高一数学必修二测试题及答案
即墨实验高中高一数学周清自主检测题 命题人：吴汉卫 审核人：金文化 时间：120分钟 №：08 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1 ．已知直线l的斜率为2,且过点
),3(),2,1(mBA,则m的值为 （ ） A．6 B．10 C．2 D．0 2 ．正方体的内切球与外接球的半径之比为 （ ） A．3∶1 B．3∶2 C． 1∶3 D．2∶3 3 ．平行线0943yx和0286yx的距离是 （ ） A．58 B．2 C．511 D．57 4 ．设l，m是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A．若lm，m，则l
B．若l，lm//，则m C．若l//，m，则lm//
D．若l//，m//，则lm// 5 ．若直线l过点3(3,)2且被圆
2225xy截得的弦长为8,
则直线l的方程是 A．3x B．3x
C．34150xy D．x=-3或
6 ．已知直线02)1(:1yxal
与直线01)22(:2yaaxl
互相垂直,则实数a的值为 A．-1或2 B．-1或-2 C．1或27 ．无论m,n取何实数值,直线 (3m-n)x+(m+2n)y-n=0都过定点P,则P点坐标为 A．(-1,3) B．)23,21( C．53,5
1(
8 ．已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为直角三角形, 俯视图为等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于 （ ）
A．23 B．33 C．223 D．233
装
订
线
正视俯视侧视
1 CBD
A1D1B1
C1
A
9.圆1C:222880xyxy与圆2C:224420xyxy的位置关系是 （ ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 10．若使得方程0162mxx 有实数解,则实数m的取值范围为 11．如图，已知长方体1111ABCDABCD中，14,2ABBCCC,则直线1BC和平面11DBBD所成的正弦值等于 （ ） A．32 B．52 C．105 D．1010 12．若直线4byax与圆4:22yxC有两个不同交点，则点),(baP与圆C的位置关系是 （ ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．经过点A(-3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_________________. 14．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是
________________cm3. 15．以点(-3,4)为圆心且与直线5xy相切的圆的标准方程是________. 16．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题： ①若m∥β，n∥β，m、nα，则α∥β； ②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，nγ，则m⊥n； ③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β； ④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n； 其中所有正确命题的序号是 ． 三、解答题（共74分） 17．已知直线l经过直线
3420xy与直线220xy的交点P，且垂直于直线210xy. （Ⅰ）求直线l的方程； （Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S. 18．如图,在三棱锥A—BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正 三角形. (Ⅰ)求证:MD19．已知圆C的半径为10,圆心在直线2yx上,且被直线0xy截得的弦长 为42,求圆C的方程. 20．已知正方形ABCD，沿对角线BD将△ABD折起，使点A到点A1的位置，且二面角A1—BD—
C为直二面角。 （I）求二面角A1—BC—D的正切值大小； （II）求异面直线A1D与BC所成角的大小。 （III）求直线BD与平面A1BC所成角的 正弦值的大小。
21．已知:ABC中,顶点2,2A,边AB上的中线CD所在直线的方程是0xy,边AC上高BE所在直线的方程是340xy?
(1)求点B、C的坐标;
(2)求ABC的外接圆的方程? 22．（14分）已知关于x,y的方程C:04222myxyx. （1）当m为何值时，方程C表示圆。 （2）若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点，且|MN|=54,求m的值。 高一数学周清自主检测题8参考答案 一、选择题 1. A 2. C 3. B 4. B 5. D 6. B 7. D 8. B 9. A 10. B 11. C 12. A 二、填空题 13. x+y-1=0,4x+3y=0 14. 243 ; 15. 22(3)(4)8xy ; 16. ②④ 三、解答题
17. 解：（Ⅰ）由3420,220.xyxy
解得2,2.xy 由于点P的坐标是（2，2）. 则所求直线l与210xy
垂直， 可设直线l的方程为 20xyC. 把点P的坐标代入得 2220C ，即2C.
所求直线l的方程为 220xy
（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是1、2， 所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积11212S
装
订
线
18. 解(Ⅰ)∵M为AB中点,D为PB中点, ∴MD 又由(Ⅰ)知MD 又已知AP⊥PC,PB∩PC=P ∴AP⊥平面PBC,而BC包含于平面PBC, ∴AP⊥BC, 又AC⊥BC,而AP∩AC=A, ∴BC⊥平面APC, 又BC平面ABC ∴平面ABC⊥平面PAC 19. 解:因为所求圆的圆心C在直线2yx上,所以设圆心为,2Caa, 所以可设圆的方程为22210xaya, 因为圆被直线0xy截得的弦长为42,则圆心,2Caa到直线0xy的距离 22224210211aad,即
22ad,解得2a. 所以圆的方程为222410xy或222410xy.
20. 解：（I）解：设O为BD中点，连结A1O， ∵A1D=A1B， ∴A1O⊥BD。 又二面角A1—BD—C是直二面角， ∴A1O⊥平面BCD， 过O作OE⊥BC，垂足为E，连结A1E， 由三垂线定理可知A1E⊥BC。 ∴∠A1EO为二面角A1—BC—D的平面角， 设正方形ABCD边长为2， 则1,21OEOA， （II）解：连结A1A， ∵AD∥BC， ∴∠A1DA为异面直线A1D与BC所成的角， ∵A1O⊥平面ABCD，且O为正方形ABCD的中心， ∴A1—ABCD为正四棱锥。 ∴A1A=A1D， 又AD=A1D， ∴∠A1DA=60° ∴异面直线A1D与BC所成角的大小为60°。 （III）解：易知BC⊥平面A1OE， ∴平面A1OE⊥平面A1BC， 过点O作OF⊥A1E，垂足为F，连结BF， 则OF⊥平面A1BC， ∴∠OBF为直线BD与平面A1BC所成的角， 设正方形ABCD边长为2， 21. 解(1)由题意可设(34,)Baa,则AB的中点D322(,)22aa必在直线CD上, ∴322022aa,∴0a,∴(4,0)B, 又直线AC方程为:23(2)yx,即34yx,
由034xyyx得,(1,1)C (2)设△ABC外接圆的方程为220xyDxEyF,
则22222220(4)40110DEFDFDEF
得941147DEF ∴△ABC外接圆的方程为229117044xyxy.
22. 解：（1）方程C可化为 myx5)2()1(22 显然 5,05mm即时时方程C表示圆。 （2）圆的方程化为 myx5)2()1(22 圆心 C（1，2），半径 则圆心C（1，2）到直线l:x+2y-4=0的距离为 412||,||255MNMN则
，有 2221(||)2rdMN ,)52()51(522M得 4m
高一数学必修2期末试题及答案doc
高一数学必修2期末试题及答案doc一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为：A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 若a > 0，b > 0，则a + b的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：D4. 函数y = 2^x的图象在点(1, 2)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. 4答案：D5. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，则a_5的值为：A. 7B. 9C. 11D. 13答案：C6. 已知函数y = x^3 - 3x + 1，则y' =：A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3C. 3x^2 + 3D. x^2 + 3答案：A7. 已知圆C的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，则圆心C的坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A8. 若直线y = 2x + 3与抛物线y = x^2 - 4x + 5相交，则交点的个数为：A. 1B. 2C. 3D. 0答案：B9. 已知向量a = (2, 3)，b = (-1, 2)，则a·b的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C10. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x)：A. 3x^2 - 12x + 11B. x^2 - 4x + 11C. 3x^2 - 12x + 5D. 3x^2 - 6x + 11答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等比数列{a_n}的首项a_1 = 2，公比q = 3，则a_3的值为______。
答案：182. 已知函数y = x^2 - 6x + 8，求函数的对称轴方程为______。
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷含答案解析 (34)
高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷3（共22题）一、选择题（共10题）1.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF与HG交于点M，那么( )A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上2.关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是( )A．平行直线的斜二测图仍是平行直线B．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C．正三角形的直观图一定为等腰三角形D．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同3.已知直线m，n与平面α，β，m⊥α，n⊥β，若α⊥β，则m，n的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交D．异面4.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PQEF的体积( )A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关5.在正方体中ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC6.一个四面体的所有棱长都为√2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )A．3πB．4πC．3√3πD．6π7.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A．1:√3B．1:3C．1:3√3D．1:98.《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，如图，某阳马的三视图如图所示，则该阳马的最长棱的长度为( )A．√2B．√3C．2D．2√29.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )A．3√3B．√3C．2√6D．2√310.若一个圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面直径的截面）是等边三角形，其面积为√3，则这个圆锥的体积为( )A．3πB．√3π3C．√3πD．√3π2二、填空题（共6题）11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M−EFGH的体积为．12.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1上，则三棱锥P−ABA1的体积为．13.正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球（正六棱柱的顶点都在此球面上）的表面积为．14.正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若△AʹBʹCʹ的面积为√3，那么△ABC的面积为．15.正方体ABCD−A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是．16.如图所示，长方形ABCD−A1B1C1D1的体积为24，E为线段B1C上的一点，则棱锥A−DED1的体积为．三、解答题（共6题）17.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是平面AA1D1D，平面A1B1C1D1的中心，证明：(1) D1Q∥平面C1DB；(2) 平面D1PQ∥平面C1DB．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD．(1) 求证：平面APC⊥底面BPD；(2) 若PB⊥PD，∠DAB=60∘，AP=AB=2，求二面角A−PD−C的余弦值．19.如图，在△AOB中，∠AOB=90∘，AO=2，OB=1．△AOC可以通过△AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB⊥OC，动点D在斜边AB上．(1) 求证：平面COD⊥平面AOB；(2) 当D为AB的中点时，求二面角B−CD−O的余弦值；(3) 求CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值．20.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60∘，AC=4，AB=2，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在线段AC上移动，P为棱AA1的中点．(1) 若Q为线段AC的中点，H为BQ的中点，延长AH交BC于D，求证：AD∥平面B1PQ；(2) 若二面角B1−PQ−C1的平面角的余弦值为√13，求点P到平面BQB1的距离．1321.如图，AE⊥面ABCD，ABCD是正方形，AE=AB=2，F为BE的中点．求证：DE∥面ACF．22.阅读下面题目及其证明过程，在横线处填写适当的内容．如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别为线段BD1，CC1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅰ）当DD1=√2时，求证：DE⊥平面BFD1；证明：（Ⅰ）如图，连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接OE．因为长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，所以BO=OD，又因为BE=ED1，DD1，所以OE∥DD1，OE=12因为F为线段CC1中点，DD1，所以CF∥DD1，CF=12所以CF∥OE，CF=OE．所以四边形OCFE为平行四边形．所以EF∥OC．