22.3二次函数y=a(x+h)^2+k的图象和性质
将抛物线y=ax² 沿x轴方向平移h个单位,得抛物线
y=a(x+h)2 左+右3 请说出二次函数y=2(x-3)2与抛物线 y=2x2 +3 如何 由y=2x2 平移而来 拋物线y=2x2向右平移3个单位得y=2(x-3)2 拋物线y=2x2向上平移3个单位得y=2x2 +3
20:09 3
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。 k>0 上移 y=ax2 k<0 下移 左加 y=ax2 右减 y=a(x+h)2 y=ax2+k
C(3,0) x 3
20
（4)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于x轴对称 后的抛物线是______
20:09 16
二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实 数,图象的顶点必在( )上 A)直线y=-2x上 C)y轴上 B)x轴上 D)直线y=2x上
对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a>0,b 为常 数,点( 3 ,y1) 点( 5 ,y2)在抛物线上，试 比较y1,y2,的大小
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
20:09
y= 3（x+1）2+1
11
各种形式的二次函数的关系
左 右 平 移
y = a( x + h )2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x + h )2
左右平移
y=
ax2
结论: 一般地，抛物线 y = a(x + h)2+k 与y = ax2形状相同，位置不同。
20:09 5
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
再描点、连线
1 (1)抛物线 y ( x 1) 2 1 2
1
y
的开口方向、对称轴、顶点
? 1 (2)抛物线 y ( x 1) 2 1
2
y 2 x 2
2
B.
2.抛物线
y 2( x m) n
2
的顶点坐标是( C
)
A. (m n) ，
B.
(m，-n) (m，-n)
2
C.
(m，n)
直线x=n-m
20:09
D.
3. 抛物线 y
5( x m n) n m 的对称轴
14
.
灵活变通
若二次函数
(-2,3)
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=a(x+h)2+k(a>0)
（-h，k）
直线x=-h
由h和k的符号确定
y=a(x+h)2+k(a<0)
（-h，k）
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
直线x=-h
由h和k的符号确定
向上
当x<-h时,y随着x的增大而减小. 当x>-h时, y随着x的增大而增大.
向下
20:09
移|k|个单位 抛物线y=a(x+h)2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=-h; (3)顶点是(-h,k).
向左(右)平 y=a(x+h)2+k 移|h|个单位
8
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
20:09
17
能力提升
抛物线
yx
2
如何平移得到
y x 2x 2
2
?
求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴及最值 (1)
y 2 x 8x
2
(2)
y 2 x 4 x 8
2
思考
抛物线
20:09
y ax
2
如何平移得到 y
ax bx c
2
?
18
其中 a 0
1 2 ,则平移后的函数解析式为 y ( x 2) 3 . 2
2x
2
1 2 y x 2
经过平移变换后顶点坐标为
在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 新坐标系下抛物线的解析式是 y
不动,
而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在
2( x 2) .2
2
20:09
15
（1）与抛物线y=2x2的形状相同,且顶点 是(-2,3) 的抛物线是________ （2）顶点是(2,-3) ,且过(-1,2)的抛物 线是______ （3)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于y轴对称 后的抛物线是______
1、 掌握函数
y = ax
2
2 到函数 y = a( x + h) + k 的平移变换
2、 函数 y = a( x + h) + k 的
2
顶点坐标, 对称轴, 最值
20:09
19
例.要修建一个圆形喷水池,在池中心 竖直安装一根水管.在水管的顶端安 装一个喷水头,使喷出的抛物线形水 柱在与池中心的水平距离为1m处达 到最高,高度为3m,水柱落地处离池 中心3m,水管应多长? 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) y B(1，3) 是图中这段抛物线的顶点.因此可 3 设这段抛物线对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 2＋3 解得: a=－ 3 1 ∴ 0=a(3－1) 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 O 3 2＋3 (0≤x≤3) y=－4 (x－1) 20:09 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
当x<-h时,y随着x的增大而增大. 当x>-h时, y随着x的增大而减小.
9 当x=-h时,最大值为k.
增减性
20:09
最值
当x=-h时,最小值为k.
