反证法(课件)
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反证法课件
3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：
结论词 至少有一个 至__多__有__一__个__ 至少有n个 至多有_n_个
一__个__也__没__有___
至多有
反设词
至少有两个
(不存在)
_(_n_－__1_) _个
至少有 (n＋1)个
结论词 只有一个 对所有x成立
对_任__意___x不成立
没有或至少 存在_某__个___x
题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题 例3 用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程 f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.(不考虑重根) 证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根， 设α，β为它的两个实数根， 则f(α)＝f(β)＝0. 因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数， 所以f(α)＜f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾， 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.
反设词
有两个
不成立
存在某个x成立
结论词 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是
_一__定__是___
p或q
p_且_ q
反设词 _不__都__是__ 不一定是 綈p且__綈q 綈p或綈q
思考 (1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种 说法对吗？为什么？ 答案 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的 否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题. 命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对. (2)反证法主要适用于什么情形？ 答案 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的 线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论， 而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
反证法课件
这四个步骤正确的顺序应是( C)
A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1) C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)
例1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径. A
求证：弦AB、CD不被P平分.
O
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
连结 AD、BD、BC、AC,
C
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ABCD是平行四B边形
所以 ACB ADB,CAD CBD
因为 ABCD为圆内接四边形
所以 ACB ADB 180 , CAD CBD 180
因此 ACB 90 , CAD 90
反设 归谬 结论
适宜使用反证法的情况 （1）结论以否定形式出现 （2）结论以“至多------，” ，“至少------”
“有无穷多个------”形式出现 （ 3）唯一性、存在性问题 （4） 结论的反面比原结论更具体更容易
研究的命题,如结论需分成很多类进 行讨论．
常见否定用语
是－－－不是
有－－－没有
3.求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
等－－－不等
成立－－不成立
都是－－不都是，即至少有一个不是
都有－－不都有，即至少有一个没有
A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1) C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)
例1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径. A
求证：弦AB、CD不被P平分.
O
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
连结 AD、BD、BC、AC,
C
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ABCD是平行四B边形
所以 ACB ADB,CAD CBD
因为 ABCD为圆内接四边形
所以 ACB ADB 180 , CAD CBD 180
因此 ACB 90 , CAD 90
反设 归谬 结论