又因为EF⊄平面ABCD，OC⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．（Ⅰ）因为F为线段CC1中点，所以BF=D1F，所以△D1FB是等腰三角形．因为E为BD1的中点，所以EF⊥BD1．因为BD⊥OC，EF∥OC，所以EF⊥BD．因为BD∩BD1=B，所以①．因为DE⊂平面BDD1，所以②．因为DD1=√2，所以DD1=BD，所以③．因为EF∩D1B=E，所以DE⊥平面BFD1．在上述证明过程中，（Ⅰ）的证明思路是：先证明“④”，再证明“⑤”．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，故M∈平面ABC，M∈平面ADC，又平面ABC∩平面ADC=AC，所以M∈AC．故选A．【知识点】平面的概念与基本性质2. 【答案】C【解析】对于A，平行直线的斜二测图仍是平行直线，A正确；对于B，斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变，B正确；对于C，正三角形的直观图不一定为等腰三角形，如图所示，所以C错误；对于D，画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同，D正确．【知识点】直观图3. 【答案】B【解析】m，n有可能相交或异面，但必定垂直．故答案选B．【知识点】直线与直线的位置关系4. 【答案】D【解析】设P点到平面A1B1CD的距离为ℎ，因为A1B1∥DC，所以Q到EF的距离为定值2√2，又因为EF=1，所以S△QEF=12×1×2√2=√2，因为V四面体PQEF =V三棱锥P−QEF=13S△QEF⋅ℎ=√23ℎ，即四面体的体积只与点P到平面A1B1CD的距离无关，所以四面体的体积与z有关，与x，y无关．【知识点】棱锥的表面积与体积5. 【答案】C【解析】画出正方体ABCD−A1B1C1D1，如图所示．对于选项A，连D1E，若A1E⊥DC1，又DC1⊥A1D1，所以DC1平面A1ED1，所以可得DC1⊥D1E，显然不成立，所以A不正确．对于选项B，连AE，若A1E⊥BD，又BD⊥AA1，所以DB⊥平面A1AE，故得BD⊥AE，显然不成立，所以B不正确．对于选项C，连AD1，则AD1∥BC1．连A1D，则得AD1⊥A1D，AD1⊥ED，所以AD1⊥平面A1DE，从而得AD1⊥A1E，所以A1E⊥BC1．所以C正确．对于选项D，连AE，若A1E⊥AC，又AC⊥AA1，所以AC⊥平面A1AE，故得AC⊥AE，显然不成立，所以D不正确．【知识点】空间中直线与直线的垂直6. 【答案】A【解析】联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，则正方体的面对角线即为四面体的棱长，求得正方体的棱长为1，体对角线为√3，从而外接球的直径也为√3，所以此球的表面积为3π．【知识点】组合体、球的表面积与体积7. 【答案】C【解析】设正方体的棱长为a，则其内切球的半径为a2，所以V内=43π(a2)3−πa36，正方体的外接球的半径为√32a，所以V外=43π(√32a)3=3√3πa36，所以V内:V外=1:3√3．【知识点】球的表面积与体积8. 【答案】B【解析】根据题设条件可知三视图还原成的几何体为四棱锥，如图所示，其中PD=1，底面ABCD是边长为1的正方形，易知PB=√3，PA=PC=√2，故最长棱的长度为√3．【知识点】三视图、棱锥的结构特征9. 【答案】D【知识点】棱柱的表面积与体积10. 【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的高为ℎ，体积为V，则ℎ=√3r．因为12×2r×√3r=√3r2=√3，所以r=1，所以V=13πr2h=√33πr3=√3π3．【知识点】圆锥的表面积与体积二、填空题（共6题）11. 【答案】112【解析】连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH=12AC，因为 F ，G 分别为 B 1A ，B 1C 的中点， 所以 FG ∥AC ，FG =12AC ，所以 EH ∥FG ，EH =FG ， 所以四边形 EHGF 为平行四边形， 又 EG =HF ，EH =HG ， 所以四边形 EHGF 为正方形， 又点 M 到平面 EHGF 的距离为 12， 所以四棱锥 M −EFGH 的体积为 13×(√22)2×12=112．【知识点】棱锥的表面积与体积12. 【答案】9√34【解析】因为在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，AB =AA 1=3，点 P 在棱 CC 1 上， 所以点 P 到平面 ABA 1 的距离即为 △ABC 的高， 即为 ℎ=√32−(32)2=3√32，S △ABA 1=12×3×3=92，三棱锥 P −ABA 1 的体积为：V =13×S △ABA 1×ℎ=13×92×3√32=9√34．【知识点】棱锥的表面积与体积13. 【答案】 100π【解析】依题意，该正六棱柱的外接球的球心应是上、下底面中心连线的中点， 所以其半径等于 √42+(62)2=5，其表面积等于 4π×25=100π．【知识点】球的表面积与体积14. 【答案】 2√6【知识点】直观图15. 【答案】 A 1C 1∥l【解析】因为 平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，AC ⊂平面ABCD ， 所以 AC ∥平面A 1B 1C 1D 1，又平面 ACB 1 经过直线 AC 与平面 A 1B 1C 1D 1 相交于直线 l ， 所以 AC ∥l ， 又因为 A 1C 1∥AC ， 所以 A 1C 1∥l ．【知识点】直线与平面平行关系的性质、直线与平面平行关系的判定16. 【答案】4【解析】设AB=a，AD=b，AA1=c，则长方体的体积V ABCD−A1B1C1D1=abc=24，三棱锥A−DED1的体积V A−DED1=V E−ADD1=13S△ADD1⋅AB=13×12×AD×DD1×AB=16×bc⋅a=16×24=4.【知识点】棱锥的表面积与体积三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由题可知D1Q∥DB．因为D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，所以D1Q∥平面C1DB．(2) 由题可知D1P∥C1B．因为D1P⊄平面C1DB，C1B⊂平面C1DB，所以D1P∥平面C1DB．由（1）知，D1Q∥平面C1DB，又D1Q∩D1P=D1，所以平面D1PQ∥平面C1DB．【知识点】平面与平面平行关系的判定、直线与平面平行关系的判定18. 【答案】(1) 记AC∩BD=O，连接PO，因为底面 ABCD 是菱形，所以 BD ⊥AC ，O 是 BD ，AC 的中点， 因为 PB =PD ， 所以 PO ⊥BD ， 因为 AC ∩PO =O ， 所以 BD ⊥平面APC ， 又因为 BD ⊂平面BPD ，所以 平面APC ⊥平面BPD ．(2) 如图，以 O 为原点，OA ，OB ，OP 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立如图所示的空间坐标系， 则 A(√3,0,0)，D (0,−1,0)，P (0,0,1)，C(−√3,0,0,)，所以 DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0)， 设 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) 是平面 APD 的法向量，则 {DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0⇒{√3x 1+y 1=0,y 1+z 1=0, 令 y 1=−√3，得 n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√3)，同理可得平面 PCD 的法向量 n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−√3)，所以 cos ⟨n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√3)×√3+(−√3)×√3√7×√7=−57，由图形可知二面角 A −PD −C 为钝二面角， 所以二面角 A −PD −C 的余弦值为 −57．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、平面与平面垂直关系的判定、二面角19. 【答案】(1) 在 △AOC 中，AO ⊥OC ， 因为 OB ⊥OC ，且 AO ∩OB =O ， 所以 OC ⊥平面AOB ， 又 OC ⊂平面COD ，所以 平面COD ⊥平面AOB ．(2) 如图建立空间直角坐标系 O −xyz ， 因为 D 为 AB 的中点，所以 O (0,0,0)，A (0,0,2)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，D (0,12,1)，所以 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−12,1)， 设 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) 为平面 OCD 的法向量，所以 {n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {x 1=0,12y 1+z 1=0, 令 z 1=1，则 y 1=−2，所以 n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1) 是平面 BCD 的一个法向量， 设 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) 为平面 OCD 的法向量， 所以 {n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {x 2−y 2=0,−12y 2+z 2=0, 令 z 2=1，则 x 2=2，y 2=2，所以 n 2⃗⃗⃗⃗ =(2,2,1) 是平面 OCD 的一个法向量，所以 cos 〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 〉=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√02+(−2)2+12⋅√22+22+12=−√55， 所以二面角 B −CD −O 的余弦值为 √55． (3) 解法一：因为 OC ⊥平面AOB ，所以 ∠CDO 为 CD 与平面 AOB 所成的角， 因为 OC =1，所以点 O 到直线 AB 的距离最小时，∠CDO 的正弦值最大， 即当 OD ⊥AB 时，∠CDO 的正弦值最大， 此时 OD =2√55， 所以 CD =3√55， 所以 sin∠CDO =√53． 解法二：设 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈[0,1])， 所以 D (0,λ,2−2λ)．CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,λ,2−2λ)，平面 AOB 的法向量 n ⃗ =(1,0,0)，所以 sinθ=∣∣n ⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣n ⃗ ∣∣∣∣CD⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√5λ2−8λ+5=√5(λ−45)2+95，所以当 λ=45 时，CD 与平面 AOB 所成的角最大，sinθ=√53． 【知识点】二面角、平面与平面垂直关系的判定、线面角20. 【答案】(1) 如图，取 BB 1 的中点 E ，连接 AE ，EH ． 因为 H 为 BQ 的中点， 所以 EH ∥B 1Q ．在平行四边形 AA 1B 1B 中，P ，E 分别为 AA 1，BB 1 的中点， 所以 AE ∥PB 1．又 EH ∩AE =E ，PB 1∩B 1Q =B 1， 所以 平面EHA ∥平面B 1QP ． 因为 AD ⊂平面EHA ， 所以 AD ∥平面B 1PQ ．(2) 如图，连接 PC 1，AC 1，因为四边形 A 1C 1CA 为菱形，∠C 1A 1A =60∘， 所以 AA 1=AC 1=A 1C 1=4， 即 △AC 1A 1 为等边三角形． 因为 P 为 AA 1 的中点， 所以 PC 1⊥AA 1．因为 平面ACC 1A 1⊥平面ABB 1A 1，平面ACC 1A 1∩平面ABB 1A 1=AA 1，PC 1⊂平面ACC 1A 1， 所以 PC 1⊥平面ABB 1A 1．在平面 ABB 1A 1 内过点 P 作 PR ⊥AA 1 交 BB 1 于 R ．以 PR ，PA 1，PC 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Pxyz ，则 P (0,0,0)，A 1(0,2,0)，A (0,−2,0)，C 1(0,0,2√3)，C(0,−4,2√3)．设 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(0,−2,2√3)，λ∈(0,1]（当 λ=0 时，平面 B 1PQ 即平面 ABB 1A 1，不符合题意），所以 Q(0,−2(λ+1),2√3λ)． 所以 PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2(λ+1),2√3λ)． 因为 A 1B 1=AB =2，∠B 1A 1A =60∘， 所以 B 1(√3,1,0)， 所以 PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)．设平面 PQB 1 的法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z )，则 {m ⃗⃗ ⋅PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,m ⃗⃗ ⋅PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,所以 {−2(λ+1)y +2√3λz =0,√3x +y =0,令 x =1， 则 y =−√3，z =−λ+1λ，所以平面 PQB 1 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(1,−√3,−λ+1λ)．设平面 AA 1C 1C 的法向量为 n ⃗ =(1,0,0)， 二面角 B 1−PQ −C 1 的平面角为 θ， 则cosθ=∣m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣m⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣=√1+3+(−λ)2=√1313.所以 λ=12 或 λ=−14（舍）， 所以 AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 Q(0,−3,√3)， 又 B(√3,−3,0)，所以 QB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−√3)， 所以 ∣QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√3+3=√6． 又 ∣B 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√22， 所以 BQ 2+BB 12=B 1Q 2， 所以 ∠QBB 1=90∘．连接 BP ，设点 P 到平面 BQB 1 的距离为 ℎ， 则 13×12×4×√3×√3=13×12×4×√6⋅ℎ．所以 ℎ=√62， 即点 P 到平面 BQB 1 的距离为√62． 【知识点】直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角21. 【答案】连接 BD 交 AC 于 G ，连接 FG ．因为 F ，G 分别为 BE ，BD 的中点， 所以 FG ∥DE ，因为 FG ⫋平面ACF ，DE ⊄面ACF ， 所以 DE ∥面ACF ．【知识点】直线与平面平行关系的判定22. 【答案】① EF ⊥平面BDD 1② EF ⊥DE③ DE ⊥BD 1 ④线线平行 ⑤线面平行【知识点】直线与平面垂直关系的判定、直线与直线的位置关系、直线与平面平行关系的判定、直线与平面垂直关系的性质。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(26)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷3（共22题）一、选择题（共10题）1. