 C.±22 D.±4

思路分析:设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，设直线方程为y=x+a ，圆心(0，0)到直线的距离等于半径2， ∴22|

|=a .

∴a 的值为±2，选B.

答案：B

例3已知P(x,y)在圆C:x 2+y 2-6x-4y+12=0上，

(1)求x-y 的最大及最小值；

(2)求x 2+y 2的最大及最小值；

(3)求|PA|2+|PB|2的范围，其中A(-1,0)、B(1,0).

思路分析:利用直线与圆的位置关系还可以求最值；另外数形结合的方法也需注意.

(1)解：设x-y=m ，则P(x,y)在l:x-y-m=0上.又在⊙C 上,⊙C 的圆心坐标为(3,2),

∴l 与⊙C 有公共点.

⊙C 的圆心坐标为(3,2),

∴圆心到直线l 的距离d=11|

23|+--m ≤1，|1-m|≤2，得1-2≤m≤2+1.

∴x-y 的最大值为2+1,最小值为1-2.

(2)解法一:x 2+y 2=(x-0)2+(y-0)2=(22)0()0(-+-y x =|OP|2.

由平面几何知识，连结直线OC 交⊙C 于A 、B.

当P 与A 重合时，|OP|min =|OA|=|OC|-1=13-1;

当P 与B 重合时，|OP|max =|OB|=|OC|+1=13+1.

从而，14-213≤x 2+y 2≤14+213.

解法二:设x 2+y 2=r 2(r ＞0)，因此P 在⊙O 上，又在⊙C 上，

图2-3-(3,4)-5

即⊙O 与⊙C 有公共点，由图2-3-(3,4)-5可知，当⊙O 与⊙C 外切时，r 最小.

此时|OC|=r+1=13,

∴r min =13-1.

当⊙O 与⊙C 内切时，r 最大.

此时，|OC|=|r-1|=13，

∴r max =13+1.

∴14-213≤x 2+y 2≤14+213.

(3)解：可化归为(2),

|PA|2+|PB|2=222222))1(())1((y x y x +-+++

=x 2+2x+1+y 2+x 2-2x+1+y 2=2(x 2+y 2)+2.

由(2)14-132≤x 2+y 2≤14+132，

∴30-134≤|PA|2+|PB|2≤30+134.

绿色通道：本题是坐标法的逆向应用,即用几何法研究代数问题——最值.

变式训练4(2006湖南高考,文7)圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )

A.36

B.18

C.26

D.25

思路解析：圆x 2+y 2-4x-4y-10=0的圆心为(2，2)，半径为23，圆心到直线x+y-14=0的距

离为23522|

1422|>=-+，所以直线与圆的位置关系是相离.因此圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=26，选C.

答案:C

例4已知圆C:x 2+y 2-2x-4y-20=0及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m ∈R ).

(1)求证:不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；

(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程.

思路分析:

(1)直线l 是过一个定点的直线，若此定点在圆内，则此直线l 必与圆C 相交.

(2)当过定点的直线与圆心的距离最短，即此直线垂直于定点与圆心的连线时，被圆截得的弦最短.

(1)证明:把直线l 的方程改写成(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.

由方程组???=-+=-+,

072,04y x y x 解得?

??==.1,3y x ∴直线l 总过定点(3，1).

圆C 的方程可写成(x-1)2+(y-2)2=25.

∴圆C 的圆心为(1，2)，半径为5，定点(3，1)到圆心(1，2)的距离为5

)21()13(22=-+-＜5.

∴点(3，1)在圆C 内.

∴过点(3，1)的直线l 总与圆C 相交，即不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交.

图2-3-(3,4)-6

(2)解：当直线l 过定点M(3，1)且垂直于过点M 的圆心的半径时，l 被圆截得的弦长|AB|最短.(如图2-3-(3,4)-6) |AB|=254202])21()13[(2522222==-+--=-CM BC .

此时，k AB =CM k 1

-=2.

∴直线AB 的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.

故直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度为54，此时直线l 的方程为2x-y-5=0.

绿色通道：充分考虑圆的几何性质，数形结合,如果对于第(2)问用纯代数的方法来解决,会很复杂.

变式训练5(2006高考全国卷Ⅰ，文7)从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) A.21 B.53 C.2

3 D.0 思路解析:圆x 2-2x+y 2-2y+1=0的圆心为M(1，1)，半径为1，从圆外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于2

1，所以两切线夹角的正切值为tanθ=3441121

2=-?，该角的余弦值等于53，选B. 答案：B

问题探究

问题1过一点作圆的切线,求切线方程.现利用点斜式,求出斜率值只有一个,那么该点在圆上吗？利用点斜式求直线方程,会产生漏解吗？如果漏解,会漏掉什么样的解？

导思：根据不同条件求圆的切线,主要有以下题型:

(1)已知切点,求切线方程.可根据切线垂直于过切点的半径直接写出切线的方程.注意只有一条.

(2)已知圆外一点,求圆的切线方程.切记有两条.

(3)已知切线的斜率求圆的切线方程.

求圆的切线方程常用的三种方法:

(1)设切点用切线公式法;

(2)设切线斜率用判别式法;

(3)设切线斜率,用圆心到切线的距离等于半径法.

探究：利用点斜式求直线方程时,很重要的一点就是注意点斜式不能表示斜率不存在的直线

的方程,即倾斜角为

2

π的直线的方程.如果没有考虑到这一点就贸然运用点斜式方程就有可能产生漏解,忽略倾斜角为2π的直线的方程而造成错误.对于题中所给问题,先要判断此点与圆的位置关系,如果点在圆外,则过此点应该有两条圆的切线,现在只解出一个斜率,则说明遗漏了倾斜角为2

π的切线方程;如果点在圆上,则应该有一条切线,现解出一个斜率,则正是所求切线的斜率;如果点在圆内,则不应该有切线,不可能解出正确的斜率值.

问题2将两个相交的非同心圆的方程x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢？

导思：可以通过设出两圆的交点(x 1,y 1)、(x 2,y 2),将(x 1,y 1)代入两圆方程相减得到

(D 1-D 2)x 1+(E 1-E 2)y 1+F 1-F 2=0,

将(x 2,y 2)代入两圆方程相减得到(D 1-D 2)x 2+(E 1-E 2)y 2+F 1-F 2=0,

点(x 1,y 1)、(x 2,y 2)满足(D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+F 1-F 2=0,故该方程为公共弦所在直线的方程.

探究：两圆相减得一直线方程,它当然经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.