理论力学---第十二章动量矩定理
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理论力学基础 动量矩定理3
（习题12－14） 习题 － ）
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学 例题十七
第 六 节 平 面 运 动 微 分 方 程
第十二章 动量矩定理
A：m1下降，鼓轮：r、R、m2，ρ。求A的加速度。 下降，鼓轮： 的加速度。 。 的加速度
α=a/(R+r)
S S’ a aC=aR/(R+r) m1g
CHale Waihona Puke 例题十九 如图所示，板的质量为 1，受水平力 如图所示，板的质量为m
α
F ar ′ F2 F1 FN1 ′ FN2 m1g
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C
m2g
aC FN2 F2
a F
理论力学
第十二章 动量矩定理
例题二十 均质圆柱体 和B的质量均为 ，半 均质圆柱体A和 的质量均为 的质量均为m，
（习题11－3） 习题 － ）
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理论力学
第 五 节 质 点 系 相 对 于 质 心 的 动 量 矩 定 理
第十二章 动量矩定理
二、质点系相对于质心的动量矩定理
dLO d = (rC × mvC + LC ) = ∑ r i × Fi(e) dt dt
drC dLC d (e) ′i × Fi(e) × mvC + rC × mvC + = ∑ r C × Fi + ∑ r dt dt dt
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理论力学 例题十八
第 六 节 平 面 运 动 微 分 方 程
第十二章 动量矩定理
摩擦系数： ， 轮：m，R，A：m1，摩擦系数：f，求加速度及 ， ， BC段绳的拉力。 段绳的拉力。 段绳的拉力
理论力学课件-动量矩定理
注意到
mi m ,
mi yi myC 0 则 J z ' J zC m d 2
2
例如，对于例6中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
1 2 1 2 1 2 l J z ' J z m ml ml ml 4 3 2 12
五．计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
[例8] 图示钟摆，均质直杆：m1、l ； 均质圆盘：m2 、R 。求 JO 。
解：JO JO杆 J O盘
1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 (l R) 3 2
[例6]匀质细直杆长为l ，质量为m。求 ① 对z轴的转动惯量Jz ；
② 对z' 轴的转动惯量 Jz’ 。
m 1 2 解：J z l x d x ml l 12 2 l m 1 J z ' x 2 d x ml 2 0 l 3
2
l 2
[例7]设有均质圆薄板，如图所示。其质量为m，半径为R，求 它对中心轴的转动惯量。 解：在圆板上取任意半径 r 处宽为dr 之圆环为微元 。由于圆板匀质，故有
以上结论称为质点系的动量矩守恒定律。
[例3] 已知物重PA > PB ，定滑轮重 P ，半径为r，求 。
解: 取整个系统为研究对象，受力如图示。
运动分析： v = r
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g r 2 1P 2 由于
mi m ,
mi yi myC 0 则 J z ' J zC m d 2
2
例如，对于例6中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
1 2 1 2 1 2 l J z ' J z m ml ml ml 4 3 2 12
五．计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
[例8] 图示钟摆，均质直杆：m1、l ； 均质圆盘：m2 、R 。求 JO 。
解：JO JO杆 J O盘
1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 (l R) 3 2
[例6]匀质细直杆长为l ，质量为m。求 ① 对z轴的转动惯量Jz ；
② 对z' 轴的转动惯量 Jz’ 。
m 1 2 解：J z l x d x ml l 12 2 l m 1 J z ' x 2 d x ml 2 0 l 3
2
l 2
[例7]设有均质圆薄板，如图所示。其质量为m，半径为R，求 它对中心轴的转动惯量。 解：在圆板上取任意半径 r 处宽为dr 之圆环为微元 。由于圆板匀质，故有
以上结论称为质点系的动量矩守恒定律。
[例3] 已知物重PA > PB ，定滑轮重 P ，半径为r，求 。
解: 取整个系统为研究对象，受力如图示。
运动分析： v = r
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g r 2 1P 2 由于
理论力学基础 动量矩定理3
平 面
二、分清各构件的运动情况（平移、转动、平面运动、 静止）
运 动
三、各构件的运动情况之间的关系
微 （平移：速度、加速度）（转动：角速度、角加速度）
分
方 （平面运动：质心速度和加速度、角速度、角加速度）
程
四、根据运动情况运用各类方程
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理论力学
