理论力学第十二章

P输入 5.4kW, P无用 P输入 30%
d 100mm, n 42r / min , n ' 112r / min
求:切削力F的最大值。 解: P P P 3.78kW 无用 输入 有用
60 60 3.78 F P有用 17.19kN πdn π 0.1 42 当 n 112r / min 时
力系全部力的元功之和为
4. 平面运动刚体上力系的功
Fi driC Fi cos MC d M C ( Fi )d
δW δWi Fi drC M C ( Fi )d 主矢 drC 主矩 d FR MC
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
1 2 即 T J z 2
（3）平面运动刚体的动能 速度瞬心为P
1 1 2 T J P ( J C md 2 ) 2 2 2 1 2 1 得 T mvC J C 2 2 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动
的动能之和.
上面结论也适用于刚体的任意运动.
－－质点系动能定理的微分形式
dT δWi T2 T1 Wi
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和. －－质点系动能定理的积分形式
质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等 于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.
3、理想约束
光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔
2 ( F 2mgf ) 3m

2 s ( F 2m gf) R 3m
例12-4(13-1)
已知:m, h, k, 其它质量不计.
求:
max
解:
T1 0, T2 0
k 2 0 0 mg (h max ) max 2
max
mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k
§12-3
1、质点的动能定理
动能定理
dv 将 m F 两端点乘 vdt dr , dt mv dv d( 1 mv 2 ), F dr δW 得 mv dv F dr 2 1 2 因此 d( mv ) δW －－质点动能定理的微分形式 2
§12-5 势力场.势能.机械能守恒定律
T2 T1 W
(a )
6M 12M 求导得 2 (2m 9m1 )l 2 (2m 9m1 )l
注意:轮Ⅰ、Ⅱ接触点C是理想约束,其摩擦力Fs尽管在 空间是移动的,但作用于速度瞬心,故不作功.
例 已知:均质杆OB=AB=l, m，在铅垂面内;M=常量,初始静止, 不计摩擦.
J d2s mg ks m 2 2 R dt
令 0 为弹簧静伸长，即mg=k 0, 以平衡位置为原点
s 0 x
J m 2 R d2 x 2 mg k 0 kx dt kx
J d2 x m 2 2 kx 0 R dt
索等约束的约束力作功等于零. 为什么？
称约束力作功等于零的约束为理想约束.
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.
内力作功之和不一定等于零.
思考：
当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？
例12-3已知:均质圆盘R ,m ,F =常量,且很大,使盘心O向右运动,
动滑动摩擦因数 f , 初静止。
W
由 得
12
mzC mi zi
mi g ( z i1 z i 2 )
W12 mg ( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
2、弹性力的功
弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力的功为
W12
A2
1 1 r er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
2
ds 1 J ds P mg ds , P m 2 重力 弹性力 ks dt dt 2 R dt
2
dT P P 重力 弹性力 dt
J ds d 2 s ds ds mg ks m 2 2 R dt dt dt dt
功率方程:即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和.
车床
dT P输入 P有用 P无用 dt
或
P输入
dT P有用 P无用 dt
3、机械效率
有效功率
P有效
dT P有用 dt
机械效率
P有效 P输入
多级传动系统
12 n
例12-6(13-4) 已知:
例12-5(13-2) 已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ， m2 ，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度
解:
轮C与轮O共同作为一个质点系 s W12 M m2 gs sin R1
T1 0
1
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 mv2 mv12 W12 2 2
－－质点动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用 于质点的力作的功.
2、质点系的动能定理
由 得
1 d( mi vi 2 ) δWi 2
1 d( mi vi 2 ) δWi 2
求:当A 运动到O点时,
vA ？
解:
l W M 2mg(1 cos ) 2 T1 0 vB vB 3 C ABC C l AB AB , OB l l 2
AB OB
vA AB ·l 2
1 2 T2 TAB TOB mvC 2 4 1 1 2 2 2 J C AB J 0 OB ml 2 AB
A1
A F dr A k (r l0 )er dr
2 1
得 W12 r2 k (r l0 )dr r1 即 W k ( 2 2 ) 12 1 2
2
1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
3. 定轴转动刚体上作用力的功
δW F dr Ft ds Ft Rd
由
M z Ft R
F 的功为
δW M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
W12 M z d
1
2
若
M z 常量 M z ( 2 1 )
则 W12
作用在 Mi 点的力 Fi 的元功为 δWi F i dri Fi drC Fi driC
60 3.78 F 6.45kN π 0.1112
d πn P有用 Fv F · 2 30
例12-7(13-5 ) 已知 :m ，l0 ，k ， R ， J。 求:系统的运动微分方程。
解:
s R
2
1 ds T m 2 dt
1 d J 2 dt
vC 1 (2m1 3m2 )vC aC M m2 gvC sin 2 R1 2 ( M m2 gR1 sin )
aC (2m1 3m2 ) R1
W12 T2 T1
(a )
例 (12-3)
已知:冲击试验机m=18kg, l=840mm, 杆重不计，在 1 70
W Fx dx Fy dy Fz dz
W12
M1
M2 M1
δW
M2 M1
F ·dr
W12 ( Fx dx Fy dy Fz dz)
M2
三、几种常见力的功 1、重力的功 质点
Fx Fy 0 Fz mg
质点系
W12 z12 mgdz mg( z1 z2 ) z
W T
2
2
3
2
T1
1 2l 3 M mgl(1 cos ) m
AB
3 M mgl(1 cos ) A AB 2l m
§12-4 功率、功率方程、机械效率
1、功率：单位时间力所作的功.
由 δW
δW P dt F dr ,得

