拓扑学的产生与发展
数学专业中的拓扑学研究
数学专业中的拓扑学研究拓扑学是数学中的一个重要分支，研究的是空间中的连接性、连续性以及变形等性质。
在数学专业的学习中，拓扑学是一门关键的课程，它为我们提供了一种独特的思维方式和解决问题的工具。
本文将探讨数学专业中的拓扑学研究，重点介绍其基本概念、应用领域以及未来发展趋势。
一、基本概念1.1 拓扑空间拓扑学研究的基础是拓扑空间概念。
拓扑空间是指一个集合和一个在这个集合上的拓扑结构的组合。
拓扑结构由开集组成，满足以下条件：空集和整个集合都是开集，有限个开集的交集是开集，任意多个开集的并集是开集。
1.2 连通性连通性是拓扑学中的一个重要概念，它描述了空间中元素的连续性和相互联系的程度。
一个拓扑空间如果不能被分成两个不相交的非空开子集，则称之为连通空间。
连通性是刻画空间形状和性质的重要工具。
1.3 同伦同伦是拓扑学的核心概念之一，它研究的是空间之间的连续变形。
同伦意味着一个空间可以通过连续的变形经过一系列步骤变为另一个空间，而保持其内部的连通性。
同伦理论为研究空间形变提供了一种严谨的数学工具。
二、应用领域拓扑学在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
以下是数学专业中拓扑学的几个典型应用领域。
2.1 布朗运动布朗运动是一种随机运动的数学模型，也被称为“艾因斯坦－斯莫洛茨基过程”。
拓扑学在布朗运动的研究中起到了重要作用。
通过拓扑学的方法，我们可以研究布朗运动的路径连续性、维数等性质，从而更好地理解和描述这一随机现象。
2.2 图论图论是数学中的一个重要分支，研究的是由节点和边构成的图的性质。
在图论中，拓扑学提供了一种分析和描述图形连通性的方法。
通过拓扑学的工具和概念，我们可以研究图的连通性、平面性以及颜色分配等问题。
2.3 数据分析在现代数据科学中，拓扑学也扮演着重要的角色。
拓扑学提供了一种非线性的数据分析方法，可以揭示数据之间的内在关系和结构。
通过拓扑学的技术，我们可以对高维数据进行可视化和分类，从而更好地理解和分析数据。
代数拓扑学的发展与应用
代数拓扑学的发展与应用代数拓扑学是数学中的一个重要分支，它旨在研究拓扑空间的代数性质。
它的研究主要侧重于对拓扑空间的代数表示和运算的结构性质的研究。
它为物理学和工程学等领域提供了许多有用的工具，应用广泛。
代数拓扑学的发展源于20世纪早期，它是由代数学和拓扑学相结合发展而来。
代数拓扑学的核心思想是将代数结构和拓扑空间联系起来，从而研究拓扑空间的代数性质。
它的发展可以分为三个阶段：初级阶段、分类阶段和现代阶段。
在初级阶段，代数拓扑学主要研究同调理论和上同调理论。
同调理论是20世纪初由亨利·庞加莱（Henri Poincaré）提出的。
它研究拓扑空间之间的不变量，并且通常涉及从一个拓扑空间到另一个拓扑空间的映射。
在分类阶段，代数拓扑学的研究重点转移到了拓扑空间的分类问题。
这个阶段的代表性结果有同伦分类定理和K-理论。
同伦分类定理指出，任意两个拓扑空间都同伦等价于某些简单结构的拓扑空间。
K-理论是20世纪60年代提出的，它是将纯代数学和拓扑学结合起来的一种新方法，它的目标是对拓扑空间的结构进行分类。
在现代阶段，代数拓扑学的研究重点转移到了拓扑空间的代数表示和拓扑空间的代数性质。
这个阶段的代表性结果是代数K-理论，它主要研究K-环和K-群的代数性质。
代数拓扑学在数学以外的应用领域也很广泛。
它在物理学中被广泛应用，特别是在高能物理学和量子场论中。
它在工程学中也有着广泛的应用，尤其是在电路设计和通信领域。
代数拓扑学还被应用于计算机科学中，特别是在计算几何学和计算流体力学中。
总之，代数拓扑学是一个重要的数学分支，在理论研究和实际应用中都有着重要的地位。
它不仅为数学家提供了一种有用的工具，而且为物理学和工程学等领域提供了许多有用的工具，它在这些领域中都有着广泛的应用。
数学专业的拓扑学发展状况
数学专业的拓扑学发展状况拓扑学作为数学的一个重要分支，研究的是空间的性质和结构。
它通过定义和研究一些抽象的空间性质，为其他学科提供了丰富的工具和方法。
在数学专业中，拓扑学一直都是一个广受关注的领域。
本文将从拓扑学的基础概念、发展历程和主要研究方向三个方面来介绍数学专业的拓扑学发展状况。
一、基础概念拓扑学研究的是空间的性质，因此它的基础概念主要包括拓扑空间、连续映射、开集和闭集等。
拓扑空间是拓扑学研究的基本对象，它是一个集合，配合一个拓扑结构，使得我们可以定义连续映射和开闭集。
在拓扑学中，连续映射是一个重要的概念，它描述了两个拓扑空间之间的映射方式。
开集和闭集是拓扑空间中的两个基本概念，它们是通过拓扑结构定义的。
二、发展历程拓扑学的发展可以追溯到18世纪末19世纪初，当时欧拉和高斯等数学家开始研究桥梁、多面体和曲面等几何问题。
20世纪初，法国数学家普朗克雷提出了集合论的概念，并引入了连续映射和同胚等概念。
随着数学的发展，拓扑学逐渐成为一个独立的数学分支，并得到了快速发展。
20世纪中期，奈伊斯特和厄伦弗鲁古提出了纤维化和同调论等重要概念，为拓扑学的发展奠定了坚实的基础。
此后，拓扑学在代数拓扑学、低维拓扑学和微分拓扑学等方向上取得了重要进展。
三、主要研究方向拓扑学作为数学专业的重要学科，涵盖了丰富的研究方向。
代数拓扑学研究代数结构和拓扑空间的关系，主要包括同调论、同伦论和纤维化等方向。
低维拓扑学研究三维和四维空间的性质和结构，其中著名的低维拓扑学猜想成为了该领域的重要问题之一。
