泰勒公式例题

当 x0 =0 时（, 1）式变成 f (x)
f (0)
f ' (0) x 1!
f '' (0) x 2 2!
f (n) (0) x n n!
o(xn ) ,
称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义 2.2 [2] 若函数 f 在 x0 某邻域内为存在直至 n 1阶的连续导数,则
f (x)
例 3.2 当 x 0 时,证明 sin x x 1 x3 . 6
证明
取
f
(x)
sin
x
x
1 6
x3 ,
x0
0 ,则
f (0) 0, f ' (0) 0, f '' (0) 0, f ''' (x) 1 cos x, f '''(0) 0.
带入泰勒公式,其中 n =3,得
f (x) 0 0 0 1 cos x x3 ，其中 0 1. 3!
2!
n! (n 1)!
sin x x x3 x5 (1)n x2n1 o(x2n2 ) .
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n o(x2n ) .
2! 4! 6!
(2n)!
ln(1 x) x x2 x3 (1)n xn1 o(xn1) .
故
当 x 0 时, sin x x 1 x3 . 6
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泰勒公式及无穷小变换的应用
3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒 公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.
3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性
例3
判断广义积分∫+∞（ 5
23
n 1
1 1 x x2 xn o(xn) 1 x
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 .
2!
定理 2.1 [3] (介值定理) 设函数 f 在闭区间 [a,b] 上连续,且 f (a) f (b) ,若 0 为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任何实数,则至少存在一点 x0 (a,b) ,使得
f (x0 )
f ' (x0 )(x x0 )
f
'' (x0 2!
)
(x
x0
)2
...
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
Rn
(
x)
,
（2）这里 Rn (x) 为拉格朗日余项 Rn (x)
f (n1) ( ) (n 1)!
(
x
x0
)n1
,其中
在
x
与
x0
之间,称（2）为 f 在 x0 的泰勒公式.
x -1- x - x sin x
3
+ o(
2 =6
sin x - x cos x
3
+ o(
3) = 1 3) 2
x 3
例 3.3 利用泰勒展开式再求极限
。
解：
，
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泰勒公式及无穷小变换的应用
【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为
，从而
当
时，
，应为
3.2 利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函 数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.
12
x2
cos x e 2
lim
x0
x4
lim
x0
1 12
x4 x4
O(x4 )
1 12
.
ex -1- x - x sin x
例 3.2 极限 lim x→0
2 sin x - x cos x
.
e 分析：此为 0 型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将 cos x 和 sinx, x 分 0 别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
f (x0 ) 0 .
3 泰勒公式的应用
3.1 利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的 极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.
例 3.1
x2
求极限 lim cos x e 2 .
x0
x4
分析：此为
0
型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将 cos
解：
由
ex
-1-
x
-
x 2
sin
x
=
1+
x
+
x2
2
+
x3
6
+
o( x 3)
-1-
x
-
x(x 2
-
x3
6
+
o( x3))
=
x3
6
+
x4
12
+
o(
x
3)
=
x3
6
+
o(
x
3)
,
sin来自百度文库
x
-
x cos
x
=
x
-
x3
6
+
o( x3)
-
x(1-
x2
2
+
o( x3))
=
x3
3
+
o( x 3)
于是
e x x lim x x→0
２ 预备知识
定义 2.1 [1] 若函数 f 在 x0 存在 n 阶导数,则有
f (x)
f (x0 )
f
' (x0 1!
)
(x
x0
)
f
'' (x0 2!
)
(x
x0
)2
（1）
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
o((x
x0 )n )
这里 o(( x x0 )n ) 为佩亚诺型余项,称(1)f 在点 x0 的泰勒公式.
x
和
e
x2 2
分
0
别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解
由 cos x 1
x2
x4
o(
x
4
)
,
e
x2 2
1
x2
( x2 )2 2
o(x4 ) 得
2! 4!
22
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泰勒公式及无穷小变换的应用
于是
x2
cos x e 2
( 1 1 )x4 o(x4 ) 1 x4 O(x4) ,
4! 22 2!
x +1+
x -1-2
x)dx的收敛性。
解： x +1 + x -1 - 2 x = （x 1+ 1 + 1- 1 - 2),
x
x
利用泰勒公式将 1+ 1 , 1- 1展开： xx
1+
1 x
=1+
1 2x
+
1 (1 -1) 22
2!
1 x2
+
o(
泰勒公式及无穷小变换的应用
泰勒公式及其应用 等价无穷小在求函数极限
中的应用及推广
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泰勒公式及无穷小变换的应用
泰勒公式及其应用
１ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示
为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的 有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算, 其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系 统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进 行讲解说明.
当 x0 =0 时（, 2）式变成
f (x)
f (0)
f '(0)x
f '' (0) x2 ... 2!
f
(n) (0) n!
xn
Rn
(x)
称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
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常见函数的展开式：
e x 1 x x 2 x n ex x n1 .