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 向上 向下 向上 向下 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y=－3(x－1)2－2
直线x=－3 (－3, 5) 直线x=1 ( 1 , －2) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
20:09 10
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最值各是 什么及增减性如何？。
2
4 5
x
1 1 2 向左平移 1 2 向下平移 y ( x 1) 2 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
20:09 7
一般地,抛物线y=a(x+h)2＋k与y=ax2形状相同, 位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以 得到抛物线y=a(x +h)2＋k.平移的方向、距离要根据 h、k的值来决定. 平移方法: 2 向左(右)平 2 向上(下)平 y=ax y=a(x+h) y=a(x+h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k
二次函数y=a(x+h)2+k 的图象和性质
执教：邹建平
20:09
1
1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点, 和增减变化情况:
1)y=ax2
2)y=ax2+k
3)y=a(x+h)2
20:09 2
2 请说出二次函数y=ax² +k与y=ax² 的平移关系。
y=a(x+h)2与y=ax² 的平移关系 将抛物线y=ax² 沿y轴方向平移k个单位,得抛物线 y =ax² +k 上+下-
20:09
4
1 2 画出函数 y ( x 1) 1 的图像.指出它的开口方向、 2 顶点与对称轴、
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -1 o 1 2 3 顶点是(－1, －1). -1 1 -2 y ( x 1) 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y x y x 1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 1个单位 -9 -10 平移方法2: x=－1
1 2 y x 2 2
有什么关系?
20:09
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 直线x=－1 -9 6 1 -10 y ( x 1) 2 1
2
1 可以看出,抛物线 y ( x 1) 2 1 的开口向下 2 , y 对称轴是直线x=－1, 1
20:09 12
如何平移：
3 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 3) 3 4
3 2 y ( x 5) 2 4
20:09
13
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是( C
A.
)
2
牛刀小试
C.
y 2x 2 2 1 2 y ( x 2) 2 D. y 5( x 2) 6
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第二课时)》教案
《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质（第二课时）》教案二次函数2y ax k =+的图象与性质：第二步：描点， ，第三步：连线环节2：思考抛物线221(1)2y x =--与()23112y x =-+如何由抛物线2112y x =-得到？ 通过对应点位置的关系，猜想抛物线221(1)2y x =--与()23112y x =-+如何由抛物线2112y x =-得到，经过动画演示发现将抛物线2112y x =-向右平移一个单位长度与抛物线221(1)2y x =--完全重合，抛物线2112y x =-向左平移一个单位长度与抛物线()23112y x =-+完全重合.环节3：思考抛物线2112y x =-，221(1)2y x =--与()23112y x =-+有什么关系？ 通过观察二次函数2112y x =-，221(1)2y x =--与()23112y x =-+的图象，以及平移变换，可以发现这三个函数的图象开口方向、开口大小和顶点的纵坐标相同，但对称轴不同，或者说顶点的横坐标不同.环节4：总结二次函数2112y x =-，221(1)2y x =--与()23112y x =-+的性质.活动2：例题强化，通过例题补充0a >的情况.在同一直角坐标系中画出212y x =，()2222y x =-和()2222y x =+的图象，并说明2y ，3y 如何由1y 的图象得到.经过列表、描点、连线，得到这三个函数的图象。
经过平移，我们发现1y 的图象向右平移2个单位长度得到2y 的图象；1y 的图象向左平移2个单位长度得到3y 的图象；活动3：总结二次函数()2y a x h =-的图象与性质.思考：抛物线()2y a x h =-可以如何由抛物线2y ax =得到？0h >时，2y ax =的图象向右平移h 个单位长度得到()2y a x h =-的图象；0h <时，2y ax =的图象向下平移h 个单位长度得到()2y a x h =-的图象.知能演练提升一、能力提升(x-2)2的图象与y轴()1.二次函数y=-14A.没有交点B.有交点)C.交点为(1,0)D.交点为(0,142.如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移√2个单位长度后,其顶点在直线上的点A处,则平移后抛物线的解析式是()A.y=(x+1)2-1B.y=(x+1)2+1C.y=(x-1)2+1D.y=(x-1)2-13.已知二次函数y=a(x+1)2-b有最小值1,则a,b的大小关系为()A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定4.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象大致为()5.已知二次函数y=(x-m)2-1,若当x≤1时,y随x的增大而减小,则实数m的取值范围是()A.m=1B.m>1C.m≥1D.m≤16.