适宜使用反证法的情况 （1）结论以否定形式出现 （2）结论以“至多------，” ，“至少------”
“有无穷多个------”形式出现 （ 3）唯一性、存在性问题 （4） 结论的反面比原结论更具体更容易
研究的命题,如结论需分成很多类进 行讨论．
常见否定用语
是－－－不是
有－－－没有
3.求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
等－－－不等
成立－－不成立
都是－－不都是，即至少有一个不是
都有－－不都有，即至少有一个没有
反证法 课件(人教版)
写出下列结论的否定：
p是偶数
——
p不是偶数
2不是有理数
—— 2是有理数
a,b,c中至少有一个大于0 —— a,b,c都小于等于0
这几个三角形不可能都是
锐角三角形
——
这几个三角形 都是锐角三角形
例2.证明：设p为整数，如果p2是偶数, 则p 也是偶数。 证明：假设p不是偶数，又p是整数
则p是奇数 可令p=2k+1，k∈Z. 得 p2=4k2+4k+1，
它的对角线 2却不能用整数之比来表达。这就触犯
了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不
准泄露 是无2 理数的秘密。
• 天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结
果被杀害。但 2很快就引起了数学思想的大革命。
科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。
证明: 2 不是有理数。
,
, 已知a，b，c都为实数，a x2 2y ,b y2 2z ,
此式表明，p²是奇数，这与已知矛盾， 因此假设p不是偶数不成立， 从而证明p为偶数。
希帕索斯－－无理数的发现者， 科学的殉难者
• 希帕索斯，毕达哥拉斯的得意门生。
• 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派认为“数即万物”， 也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比 来表达。但是，希帕索斯发现，边长为1的正方形，
法—— 反证法
例1、已知： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ不都小于60°. Ａ
Ｂ Ｃ
反证法的定义：
一般地，由证明pq转向证明：
q q r t
t 与假设矛盾，或
与某个真命题矛盾，
反设结论 演绎归谬
从而判定 q为假， 推出 q 为真的方法，
p是偶数
——
p不是偶数
2不是有理数
—— 2是有理数
a,b,c中至少有一个大于0 —— a,b,c都小于等于0
这几个三角形不可能都是
锐角三角形
——
这几个三角形 都是锐角三角形
例2.证明：设p为整数，如果p2是偶数, 则p 也是偶数。 证明：假设p不是偶数，又p是整数
则p是奇数 可令p=2k+1，k∈Z. 得 p2=4k2+4k+1，
它的对角线 2却不能用整数之比来表达。这就触犯
了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不
准泄露 是无2 理数的秘密。
• 天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结
果被杀害。但 2很快就引起了数学思想的大革命。
科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。
证明: 2 不是有理数。
,
, 已知a，b，c都为实数，a x2 2y ,b y2 2z ,
此式表明，p²是奇数，这与已知矛盾， 因此假设p不是偶数不成立， 从而证明p为偶数。
希帕索斯－－无理数的发现者， 科学的殉难者
• 希帕索斯，毕达哥拉斯的得意门生。
• 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派认为“数即万物”， 也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比 来表达。但是，希帕索斯发现，边长为1的正方形，
法—— 反证法
例1、已知： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ不都小于60°. Ａ
Ｂ Ｃ
反证法的定义：
一般地，由证明pq转向证明：
q q r t
t 与假设矛盾，或
与某个真命题矛盾，
反设结论 演绎归谬
从而判定 q为假， 推出 q 为真的方法，
《高一数学反证法》课件
偏离。
推理要严密，避免循环论证
总结词
推理的严密性是反证法成功的关键，任何疏 漏或循环论证都可能导致结论的错误。
详细描述
在反证法的应用中，推理过程必须严谨，每 一步的推导都要有明确的依据。特别是在使 用反证法时，我们经常会用到一些已知的事 实或定理，这些都必须准确无误。此外，要 特别注意避免循环论证，即用假设证明假设 的情况。
04
反证法的注意事项
正确否定假设
总结词
在反证法的应用中，正确否定假设是至关重要的步骤，因为如果假设没有被正确否定， 那么推导出的结论可能不准确。
详细描述
在反证法的第一步，我们需要对原命题进行否定，得到假设。这个假设必须是明确的， 并且与原命题形成对立。在后续的推理中，我们必须始终围绕这个假设进行，确保没有
在否定假设时，需要注意逻辑的严谨性，确保否定假设的 依据是充分的。同时，也需要确保得出的结论与原命题一 致，没有偏离原命题的讨论范围。
03
反证法的应用实例
应用在不等式证明中
总结词
