椭圆的简单几何性质优质课课件
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
△ 0 方程组有两解
两个交点 相交
△=0
方程组有一解
一个交点 相切
△ 0 方程组无解
无交点
相离
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
x1
x2
83 5
,
x1
x2
8 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
8 (x1 x2 )2 4x1 x2 5
题型三：中点弦问题
例6 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
解得k1=25，k2 =-25 由图可知k 25.
题型一：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
直线m为：4x 5y 25 0
x 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
42 52
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
且 x02 y02 1 25 9
m m
题型一：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
(1)椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)的准线方程为x
a2 c
椭圆 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)的准线方程为y
a2 c
(2)两准线间的距离为 2a2 ，焦点到相应准线的距离为 b2
c
c
(3)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”，
否则其轨迹不存在。
(4)由椭圆的第二定义得，椭圆离心率的几何意义： “椭圆上一点到焦点的距离与相应准线的距离之比”
B（x2,y2）
|AB| = (x1 x2)2 ( y1 y2)2 (x1 x2)2 k(x1 x2)2
(1 k 2 )(x1 x2 )2 1 k 2 x1 x2
通 法
(1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
1
1 k2
y1 y2
4
y
点M的轨迹就是集合P M
MF d
4 5
,
l Md
H
由此得 (x 4) y2 4.
25 x
5
oF
x
4
将上式两边平方，并化简，得9x2 25y2 225,
即 x2 y2 1 25 9
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
探究：若点M(x, y)与定点F(c，0)的距离和它到定直线
通法
练习１：当m取何值时直线y=x+m与椭圆
4x2 y2 16 相交，相切，相离？
解：将y=x+m代入 整理得5x2+2mx+m2-16=0
4m2 20(m2 16) 16m2 16 20 16(m2 20)
当Δ 0时, 即 2 5 m 2 5 时, 直线与椭圆相交
且d 40 25 15 41 42 52 41
dmax
思考：最大的距离是多少？
40 25 42 52
65 41
41
例6 点M (x, y)与定点F (4,0)的距离和它到直线
l : x 25的距离的比是常数 4，求点M的轨迹。
4
5
解：设d是点M到直线l : x 25的距离，根据题意，
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
题型二：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
x2 对于椭圆 a 2
准线方程是 x
a
y2 2b 2
1，相应于焦点F（c,0)
, 根据椭圆的对称性，相应于
焦点F‘(-c.0) 准线方程c 是 x a 2 ,
所以椭圆有两条准线。
c
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
定义 1
图形
定义 2
平面内与 两个定点F1、 F2的距离的和 等于常数（大
4
5 1
5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
AB
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2(x1 x2)2
2
( x1
x2 )2
4 x1
设而不求
题型二：弦长公式
例3：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
解 :由椭圆方程知 : a2 4,b2 1, c2 3. 右焦点F ( 3, 0). 直线l方程为: y x 3.
y x 3
x2 4
y2
1
消y得：5x2 8 3x 8 0 设A(x1, y1), B(x2, y2 )
题型三：中点弦问题
例 6 已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
题型三：中点弦问题
例6已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条
当Δ 0时, 即m 2 5 时, 直线与椭圆相切
当 0时，即m 2 5或m 2 5时，直线与椭圆相离
练习3已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
消去y
由韦达定理
x1 x1
x2 x2
x2
6 5
2
二、弦长问题
设 l A（x1,y1） B（x2,y2）直线 的方程：y kx b 因 l A（x1,y1）， B（x2,y2） 在直线 上
A（x1,y1）
y1 kx1 b y2 kx2 b
y1 y2 (kx1 b) (kx2 b) 弦长公式: k(x1 x2 )
c
a
轨迹还是同一个椭圆吗？
（4）当定点改为F (0， c)，定直线改为l : y a2 时，对应 c
的轨迹方程又是怎样呢？
探究、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线 l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a（a>c>0),求点M 的轨迹。
解：设 d是M到直线l 的距离，根
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴分别为2a,2b 的椭圆
I’ y
l
F’ o F
x
由探究可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直
线的距离 的比是常数 e c 0 e 1 时，这个点的轨
a 迹 就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常
数e是椭圆的离心率。 此为椭圆的第二定义.