若二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)的图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是()A.6B.5C.4D.37.关于二次函数y=(x-1)2+5,下列说法正确的是()A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是(-1,5)C.该函数有最大值,最大值是5D.当x>1时,y随x的增大而增大x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点8.如图,把抛物线y=12O (0,0),它的顶点为P ,它的对称轴与抛物线y=12x 2交于点Q ,则图中阴影部分的面积为 .9.已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,若x 1>x 2>1,则y 1 y 2.10.下列关于二次函数y=-(x-m )2+m 2+1(m 为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=-x 2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y 随x 的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数y=x 2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是 .11.已知y=a (x-t-1)2+t 2(a ,t 是常数,a ≠0,t ≠0)的图象的顶点是A ,y=(x-1)2的图象的顶点是B.(1)判断点A 是否在y=(x-1)2的图象上,并说明理由. (2)若y=a (x-t-1)2+t 2(a ≠0,t ≠0)的图象经过点B ,求a 的值.二、创新应用 ★12.阅读理解题.已知抛物线y=-(x-t )2+2t ,试探求不论t 为何值,其顶点都在某一条直线上. 解:因为y=-(x-t )2+2t 的图象的顶点坐标为(t ,2t ),即{x =t ,y =2t , 所以不论t 取何值,始终有y=2x.因此可得到,不论t 为何值,其顶点总在直线y=2x 上移动. 利用以上的解法,试探求解决下列题目:已知抛物线y=-(x-m )2+2m 2,试探求不论m 为何值时,其顶点总在某一个图象上移动.知能演练·提升 一、能力提升 1.B2.C 把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移√2个单位长度,即是将此抛物线向上平移1个单位长度后,再向右平移1个单位长度,故平移后的抛物线的解析式为y=(x-1)2+1.3.A 因为二次函数有最小值,所以抛物线开口向上,则a>0;因为最小值为1,即-b=1,所以b=-1<0,a>b.4.B5.C6.D (方法一)开口向上且过点A (0,2),B (8,3)的抛物线大致如下图所示,作出点A 的对称点P ,显然点P 的横坐标一定小于8,故对称轴一定小于4.(方法二)把A (0,2),B (8,3)代入y=a (x-h )2+k (a>0),得ah 2+k=2,64a-16ah+ah 2+k=3,∴64a-16ah=1,即16a (4-h )=1.又a>0,∴4-h>0,h<4,因此,只有选项D 符合要求,故选D . 7.D y=(x-1)2+5中,x 2的系数为1,1>0,函数图象开口向上,A 错误;函数图象的顶点坐标是(1,5),B 错误; 函数图象开口向上,有最小值5,C 错误;函数图象的对称轴为直线x=1,当x<1时,y 随x 的增大而减小. 当x>1时,y 随x 的增大而增大,故D 正确.8.272过点P 作PM ⊥y 轴于点M ,设PQ 与x 轴的交点为N (如图),因为抛物线平移后经过原点O 和点A (-6,0),所以平移后的抛物线的对称轴为x=-3. 所以平移后的抛物线的解析式为y=12(x+3)2+h. 将点A (-6,0)的坐标代入,得0=12(-6+3)2+h ,解得h=-92. 所以点P 的坐标是(-3,-92).根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积,则S=|-3|×|-92|=272. 9.> 由二次函数y=(x-1)2+1可知,其图象的对称轴为直线x=1. 因为x 1>x 2>1,所以两点均在对称轴的右侧. 因为此函数图象开口向上,所以在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大. 故y 1>y 2. 10.①②④11.解 (1)点A 在y=(x-1)2的图象上.理由:因为y=a (x-t-1)2+t 2的图象的顶点是A (t+1,t 2),且当x=t+1时,y=(x-1)2=(t+1-1)2=t 2,所以点A 在y=(x-1)2的图象上.(2)y=(x-1)2的图象的顶点为点B (1,0). 因为y=a (x-t-1)2+t 2的图象经过点B (1,0), 所以a (1-t-1)2+t 2=0. 所以(a+1)t 2=0. 又因为t ≠0, 所以a+1=0,即a=-1. 二、创新应用12.解 因为y=-(x-m )2+2m 2的图象的顶点坐标为(m ,2m 2), 即{x =m ,y =2m 2,所以不论m 取何值,都有y=2x 2.所以不论m 为何值时,其顶点总在y=2x 2的图象(抛物线)上移动.。
九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质课件 (新版)新人教版
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