反证法在不等式证明中应用广泛，通过假设相反的不等式关系，推导出矛盾，从而证明不等式成立。
详细描述
在证明不等式时，反证法常常被用来证明一个不等式是否成立。首先，我们假设相反的不等式关系成 立，然后通过逻辑推理和数学计算，推导出矛盾。最后，根据反证法的原理，原不等式成立。
《高一数学反证 法》ppt课件
目录
• 反证法简介 • 反证法的证明步骤 • 反证法的应用实例 • 反证法的注意事项 • 反证法练习题及解析
01
反证法简介
反证法的定义
01
反证法是一种证明方法，通过否 定待证明的命题，推理出与已知 事实或公理相矛盾的结论，从而 证明原命题的正确性。
推理要严密，避免循环论证
总结词
推理的严密性是反证法成功的关键，任何疏 漏或循环论证都可能导致结论的错误。
详细描述
在反证法的应用中，推理过程必须严谨，每 一步的推导都要有明确的依据。特别是在使 用反证法时，我们经常会用到一些已知的事 实或定理，这些都必须准确无误。此外，要 特别注意避免循环论证，即用假设证明假设 的情况。
04
反证法的注意事项
正确否定假设
总结词
在反证法的应用中，正确否定假设是至关重要的步骤，因为如果假设没有被正确否定， 那么推导出的结论可能不准确。
详细描述
在反证法的第一步，我们需要对原命题进行否定，得到假设。这个假设必须是明确的， 并且与原命题形成对立。在后续的推理中，我们必须始终围绕这个假设进行，确保没有
在否定假设时，需要注意逻辑的严谨性，确保否定假设的 依据是充分的。同时，也需要确保得出的结论与原命题一 致，没有偏离原命题的讨论范围。
03
反证法的应用实例
应用在不等式证明中
总结词
反证法在不等式证明中应用广泛，通过假设相反的不等式关系，推导出矛盾，从而证明不等式成立。
详细描述
在证明不等式时，反证法常常被用来证明一个不等式是否成立。首先，我们假设相反的不等式关系成 立，然后通过逻辑推理和数学计算，推导出矛盾。最后，根据反证法的原理，原不等式成立。
《高一数学反证 法》ppt课件
目录
• 反证法简介 • 反证法的证明步骤 • 反证法的应用实例 • 反证法的注意事项 • 反证法练习题及解析
01
反证法简介
反证法的定义
01
反证法是一种证明方法，通过否 定待证明的命题，推理出与已知 事实或公理相矛盾的结论，从而 证明原命题的正确性。
高中数学选修～课件第三章§反证法
推理不严谨，结论不成立
推理过程中存在漏洞
在使用反证法时，需要确保推理过程的严谨性。如果推理过程中存在漏洞，就可 能导致结论不成立。
未能正确运用逻辑规则
在反证法中，需要正确运用逻辑规则进行推理。如果未能正确运用逻辑规则，就 可能导致推理结果出现错误。
05 练习题与拓展思考
针对性练习题
证明
若$a,b,c in mathbb{R}$，且$a=b+c$，则$a,b,c$中至少有一个数不小于$frac{a}{3}$ 。
错误地否定原命题
在反证法中，需要假设原命题的否定 形式成立，然后进行推理。如果错误 地否定了原命题，就会导致推理方向 偏离正确轨道。
未能找到矛盾点或突破口
对已知条件理解不足
在使用反证法时，需要充分利用已知条件进行推理。如果对 已知条件理解不足，就可能无法找到矛盾点或突破口。
缺乏解题经验
对于一些较为复杂的题目，需要具备一定的解题经验才能找 到矛盾点或突破口。如果缺乏解题经验，就可能无法有效地 运用反证法。
假设$x,y$都不大于$1$，即$x leq 1, y leq 1$，则$x+y leq 2$，与已知条件 $x+y>2$矛盾，故假设不成立，原命题成立。
答案及解析
• 假设在这$99$个数中，任意三个数的和都不是$3$的倍数。 考虑这$99$个数除以$3$的余数，只能为$0,1,2$。由于 $99$个数中任意三个数的和都不是$3$的倍数，故余数为 $0,1,2$的数应各出现$33$次。但在这$99$个连续自然数中 ，必有一个数能被$3$整除，即余数为$0$的数至少有$34$ 个，与假设矛盾，故原命题成立。
高中数学选修～课件 第三章§反证法
汇报人：XX 20XX-01-30
反证法 课件
不等式的证明
反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点, 结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等， 进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确， 从而间接说明原命题成立的方法。
例1 已知x, y 0, 且x y 2,试证 : 1 x ,1 y中至少
yx 有一个小于2.
另外,如果从正面 证明,需要对某一 个分式小于2或两 个分式都小于2等 进行分类讨论,而
证明 假设 a,b, c 不全是正数,即其中至少有 一个不是正数.不妨先设a 0.下面分a 0和 a 0 两种情况讨论.
1 如果 a 0,则 abc 0,与abc 0 矛盾. 所以
a 0 不可能.
2 如果 a 0,那么由abc 0,可得 bc 0.
又因为a b c 0.所以b c a 0.
与①矛盾∴结论成立
例2 已知 a,b, c为实 假设a,b, c不全是正数, 数 , a b c 0 , ab 这时需要逐个讨论a , bc ca 0, abc 0,求 b, c不是正数的情形.但 证 : a 0,b 0, c 0. 注意到条件的特点(任 分析 要证的结论与 意交换a,b, c 的位置不 条件之间的联系不明 改变命题的条件),我们 显,直接由条件推出结 只要讨论其中一个(例 论的线索不 够清晰,于 如a), 其他两个(例如b, 是考虑采用反证法. c)与这种情形类似.