微分拓扑学则研究流形和矢量场的性质，包括黎曼几何和微分流形等方向。
此外，拓扑数据分析是近年来兴起的一个研究方向，它将拓扑学的概念和方法应用于数据分析领域。
总结起来，数学专业的拓扑学发展状况可以概括为基础概念的建立、发展历程的演进和主要研究方向的丰富。
拓扑学作为数学领域的一个重要分支，对于其他学科的发展和应用具有重要意义。
随着科学技术的不断进步和数学方法的不断创新，拓扑学必将继续发展，为解决实际问题提供更多的数学工具和理论支持。
数学拓扑学与傅里叶级数
两者结合的研究方向和前景展望
拓扑学与傅里叶级数在数学领域的应用 两者结合在物理、工程等领域的应用前景 未来研究方向：拓扑学与傅里叶级数的交叉研究 未来展望：拓扑学与傅里叶级数在科技领域的重要作用
计算机科学：拓扑数 据分析用于处理大规 模数据集，拓扑排序 用于解决图论问题
生物学：研究生物 系统的拓扑结构， 如神经网络、蛋白 质折叠等
社会科学：研究社 会现象的拓扑结构 ，如社交网络、城 市规划等
傅里叶级数简介
傅里叶级数的定义
傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法 它由正弦函数和余弦函数组成 每个函数项的系数是原函数的傅里叶系数 傅里叶级数在信号处理、量子力学等领域有广泛应用
汇报人：XX
数学拓扑学与傅里叶级 数
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目录
添加目录标题 数学拓扑学概述 傅里叶级数简介
01 02 03
数学拓扑学与傅里叶级数 的联系
04
数学拓扑学与傅里叶级数 的实例分析
05
数学拓扑学与傅里叶级数 的发展趋势和未来展望
06
添加章节标题
数学拓扑学概述
拓扑学的定义和起源
定义：数学拓扑学是 研究几何图形或空间 在连续变换下保持不 变的性质的学科。
对未来研究的建议和展望
深入研究拓扑学与傅里叶级数的内在联系，以揭示更多数学规律。 探索拓扑学与傅里叶级数在物理、工程等领域的应用，推动交叉学科发展。 利用现代计算技术，开发高效算法，以解决拓扑学与傅里叶级数中的复杂问题。 加强国际合作与交流，共同推进数学拓扑学与傅里叶级数的发展。
拓扑学发展史
拓扑学发展史及其应用【摘要】【关键字】拓扑学、【正文】一、什么是拓扑学拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。
中文名称起源于希腊语Τοπολογ的音译。
Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。
发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。
起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
学科方向由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。
在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑拓扑学已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。
现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。
后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。
数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。
[英topology]举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。
但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。
在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。
这些就是拓扑学思考问题的出发点。
简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。
拓扑学由来几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。
有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。
那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。
拓扑学的基本概念-定义说明解析
拓扑学的基本概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间中的形状、连通性和变化性质。
它主要关注的是不同空间对象之间的关系，而不考虑其具体的度量尺寸或几何特征。
拓扑学起源于18世纪，经过数学家们的不断探索和研究，逐渐形成了一套完整的理论体系。
在拓扑学中，我们关注的是空间对象之间的相互关系，而不关心它们的形状如何变化或者具体的度量尺寸。
例如，我们可以将两个球看作是相同的，因为它们都具有一个孔，而不关心它们的大小或者表面的形状。
这种抽象的思维方式使得拓扑学成为解决很多实际问题的强大工具，例如网络连通性分析、形状识别等。