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12，甲获胜的概率是 13，则甲不输的概率为 ( )A ． 56B ． 25C ． 16D ． 132. 已知 a ⃗，b ⃗⃗ 的夹角为 120∘，且 ∣a ⃗∣=2，∣∣b ⃗⃗∣∣=1，则 a ⃗⋅b ⃗⃗= ( ) A ． −32B ． −1C ． 1D ． 323. 已知向量 a ⃗=(1,2)，A (6,4)，B (4,3)，b ⃗⃗ 为向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量 a ⃗ 上的投影向量，则 ∣b ⃗⃗∣= ( ) A ．4√55B ． 1C ． √5D ． 44. 经检验，某厂的产品合格率为 98%，估算该厂 8000 件产品中次品的件数为 ( ) A ． 7840B ． 160C ． 16D ． 7845. 若圆台下底面半径为 4，上底面半径为 1，母线长为 3√2，则其体积为 ( ) A ． 15πB ． 21πC ． 25πD ． 63π6. 如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取 A ，B 两点，从 A ，B 两点测得建筑物顶端的仰角分别为 30∘，45∘，且 A ，B 两点间的距离为 60 m ，则该建筑物的高度为 ( )A ． (30+30√3) mB ． (30+15√3) mC ． (15+30√3) mD ． (15+15√3) m7. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为 ( ) A ． 0.3B ． 0.4C ． 0.6D ． 0.78. 惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己 1 至 8 月的月平均通话时间，其中有 6 个月的月平均通话时间分别为 520，530，550，610，650，660（单位：分钟），有2个月的数据未统计出来．根据以上数据，该教师这8个月的月平均通话时间的中位数大小不可能是( )A．580B．600C．620D．6409.设a⃗，b⃗⃗为非零向量，则“∣∣a⃗+b⃗⃗∣∣=∣a⃗∣+∣∣b⃗⃗∣∣”是“a⃗与b⃗⃗共线”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10.给出下面四个命题：∈R，则z∈R；p1：若复数z满足1zp2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2；p4：若复数z∈R，则z∈R．其中的真命题是( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4二、填空题（共6题）11.已知a⃗，b⃗⃗为单位向量，且a⃗⋅b⃗⃗=0，若c⃗=2a⃗−√5b⃗⃗，则cos⟨a⃗,c⃗⟩=．时，z100+z50+1的值等于．12.当z=√213.在△ABC中，已知A=60∘，B=45∘，BC=3，则AC=．14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A:B:C=1:2:3，a=1，则a−2b+c=．sinA−2sinB+sinC15.判断下列说法是否正确．（1）若a和b是异面直线，a∥c，则b和c也是异面直线．( )（2）垂直于同一条直线的两条直线平行．( )（3）两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线．( )（4）经过直线外一点有无数条直线和这条直线垂直．( )（5）若a和b，a和c都是异面直线，并且它们所成角相等，那么b∥c．( )16.化简：3e1⃗⃗⃗⃗+5e2⃗⃗⃗⃗−(4e1⃗⃗⃗⃗−6e2⃗⃗⃗⃗)=．三、解答题（共6题）=bsinA．17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A+C2(1) 求B；(2) 若△ABC为锐角三角形，且a=2，求△ABC面积的取值范围．18.智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间．某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机的时间（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示，其分组是(0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]．(1) 根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是多少分钟．（精确到整数）(2) 估计这500名手机使用者平均每天使用手机多少分钟．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）(3) 在抽取的100名手机使用者中，从每天使用手机的时间在(20,40]和(40,60]的手机使用者中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，再从研究小组中选出2名组长，求这2名组长分别选自(20,40]和(40,60]的概率．19.在复数范围内解方程x2+6x+10=0．20.一次数学测验中，全班N名学生数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110∼120的学生数有14人．(1) 求总人数N和分数在120∼125的人数n；(2) 利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数，平均数各是多少？21. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角 A ，B ，C 的对边，且 b 2−2√33bcsinA +c 2=a 2．(1) 求角 A 的大小；(2) 若 b =2，c =3，求 a 和 sin (2B −A ) 的值．22. 如图，已知在 △OCB 中，A 是 CB 的中点，D 是将 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分成 2:1 一个内分点，DC 与 OA 交于点 E ，设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗．(1) 用 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 表示向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； (2) 若 OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求实数 λ 的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【解析】因为甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．所以根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率 P =13+12=56．故选：A ．【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】B【解析】因为 a ⃗，b ⃗⃗ 的夹角为 120∘，且 ∣a ⃗∣=2，∣∣b ⃗⃗∣∣=1，所以 a ⃗⋅b ⃗⃗=∣a ⃗∣∣∣b ⃗⃗∣∣⋅cos120∘=2×1×(−12)=−1． 故选：B ．【知识点】平面向量的数量积与垂直3. 【答案】A【知识点】平面向量数量积的坐标运算4. 【答案】B【解析】该厂产品的不合格率为 2%，按照概率的意义，8000 件产品中次品的件数约为 8000×2%=160． 【知识点】频率与概率5. 【答案】B【解析】圆台下底面半径 R =4，上底面半径 r =1，母线长 l =3√2， 则圆台的高 ℎ=√l 2−(R −r )2=√(3√2)2−(4−1)2=3，所以圆台的体积 V =13π(r 2+R 2+Rr )h =π3×(1+16+4)×3=21π．故选B ．【知识点】圆台的表面积与体积6. 【答案】A【解析】在 △PAB 中，∠PAB =30∘，∠APB =15∘，AB =60 m ， sin15∘=sin (45∘−30∘)=sin45∘cos30∘−cos45∘sin30∘=√6−√24， 由正弦定理，得 PB =ABsin30∘sin15∘=30(√6+√2)m ，所以建筑物的高度为 PBsin45∘=30(√6+√2)×√22=(30+30√3)m ．【知识点】解三角形的实际应用问题、正弦定理7. 【答案】B【解析】某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1−0.45−0.15=0.4． 【知识点】事件的关系与运算8. 【答案】D【解析】当另外两个月的通话时长都小于 530（分钟）时，中位数为 530+5502=540（分钟），当另外两个月的通话时长都大于 650（分钟）时，中位数为610+6502=630（分钟），所以 8 个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为 [540,630]． 【知识点】样本数据的数字特征9. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义、充分条件与必要条件10. 【答案】B【知识点】复数的几何意义、共轭复数二、填空题（共6题） 11. 【答案】 23【解析】 a ⃗⋅c ⃗=a ⃗⋅(2a ⃗−√5b ⃗⃗)=2a ⃗2−√5a ⃗⋅b⃗⃗=2， 因为 c ⃗2=(2a ⃗−√5b ⃗⃗)2=4a ⃗2−4√5a ⃗⋅b ⃗⃗+5b ⃗⃗2=9，所以 ∣c ⃗∣=3， 所以 cos⟨a ⃗,c ⃗⟩=a ⃗⃗⋅c ⃗∣a⃗⃗∣∣c ⃗∣=23．故答案为：23．【知识点】平面向量的数量积与垂直12. 【答案】 −i【知识点】复数的乘除运算13. 【答案】 √6【解析】由正弦定理得：BC sinA =ACsinB ， AC =BCsinB sinA=3×√22√32=√6．【知识点】正弦定理14. 【答案】 2【解析】因为 A:B:C =1:2:3，A +B +C =180∘， 所以 A =30∘，B =60∘，C =90∘， 因为 asinA =bsinB =csinC =1sin30∘=2， 所以 a =2sinA ，b =2sinB ，c =2sinC ， 所以a−2b+c sinA−2sinB+sinC =2．【知识点】正弦定理15. 【答案】 × ； × ； √ ； √ ； ×【知识点】直线与直线的位置关系16. 【答案】 −e 1⃗⃗⃗⃗+11e 2⃗⃗⃗⃗【知识点】平面向量的数乘及其几何意义三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) asinA+C 2=bsinA ，由正弦定理 sinAsinA+C 2=sinBsinA ．因为 A ，B ，C 是 △ABC 的内角，sinA ≠0， 所以 sin A+C 2=sinB =sin (π−B )=sin (A +C )， 所以 sinA+C 2=2sinA+C 2cosA+C 2，因为 0<A +C <π， 所以 0<A+C 2<π2．所以 sinA+C 2≠0，cosA+C 2=12，A+C 2=π3，所以 A +C =2π3，B =π−(A +C )=π−2π3=π3(2) 由正弦定理得 asinA =bsinB =csinC =2sinA ，所以 c =2sinC sinA，由三角形内角和知 A +C =120∘， 所以 C =120∘−A ， 所以 c =2sin (120∘−A )sinA=√3tanA +1，又 △ABC 为锐角三角形， 所以 120∘−A <90∘ 且 A <90∘， 即 30∘<A <90∘， 又 S △ABC =12acsinB =12ac ×√32=√32c =√32×(√3tanA+1)，30∘<A <90∘，因为 30∘<A <90∘， 所以 tanA >√33， 得√3tanA<3，即 1<√3tanA+1<4， 所以 S △ABC =√32×(√3tanA+1)∈(√32,2√3)． 【知识点】正弦定理18. 【答案】(1) 设中位数为 x ，则 0.0025×20+0.0100×20+0.0150×(x −40)=0.5， 解得 x =1703≈57．所以这 500 名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是 57 分钟．(2) 估计这 500 名手机使用者平均每天使用手机的时间为 0.05×10+0.2×30+0.3×50+0.2×70+0.25×90=58（分钟）．(3) 设每天使用手机的时间在 (20,40] 内抽取的两人分别为 a ，b ，在 (40,60] 内抽取的三人分别为 x ，y ，z ，则从五人中选出两人共有以下 10 种情况：(a,b )，(a,x )，(a,y )，(a,z )，(b,x )，(b,y )，(b,z )，(x,y )，(x,z )，(y,z )，两名组长分别选自 (20,40] 和 (40,60] 的情况共有以下 6 种：(a,x )，(a,y )，(a,z )，(b,x )，(b,y )，(b,z )， 所以所求概率 P =610=35．【知识点】样本数据的数字特征、古典概型19. 【答案】因为 x 2+6x +10=x 2+6x +9+1=(x +3)2+1，所以 (x +3)2=−1， 又因为 i 2=−1， 所以 (x +3)2=i 2，所以x+3=±i，即x=−3±i．【知识点】实系数一元二次方程（沪教版）20. 【答案】(1) 分数在110∼120内的学生的频率为P1=(0.04+0.03)×5=0.35，所以该班总人数为N=140.35=40．分数在120∼125内的学生的频率为：P2=1−(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.10，分数在120∼125内的人数为n=40×0.10=4．(2) 由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为105+1102=107.5．设中位数为a，因为0.01×5+0.04×5+0.05×5=0.50，所以a=110．所以众数和中位数分别是107.5，110．平均数为[97.5×0.01+102.5×0.04+107.5×0.05+112.5×0.04+117.5×0.03+122.5×0.02+127.5×0.01]×5=111．【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征21. 【答案】(1) 由已知，得：b2−2√33bcsinA+c2=a2，由余弦定理，得：b 2+c2−a22bc=√33sinA，cosA=√33sinA，即tanA=√3，又A∈(0,π)，所以A=π3．(2) a2=b2+c2−2bc⋅cosA，所以a2=4+9−2×2×3×12=7，所以a=√7．又asinA =bsinB，所以√7√32=2sinB，所以sinB=√217，因为b<a，所以B∈(0,π3)，所以cosB=√1−sin2B=2√77．所以sin2B=2sinBcosB=47√3，cos2B=17，所以sin(2B−A)=sin2BcosA−cos2BsinA=47√3×12−17×√32=3√314.【知识点】余弦定理、正弦定理22. 【答案】(1)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=2OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−b⃗⃗. DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−b ⃗⃗−23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−53b ⃗⃗. (2)EC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−b⃗⃗−λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2−λ)a ⃗−b⃗⃗. DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−53b⃗⃗， 因为 D ，E ，C 三点共线，故设 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即 (2−λ)a ⃗−b ⃗⃗=x (2a ⃗−53b⃗⃗)， 因为 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 不共线，由平面向量基本定理，{2−λ=2x,−1=−53x ⇒{x =35,λ=45,故 λ=45．【知识点】平面向量的分解、平面向量的数乘及其几何意义。