二次函数y=a(x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1．将抛物线22(1)3y x =-+作下列移动，求得到的新抛物线的解析式． (1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位； (2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x 轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向． 【答案与解析】抛物线22(1)3y x =-+的顶点为(1，3)．(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a ＝2，得到抛物线解析式为222(1)242y x x x =+=++． (2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则2a =-， 所得抛物线解析式为222(1)3241y x x x =--+=-++．(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x 轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵ 抛物线开口反向， ∴ 2a =-．故所得抛物线解析式为222(1)3245y x x x =---=-+-．【总结升华】当抛物线的形状确定以后，其位置完全决定于顶点，方向决定于a 的符号，故可利用移动后的顶点坐标与开口方向求移动后的抛物线的解析式． 举一反三：【变式】将抛物线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】23127y x x =-+-.2．（荆州）将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式. 【答案与解析】解：y=x 2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， ∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 举一反三：【变式】二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x =的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．【答案】上；右.类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3．（安顺期末）二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点． （1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y 1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣，∴二次函数解析式为y 1=﹣（x ﹣2）2=﹣a 2+a ﹣1； 设直线AB 解析式为y=kx+b ， 把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y 1=y 2时，x=0或x=2，y 1＞y 2时，0＜x ＜2． 【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：212y x =，2132y x =+，2132y x =-． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线212y x c =+的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案与解析】 x …-3 -2 -1 0 1 2 3 (2)12y x =…142 212 012 2142…描点、连线，可得抛物线22y x =． 将212y x =的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到2132y x =+与2132y x =-的图象（如图所示）．抛物线212y x =，2132y x =+与2132y x =-开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次 是（0，0）、（0，3）和（0，-3）． （2）抛物线212y x c =+的开口向上，对称轴是y 轴（或直线0x =），顶点坐标为（0，c ）．【总结升华】先用描点法画出212y x =的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题． 规律总结：2y ax k =+k ←−−−−−向上平移个单位2y ax =k −−−−→向下平移个单位2(0)y ax k k =->．。
22.1.3 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
y=x2+1 y=x2－1
抛物线y=x2－1: 开口向上, 对称轴是y轴,
顶点为(0, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移 抛物线 y=x2+1 1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2－1 1个单位 y
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
上加下减
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上，对称轴 是 y轴，顶点坐标是 (0,k) ，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
5、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+k和 二次函数y=ax2+k的图象大致是如图中的（ B ）
y
y
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(教案)
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标如下：
1.理解并掌握二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，培养数学抽象和逻辑推理素养；
2.能够运用二次函数图象的平移法则，培养直观想象和数学建模素养；
3.通过分析二次函数在实际问题中的应用，提高问题解决和数学运算素养；
-学生容易混淆对称轴与x轴的关系，需要通过具体示例进行解释；
-顶点是二次函数图象的最高点或最低点，需要通过图象和公式相结合的方式进行讲解。
（2）掌握二次函数图象的平移法则，特别是平移量与图象变化之间的关系；
-学生可能对平移量与图象变化的关系理解不深，可以通过动画演示或实际操作帮助学生理解。
（3）理解二次函数性质的推导过程，特别是最值和单调性的判断；
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质的理解存在一定的难度。尤其是在对称轴、顶点以及开口方向的概念上，部分学生容易混淆。因此，在今后的教学中，我需要更加注重对这些难点知识的讲解和引导。