拓扑学的基本概念包括拓扑空间、拓扑结构、连通性等。
拓扑空间是指一个具有拓扑结构的集合，通过给定的一组开集来定义集合中元素的关系。
拓扑结构则是用来描述集合中元素之间的邻近性和连通性的规则。
而连通性则是指一个空间对象是否是连通的，即是否可以通过一条连续的路径将其所有点连接起来。
拓扑学作为一门基础学科，在多个领域都有广泛的应用。
例如，在计算机科学中，拓扑学被用来描述网络中节点之间的连通性和通信路径；在物理学中，拓扑学被用来研究物质的相变性质；在生物学中，拓扑学被用来研究DNA的结构和蛋白质的折叠等。
这些应用领域的发展与拓扑学的基本概念密不可分。
本文将从拓扑学的起源、基本概念、拓扑空间与拓扑结构以及拓扑学的应用领域等方面进行介绍。
通过对这些内容的系统阐述和分析，旨在帮助读者更好地理解拓扑学的基本概念和应用，以及其在解决实际问题中的重要性。
接下来的章节将详细介绍这些内容，以期能够为读者提供一个全面而深入的拓扑学知识框架。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以根据以下方式进行编写：文章结构部分：本篇文章将按照以下结构组织和介绍拓扑学的基本概念：1. 引言：首先，我们将概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体的概览。
接着，我们将介绍文章的结构，明确每个部分的内容和安排。
拓扑学的应用与发展
拓扑学的应用与发展拓扑学是现代数学中重要的分支之一，其研究对象是空间和变形，包括连续映射、邻域等概念。
随着科技的不断发展，拓扑学越来越受到人们的关注，不仅在数学领域有广泛的应用，而且在物理、计算机科学、生物和化学等领域也得到了广泛的应用。
本文将从不同应用领域出发，介绍拓扑学的应用和发展。
一、物理领域拓扑学在物理领域的应用是最为广泛的，其在量子能级、凝聚态物理、拓扑半金属、拓扑绝缘体等领域均有涉及。
其中，拓扑半金属和拓扑绝缘体引起了广泛的关注。
拓扑半金属是指在材料中具有导电和绝缘特性的区域同时存在，是继传统导体、绝缘体、半导体之后的新型物质状态。
而拓扑绝缘体则是指在材料中具有导电特性的边界和绝缘特性的内部同时存在，同样是新型的物质状态。
这些新型物质状态有望在量子计算、新型设备和器件制造，甚至是量子信息处理等方面得到应用。
二、计算机科学领域在计算机科学领域，拓扑学的应用主要是在图像处理和计算机网络领域。
通过拓扑学的方法对图像进行处理可以实现图像的分类、过滤、匹配等操作，同时可以保留图像的局部和全局特征。
在计算机网络领域，拓扑学的应用主要是拓扑结构的分析和网络的优化。
通过对网络拓扑结构的分析，可以识别出网络中的关键节点和故障点，提高网络的鲁棒性和可靠性。
同时，拓扑学还可以用于网络的优化，如布置路由器和分配带宽。
三、生物领域在生物领域，拓扑学的应用主要是在神经网络和蛋白质结构领域。
神经网络是生物神经系统的信息传递和处理机制，其结构和功能具有拓扑学的特征。
通过拓扑学的方法可以对神经网络进行分析和建模，研究神经元之间的连接方式以及神经网络的发育和演化。
在蛋白质结构领域，拓扑学可以用于研究蛋白质的折叠和稳定，发现蛋白质折叠的拓扑原则，并预测蛋白质结构。
四、化学领域在化学领域，拓扑学的应用主要是在分子化学和材料科学领域。
通过拓扑学的方法可以对分子的结构进行分析，研究化学反应中分子间的关系以及分子的变形和运动。
同时，拓扑学在材料科学领域中也得到了广泛应用，如材料的拓扑设计、材料的拓扑性质和结构以及磁性材料的研究等。
拓扑心理学
拓扑心理学拓扑心理学是一种关于心理学的新兴学科，它研究情感、认知、行为和表征等问题，并使用拓扑学来解释它们之间的关系。
在20世纪90年代，拓扑心理学开始出现，并迅速发展成为一个中心学科。
它的创立者主要是受意大利心理学家Ugo Mauro的启发。
Mauro认为，从抽象的角度认知学可以将行为、情感和认知当作一个整体来考虑，而拓扑学可以用来概括和解释这些概念的积极关系。
拓扑心理学主要研究三个问题：（1）表征：如何表征和表达情绪？（2）认知：如何理解和掌握信息？（3）行为：如何组织和表现行为？拓扑心理学的核心思想是“空间”：我们将思考空间里的情感、认知和行为当作一个整体，其中每一个都有其自身特性，并且受空间关系的影响。
例如，拓扑心理学认为，环境中的变量正在影响心理变量，因此环境的变化会直接影响心理活动。
此外，拓扑心理学认为，我们的情绪、认知和行为受空间结构的影响，我们的情绪、认知和行为的形式在空间中的位置不同。
拓扑心理学的研究是由将多重性质的心理因素融入拓扑学和系统思维所获得的新观念。
它指出，心理因素是空间关系的投射，可以在空间中组织和整合。
空间结构决定了心理变量的表现，而心理变量也影响空间结构。
拓扑心理学引入的新概念有助于我们理解心理变量是如何影响空间结构的，也有助于我们理解空间结构对心理变量的影响。
拓扑心理学的研究有助于理解复杂的心理活动，并且为临床实践带来新的机会。
它给心理学家和临床心理学家提供了一种新的方法，帮助他们更好地认识心理活动，并从中获得更好的治疗效果。
拓扑心理学提出的许多理论被证明是有效的，在心理治疗中起到了重要作用。
拓扑心理学为心理学研究提出了新的方法，它的核心思想是把心理因素融入拓扑学和系统思维，它有助于我们理解心理问题，帮助我们改善心理治疗的效果。
拓扑心理学已经发展成为一门新兴学科，并受到越来越多的关注。
它研究的以及理论概念，将在未来更多的心理学领域得到重视，成为心理学研究的重要方面。
