理论力学第十二章
理论力学课件第12章
对球B，应用动能定理，则有
得
1
0 mu22 mgl (1 cos )
2
（d）
u2 2 gl (1 cos )
将式（d）、（e）代入式（c）中，解得
k 2
1 cos
1 cos30
1 2
1 0.353
1 cos
1 cos 45
（e）
小为
v v 3 0.2
a
0
0.002
m/s2 1 400 m/s2
设在敲击时，钉给手锤的力为F，手锤重为G，可写出手锤的
动力学基本方程为
ma F G
由方程解得
F m( g a) 1 409.8 N
可见，碰撞力F远远大于手锤的重量G。如果碰撞时间再短一
些或碰撞前后的速度变化更大一些，则碰撞力将更大。碰撞力
（12-14）
将式（12-13）和（12-14）代入式（12-12），得
mm
1
T T1 T2 (1 k ) 1 2 (v1 v2 )[(v1 u1 ) (v2 u2 )]
2
m1 m2
由式（12-6），得
u1 u2 k (v1 v2 )
于是
T T1 T2
（12-6）化为
u
k
v
若球自由下落，则可通过球距离固定面的高度H和回跳
的高度h来表示k。由自由落体公式可知
| v | 2 gH
于是得
| u | 2 gh
u
k
v
h
H
图12-3
（12-10）
测出球的降落高度H和回跳高度h，即可计算出球和固定面两种材料
理论力学 第12章
P
δW dt
Mz
d
dt
M z
2.功率方程
dT
dt
n δWi i1 dt
n
Pi
i 1
—— 功率方程
即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于 质点系的所有力的功率的代数和.
功率方程常用来研究机器在工作时能量的变 化和转化的问题。
dT P输入 P有用 P无用 dt
或
dT dt P输入 P有用 P无用
mi
即： T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2mi
vi
2
12mi 2ri2
12
2
Jmz iri2
即：
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
质心为C
1 2
J pω2
Jp JC md2
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与 绕质心转动的动能之和.
则杆的动能：
§12-3 动能定理
1.质点的动能定理
将 m dvr 两 端Fr 点乘 ，得dr：
dt
m
d
v
dr
F
d
r
dt
由于 dr v，d于t 是有：
mvr
dvr
r F
drr
由于 mvr
dvr
d(1
mv2 ),
r F
drr
δW
2
质点动能的增量 等于作用在质点 上力的元功
d(1 mv2 ) δW —— 质点动能定理的微分形式 2
3.机械效率
理论力学 第十二章 动能定理
2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。
m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
理论力学第12章
i 1
n
n n (e) (i ) d (mi vi ) Fi dt Fi dt i 1 i 1
×
i 1
n
n n (e) (i ) d (mi vi ) Fi dt Fi dt i 1 i 1
质点系质点相互作用的内 力总是大小相等、方向相 反地成对出现，相互抵消
静反力：电机不转时，基础只有向上的反力；
y
动反力：电机转动时的基础反力；
附加的动反力：动反力与静反力的差值
m1 g
O1
p
Fx 0
Fy (m1 m2 ) g
e
m2 g
Fx m2 e sin t
2
Fy
Mo
Fx
Fy m2 2 e cost
n p mi vi i 1
n为质点数；mi为第i个质点的质量，vi 为质点的速度。 矢量和又称为主矢: 质点系的动量等于质点系动量的主矢。
×
例：三个物块用绳相连，它们都可视为质点，其质量分别为 m1 2 m 2 4 m 3 。绳质量和变形忽略不计，且 45 。求这三个 质点组成的质点系的动量 p.