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (34)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1. 下列问题中是古典概型的是 ( ) A ．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B ．掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出 1 点的概率C ．在区间 [1,4] 上任取一数，求这个数大于 1.5 的概率D ．同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是 5 的概率2. 已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为 ( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．13. 设事件 A ，B ，已知 P (A )=15，P (B )=13，P (A ∪B )=815，则 A ，B 之间的关系一定为 ( ) A ．两个任意事件 B ．互斥事件 C ．非互斥事件 D ．对立事件4. 我省高考从 2021 年开始实行 3+1+2 模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理 4 个科目中选择两科，今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科，假如她们首选科目都是历史，再选科目她们选择每个科目的可能性均等，且她俩的选择互不影响，则她们的选科至少有一科不相同的概率为 ( ) A ． 16B ． 12C ． 56D ． 345. 《 西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦 》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过 《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( ) A ． 0.5B ． 0.6C ． 0.7D ． 0.86. 在一对事件 A ，B 中，若 A 是必然事件，B 是不可能事件，则 A 和 B ( ) A ．是互斥事件，但不是对立事件 B ．是对立事件，但不是互斥事件 C ．是互斥事件，也是对立事件D ．是互斥事件7.从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为( )A．13B．12C．23D．358.从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个，下列事件中的必然事件是( )A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品9.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．其中，为互斥事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③10.某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的概率为( )A．25B．815C．35D．23二、填空题（共6题）11.已知集合A={−2,−1,−12,13,12,1,2,3}，任取k∈A，则幂函数f(x)=x k为偶函数的概率为．（结果用数值表示）12.在边长为2的正方形当中，有一块封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为．13.记事件A={某人射击一次,中靶}，且P(A)=0.92，则A的对立事件是，它发生的概率是．14.思考辨析判断正误．不可能事件与任何一个事件相互独立．( )15.判断下列结论是否正确．（请在括号中打“√”或“×”）（1）事件发生的频率与概率是相同的．( )（2）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )（3）两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )（4）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．( )16.古典概型．（1）定义：如果一个概率模型满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有个；②每个基本事件出现的可能性．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．（2）计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为P(A)=A包含的基本事件的个数．基本事件的总数三、解答题（共6题）17.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清（用x表示），已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．(1) 根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；(2) 根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；(3) 经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据（即剔除x）健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结果精确到0.1）．18.某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110∼120的学生数有14人．(1) 求总人数N和分数在120∼125的人数n；(2) 利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？(3) 现在从比分数在115∼120名学生（男女生比例为1:2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．19.某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者某年网上购物金额（单位：万元）均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额（单位：元）与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]发放优惠券金额50100150200(1) 求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；(2) 以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．20.随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称app）获取新闻资讯．为了解用户对某款新闻类app的满意度，随机调查了300名用户，调研结果如下表（单位：人）．青年人中年人老年人满意6070x一般5525y不满意25510(1) 从所有参与调研的人中随机选取1人，估计此人“不满意”的概率；(2) 从参与调研的青年人和中年人中各随机选取1人，估计恰有1人“满意”的概率；(3) 现需从参与调研的老年人中选择6人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各取2人，这种抽样是否合理？说明理由．21.使用一种仪器测量一个高为70个单位长的建筑物50次，所得的数据如下表：测量值68个69个70个71个72个单位长单位长单位长单位长单位长次数51510155(1) 根据以上数据，求测量50次的平均值．(2) 若用该仪器再测量此建筑物一次，试估计测量值为70个单位长的概率．22.连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．(1) 写出这个试验的基本事件；(2) 求出“至少有两枚正面向上”这一事件的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个．故选D．【知识点】古典概型2. 【答案】B【解析】设3件合格品为A1，A2，A3，2件次品为B1，B2，从5件产品中任取2件，基本事件为(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共10个．恰有1件次品的有6个，所以P=610=0.6．【知识点】古典概型3. 【答案】B【解析】因为P(A)+P(B)=15+13=815=P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．【知识点】事件的关系与运算4. 【答案】C【解析】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有：{化学,生物}，{化学,政治}，{化学,地理}，{生物,政治}，{生物,地理}，{政治,地理}共6种选法．由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N=6×6=36种，其中两人的选科完全相同的选法有6种，所以她们的选科至少有一科不相同的概率为P=1−636=56．【知识点】古典概型5. 【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90−80+60=70，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100=0.7．【知识点】频率与概率6. 【答案】C【知识点】事件的关系与运算7. 【答案】B【知识点】古典概型8. 【答案】D【知识点】事件的关系与运算9. 【答案】C【解析】由互斥事件的定义可知，③正确，只有③的两个事件不会同时发生．【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】C【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】0.25【知识点】古典概型、指数函数及其性质12. 【答案】125【解析】设阴影区域的面积为S，则S4≈60100，所以S≈125．【知识点】频率与概率13. 【答案】{某人射击一次,未中靶}；0.08【解析】事件A={某人射击一次,中靶}，则A的对立事件是{某人射击一次,未中靶}．因为P(A)=0.92，所以P(A)=1−P(A)=0.08．【知识点】事件的关系与运算14. 【答案】√【知识点】事件的相互独立性15. 【答案】×；√；×；×【知识点】频率与概率16. 【答案】有限；相等【知识点】古典概型三、解答题（共6题）17. 【答案】×(80+82)=81．(1) 根据茎叶图，计算样本中男职工健康指数的众数是76，中位数是12(2) 根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，=3（人），记为a，b，c，女职工2人，记为D，E，男职工抽5×1830从这5人中随机抽取2人，所有的基本事件是ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE，共10种，抽取的2人都是男职工的事件为ab，ac，bc，．故所求的概率为P=310(3) 由题意知81×18+11×69+x=30×76.2，解得x=69．所以样本中所有女职工的健康指数平均数为xʹ=(11×69+69)÷12=69，×[11×190+(69−69)2]≈174.2．方差为sʹ2=112【知识点】样本数据的数字特征、茎叶图、古典概型18. 【答案】(1) 分数在110∼120内的学生的频率为P1=(0.04+0.03)×5=0.35，=40，所以该班总人数为N=140.35分数在120∼125内的学生的频率为：P2=1−(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.10，分数在120∼125内的人数为n=40×0.10=4．(2) 由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，=107.5，即为105+1102设中位数为a，因为0.01×5+0.04×5+0.05×5+0.50，所以a=110，所以众数和中位数分别是107.5，110．(3) 由题意分数在115∼120内有学生40×(0.03×5)=6名，其中男生有2名．设女生为A1，A2，A3，A4，男生为B1，B2，从6名学生中选出2名的基本事件为：(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，(A2,A4)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,A4)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,B1)，(A4,B1)，(A3,B1)，(A4,B2)，(A3,B1)，(B1,B2)共15种，其中至多有1名男生的基本事件共14种，所以所求的概率为P=14．15【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征、古典概型19. 【答案】(1) 购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x0.3≤x<0.50.5≤x<0.60.6≤x<0.80.8≤x≤0.9y50100150200频率0.40.30.280.02所以这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为：50×400+100×300+150×280+200×201000=96（元）．(2) 由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系，有P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=(2+0.8)×0.1=0.28，P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.2×0.1=0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=0.28+0.02=0.3．【知识点】样本数据的数字特征、事件的关系与运算、频率分布直方图20. 【答案】(1) 从所有参与调研的人共有300人，不满意的人数是25+5+10=40．记事件D为“从所有参与调研的人中随机选取1人此人不满意”，则所求概率为P(D)=40300=215．(2) 记事件M为“从参与调研的青年人中随机选取1人，此人满意”，则P(M)=60140=37；记事件N为“从参与调研的中年人中随机选取1人，此人满意”，则P(N)=70100=710．则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取1人，恰有1人满意”的概率为P(MN+MN)=P(M)⋅P(N)+P(M)⋅P(N)=37×(1−710)+(1−37)×710=3770.(3) 这种抽样不合理．理由：参与调研的60名老年人中不满意的人数为20，满意和一般的总人数为x+y=50，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取2人不合理．合理的抽样方法是采用分层抽样，根据x，y，10的具体数值来确定抽样数值．【知识点】古典概型、独立事件积的概率、分层抽样21. 【答案】(1) 设平均值为m，则m=68×5+69×15+70×10+71×15+72×550=70．(2) 用频率估计概率：P=1050=15．【知识点】频率与概率、样本数据的数字特征22. 【答案】(1) 连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．这个试验的基本事件有8个，分别为：{正正正}，{正反正}，{正正反}，{反正正}，{反反正}，{反正反}，{正反反}，{反反反}；(2) “至少有两枚正面向上”这一事件包含的基本事件有4个，分别为：{正正正}，{正反正}，{正正反}，{反正正}，所以“至少有两枚正面向上”这一事件的概率P=48=12．【知识点】古典概型、随机事件的概念。