在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功引起了学生的兴趣，使他们能够积极参与到课堂学习中。但在新课讲授环节，我发现理论介绍部分，学生们对一些抽象的概念理解不够深入。在今后的教学中，我可以尝试运用更多的实例和图象，帮助学生形象地理解这些概念。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛掷后落地的情况？”（如抛球、掷石头等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数图象和性质的奥秘。
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质教学目标1．能解释二次函数y＝ax2＋k和y＝ax2的图象的位置关系．2．掌握y＝ax2上、下平移规律．3．体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系，领悟y＝ax2与y＝ax2＋k相互转化的过程．教学重难点重点：抛物线y＝ax2＋k的图象与性质．难点：理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．教学过程与方法知识点一：y＝ax2＋k的图象1．回顾与思考(5分钟)(1)回顾：抛物线y＝x2和y＝－x2的图象和性质及它们之间的关系．(2)思考：y＝x2＋1，y＝x2－1的图象怎样？它们与y＝x2之间又有怎样的关系呢？2．自主学习(15分)(1)参照教材P32例2的填表、描点．(2)讨论①抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？②抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么位置关系？(3)归纳与交流①把抛物线y＝x2向__上__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝x2＋1，把抛物线y＝x2向__下__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝x2－1.②一般情况：当k>0，把抛物线y＝ax2向__上__平移__k__个单位，可得y＝ax2＋k；当k<0时，把抛物线y＝ax2向__下__平移__|k|或－k__个单位，可得y＝ax2＋k.③y＝ax2＋k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值分别是什么？解：a＞0时，开口向上，对称轴是y轴，顶点(0，k)，最小值为k.a＜0时，开口向下，对称轴是y轴，顶点(0，k)，最大值为k.知识点二：y＝ax2＋k的性质3．合作与探究(5分钟)(1)抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的图象的异同点是什么？(2)抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的增减性又是怎样？4．课堂小结(5分钟)1．二次函数y＝ax2＋k的图象和性质(包括开口方向、对称轴、顶点坐标)．2．抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系与区别(包括平移、开口、对称轴、顶点等)．处理方法：可以让学生围绕这两个问题先小结，然后教师进行补充或强调．5．独立作业(15分钟)(1)必做题：P33练习．(2)选做题：习题22.1第5题(1)．(3)备用题：①二次函数y ＝ax 2＋k 的图象经过点A (1，－3)，B (－2，－6)，求这个二次函数的解析式． 解：该二次函数的解析式为：y ＝－x 2－2.②已知二次函数y ＝－2x 2＋3，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？解：当x <0时，y 随x 的增大而增大；当x >0时，y 随x 的增大而减小．③二次函数y ＝ax 2＋k (a ，k 为常数)，当x 取值x 1、x 2时(x 1≠x 2)，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为__0__．④函数y ＝ax 2－a 与y ＝a x(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为( A )第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质教学目标1．会用描点法画二次函数y ＝a (x －h )2的图象．2．理解抛物线y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2之间的位置关系．3．在图象的平移过程中，渗透变与不变的辩证思想．教学重难点重点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质．难点：把握抛物线y ＝ax 2通过平移后得到y ＝a (x －h )2时平移的方向和距离．教学过程与方法1．师生互动，提出问题(3分钟)(1)抛物线y ＝－12x 2＋3与y ＝－12x 2的位置有什么关系？ (2)抛物线y ＝－12x 2＋3的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ 2．探究新知(10分钟)知识点一：y ＝a (x －h )2的图象和性质(1)在同一坐标系中画出二次函数y ＝－12x 2、y ＝－12(x ＋1)2、y ＝－12(x －1)2的图象． ①列表时怎样取值才能使抛物线具有对称性？②这三条抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么？③这三条抛物线能否经过相互的平移得到？怎样平移？3．交流探究：教材P 34～P 35(5分钟)4．归纳总结(5分钟)抛物线y ＝a (x －h )2与抛物线y ＝ax 2的形状相同，只是位置不同，它可以由抛物线y ＝ax 2平移得到：当h >0时，向右平移h 个单位，当h <0时，向左平移|h |个单位，它的对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标为(h ，0)．知识点二：y ＝a (x －h )2的性质5．讨论(5分钟)(1)a >0，开口__向上__，当x ＝__h __时，函数y 有最__小__值＝__0__，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而__增大__．