第十二章 动量矩定理
Fi(e)
F1
D
运 动 微 分 方 程
d
dt
JC
JC
m
d
2
rC
dt 2
F (e)
i
C
M C (Fi(e) )
x′
O
x
刚体平面运动微分方程
JC
d 2
dt 2
M C (Fi(e) )
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理论力学
第十二章 动量矩定理
例题十五 如图所示，有一轮子，轴的直径为
例题十九 如图所示，板的质量为m1，受水平力
F作用，沿水平面运动，板与平面间的动摩擦因数
第 六 节
为f。在板上放一质量为m2的均质实心圆柱，此圆 柱对板只滚不滑。求板的加速度。（习题12－18）
平
C
面 运
动
微
分
方 程
F2′ FN′ 2
F
C
ar m2g
aC
a
F
FN2 F2
F1
m1g
FN1
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mg
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12动量定理
y
s
D
A
O
B
x
理论力学
第十二章 动量定理
解：研究对象为小车D和平台AB，受力分析和运动分析如图。
系统动量在坐标轴上的投影为
y s
m2 g vr
px m1v m2 (vr v) py 0
D
v
其中：
vr
ds dt
bt
A
F
m1 g
B
O
x
dpx
dt
n
F (e) ix
i 1
y
m2
B
m3
A
C
v
m1
D
x
理论力学
第十二章 动量定理
第一节 动量与冲量
y
m2
解：该质点系的动量为：
3
p mi vi i 1
建立图示坐标系，有：
B
m3
A
px py
m2v m3vcos m1v m3vsin
1 41 4
mv(2 cos ) mv(-4 sin)
电动机不转时，基础上只有向 上的反力，可称为静反力。电 动机转动时基础的反力可称为 动反力。动约束力与静约束力 的差值则称为附加动约束力。
理论力学
第十二章 动量定理
第三节 质心运动定理
例题：两根均质杆AD和BD在D处用光滑铰链相连。已知两
杆长均为l，质量各为m1、m2，并且 m1 m2 。开始时，两
r
cos
r
dt
0
I y
rπ 0
v
mv2 r
理论力学哈工大第七版第十二章
第十二章 动量矩定理
§12–1 质点和质点系的动量矩 §12–2 动量矩定理 §12–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12-5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12-6 刚体的平面运动微分方程 课后习题
一、空间力对点的矩以矢量表示 —力矩矢—定位矢量
投影式:
dLx dt
r M x (Fi(e) )
dLy dt
r M y (Fi(e) )
dLz dt
r M z (Fi(e) )
适用范围：对固定点或固定轴。
内力不能改变质点系的动量矩。 思考：内力的影响？
解:1.取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。 以顺时针为正。
2.运动分析 LO J m v R
MO F r F
i
jk
x y z
Fx Fy Fz
矢量的模—— MO F F h 2AOAB
；
矢量的方位—与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向—按右手螺旋法则确定。
二、力对轴的矩—代数量—转化为平面力对点之矩
力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是 一个代数量，其绝对值等 于该力在垂直于该轴平面 上的投影对轴与该平面交 点之矩。
二、质点系的动量矩定理
第i个质点
d dt
r MO
(mivri
)
r MO
r ( Fi (i )
)
r MO
r ( Fi ( e )
)
n个质点
由于
rr MO (Fi(i) ) 0
r
d dt
r MO
r (mivi
§12–1 质点和质点系的动量矩 §12–2 动量矩定理 §12–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12-5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12-6 刚体的平面运动微分方程 课后习题
一、空间力对点的矩以矢量表示 —力矩矢—定位矢量
投影式:
dLx dt
r M x (Fi(e) )
dLy dt
r M y (Fi(e) )
dLz dt
r M z (Fi(e) )
适用范围：对固定点或固定轴。
内力不能改变质点系的动量矩。 思考：内力的影响？
解:1.取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。 以顺时针为正。
2.运动分析 LO J m v R
MO F r F
i
jk
x y z
Fx Fy Fz
矢量的模—— MO F F h 2AOAB
；
矢量的方位—与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向—按右手螺旋法则确定。
二、力对轴的矩—代数量—转化为平面力对点之矩
力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是 一个代数量，其绝对值等 于该力在垂直于该轴平面 上的投影对轴与该平面交 点之矩。
二、质点系的动量矩定理
第i个质点
d dt
r MO
(mivri
)
r MO
r ( Fi (i )
)
r MO