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (50)
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能2.下列说法正确的是( )A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行3.截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台4.下列图形中不一定是平面图形的是( )A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形5.如图的简单组合体是由组合而成.A．棱柱、棱台B．棱柱、棱锥C．棱锥、棱台D．棱柱、棱柱6.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A．是棱台B．是圆台C．不是棱柱D．是棱锥7.下面是一些命题的叙述语（A，B表示点，a表示直线α，β表示平面），其中命题和叙述方法都正确的是( )A．若A∈α，B∈α，则AB∈αB．若a∈α，a∈β，则α∩β=aC．若A∈α，a⫋α，则A∈αD．若A∉a，a⫋α，则A∉α8.下列四个命题中真命题是( )A．同垂直于一直线的两条直线互相平行B．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个9.两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )A．1B．2C．3D．410.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是( )A．A∈l，l∉αB．A⊂l，l⊄αC．A⊂l，l∈αD．A∈l，l⊂α二、填空题（共6题）11.几何体体积说明棱柱V棱柱=SℎS为棱柱的 ,ℎ为棱柱的 棱锥V棱锥=13SℎS为棱锥的 ,ℎ为棱锥的 棱台V棱台=13(Sʹ+√SʹS+S)ℎSʹ,S分别为棱台的 ,ℎ为棱台的 12.如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为．13.思考辨析 判断正误棱锥的体积等于底面面积与高之积．14.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱BB1的中点，N是棱AB的中点，则∠NMC1的大小是．15.思考辨析，判断正误．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．16.思考辨析，判断正误在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变．( )三、解答题（共6题）17.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．18.如图是长方体的表面展开图，在这个长方体中：(1) 直线DM与平面ABQP的位置关系是怎样的？(2) 平面DCMN与平面ERFG的位置关系是怎样的？(3) 线段BC的长度是点C到平面APQB的距离吗？19.有4条长为2的线段和2条长为a的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三棱锥．问a为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？20.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系．(1) 点P与直线AB；(2) 点C与直线AB；(3) 点M与平面AC；(4) 点A1与平面AC；(5) 直线AB与直线BC；(6) 直线AB与平面AC；(7) 平面A1B与平面AC．21.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？22.观察（1），（2），（3）三个图形，说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表示各个平面．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】分别在两个平面的两条直线平行、相交、异面都可能，可将两条直线放在长方体里进行研究．【知识点】直线与直线的位置关系2. 【答案】D【解析】等腰三角形的两底角相等，但在直观图中不相等，故A错误；正方形的直观图是平行四边形，正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，故B，C错误．【知识点】直观图3. 【答案】C【解析】由球的结构特征知该几何体是球．【知识点】球的结构特征4. 【答案】C【知识点】平面的概念与基本性质5. 【答案】B【解析】该简单组合体的上面是一个棱锥，下面是一个棱柱．【知识点】组合体6. 【答案】D【解析】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；对D，符合棱锥的定义，正确．【知识点】棱台的结构特征、棱锥的结构特征、棱柱的结构特征7. 【答案】C【知识点】平面的概念与基本性质8. 【答案】C【知识点】棱柱的结构特征、直线与直线的位置关系、球的结构特征9. 【答案】B【解析】设两球半径分别为R1，R2，且R1>R2，则4π(R12−R22)=48π，2π(R1+R2)=12π，所以R1−R2=2．【知识点】球的表面积与体积10. 【答案】D【解析】点A在直线l上，表示为A∈l，l在平面α内，表示为l⊂α．【知识点】平面的概念与基本性质二、填空题（共6题）11. 【答案】底面积；高；底面积；高；上、下底面面积；高【知识点】棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积、棱台的表面积与体积12. 【答案】4:9【解析】因为V1:V2=8:27=R13:R23，所以R1:R2=2:3，所以S1:S2=R12:R22=4:9．【知识点】球的表面积与体积13. 【答案】×【知识点】棱锥的表面积与体积14. 【答案】90°【解析】通过计算可知NC12=NM2+MC12，故∠NMC1=90∘．如图．【知识点】棱柱的结构特征15. 【答案】√【知识点】空间中直线与直线平行16. 【答案】×【知识点】直观图三、解答题（共6题）17. 【答案】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．【知识点】组合体18. 【答案】(1) 根据展开图还原长方体，其示意图如图所示， 则 直线DM ∥平面ABQP ．(2) 平面 DCMN 垂直于平面 ERFG ．(3) 线段 BC 的长度是点 C 到平面 APQB 的距离．【知识点】平面与平面的位置关系、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、直线与平面的位置关系19. 【答案】构成三棱锥，这 6 条线段作为棱有两种摆放方式．（1）2 条长为 a 的线段放在同一个三角形中．如图所示，不妨设底面 BCD 是一个边长为 2 的正三角形．欲使体积达到最大，必有 BA ⊥底面BCD ，且 BA =2，AC =AD =a =2√2， 此时 V =13×√34×22×2=23√3．（2）2 条长为 a 的线段不在同一个三角形中，此时长为 a 的两条线段必处在三棱锥的对棱，不妨设 AD =BC =a ，BD =CD =AB =AC =2． 取 BC 中点 E ，连接 AE ，DE （见下图）．则 AE ⊥BC,DE ⊥BC ⇒BC ⊥平面AED ，V =13S △AED ⋅BC ， 在 △AED 中，AE =DE =√4−a 24，AD =a ，S △AED =12a √4−a 24−a 24=12a √4−a 22，所以 V =16a 2√4−a 22=16√a 2a 2(16−2a 2)⋅14，由均值不等式 a 2a 2(16−2a 2)≤(163)3， 等号当且仅当 a 2=163时成立，即 a =43√3， 所以此时 V max =16√(163)3⋅14=1627√3．【知识点】棱锥的表面积与体积20. 【答案】(1) 点P∈直线AB．(2) 点C∉直线AB．(3) 点M∈平面AC．(4) 点A1∉平面AC．(5) 直线AB∩直线BC=点B．(6) 直线AB⊂平面AC．(7) 平面A1B∩平面AC=直线AB．【知识点】点、线、面的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、直线与直线的位置关系21. 【答案】①平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b=P．②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β．【知识点】平面与平面平行关系的判定22. 【答案】图（1）表示两个相交的半平面；图（2）表示开口向里的两个相交的半平面；图（3）表示开口向外的两个相交的半平面．【知识点】平面的概念与基本性质。
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (28)
高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷8（共22题）一、选择题（共10题）1.下列命题中正确的是( )A．三点确定一个平面B．垂直于同一直线的两条直线平行C．若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD．若a，b，c是三条直线，a∥b且与c都相交，则直线a，b，c共面2.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．下图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容量约为( )A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm33.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.对于棱锥，下列叙述正确的是( )A．四棱锥共有四条棱B．五棱锥共有五个面C．六棱锥的顶点有六个D．任何棱锥都只有一个底面5.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45∘，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A．12+√22B．1+√22C．1+√2D．2+√26.如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为√3和1的直角三角形，则此几何体的体积为( )A．√33B．1C．√32D．27.下列四个正方体中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是( )A．B．C．D．8.一个圆台上、下底面半径分别为r，R，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )A．2ℎ=1R+1rB．1ℎ=1R+1rC．1r=1R+1ℎD．2R=1r+1ℎ9.已知四棱锥M−ABCD，MA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD+∠BAD=180∘，MA=2，BC= 2√6，∠ABM=30∘．若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A．20πB．22πC．40πD．44π10.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值为( )A．2B．3C．32D．92二、填空题（共6题）11.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为．12.一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为2cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了cm．13.已知圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是．14.已知M，N是三棱锥P−ABC的棱AB，PC的中点，记三棱锥P−ABC的体积为V1，三棱锥N−MBC的体积为V2，则V2V1等于．15.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=√2cm，则三棱锥D1−A1BD的外接球的体积为．16.思考辨析，判断正误．异面直线所成角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点．三、解答题（共6题）17.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1和BCC1B1都是正方形，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，D，E分别为BB1，AC的中点．(1) 求证：BE∥平面A1CD；(2) 求直线B1E与平面A1CD所成角的正弦值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，AC与BD交于点O，E，F分别为AB，PC的中点．(1) 求证：平面PAD⊥平面PCD；(2) 求证：EF∥平面PAD；(3) 求证：AF⊥平面POD．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90∘，AA1=2，M，N分别是棱AA1，A1B1的中点．(1) 求BM的长；(2) 求BA1与CB1所成角的余弦值；(3) 求证：BA1⊥C1N．20.用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1) 三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC;(2) 平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．(1) 求证：平面PCD⊥平面PAD；(2) 在侧棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD．若存在，确定点E的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．22.直三棱柱底面各边的比为17:10:9，侧棱长为16cm，全面积为1440cm2，求底面各边之长．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【知识点】平面的概念与基本性质2. 【答案】B【知识点】圆锥的表面积与体积3. 【答案】A【解析】因为b⊥m，所以当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．【知识点】平面与平面垂直关系的性质4. 【答案】D【解析】对于A，四棱锥共有八条棱，故A错误；对于B，五棱锥共有六个面，故B错误；对于C，六棱锥的顶点只有一个，故C错误；对于D，根据棱锥的结构特征，知D正确．【知识点】棱锥的结构特征5. 【答案】D【解析】将直观图还原成平面图形如图所示，则平面图形是上底长为1，下底长为1+√2，高为2的直角梯形，其面积为2+√2．【知识点】直观图6. 【答案】A【知识点】棱锥的表面积与体积、由三视图还原空间几何体7. 【答案】B【解析】如图，在B中连接MN，PN，因为A，B，C为正方体所在棱的中点，所以AB∥MN，AC∥PN，因为MN∥DE，PN∥EF，所以AB∥DE，AC∥EF，因为AB∩AC=A，DE∩EF=E，AB,AC⊂平面ABC，DE,EF⊂平面DEF，所以平面ABC∥平面DEF．【知识点】平面与平面平行关系的判定8. 【答案】A【解析】设圆台的母线长为l，根据题意可得圆台的上底面面积为S上=πr2，圆台的下底面面积为S下=πR2，因为圆台的侧面面积等于两底面面积之和，所以侧面积S侧=π(r2+R2)=π(r+R)l，解之得l=r 2+R2r+R，因为l=√ℎ2+(R−r)2，所以r 2+R2r+R=√ℎ2+(R−r)2，所以(r 2+R2r+R )2=ℎ2+(R−r)2，所以2ℎ=1R+1r．【知识点】圆台的表面积与体积9. 【答案】C【解析】因为∠BCD+∠BAD=180∘，所以A，B，C，D四点共圆，∠ADC=∠ABC=90∘．由tan30∘=2AB，得AB=2√3，所以 AC =√(2√3)2+(2√6)2=6． 设 AC 的中点为 E ，MC 的中点为 O ， 因为 MA ⊥平面ABCD ，所以 OE ⊥平面ABCD ．易知点 O 为四面体 MACD 外接球的球心，所以 OC =√(62)2+(22)2=√10，S 球=4π⋅OC 2=40π． 故选C ．【知识点】球的表面积与体积10. 