(2)a <0，开口__向下__，当x ＝__h __时，函数y 有最__大__值＝__0__，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而__增大__，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而__减小__．6．课堂练习(3分钟)(1)抛物线y ＝2(x ＋1)2可以由抛物线__y ＝2x 2__向__左__平移1个单位得到．(2)抛物线y ＝－23(x －4)2可以由抛物线__y ＝－23x 2__向右平移__4__个单位得到． (3)已知二次函数y ＝－13(x －2)2，说出函数图象的对称轴和顶点及最值、增减性． 解：二次函数y ＝－13(x －2)2的对称轴为x ＝2，顶点为(2，0)，有最大值0.当x <0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．7．课堂小结(3分钟)(1)抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系．(2)抛物线y＝a(x－h)2的对称轴、顶点．(3)平移规律：“左加右减”．(4)你还有哪些困惑和收获？8．独立作业(11分钟)(1)必做题：习题22.1第5题(2)．(2)备用题：①已知抛物线y＝a(x＋h)2的顶点是(－3，0)，它是由抛物线y＝－4x2平移得到的，则a ＝__－4__，h＝__3__．②把抛物线y＝(x＋1)2向__右__平移__4__个单位后得到抛物线y＝(x－3)2.③把抛物线y＝x2＋mx＋n向左平移4个单位，得到抛物线y＝(x－1)2，则m＝__－10__，n＝__25__．第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学目标1．会用描点法画出二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a 、h 、k 是常数，a ≠0)的图象，掌握抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间的关系，熟练掌握函数y ＝a (x －h )2＋k 的有关性质，并能用函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质解决一些实际问题．2．经历探索y ＝a (x －h )2＋k 的图象及性质的过程，体验y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2、y ＝ax 2＋k 、y ＝a (x －h )2之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．3．通过观察函数的图象，归纳函数的性质等活动，感受学习数学的价值．教学重难点重点：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的性质．难点：教材P 36例4的解答需要选取合适的坐标系，有一定的难度，是本节教学的难点． 教学过程与方法1．回顾与思考(3分钟)我们已经学习了形如y ＝ax 2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2的函数，知道了它们可以经过互相平移得到．二次函数y ＝a (x －h )2＋k 又是一条怎样的抛物线呢？它与这三条抛物线之间有什么关系？知识点一：y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质2．合作与探究：教材P 35例3(15分钟)(1)在同一坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2－1，y ＝－12(x ＋1)2－1的图象． 处理方法：师生一起完成列表，再由学生画出图象，如图．(2)指出y ＝－12(x ＋1)2－1的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性． (3)y ＝－12(x ＋1)2－1可以由y ＝－12x 2怎样平移而得到？ (4)归纳：y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质及由y ＝ax 2平移得到函数图象的规律．知识点二：y ＝a (x －h )2＋k 的实际运用3．解决问题，交流思想(16分钟)(1)读懂教材P 36例4题意．(2)怎样建立平面直角坐标系？(3)怎样才能与二次函数联系起来？4．课堂练习：教材P 37练习(3分钟)5．课堂小结(4分钟)(1)本节课我们学习了哪些内容？引导学生从以下几个方面去回顾：①二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质；②抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2的平移关系；③选取坐标系的方法．(2)谈一谈你的收获或困惑．6．独立作业(10分钟)(1)必做题：习题22.1第5题(3)，第7题(1)．(2)备用题：已知y ＝a (x －h )2＋k 是由抛物线y ＝－12x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．①求出a 、h 、k 的值；②在同一坐标系中，画出y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝－12x 2的图象； ③观察y ＝a (x －h )2＋k 的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小，并求出函数的最值；④观察y ＝a (x －h )2＋k 的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？解：①a ＝－12，h ＝1，k ＝2 ②图略 ③当x <1时，y 随x 的增大而增大；当x >1时，y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数有最大值2 ④对于一切x 的值y ≤2.。
二次函数y=a(x-h)^2+ k的图像与性质
3．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿 x轴向 右平移 2 个单位，得到图像的 对称轴是直线x=3.