第十二章 动量定理
沈阳建筑大学 侯祥林
第十二章 动量定理
第十二章引言
§12-1 动量与冲量
§ 12-2 动量定理
动量定理例题
§12-3
质心运动定理
质心运动定理例题
第十二章 动量定理
用质点动力学微分方程分析质点系动力学问题，可以逐个 质点列出动力学基本方程，联立求解困难。
用动力学普遍定理，即： 动量定理 动量矩定理 动能定理 从不同侧面提出质点和质点系的运动变化与其受力之间的 关系，尤其求解质点系动力学问题，很方便。
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
理论力学12章
1 1 1 1 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2vC ( m2 R2 2 )2 2 2 2 2 vC vC , 2 其中 1 2 R1 R2
整理，得
1
vC 2 T2 (2m1 3m2 ) 4
由动能定理，得
T2 T1 W12
因为 得
a b ab cos r 1 1 2 er dr dr d(r r ) d(r ) dr r 2r 2r
W12 k (r l0 )dr
r1
r2
即
k 2 W12 (1 2 2 ) 2
式中
1 r1 l0 ,
2 r2 l0
C1
2
主矢 + 主矩 （力） （力偶）
1
即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代
数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。
说明: 1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
2、C 点不是质心，而是刚体上任意一点时，上述结论也成立； 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不做功的力。
C2
2
1
对于任何运动也适用
§12-2
1、质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2
单位：J（焦耳）
2、质点系的动能
1 T mi vi 2 2
相似性比较
（1）平移刚体的动能 平动 动能 转动
1 2 1 2 T mi vi vC mi 2 2
即
1 2 mv 2
1 J 2 2
再分析摆锤冲断试件后的上升过程。初始动能为T2（待求），末 动能为 0。重力做负功。由动能定理得
第十二章动量定理_理论力学
第十二章动量定理1质系动量的计算质系的动量或式中m为整个质系的质量；对于刚体系常用计算质系的动量，式中vCi为第i个刚体质心的速度。
2.质系动量定理质系动量定理建立了质系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即★质系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
★质系动量守恒定律：当作用于质系的外力系的主矢量，质系动量守恒，即=常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质系的动量在此轴上的投影守恒，如，则常量。
3.质心运动定理质系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即对于刚体系可表示为式中aCi表示第i个刚体质心的加速度。
4.变质量质点运动微分方程5.应用质系动量定理一般可解决质系动力学的两类问题一类是已知质系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质系上外力系中的未知约束力。
另一类是已知作用于在质系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质系的动量变化率或质心的加速度。
动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的普遍定理。
质系动量定理建立了质系动量的变化率与作用于质系上外力系的主矢量之间的关系。
质系动量定理和质心运动定理也是流体动力学及变质量质系动力学的理论基础。
§12-1质系动量定理如图12-1所示质系由个质点组成，第i个质点的质量为，速度为vi，作用于质点上的外力记为，内力记为。
牛顿第二定律可表示为其中，称为质点的动量。
对于整个系统，求上述个方程的矢量和，得更换求和及求导次序，得式中（12-1）为质系内各质点动量的主矢量，称为质系的动量。
为外力的主矢量，为内力的主矢量，根据牛顿第三定律，内力总是大小相等、方向相反，成对的出现在质系内部，所以，于是得(12-2)上式称为质系动量定理，即：质系动量p对时间t的变化率等于作用在质系上外力系的主矢量，而与内力系无关。
在应用动量定理时，应取矢量式（12-2）的投影形式，如动量定理的直角坐标投影式为(12-3)强调说明两点：1、质系动量的变化只决定于外力的主矢量。
理论力学第12章
①
MaCx
MxC
F (e) ix
,
MaCy
MyC
F (e) iy
,
MaCz MzC Fiz(e) 。
②
MaC
M
dv dt
F (e) i
,
MaCn
M
vC2
F (e) in
,
F (e) ib
0 。
19
2. 刚体系统：设第 i 个刚体 mi，vCi，则有
mi aCi Fi (e) 或 mi rCi Fi (e)
对整个质点系来讲，内力系旳主矢恒等于零，内力系对任一 点（或轴）旳主矩恒等于零。即：
Fi (i) 0; mO (Fi (i) )0 或 mx (Fi (i) )0。
6
§12-2 动量与冲量 一、动量
1.质点旳动量：质点旳质量与速度旳乘积 mv 称为 质点旳动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是 kgm/s。
解：选两物体构成旳系统为研究对象。
受力分析，
F (e) x
0,
水平方向
Kx
常量。
运动分析，设大三角块速度 v，
小三角块相对大三角块速度为 vr ，
则小三角块 va v vr
由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (v)mvax 0 M (v)m(vrx v)0
vrx M m Srx M m vm Sm
mi aCix mi xCi Fix(e) mi aCiy mi yCi Fiy (e)
mi aCiz mi zCi Fiz(e)
MaC Fi (e) MrC Fi (e)
3. 质心运动定理是动量定理旳另一种体现形式，与质点运动微 分方程形式相同。对于任意一种质点系， 不论它作什么形式旳 运动， 质点系质心旳运动能够看成为一种质点旳运动， 并设想 把整个质点系旳质量都集中在质心这个点上， 全部外力也集中 作用在质心这个点上。
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d πn P有用 Fv F · 2 30
例12-7(13-5 ) 已知 :m ，l0 ，k ， R ， J。 求:系统的运动微分方程。
解:
s R
2
1 ds T m 2 dt
1 d J 2 dt
O1 ,O2
解:
研究整个系统
1 ml 2 2 1 1 m1r1 2 2 T2 ( ) m101 ( )1 2 3 2 2 2
T1 0
2
1 m 3m1 2 2 ( )l 2 3 2
(01 l , 1
01
r1
l
r1
)
W M
1 m 3m1 2 2 M ( )l 2 3 2
例12-5(13-2) 已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ， m2 ，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度
解:
轮C与轮O共同作为一个质点系 s W12 M m2 gs sin R1
T1 0
1
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 mv2 mv12 W12 2 2
－－质点动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用 于质点的力作的功.