r ( Fi ( e )
)
n个质点
由于
rr MO (Fi(i) ) 0
r
d dt
r MO
r (mivi
第十二章动量定理_理论力学
第十二章动量定理1质系动量的计算质系的动量或式中m为整个质系的质量；对于刚体系常用计算质系的动量，式中vCi为第i个刚体质心的速度。
2.质系动量定理质系动量定理建立了质系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即★质系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
★质系动量守恒定律：当作用于质系的外力系的主矢量，质系动量守恒，即=常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质系的动量在此轴上的投影守恒，如，则常量。
3.质心运动定理质系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即对于刚体系可表示为式中aCi表示第i个刚体质心的加速度。
4.变质量质点运动微分方程5.应用质系动量定理一般可解决质系动力学的两类问题一类是已知质系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质系上外力系中的未知约束力。
另一类是已知作用于在质系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质系的动量变化率或质心的加速度。
动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的普遍定理。
质系动量定理建立了质系动量的变化率与作用于质系上外力系的主矢量之间的关系。
质系动量定理和质心运动定理也是流体动力学及变质量质系动力学的理论基础。
§12-1质系动量定理如图12-1所示质系由个质点组成，第i个质点的质量为，速度为vi，作用于质点上的外力记为，内力记为。
牛顿第二定律可表示为其中，称为质点的动量。
对于整个系统，求上述个方程的矢量和，得更换求和及求导次序，得式中（12-1）为质系内各质点动量的主矢量，称为质系的动量。
为外力的主矢量，为内力的主矢量，根据牛顿第三定律，内力总是大小相等、方向相反，成对的出现在质系内部，所以，于是得(12-2)上式称为质系动量定理，即：质系动量p对时间t的变化率等于作用在质系上外力系的主矢量，而与内力系无关。
在应用动量定理时，应取矢量式（12-2）的投影形式，如动量定理的直角坐标投影式为(12-3)强调说明两点：1、质系动量的变化只决定于外力的主矢量。
理论力学 动量矩定律
MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 2）质点系动量矩守恒定理 当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对 于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩 守恒定律。 15 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
24
动力学 2. 回转半径 定义：
转动惯量
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
25
动力学
转动惯量
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
LC LC
这样刚体作平面运动时，对过质心C且垂直于平面图形的 轴的动量矩为
J C LC LC
12
动力学
质点系动量矩定理
2．质点系的动量矩定理
n个质点，由质点动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
n d (e) Lx M x ( Fi ) dt i 1 n d Ly M y ( Fi ( e ) ) dt i 1 n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
14
动力学
质点系动量矩定理
3．动量矩守恒定理 1）质点动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即
第十二章动量矩定理Y
解：取系统为研究对象
ddtLO MO(Fi(e))
设重物P下降时的速度为v
v
R
LO JOW g vR
LO
(JO R
WR)v g
O
FOx
mg
A
v W
应用动量矩定理
ddtLO MO(Fi(e))
LO
(JO R
WR)v g
M O(Fi(e))WR
(JO WR)dvWR R g dt
a
WR 2
(JO
JZ Mz2 ——集中质量对z轴转动惯量。
Jz miri2 ——原物体对z轴转动惯量。
M Z 2JZ m iri2
z
Jz M
——回转半径
回转半径：只与物体的形状、大小、密度、比重等有关
3、平行移轴定理
已知： J zC 求证： J z
证明：C为刚体的形心。
z 和zc 轴之间的距离为d
xixci yiyc i d
W g
R2)
FOy
O
FOx
mg
A
v W
已知：两小球的质量均为m ，初始角速度为 0
求：当AC和BD与z 轴的夹角为θ时系统的角速度
解：取整个系统为研究对象
A
z
Mz(e)(F)0
Ab l
bB l
Lz 恒量
Lz1 Lz2
C
L z12m0 b b2m2b 0
L z22m (blsin )2
C
mg
o D
对于质量为连续分布的刚体，则上式成为定积分
J z r 2 dm
1、 简单形状物体的转动惯量计算
（1）均质细直杆
设：单位长度的质量为ρ
m l