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拓扑学的产生与发展邓一凡0401120摘要：拓扑学作为数学上一个重要的分支，主要是研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质，自从18世纪开始出现萌芽以来，对微分几何，分析学，抽象代数，经济学等其他学科产生了重大的影响。
而随着时代的发展，拓扑学更会在科学中起到更加重要的作用和影响力。
As an important branch of mathematics , Topology is to study a variety of "space" in the continuity of the invariant under changes in the nature, since the 18th century began to sprout since the differential geometry, analytical science, abstract algebra, economics, etc. other disciplines have had a significant impact. With the development of the times, topology in science will play a more important role and have more influence.关键字：拓扑学欧拉四色问题七桥问题庞加莱正文：拓扑学的定义：（1）Topology原意为地貌，起源于希腊语Τοπολογ。
形式上讲，拓扑学主要研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质。
简单的说，拓扑学是研究连续性和连通性的一个数学分支。
主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量拓扑学早期的发展：拓扑学最初被称为形势几何学，这是莱布尼茨于1679年提出的，他预见到现在所称的组合拓扑学.最早为人所知的拓扑学定理可能是所谓的欧拉公式，这是指任何闭的凸多面体的顶点数v，棱数e和面数f有关系v-e+f=2.用现代说法，它是一个拓扑不变量，称为欧拉示性数.但据史学家考证，笛卡儿在1639年就知道它，并且莱布尼茨通过笛卡儿未发表的手稿于1675年得知这一结果.另一著名的结果是哥尼斯堡七桥问题的解决，欧拉在1736年将问题表成能否一笔画一个给定的图，并给出了一般性的解答.德国数学家高斯（Gauss，C.F.）于1827年得到曲面上曲率的积分与欧拉示性数的关系，他于1823年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数.利斯廷（Listing，J.B.）于1848年第一次采用了拓扑学一词，而黎曼（Riemann，B.）于1851年定义了黎曼面，引进了连通性和亏格，实际上解决了可定向闭曲面的分类问题，给拓扑学的建立以巨大的推动.1858年，默比乌斯（Mo¨bius，A.F.）和利斯廷独立地发现了单侧的曲面，现被更确切地称为不可定向曲面.默比乌斯于1863年恰当地指出形势几何学的定义.拓扑学正式成为一门独立的学科是庞加莱（Poincaré，H.）实现的.他于1892年发表了题为“论形势分析”的短文，然后于1895年发表了题为“形势分析”的120页的长文，介绍它的概念，其中有同调、贝蒂数、相交、基本群，甚至隐含着上同调;建立了对偶定理和欧拉-庞加莱公式.随后直到1904年，他连续发表了五篇补充，为改进前述长文中的缺点创立了剖分方法，定义了挠系数，开始探讨三维流形的拓扑分类，构造出基本群不平凡而一维贝蒂数平凡的三维流形，并提出了著名的庞加莱猜想：基本群平凡的三维闭流形同胚于三维球面.这几篇文章奠定了组合拓扑学的基础，其思想非常丰富，观念很深刻，影响很深远，尽管不够严密或缺乏证明，但后来的进展正是从此入手，将这门学科建立在严格的逻辑上而发展为后来的组合拓扑学、代数拓扑学，进而发展出微分拓扑学等学科和分支.从此以后，拓扑学得到了蓬勃的发展，也为不同学科提供了宝贵的数学支持。
拓扑学经典问题：七桥问题哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。
十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。
一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。
这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。
而大数学家欧拉了解了这个问题后，经过多次计算，也得不到正确答案，忽然他想到，七桥问题是不是原本就无解呢？在经过一年的研究之后，欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---图论。
而这也是拓扑学产生的萌芽（1）在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
并由此得到了如图一样的几何图形。
若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。