4．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x 轴向左平移３个单位，再沿y轴向下平
移2个单位，得到图像的顶点坐标是 __(-_3,_-2_)_．
抛物线y=a(x－h)2+k有如下
特点:
顶点式
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
y 1和(x 1)2 1有什么y 关 系1 x?2
2
2
y 1 (x 1)2 1 2
y 1
y 1 x2 2
向下平移 y 1 x2 1
1个单位
2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 -2
-3
x
向左平移 1个单位
y 1 (x 1)2 1 2
-4 -5 -6
-7
平移方法2:
各种形式的二次函数的关系
|k| |h|
左 个右 单平 位移
y = a( x - h )2 + k
上 个下 单平 位移
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2 |h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 (-m,n) 。
5.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-_2时，y=0； 当x<－2或x>0时， y___<__0； 当x在 －__2 _< _x<_0 范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》教案、教学设计、导学案、同步练习
《第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质》教案【教学目标】1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象．2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．【教学过程】一、情境导入对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗？你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．解析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴．解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x＝1.当x＝1时，y最小值＝－2.方法总结：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y 1)，(32，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是( )A．①②③ B．①③④C．①②④ D．②③④解析：∵－b2a＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y1)到对称轴x＝－1的距离小于点(32，y2)到对称轴的距离，即y1>y2，∴④正确．综上所述，选B.方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－b2a；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0.【类型三】利用平移确定y＝a(x－h)2＋k的解析式将抛物线y＝13x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A．y＝13(x－2)2－1 B．y＝13(x－2)2＋1C．y＝13(x＋2)2＋1 D．y＝13(x＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝13x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝13(x－2)2－1，故选A.探究点二：二次函数y＝a(x－h)2＋k的应用【类型一】y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)解析：如图，∵对称轴为直线x＝－2，抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，∴OB＝4，∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO ＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－110(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低．(2)当x＝10时，y＝－110(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59.(3)当x＝13时，y值最大，是59.9，故第13分钟时，学生的接受能力最强．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x －h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质《第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质》教案【教学目标】：1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
8.2.3二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质
八年级（）班姓名：
课题
8.2.3二次函数 的图象与性质
第72课时
设计人
贺建鹏
备课时间
2018.12.5
授课时间
2018.12.6
学习
目标
1.探索并掌握二次例函数 的图象与性质，利用这些知识解决相关问题；
2.通过二次函数图象与性质的探索过程，发展数形结合的应用意识和抽象思维能力；
3.经历二次函数图象与性质的应用过程，培养分析问题和解决问题的能力，增强自信心.
随堂练习与评价：
1.指出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标：
（1）抛物线 ；（2）抛物线 .
2.如图，已知抛物线 的顶点坐标为（1,4），与 轴交于点C（0,2），与 轴交于A、B两点.
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点A、B、C为顶点的三角形的面积.
小结与反思：
学习
重难点
重点：二次函数 的图象及其性质的理解与应用．
难点：灵活应用二次函数 的图象与性质解决具体问题.
导案
学案
【课前预习】
先独立学习，再在组内交流，A组同学要帮助其他组员，带动学习.
【直接导入】
直接引入新课，板书课ห้องสมุดไป่ตู้.
（1分钟）
【新知探究学习】
1.组织学生小组讨论，教师巡视指导，检查课前完成情况；
2.组织学生代表投影展示，互动交流学习，教师点评；学生展示结束后教师出示三幅图象，引导学生二次函数 的图象特征及性质；
3.综合二次函数 与 的图象与性质分析归纳二次函数 的图象特征及性质；
4.例题讲解，引导学生深化理解二次函数 的图象与性质，对它的图象与性质熟练掌握、灵活应用.
（20分钟）
青岛版二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质___课件
（2）根据图象回答： x<0或x>2 时，y>0; (0,0) 当x 当x x=0或2 时，y=0; 当x 0< x<2 时，y﹤0。
(2,0)
(1,-1)
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0）， 则a= 。 （2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经 过点（2，3），求它的解析式。 （3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平 移2个单位得到的抛物线是 。 （4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 。
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5 …
再描点
后连线.
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
1 y
对称轴
顶点坐标
向上 直线x=h （h，0）
向下 直线x=h （h，0）
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.
最值 当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
11.如图所示的抛物线： 0或-2 当x=_____时，y=0； < 当x<－2或x>0时， y_____0； 当x在－2 < x<0范围内时，y>0； _____ -1 3 当x=_____时，y有最大值_____.