▪
论成立的方法。
反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难
的命题常常用反证法证明. （正难则反）
反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点, 结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等， 进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确， 从而间接说明原命题成立的方法。
例1 已知x, y 0, 且x y 2,试证 : 1 x ,1 y中至少
yx 有一个小于2.
另外,如果从正面 证明,需要对某一 个分式小于2或两 个分式都小于2等 进行分类讨论,而
证明 假设 a,b, c 不全是正数,即其中至少有 一个不是正数.不妨先设a 0.下面分a 0和 a 0 两种情况讨论.
1 如果 a 0,则 abc 0,与abc 0 矛盾. 所以
a 0 不可能.
2 如果 a 0,那么由abc 0,可得 bc 0.
又因为a b c 0.所以b c a 0.
与①矛盾∴结论成立
例2 已知 a,b, c为实 假设a,b, c不全是正数, 数 , a b c 0 , ab 这时需要逐个讨论a , bc ca 0, abc 0,求 b, c不是正数的情形.但 证 : a 0,b 0, c 0. 注意到条件的特点(任 分析 要证的结论与 意交换a,b, c 的位置不 条件之间的联系不明 改变命题的条件),我们 显,直接由条件推出结 只要讨论其中一个(例 论的线索不 够清晰,于 如a), 其他两个(例如b, 是考虑采用反证法. c)与这种情形类似.
▪
论成立的方法。
反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难
的命题常常用反证法证明. （正难则反）
反证法 课件(人教版)
2.反证法可以适用的两种情形 (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结 论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从 反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
用反证法证明否定性命题 【技法点拨】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命 题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具 体，适合使用反证法
【归纳】 (1)用反证法证题时，若原命题的反面不唯一时怎么 办？(2)宜用反证法证明的题型有哪些？ 提示：(1)用反证法证明命题时，若原命题的反面不唯一，这 时要把每一种情况一一否定，不能遗漏. (2)宜用反证法证明的题型有： ①易导出与已知矛盾的命题； ②“否定性”命题；
③“唯一性”命题； ④“必然性”命题； ⑤“至多”“至少”类的命题； ⑥涉及“无限”结论的命题等.
用反证法证明唯一性命题 【技法点拨】
用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性 和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存 在”等形式出现的命题时，由于假设结论易导出矛盾，所以用 反证法证其唯一性比较简单明了.
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解) 1.在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反 证应分为________和___________________. 2.求证方程2x=3有且只有一个根.
【解析】1.两条直线的交点个数包括：没有交点，有且只有一 个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为 无交点和不只有一个交点. 答案：无交点 不只有一个交点
2.因为2x=3，所以x=log23.这说明方程有一个根.下面用反证 法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3有两个根x1,x2(x1≠x2)， 则 2x1 3, 2两x2 式3,相除，得 =1.2x1x2 若x1-x2＞0，则2x1x＞2 1,这与 2x=1x12 矛盾； 若x1-x2＜0，则2x1x＜2 1,这也与 2=x11x2矛盾， 因此只能x1-x2=0，这与x1≠x2矛盾. 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾.故2x=3只有一个根.
《反证法》ppt课件
2.2直接证明与间接证明
2.2.2
间接证明
一、复习
1、直接证明的两种基本证法：综合法和分析法 2、这两种基本证法的推证过程和特点： 综合法 — —已知条件⇒ ⇒ ⇒ 结论 由因导果 分析法 — —结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
二.练习
1.已知a,b,c是不全相等的正数，且0 < x < 1. 求证： a+b b+c c+a log x + log x + log x 2 2 2 < log x a + log x b + log xc
2.设a,b是异面直线，在a上任取两点A,C， 在b上任取两点B,D， 试证：AB和CD也是异面直线.
否定结论q
逻辑矛盾
为
假
为
真
注3.反证法的证明过程可以概括为： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即三个步骤：反设—归谬—存真 注4.用反证法证明的步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立 （反设） （2）从反设和已知条件出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾结果（归谬） （3）由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立 （存真）
例2.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上 的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心．
解题反思：
证明该问题的关键 是哪一步？ 本题中得到的逻辑 矛盾归属哪一类？
例3：求证：正弦函数没有比2π 小的正周期.