【答案】B【知识点】三视图、棱锥的表面积与体积二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (32+√3)π【知识点】组合体、圆柱的表面积与体积12. 【答案】 83【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积13. 【答案】4πS【解析】设底面半径为 r ，由底面积 S =πr 2 得 r 2=S π，则 S 侧=(2πr )2=4π2r 2=4π2×Sπ=4πS ．【知识点】圆柱的表面积与体积14. 【答案】 14【解析】 M 是 AB 的中点，所以 S △ABC =2S △MBC ，N 是 PC 的中点，所以 ℎ1=2ℎ2，V2V 1=13S △MBC ⋅ℎ213S △ABC ⋅ℎ1=14．【知识点】棱锥的表面积与体积15. 【答案】20√53π cm 3【解析】因为正四棱柱底面为正方形，所以 AB =BC =3，且三棱锥的顶点为这正四棱柱 8 个当中的 4 个，所以两者的外接球为同一个， 设球的半径为 R ，则 2R =√9+9+2=√20=2√5， 所以 R =√5，所以球的体积为 V =43πR 3=43π×5√5=20√5π3cm 3．【知识点】组合体、球的表面积与体积16. 【答案】 √【知识点】异面直线所成的角三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 取 A 1C 的中点 F ，连接 DF ，EF ． 因为 E ，F 分别为 AC ，A 1C 的中点， 所以 EF ∥AA 1，且 EF =12AA 1．因为四边形 ABB 1A 1 是正方形， 所以 BB 1∥AA 1，且 BB 1=AA 1， 所以 EF ∥BB 1 且 EF =12BB 1， 又因为 D 为 BB 1 的中点， 所以 EF ∥BD 且 EF =BD ， 所以四边形 EFDB 为平行四边形， 所以 BE ∥DF ，又 BE ⊄平面A 1CD ，DF ⊂平面A 1CD ，所以 BE ∥平面A 1CD ．(2) 由题意知 BA ，BC ，BB 1 两两垂直，以 B 为原点，BC ，BB 1，BA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 BA =BC =BB 1=2，则 B 1(0,2,0)，E (1,0,1)，C (2,0,0)，D (0,1,0)，A 1(0,2,2)．所以 B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)，设平面 A 1CD 的法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z )，则 {A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =0,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =0,即 {2x −2y −2z =0,−2x +y =0,令 x =1，得 m ⃗⃗ =(1,2,−1)，设直线 B 1E 与平面 A 1CD 所成角为 θ，则 sinθ=∣∣cos⟨B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗ ⟩∣∣=∣∣∣B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ∣∣B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣m⃗⃗⃗ ∣∣∣∣∣=∣∣√6×√6∣∣=23， 所以直线 B 1E 与平面 A 1CD 所成角的正弦值为 23．【知识点】线面角、直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题18. 【答案】(1) 因为 PA ⊥平面ABCD ， 所以 PA ⊥CD ．因为 CD ⊥AD ，AD ∩PA =A ， 所以 CD ⊥平面PAD ． 因为 CD ⊂平面PCD ，所以 平面PAD ⊥平面PCD ．(2) 取 PD 中点 G ，连接 FG ，AG ， 因为 F 为 PC 的中点所以 FG ∥CD ，且 FG =12CD ．因为 E 为 AB 的中点，底面 ABCD 为正方形， 所以 AE ∥CD ，且 AE =12CD ．所以 FG ∥AE ，且 FG =AE ． 所以四边形 AEFG 为平行四边形． 所以 EF ∥AG ．因为 EF ⊄平面PAD 且 AG ⊂平面PAD ， 所以 EF ∥平面PAD ．(3) 在正方形 ABCD 中，OD ⊥AC ， 因为 PA ⊥平面ABCD ， 所以 PA ⊥OD ． 因为 AC ∩PA =A ， 所以 OD ⊥平面PAC ． 所以 OD ⊥AF ．在 △PAC 中，设 PO 交 AF 于 H ． 因为 PA ⊥AC ，且 O ，F 分别为 AC ，PC 的中点， 所以 AF =FC ． 所以 ∠FAC =∠FCA ．设 PA =1，由已知 PA =AB ， 所以 AC =√2．所以 tan∠APO =tan∠ACP =√22． 所以 ∠APO =∠ACP ． 所以 ∠APO =∠ACP ，且 ∠AOP 为公共角，所以 △APO ∽△HAO ．所以 ∠AHO =90∘．所以 AF ⊥PO ．因为 PO ∩OD =O ，所以 AF ⊥平面POD ．【知识点】直线与平面平行关系的判定、平面与平面垂直关系的判定、直线与平面垂直关系的判定19. 【答案】(1) 根据题意，以 C 为坐标原点，分别以 CA ，CB ，CC 1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Cxyz ，如图，依题意得 B (0,1,0),M (1,0,1)，根据空间两点间的距离公式得，∣BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√(1−0)2+(0−1)2+(1−0)2=√3． (2) 由（1）得，A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，则 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3．又 ∣BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√6，∣CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√5，所以 cos 〈BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√3010． (3) 由（1）得，C 1(0,0,2)，N (12,12,2)，所以 C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,0)， 所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12−12+0=0，所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 BA 1⊥C 1N ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的角、空间中直线与直线的垂直、空间线段的长度20. 【答案】(1) 符号语言表示：α∩β∩γ=P ，α∩β=PA ，α∩γ=PB ，β∩γ=PC ．图形表示：如图(2) 符号语言表示：平面ABD ∩平面BDC =BD ，平面ABC ∩平面ADC =AC ．图形表示：如图【知识点】平面与平面的位置关系21. 【答案】(1) 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为AB⊥AD，AB∥CD，所以CD⊥AD，又PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．(2) 当点E是PC的中点时，BE∥平面PAD．证明如下：设PD的中点为F，连接EF，AF，则EF是△PCD的中位线，所以EF∥CD，EF=12CD，又AB∥CD，AB=12CD，所以EF∥AB，EF=AB，所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF，又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的性质22. 【答案】设底面边长为17k，10k，9k（k>0），cosα=(9k)2+(10k)2−(17k)22⋅9k⋅10k =−35，所以S底面=12⋅9k⋅10k⋅sinα=36k2，由题意，(17k+10k+9k)⋅16+2⋅36k2=1440，所以k=2，所以底面三条边长分别为34cm，20cm，18cm．【知识点】棱柱的表面积与体积。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(27)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷2（共22题）一、选择题（共10题）1. 如图，若 O 是平行四边形 ABCD 的中心，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 2，则 3e 2+2e 1 等于 ( )A ． 12AC⃗⃗⃗⃗⃗ B ． 12CD⃗⃗⃗⃗⃗ C ． BC⃗⃗⃗⃗⃗ D ． 12AD ⃗⃗⃗⃗⃗2. 同时抛掷两枚均匀硬币，落地时正面都向上的概率是 ( ) A ． 512B ． 16C ． 13D ． 143. 已知单位向量 a ，b⃗ 的夹角为 60∘，则在下列向量中，与 b ⃗ 垂直的是 ( ) A ． a +2b ⃗ B ． 2a +b ⃗ C ． a −2b ⃗ D ． 2a −b⃗4. 在 △ABC 中，a =2，b =√7，c =3，那么角 B 等于 ( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π125. 复平面内，复数 z =−3+4i 对应的点位于 ( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 如图所示，为了测量 A ，B 两处岛屿间的距离，小明在 D 处观测，A ，B 分别在 D 处的北偏西 15∘ 、北偏东 45∘ 方向，再往正东方向行驶 20 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方向，A 在 C 处的北偏西 60∘ 方向，则 A ，B 两处岛屿间的距离为 ( )A ． 20√6 海里B ． 10√6 海里C ． 10(1+√3) 海里D ． 20 海里7. 设向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a +b ⃗ ∣=√10，∣a −b ⃗ ∣=√6，则 a ⋅b⃗ = ( ) A ． 1B ． 2C ． 3D ． 58.对任意向量a，b⃗,下列关系式中不恒成立的是( )A．(a+b⃗)2=∣a+b⃗∣2B．(a+b⃗)⋅(a−b⃗)=a2−b⃗2C．∣a⋅b⃗∣≤∣a∣⋅∣b⃗∣D．∣a−b⃗∣≤∣∣a∣−∣b⃗∣∣9.锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，设B=2A，则ab的取值范围是( )A．(√33,√22)B．(√2,2)C．(√2,√3)D．(0,2)10.每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生2人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为( )A．35B．25C．15D．310二、填空题（共6题）11.在边长为1的正方形ABCD中，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ ；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c1⃗⃗⃗ ，c2⃗⃗⃗ ，c3⃗⃗⃗ ．若m为(a i⃗⃗⃗ +a j⃗⃗⃗ )⋅(c s⃗⃗⃗ +c t⃗⃗⃗ )的最小值，其中{i,j}⊆{1,2,3}，{s,t}⊆{1,2,3}，则m=．12.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，同时选取两个球，则两个球上的数字为相邻整数的概率为．13.概率的几个性质．（1）范围．任何事件的概率P(A)∈．（2）必然事件的概率．必然事件的概率P(A)=．（3）不可能事件的概率．不可能事件的概率P(A)=．（4）概率加法公式．如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=．（5）对立事件的概率．若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，即有P(A∪B)=．积是．15.已知向量a=(−1,1)，b⃗=(1,3)，则a⋅b⃗=．16.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁则参加奥运会的最佳人选应为．平均数x8.58.78.88.0方差s2 3.5 3.5 2.18.7三、解答题（共6题）17.当实数m为何值时，复数z=m2−8m+15+(m2+3m−28)i在复平面内的对应点：(1) 位于第四象限；(2) 位于实轴负半轴上；(3) 在上半平面内（含实轴）．18.已知a=(1,2)，b⃗=(−2,1)，m⃗⃗ =a+(t+2)b⃗，n⃗=ka+tb⃗(k∈R)．(1) 若t=1，且m⃗⃗ ∥n⃗，求k的值；(2) 若t∈R，且m⃗⃗ ⋅n⃗=5，求证：k≤2．19.如图所示，某船在海上由西向东航行，测得某岛M在A处的北偏东α角方向，前进4km后，测得该岛在B处的北偏东β角方向，已知该岛周围 3.5km范围内有暗礁，现该船继续向东航行．(1) 若α=2β=60∘，则该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险？(2) 当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？20.已知向量a=(1,−2)，b⃗=(−7,−6)，求与a+b⃗同向，且模等于20的向量c．21.已知向量a=(−3,1)，b⃗=(1,−2)，n⃗=a−kb⃗(k∈R)．(1) 若n⃗与向量2a−b⃗垂直，求实数k的值；(2) 若向量c=(1,−1)，且n⃗与向量kb⃗+c平行，求实数k的值．22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+√3asinC−b−c=0．(1) 求A的值；(2) 若a=2，△ABC的面积为√3，求b，c的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 2， 所以 3e 2+2e 1=12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【知识点】平面向量的数乘及其几何意义2. 【答案】D【解析】同时抛掷两枚均匀硬币共有 4 种情况，符合落地时正面都向上有 1 种情况，故同时抛掷两枚均匀硬币，落地时正面都向上的概率是 14．【知识点】古典概型3. 【答案】D【解析】方法一：由题意得 a ⋅b ⃗ =∣a ∣∣∣b ⃗ ∣∣cos60∘=12，b ⃗ 2=∣∣b ⃗ ∣∣2=1．对于A ，(a +2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⋅b⃗ +2b ⃗ 2=12+2=52≠0，故A 错； 对于B ，(2a +b ⃗ )⋅b ⃗ =2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=1+1=2≠0，故B 错； 对于C ，(a −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=12−2=−32≠0，故C 错； 对于D ，(2a −b ⃗ )⋅b ⃗ =2a ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=1−1=0，所以 (2a −b⃗ )⊥b ⃗ ． 方法二：根据已知条件，作出向量 b ⃗ 与A ，B ，C ，D 四个选项对应的向量的位置关系，如图所示，由图易知，只有选项D 满足，故选D ．【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】C【知识点】余弦定理5. 【答案】B【解析】依题意复数 z =−3+4i 对应的点为 (−3,4)， 对应的点在第二象限．【知识点】复数的几何意义6. 【答案】B【解析】连接AB，如图所示．由题意可知CD=20，∠ADC=105∘，∠BDC=45∘，∠BCD=90∘，∠ACD=30∘，所以∠CAD=45∘，∠ADB=60∘．