dr P F F v Ft v dt
即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 作用在转动刚体上的力的功率为
δW d P Mz M z dt dt 单位W（瓦特）,1W=1J/S
2、功率方程
n n δWi dT Pi dt i 1 dt i 1
O1 ,O2
解:
研究整个系统
1 ml 2 2 1 1 m1r1 2 2 T2 ( ) m101 ( )1 2 3 2 2 2
T1 0
2
1 m 3m1 2 2 ( )l 2 3 2
(01 l , 1
01
r1

l
r1来自百度文库
)
W M
1 m 3m1 2 2 M ( )l 2 3 2
~ 2 时,力系的功为
W12
C2
C1
2 FR drC M C d
1
W12
C2
C1
2 FR drC M C d
1
说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
第十二章
动
能
定
理
§12-1 力的功 一、常力在直线运动中的功 W F cos s F s
二、变力在曲线运动中的功
元功
δW F cos ds
δW F dr
记
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
§12-2
1、质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2 1 T mi vi 2 2
1 2 T mvC 即 2
2、质点系的动能
（1）平移刚体的动能
1 1 2 2 T mi vi vC mi 2 2 （2）定轴转动刚体的动能
1 1 1 2 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 2 2
时静止释放，冲断试件后摆至 2 29
求:冲断试件需用的能量。
解:
T1 0, T2 0
0 0 mgl(1 cos 1 )
mgl (1 cos 2 ) Wk
得冲断试件需要的能量为
Wk 78.92J
Wk k A
冲击韧度：衡量材料抵抗冲击能力的指标。
例 周转齿轮放在水平面内 已知: r1 , m1 均质;杆m 均质, O1O2 =l , M=常量,纯滚动,处于 水平面内,初始静止. 求: O1O2 转过φ角的 ,
求: 1.盘心O走过S 路程时力的功。2.盘心O走过S 路程时圆盘的角
速度,角加速度及盘心C的加速度.
解： 1、 2、
W Fs 2Fd s Fs 2mg fs
T1=0
T2
o R
3 mR 2 2 Fs 2mgfs 4
a0
1 1 2 m o J 0 2 2 2 1 1 3 2 T2 mo J 0 2 mR 2 2 2 2 4 2 ( F 2mgf ) T2 T1 W 3mR
vC v , 2 C R1 R2
1 1 1 1 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2v2 ( m2 R2 2 )2 2 2 2 2
vC 2 M m2 gs sin (2m1 3m2 ) 4
( M m2 gR1 sin ) s vC 2 R1 (2m1 3m2 ) 式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得