解题反思：
证明该问题的关键是哪一步？ 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
A
C a
2.2.2
间接证明
一、复习
1、直接证明的两种基本证法：综合法和分析法 2、这两种基本证法的推证过程和特点： 综合法 — —已知条件⇒ ⇒ ⇒ 结论 由因导果 分析法 — —结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
二.练习
1.已知a,b,c是不全相等的正数，且0 < x < 1. 求证： a+b b+c c+a log x + log x + log x 2 2 2 < log x a + log x b + log xc
2.设a,b是异面直线，在a上任取两点A,C， 在b上任取两点B,D， 试证：AB和CD也是异面直线.
否定结论q
逻辑矛盾
为
假
为
真
注3.反证法的证明过程可以概括为： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即三个步骤：反设—归谬—存真 注4.用反证法证明的步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立 （反设） （2）从反设和已知条件出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾结果（归谬） （3）由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立 （存真）
例2.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上 的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心．
解题反思：
证明该问题的关键 是哪一步？ 本题中得到的逻辑 矛盾归属哪一类？
例3：求证：正弦函数没有比2π 小的正周期.
解题反思：
证明该问题的关键是哪一步？ 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
A
C a
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探究1：掀起你的盖头来——认识反证法
反证法的定义： 在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。
探究2：深度挖掘——了解反证法
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的
推理方法?
王戎回答说:“假如李子不苦的话，早被 路人摘光了，而这树上却结满了李子，所 以李子一定是苦的。”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.
注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？
反证法的概念
反证法的证题步骤
如何正确使用反证法
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定，防止否定 不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整准确，否则不能说明 命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
例2：在同一平面内，两条直线a,b都和直线c 垂直，求证：a与b平行
解题反思： 证明该问题的难点是哪一步？
你怎么看待反证法题目中的已知条件？
1.命题”三角形中最多只有一个内角是直角“的结 论的否定是（ ） C A、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ ） D A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数
大家议一议！
我来告诉你（经验之谈）
探究4：
1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理
哪些问题适宜用反证法
总之，直接证明比较困难的命题
反思与收获
你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？
同学们，学了这节课， 你们有何体会？ ---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
原词语
等于
否定词
不等于 不是 不都是 不大于 不小于
原词语 任意的
至少有一个
否定词
某个
是 都是 大于 小于
一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有（n-1)个 至多有n个 至少有（n+1)个 对任何x 不成立 存在某个x,成立
对所有x 存在某个 x不成立 成立
探究3：生活中有运用反证法思想的例子吗?
P67
习题3-4
1, 2
3.如果a>b>0，那么 a > b
否定要全面
证明: 假设 则
a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
a 不大于
b
(1)若 a < b a b
与已知a b 0矛盾 与已知a b 0矛盾 （2）若 a = b a = b，
所以假设错误，故原命题
a b
成立
牛刀小试
已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角（如图） 求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角 大于或等于60 ° B
用反证法证明(填空):在三角形的内角中, 至少有一个角大于或等于60 ° A
证明：假设所求的结论不成立，即 ＜ ∠A__ 60 ° ,∠ B__60 ° ,∠ C __60 ° ＜ ＜ 则∠A+∠ B+∠ C＜180 ° 三角形的三个内角之和等于180 ° 这与______________________相矛盾 假设 所以______不成立， 所求证的结论成立
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 分析法
结论
已知条件
由因导果 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
名家情系反证法
反证法常常是解决某些“疑难”问 题的有力工具。 牛顿说：“反证法是数学家最精当 的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它： “反证法是数学家最有力的一件武器， 比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的 让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外 乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把 全局拱手让给对方！”
反证法的证题步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； -（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立 一、你能用更简洁的文字概括反证法的基本步骤吗？ 二、反证法在推理中可能得出哪几类矛盾？
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的关键词的否定形式.
C
例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”,因为a是整数，故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已 知矛盾。∴假设不成立，故2能整除a。