这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。
若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由B或C为起点得到的效果是一样的，若假设以A为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，若我们定义进入A的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与A有关的线的条数为A的度，则A的出度和入度是相等的，即A的度应该为偶数。
即要使得从A出发有解则A的度数应该为偶数，而实际上A的度数是5为奇数，于是可知从A出发是无解的。
同时若从B或D出发，由于B、D的度数分别是3、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。
四色问题：四色问题是拓扑学发展的关键，1872年，英国著名数学家凯利正式向英国数学学会提出了这个问题，即：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；提出这个问题后，英国著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文，当人们认为四色问题已经完美地解决时，1890年，牛津大学学生赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。
他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。
不久，泰勒的证明也被人们否定了。
人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。
就是说对地图着色，用五种颜色就够了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。
到了20世纪六十年代后期，数学家海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。
在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。
最后, 在1976年6月美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进之前解决四色问题的方法“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。
他们在大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。
庞加莱猜想：庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。
其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。
庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面(n+1维空间中与原点有单位距离的点的全体)。
”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
从那时起，数学家们就在为此奋斗庞加莱猜想图示终于，在1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，立时引起轰动。
斯梅尔由此获得1966年菲尔茨奖。
1983年，美国数学家福里德曼（Freedman）将证明又向前推动了一步。
在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。
但是，再向前推进的工作，又停滞了。
而在俄罗斯，一个叫格里戈里·佩雷尔曼的数学家在花了8年时间研究这个足有一个世纪的古老数学难题后，在2002年11月和2003年7月之间，将3份关键论文的手稿粘贴到一家专门刊登数学和物理论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家。
声称证明了几何化猜想。
到2005年10月，数位专家宣布验证了该证明。
自此，庞加莱猜想可以说是被完全地解决了。
拓扑学未来的发展方向：量子拓扑学这一研究方向主要在于研究分子的电子密度分布函数的拓扑性质和分子结构、化学键的相关，研究分子结构和化学键的本质。
这是８０年代发展起来的新学科，是量子化学和代数拓扑学、计算机技术交叉的新学科。
这一学科的发展将促进化学基础理论的发展。
因此可以说，量子拓扑学是数学、物理、化学三者的有机结合。
（3）微分拓扑是研究微分流形与可微映射的拓扑学。
随着代数拓扑和微分几何的进步，在30年代重新兴起。
H·惠特尼（H. Whitney）在1935年给出了微分流形的一般定义，并证明它总能嵌入高维欧氏空间。
为了研究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概念，从而使许多几何问题都与同调（示性类）和同伦问题联系起来了。
摘要（1）：中国科普博览．2013-02-20（2）：拓扑学与几何学的桥梁伊犁师范学院学报：自然科学版-2011年第2期（3）：Switzer ．《代数拓扑》(Algebraic Topology) ：Springer。