在△ACD中，由正弦定理得ADsin30∘=20sin45∘，所以AD=10√2．在Rt△BCD中，因为∠BDC=45∘，∠BCD=90∘，所以BD=√2CD=20√2．在△ABD中，由余弦定理得AB=√200+800−2×10√2×20√2×cos60∘=10√6（海里）．【知识点】解三角形的实际应用问题7. 【答案】A【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直9. 【答案】A【解析】因为B=2A，所以由正弦定理asinA =bsinB得：ab=sinAsinB=sinAsin2A=sinA2sinAcosA=12cosA，因为B为锐角，即0<B<90∘，且B=2A，所以A为锐角，即30∘<A<45∘，所以√22<cosA<√32，即√2<2cosA<√3，所以√33<12cosA<√22，则ab 的取值范围是(√33,√22)．【知识点】正弦定理10. 【答案】B【知识点】古典概型二、填空题（共6题） 11. 【答案】 −5【解析】不妨记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量为 a 1⃗⃗⃗⃗ ，a 2⃗⃗⃗⃗ ，a 3⃗⃗⃗⃗ 分别为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，以C 为起点，其余顶点为终点的向量为 c 1⃗⃗⃗ ，c 2⃗⃗⃗ ，c 3⃗⃗⃗ 分别为 CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．如图建立坐标系． （1）当 i =1，j =2，s =1，t =2 时，则 (a i ⃗⃗⃗ +a j ⃗⃗⃗ )⋅(c s ⃗⃗⃗ +c t ⃗⃗⃗ )=[(1,0)+(1,1)]⋅[(−1,0)+(−1,−1)]=−5；（2）当 i =1，j =2，s =1，t =3 时，则 (a i ⃗⃗⃗ +a j ⃗⃗⃗ )⋅(c s ⃗⃗⃗ +c t ⃗⃗⃗ )=[(1,0)+(1,1)]⋅[(−1,0)+(0,−1)]=−3；（3）当 i =1，j =2，s =2，t =3 时，则 (a i ⃗⃗⃗ +a j ⃗⃗⃗ )⋅(c s ⃗⃗⃗ +c t ⃗⃗⃗ )=[(1,0)+(1,1)]⋅[(−1,−1)+(0,−1)]=−4；（4）当 i =1，j =3，s =1，t =2 时，则 (a i ⃗⃗⃗ +a j ⃗⃗⃗ )⋅(c s ⃗⃗⃗ +c t ⃗⃗⃗ )=[(1,0)+(0,1)]⋅[(−1,0)+(−1,−1)]=−3；同样地，当 i ，j ，s ，t 取其它值时，(a i ⃗⃗⃗ +a j ⃗⃗⃗ )⋅(c s ⃗⃗⃗ +c t ⃗⃗⃗ )=−5,−4,或 −3．则 (a i ⃗⃗⃗ +a j ⃗⃗⃗ )⋅(c s ⃗⃗⃗ +c t ⃗⃗⃗ ) 的最小值是 −5．【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算12. 【答案】 25【解析】从 5 个球中同时选取 2 个球的基本事件总数有 {1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，共 10 个．记“两个球上的数字为相邻整数”为事件 A ，则事件 A 中含有 4 个基本事件：{1,2}，{2,3}，{3,4}，{4,5}． 所以 P (A )=410=25．【知识点】古典概型13. 【答案】 [0,1] ； 1 ； 0 ； P(A)+P(B) ； P(A)+P(B)=1【知识点】频率与概率14. 【答案】 100π【解析】由题意得截面半径为 r =4，球半径为 R =√r 2+d 2=√42+32=5， 所以 S =4πR 2=100π． 【知识点】球的表面积与体积15. 【答案】 2【解析】因为 a =(−1,1)，b⃗ =(1,3)， 则 a ⋅b ⃗ =−1×1+1×3=2． 【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】丙【解析】因为丙的平均数最大，方差最小． 【知识点】样本数据的数字特征三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 要使点位于第四象限，需满足 {m 2−8m +15>0,m 2+3m −28<0,解得 {m <3或m >5,−7<m <4,所以 −7<m <3．(2) 要使点位于实轴负半轴上，需满足 {m 2−8m +15<0,m 2+3m −28=0,解得 {3<m <5,m =−7或m =4.所以 m =4．(3) 要使点位于上半平面内（含实轴），需满足 m 2+3m −28≥0， 解得 m ≥4 或 m ≤−7． 【知识点】复数的几何意义18. 【答案】(1) 若 t =1，m ⃗⃗ =a +3b ⃗ ，n ⃗ =ka +b ⃗ (k ∈R )， 又因为 m ⃗⃗ ∥n ⃗ ， 所以存在实数 λ，使得 m ⃗⃗ =λn ⃗ ， 即 a +3b ⃗ =n ⃗ =λka +λb⃗ ，得 {1=λk,3=λ, 解得：k =13．(2) m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =[a +(t +2)b ⃗ ]⋅(ka +b⃗ )=ka 2+t (t +2)⋅b ⃗ 2+(kt +2k +t )a ⋅b⃗ =5k +5t (t +2), 因为 a ⋅b ⃗ =0 且 m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =5， 所以 5k +5t (t +2)=5，所以 k =−t 2−2t +1=−(t +1)2+2≤2．【知识点】平面向量数乘的坐标运算、平面向量数量积的坐标运算19. 【答案】(1) 如图，作MC⊥AB，垂足为C，因为α=60∘，β=30∘，所以∠ABM=120∘，∠AMB=30∘，所以BM=AB=4km，∠MBC=60∘，所以MC=BM⋅sin60∘=2√3km<3.5km，所以该船有触礁的危险．设该船自B处向东航行至点D处有触礁危险，连接MD，则MD=3.5km，BM=4km，BC=2km，在△MDC中，CD=√(3.5)2−(2√3)2=0.5（km），所以BD=1.5km．所以该船自B向东航行1.5km会有触礁危险．(2) 设CM=x km，在△MAB中，ABsin∠AMB =BMsin∠MAB，即4sin(α−β)=BMcosα，则BM=4cosαsin(α−β)（km），而x=BM⋅sin∠MBC=BM⋅cosβ=4cosαcosβsin(α−β)，所以当x>3.5，即cosαcosβsin(α−β)>78时，该船没有触礁危险．【知识点】解三角形的实际应用问题20. 【答案】a+b⃗=(−6,−8)，与之同向的单位向量为c0⃗⃗⃗ =(−35,−45)⇒c=20c0⃗⃗⃗ =(−12,−16)．【知识点】平面向量数乘的坐标运算21. 【答案】(1) 由已知得n⃗=a−kb⃗=(−3−k,1+2k)，2a−b⃗=(−7,4)，因为n⃗与向量2a−b⃗垂直，所以n⃗⋅(2a−b⃗)=0，即(−3−k)×(−7)+(1+2k)×4=0，解得k=−53．(2) 由已知得kb⃗+c=(k+1,−2k−1)，因为n⃗∥(kb⃗+c)，所以(−3−k)⋅(−2k−1)=(1+2k)⋅(k+1)，解得k=−12．【知识点】平面向量数乘的坐标运算、平面向量数量积的坐标运算22. 【答案】(1) 因为acosC+√3asinC−b−c=0，所以由正弦定理asinA =bsinB=csinC，可得sinAcosC+√3sinAsinC=sinB+sinC，又因A+C=π−B，所以sinAcosC+√3sinAsinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，sinC≠0，化简可得√3sinA−cosA=1，即sin(A−π6)=12，A−π6∈(−π6,5π6)，所以A−π6=π6，所以A=π3．(2) 因为△ABC的面积为√3，所以S△ABC=12bcsinA=√34bc=√3，即bc=4，又a=2，所以由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12=4，所以b+c=4，结合bc=4，可得b=c=2．【知识点】正弦定理、余弦定理。
高一数学必修二期末测试题及答案
高一数学必修二期末测试题（总分100分 时间100分钟）班级： 姓名：、选择题（8小题，每小题4分，共32 分）1•如图1所示，空心圆柱体的主视图是（）2 •过点 2,4且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）(A) 1条 (B )2 条 (C) 3 条 (D) 4 条二面角D !AE D 的平面角，则2.5(A)-(B )-3 3.22 2(C)可(D)33.如图2,已知E 、F 分别是正方体 tr___ _______ 3)A 0 图2为(A)( B )(D)32 34(A) 31(B)(C) 33(D) 4•点P(x, y)是直线I : x y 3 0上的动点，点 A(2,1)，则AP 的长的最小值是()(A) . 2(B )2 2 (C)3、、2 (D)4「25 •—束光线从点 A( 1,1)出发，经x 轴反射到圆C: (x 2)2 (y 3)2 1上的最短路径长度是()(A )4 ( B )5( C )1 ( D )2 66 •下列命题中错误.的是( )A •如果平面 丄平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B .如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面C .如果平面 丄平面 ，平面 丄平面 ，I ，那么I 丄平面D •如果平面 丄平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面7•设直线过点(0,a),其斜率为1，且与圆x 2 y 2 2相切，则a 的值为()点C(7,3)与点D(m, n)重合，则m n 的值为( )(A)4(B ) 2 (C )22(D ) .2&将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0,2)与点B(4,0)重合.若此时、填空题(6小题，每小题4分，共24 分)9•在空间直角坐标系中，已知P(2,2,5)、Q(5,4,z)两点之间的距离为7,则z= ___________10•如图，在透明塑料制成的长方体ABCD A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变;③棱AD1始终与水面EFGH平行;④当E AA时，AE BF是定值.其中正确说法是_________________ .•四面体的一条棱长为x，其它各棱长均为1，若把四面体的体积V表示成关于x的函数V(x)，则函数V(x)的单调递减区间为__________________________ .12 .已知两圆x2 y2 10和(x 1)2 (y 3)2 20相交于A, B两点，则公共弦AB所在直线的直线方程是_________________________ •13. 在平面直角坐标系中，直线x . 3y 3 0的倾斜角是__________14. 正六棱锥P ABCDEF 中, G为侧棱PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC的体积之比V D GAC : V P GAC = _________________、解答题(4大题，共44分)15. (本题10分)3已知直线I经过点P( 2,5)，且斜率为-.4(I)求直线I的方程；(H)求与直线I切于点(2, 2),圆心在直线x y 11 0上的圆的方程16. (本题10分)ABC 90 , BC CC1 , M、N 分别为BB1、如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中,AG的中点.(I)求证：CB1平面ABG ；(n)求证：MN//平面ABC1.17．(本题12 分)已知圆x2 y2 2x 4y m 0.(1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2) 若(1)中的圆与直线x 2y 4 0相交于M、N两点，且OM ON (0为坐标原点)，求m 的值；(3) 在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．18.(本题12分)已知四棱锥P-ABCD ,底面ABCD是A 60、边长为a的菱形，又PD 底面ABCD ,且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点.(1) 证明：DN//平面PMB ;(2) 证明：平面PMB 平面PAD;(3) 求点A到平面PMB的距离.B数学必修二期末测试题及答案、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1 C ,2 C, 3B , 4C , 5A , 6D , 7B , 8D.、填空题 （6小题, 每小题 4分，共24分）9. Z1 或 11;10. ①③④； 11..6—,、3;212. x 3y 0 ；13. 150° 14. 2: 1.4整理，得所求直线方程为 3x 4y 14 0................ 4分（H ）过点（2, 2）与I 垂直的直线方程为 4x 3y 2 0 ,................ 5分x y 11 0由'得圆心为（5, 6）, ......... 7分4x 3y 2 0.•••半径 R （5 2）2 （6 2）2 5, ............. 9 分故所求圆的方程为 （x 5）2 （y 6）225 . .. 10分 16.（本题10分）如图所示，在直三棱柱ABC ABQ 1中，ABC 90 , BC CC 1,三、解答题（4大题，共44分）315.（本题10分）已知直线I 经过点P （ 2,5），且斜率为4（I ）求直线I 的方程；（H ）求与直线I 切于点（2, 2）,圆心在直线x y 110上的圆的方程3M 、N 分别为BB 、A 1C 1的中点.解析：(I)在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 丄底面ABC ，且侧面BB 1C 1C 门底面ABC = BC , •••/ ABC =90。
高一数学必修二期末测试题及答案