2、质点系的动能定理
由 得
1 d( mi vi 2 ) δWi 2
1 d( mi vi 2 ) δWi 2
W
由 得
12
mzC mi zi
mi g ( z i1 z i 2 )
W12 mg ( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
2、弹性力的功
弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力的功为
W12
A2
1 1 r er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
P输入 5.4kW, P无用 P输入 30%
d 100mm, n 42r / min , n ' 112r / min
求:切削力F的最大值。 解: P P P 3.78kW 无用 输入 有用
60 60 3.78 F P有用 17.19kN πdn π 0.1 42 当 n 112r / min 时
2
ds 1 J ds P mg ds , P m 2 重力 弹性力 ks dt dt 2 R dt
2
dT P P 重力 弹性力 dt
J ds d 2 s ds ds mg ks m 2 2 R dt dt dt dt
第十二章
动
能
定
理
§12-1 力的功 一、常力在直线运动中的功 W F cos s F s
二、变力在曲线运动中的功
元功
δW F cos ds
δW F dr
记
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
§12-2
1、质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2 1 T mi vi 2 2
1 2 T mvC 即 2
2、质点系的动能
（1）平移刚体的动能
1 1 2 2 T mi vi vC mi 2 2 （2）定轴转动刚体的动能
1 1 1 2 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 2 2
~ 2 时,力系的功为
W12
C2
C1
2 FR drC M C d
1
W12
C2
C1
2 FR drC M C d
1
说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
§12-5 势力场.势能.机械能守恒定律
J d2s mg ks m 2 2 R dt
令 0 为弹簧静伸长，即mg=k 0, 以平衡位置为原点
s 0 x
J m 2 R d2 x 2 mg k 0 kx dt kx
J d2 x m 2 2 kx 0 R dt
功率方程:即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和.
车床
dT P输入 P有用 P无用 dt
或
P输入
dT P有用 P无用 dt
3、机械效率
有效功率
P有效
dT P有用 dt
机械效率
P有效 P输入
多级传动系统
12 n
例12-6(13-4) 已知:
－－质点系动能定理的微分形式
dT δWi T2 T1 Wi
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和. －－质点系动能定理的积分形式
质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等 于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.
3、理想约束
光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔
dr P F F v Ft v dt
即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 作用在转动刚体上的力的功率为
δW d P Mz M z dt dt 单位W（瓦特）,1W=1J/S
2、功率方程
n n δWi dT Pi dt i 1 dt i 1
vC v , 2 C R1 R2
1 1 1 1 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2v2 ( m2 R2 2 )2 2 2 2 2
vC 2 M m2 gs sin (2m1 3m2 ) 4
( M m2 gR1 sin ) s vC 2 R1 (2m1 3m2 ) 式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得
索等约束的约束力作功等于零. 为什么？
称约束力作功等于零的约束为理想约束.
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.
内力作功之和不一定等于零.
思考：
当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？
例12-3已知:均质圆盘R ,m ,F =常量,且很大,使盘心O向右运动,
动滑动摩擦因数 f , 初静止。
时静止释放，冲断试件后摆至 2 29
求:冲断试件需用的能量。
解:
T1 0, T2 0
0 0 mgl(1 cos 1 )
mgl (1 cos 2 ) Wk
得冲断试件需要的能量为
Wk 78.92J
Wk k A
冲击韧度：衡量材料抵抗冲击能力的指标。
例 周转齿轮放在水平面内 已知: r1 , m1 均质;杆m 均质, O1O2 =l , M=常量,纯滚动,处于 水平面内,初始静止. 求: O1O2 转过φ角的 ,
2 ( F 2mgf ) 3m
2 s ( F 2m gf) R 3m
例12-4(13-1)
已知:m, h, k, 其它质量不计.
求:
max
解:
T1 0, T2 0
k 2 0 0 mg (h max ) max 2
max
mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k
vC 1 (2m1 3m2 )vC aC M m2 gvC sin 2 R1 2 ( M m2 gR1 sin )
aC (2m1 3m2 ) R1
W12 T2 T1
(a )
例 (12-3)
已知:冲击试验机m=18kg, l=840mm, 杆重不计，在 1 70
§12-3
1、质点的动能定理
动能定理
dv 将 m F 两端点乘 vdt dr , dt mv dv d( 1 mv 2 ), F dr δW 得 mv dv F dr 2 1 2 因此 d( mv ) δW －－质点动能定理的微分形式 2
T2 T1 W
(a )
6M 12M 求导得 2 (2m 9m1 )l 2 (2m 9m1 )l
注意:轮Ⅰ、Ⅱ接触点C是理想约束,其摩擦力Fs尽管在 空间是移动的,但作用于速度瞬心,故不作功.
例 已知:均质杆OB=AB=l, m，在铅垂面内;M=常量,初始静止, 不计摩擦.
求:当A 运动到O点时,
vA ？
解:
l W M 2mg(1 cos ) 2 T1 0 vB vB 3 C ABC C l AB AB , OB l l 2
AB OB
vA AB ·l 2
1 2 T2 TAB TOB mvC 2 4 1 1 2 2 2 J C AB J 0 OB ml 2 AB
力系全部力的元功之和为
4. 平面运动刚体上力系的功
Fi driC Fi cos MC d M C ( Fi )d
δW δWi Fi drC M C ( Fi )d 主矢 drC 主矩 d FR MC
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
W T
2
2
3
2
T1
1 2l 3 M mgl(1 cos ) m
AB
3 M mgl(1 cos ) A AB 2l m
§12-4 功率、功率方程、机械效率