高一数学必修二期末测试题一、选择题１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（）2.已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.33点P(2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为( )A.(6,-3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3)3.直线1y x=+与圆的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离4.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为A. B.2 C. D.25．一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路径长度是（）（A）4 （B）5 （C）（D）6．下列命题中错误．．的是()A．如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C．如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面D．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面7．设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为（）（A）（B）（C）（D）8.已知实数x、y满足2x+y+5=0，那么的最小值为( )A. B. C. D.二、填空题9．在空间直角坐标系中，已知、两点之间的距离为7，则=_______．10.过A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是___________________．11设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______12．已知两圆和相交于两点，则公共弦所在直线的直线方程是．13．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是．14若圆与圆的公共弦长为，则a=________.三、解答题15．(本题10分)已知直线经过点，且斜率为.（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求与直线切于点（2，2），圆心在直线上的圆的方程.16．(本题10分)如图所示，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：.17已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，问点的轨迹是什么？18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是、边长为的菱形，又，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．（1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB 平面PAD ；答案15．(本题10分)已知直线经过点，且斜率为.（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求与直线切于点（2，2），圆心在直线上的圆的方程.解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得整理，得所求直线方程为……………4分 （Ⅱ）过点（2，2）与垂直的直线方程为，……………5分 由得圆心为（5，6），……………7分 ∴半径，……………9分故所求圆的方程为． ………10分16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：.P CAM B D C A 解析：（Ⅰ）在直三棱柱中，侧面⊥底面，且侧面∩底面=，∵∠=90°，即，∴平面∵平面，∴. ……2分∵，，∴是正方形，∴，∴. …………… 4分（Ⅱ）取的中点，连、. ………………5分在△中，、是中点，∴,，又∵,，∴,，………6分故四边形是平行四边形，∴，而 面，平面，∴面4、已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，问点的轨迹是什么？ 解：设.∵，∴，∴，∴.∵点在圆上运动，∴，∴，即，∴点的轨迹方程是.18．已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是、边长为的菱形，又，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．（1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB 平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以QN//BC//MD ，且QN=MD ，于是DN//MQ ． .（2）又因为底面ABCD 是,边长为的菱形，且M 为中点，所以.又所以.。
人教A版高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷含答案解析 (1)
高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1. 设 x 1，x 2，⋯，x n 为样本数据，令 f (x )=∑(x i −x )2n i=1，则 f (x ) 的最小值点为 ( )A ．样本众数B ．样本中位数C ．样本标准差D ．样本平均数2. 某课外小组的同学们在社会实践中调查了 20 户家庭某月的用电量，如表所示：用电量/度120140160180200户数23582则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是( ) A ． 180，170B ． 160，180C ． 160，170D ． 180，1603. 从总数为 N 的一批零件中利用简单随机抽样方法，抽取一个容量为 30 的样本，若每个零件被抽到的可能性为 25%，则 N 为 ( ) A ． 150B ． 200C ． 100D ． 1204. 为深入贯彻落实《国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》，我市提出：到 2020 年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到 98%，基础教育阶段学生优秀率达到 15% 以上，某学校现有小学和初中学生共 2000 人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为 400 的样本，其中被抽到的初中学生人数为 180，那么这所学校的初中学生人数为 ( ) A ． 800B ． 900C ． 1000D ． 11005. 某次考试有 70000 名学生参加，为了了解这 70000 名考生的数学成绩，从中抽取 1000 名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，有以下四种说法： ① 1000 名考生是总体的一个样本；② 1000 名考生数学成绩的平均数是总体平均数； ③ 70000 名考生的数学成绩是总体； ④样本容量是 1000． 其中正确的说法有 ( ) A ． 1 种B ． 2 种C ． 3 种D ． 4 种6. 某调査机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布扇形图、 90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是 ( )注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980−1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上B ．互联网行业中 90 后从事技术岗位的人数超过总人数的 20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多7. 某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为 6:5:7．防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 1 的样本，样本中高三年级的学生有 21 人，则 n 等于 ( ) A ． 35 B ． 45 C ． 54 D ． 638. 如果想用统计图来反映各数据的变化趋势，比较合适的统计图是 ( ) A ．条形图 B ．折线图 C ．扇形图 D ．其他图形9. 甲乙两位同学一共参加了 5 次社会实践活动，每次的得分如下：( )甲35345乙44534A ．甲比乙的平均成绩高B ．乙比甲的平均成绩高C ．甲比乙的成绩稳定D ．乙比甲的成绩稳定10. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样D ．系统抽样二、填空题（共6题）11. 若数据 k 1，k 2，⋯，k 6 的方差为 3，则 2(k 1−3)，2(k 2−3)，⋯，2(k 6−3) 的方差为 ．12. 下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：∘C ）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是 [20.5,26.5]，样本数据的分组为 [20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5)．已知样本中平均气温低于 22.5∘C 的城市个数为 11，则样本中平均气温不低于 25.5∘C 的城市个数为 ．13.如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量在[2,2.5)范围内的居民有人．14.一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.375，则该组样本的频数为．15.思考辨析 判断正误简单随机抽样和分层随机抽样都是等可能抽样．( )16.某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为．三、解答题（共6题）17.要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？18.栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒．叶，四季常绿；花，芳香素雅．绿叶白花，格外清丽．某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：m），其中不大于1.50（单位：m）的植株高度茎叶图如图所示．(1) 求植株高度频率分布直方图中 a ，b ，c 的值；(2) 在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值．19. 两台机床同时生产直径为 10 mm 的零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床生产的产品中各抽出 4 件进行测量（单位：mm ）结果如下：机床甲109.81010.2机床乙10.1109.910若你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？20. 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机 app 软件层出不穷．现从某市使用 A 和 B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取 100 个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图．(1) 试估计该市使用 A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2) 如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从 A 和 B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？21. 某城市共有 36 个大型居民小区，要从中抽取 7 个调查了解居民小区的物业管理状况．请写出用抽签法抽取样本的过程． 22. 某工厂人员及月工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计月工资/元22000550042003000100035700人数16510123合计220003300021000300001000107000(1) 指出该工厂人员月工资数据中的众数、中位数、平均数．(2) 月工资的平均数能客观地反映该工厂人员的月工资水平吗？为什么？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【知识点】样本数据的数字特征2. 【答案】A【知识点】样本数据的数字特征3. 【答案】D【解析】每个个体被抽到的可能性相等，都为30N=25%，解得N=120．【知识点】简单随机抽样4. 【答案】B【知识点】分层抽样5. 【答案】B【知识点】样本数据的数字特征6. 【答案】D【解析】对于选项A互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以该选项正确；对于选项B，互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%×56%=22.176%，超过总人数的20%，所以该选项正确；对于选项C，互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%=9.52%，比80前多，所以该选项正确；对于选项D，互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的9.52%，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多，所以该选项不一定正确．【知识点】频率分布直方图7. 【答案】C【知识点】分层抽样8. 【答案】B【解析】能反映各数据的变化趋势的统计图是折线图．【知识点】频率分布直方图9. 【答案】D【解析】x甲=3+5+3+4+55=4，x 乙=4+4+5+3+45=4，s 甲2=1+1+1+15=0.8， s 乙2=0+0+1+1+05=0.4，0.8>0.4，所以乙比甲的成绩稳定． 【知识点】样本数据的数字特征10. 【答案】C【解析】我们常用的抽样方法有：简单随机抽样，分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理． 【知识点】分层抽样二、填空题（共6题） 11. 【答案】 12【解析】设 k 1，k 2，⋯，k 6 的平均数为 k ， 则 16[(k 1−k)2+(k 2−k)2+⋯+(k 6−k)2]=3．而 2(k 1−3)，2(k 2−3)，⋯，2(k 6−3) 的平均数为 2(k −3)，则所求方差为 16[4(k 1−k)2+4(k 2−k)2+⋯+4(k 6−k)2]=4×3=12． 【知识点】样本数据的数字特征12. 【答案】9【解析】设样本容量为 n ，则 (0.1+0.12)n =11，解得 n =50， 故气温不低于 25.5∘C 的城市个数为 50×0.18=9． 【知识点】频率分布直方图13. 【答案】 25【解析】 0.5×0.5×100=25． 【知识点】频率分布直方图14. 【答案】 12【知识点】样本数据的数字特征15. 【答案】 √【知识点】简单随机抽样、分层抽样16. 【答案】 1200【知识点】分层抽样三、解答题（共6题）17. 【答案】分组，频数累计，计算频数和频率．【知识点】频率分布直方图18. 【答案】(1) 由茎叶图知，a =51000.1=0.5，b =101000.1=1．由频率分布直方图知，0.5×0.5+1.45×1+1.55×3+1.65×4+c ×0.1+3×0.1+4×0.1=1， 所以 c =1.5．(2) 这批栀子植株高度的平均值的估计值：(1.35×0.5+1.45×1+1.55×3+1.65×4+1.75×1.5)×0.1=1.60． 【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征19. 【答案】 ① x 甲=14×(10+9.8+10+10.2)=10(mm )，x 乙=14×(10.1+10+9.9+10)=10( mm )，由于 x 甲=x 乙，因此，平均直径反映不出两台机床生产的零件的质量优劣． ②S 甲2=14×[(10−10)2+(9.8−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2]=0.02,S 乙2=14×[(10.1−10)2+(10−10)2+(9.9−10)2+(10−10)2]=0.005.这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此，从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求．【知识点】样本数据的数字特征20. 【答案】(1) 依题意，可得使用 A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为 55， 平均数为 15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.4+65×0.04=40．(2) 使用 B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=35<40， 所以选 B 款订餐软件．【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图21. 【答案】第一步，将36个居民小区进行编号，分别为01，02，03，⋯，36．第二步，将36个号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签．第三步，将号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀，依次抽取7个号签，并记录上面的号码．第四步，与这7个号码对应的居民小区就是要抽取的样本．【知识点】简单随机抽样22. 【答案】(1) 由表格可知，众数为3000元．把23个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在最中间的数应是第12个数，其值为4200，故中位数为4200元．107000÷23≈4652，所以平均数为4652（元）．(2) 虽然平均数为4652元，但由表格中所列出的数据可见，只有经理及管理人员在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂人员的月工资水平．【知识点】样本数据的数字特征。