准焦线点：：xF1(ca,02)、F2 (c,0) c
平面内与 一个定点的距 离和它到一条
定直线的距离
于 F1F2 ）的点 的轨迹。
的比是常数
e c (0 e 1) a
的点的轨迹。
焦点：F1(0,c)、F2 (0, c) 准线：y a2
c
由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：
据题意，所求轨迹就是集合
I’
y
l
M
P={M|
MF d
c a
}
F’ o F
x
由此得
x c2 y 2 c
a2 x
a
c
将上式两边平方，并化简，得
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
设 a2-c2=b2,就可化成
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
△ 0 方程组有两解
两个交点 相交
△=0
方程组有一解
一个交点 相切
△ 0 方程组无解
无交点
相离
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
x1
x2
83 5
,
x1
x2
8 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
8 (x1 x2 )2 4x1 x2 5
题型三：中点弦问题
例6 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
解得k1=25，k2 =-25 由图可知k 25.
题型一：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
直线m为：4x 5y 25 0
x 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
42 52
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
且 x02 y02 1 25 9
m m
题型一：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
(1)椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)的准线方程为x
a2 c
椭圆 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)的准线方程为y
a2 c
(2)两准线间的距离为 2a2 ，焦点到相应准线的距离为 b2
c
c
(3)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”，
否则其轨迹不存在。
(4)由椭圆的第二定义得，椭圆离心率的几何意义： “椭圆上一点到焦点的距离与相应准线的距离之比”
B（x2,y2）
|AB| = (x1 x2)2 ( y1 y2)2 (x1 x2)2 k(x1 x2)2
(1 k 2 )(x1 x2 )2 1 k 2 x1 x2
通 法
(1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
1
1 k2
y1 y2
4
y
点M的轨迹就是集合P M
MF d
4 5
,
l Md
H
由此得 (x 4) y2 4.
25 x
5
oF
x
4
将上式两边平方，并化简，得9x2 25y2 225,
即 x2 y2 1 25 9
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
探究：若点M(x, y)与定点F(c，0)的距离和它到定直线
通法
练习１：当m取何值时直线y=x+m与椭圆
4x2 y2 16 相交，相切，相离？
解：将y=x+m代入 整理得5x2+2mx+m2-16=0
4m2 20(m2 16) 16m2 16 20 16(m2 20)
当Δ 0时, 即 2 5 m 2 5 时, 直线与椭圆相交
且d 40 25 15 41 42 52 41
dmax
思考：最大的距离是多少？
40 25 42 52
65 41
41
例6 点M (x, y)与定点F (4,0)的距离和它到直线
l : x 25的距离的比是常数 4，求点M的轨迹。
4
5
解：设d是点M到直线l : x 25的距离，根据题意，
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
题型二：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
x2 对于椭圆 a 2
准线方程是 x
a
y2 2b 2
1，相应于焦点F（c,0)
, 根据椭圆的对称性，相应于
焦点F‘(-c.0) 准线方程c 是 x a 2 ,
所以椭圆有两条准线。
c
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
定义 1
图形
定义 2
平面内与 两个定点F1、 F2的距离的和 等于常数（大
4
5 1
5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
AB
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2(x1 x2)2
2
( x1
x2 )2
4 x1
设而不求
题型二：弦长公式
例3：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
解 :由椭圆方程知 : a2 4,b2 1, c2 3. 右焦点F ( 3, 0). 直线l方程为: y x 3.
y x 3
x2 4
y2
1
消y得：5x2 8 3x 8 0 设A(x1, y1), B(x2, y2 )
题型三：中点弦问题
例 6 已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
题型三：中点弦问题
例6已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条
当Δ 0时, 即m 2 5 时, 直线与椭圆相切
当 0时，即m 2 5或m 2 5时，直线与椭圆相离
练习3已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
消去y
由韦达定理
x1 x1
x2 x2
x2
6 5
2
二、弦长问题
设 l A（x1,y1） B（x2,y2）直线 的方程：y kx b 因 l A（x1,y1）， B（x2,y2） 在直线 上
A（x1,y1）
y1 kx1 b y2 kx2 b
y1 y2 (kx1 b) (kx2 b) 弦长公式: k(x1 x2 )
c
a
轨迹还是同一个椭圆吗？
（4）当定点改为F (0， c)，定直线改为l : y a2 时，对应 c
的轨迹方程又是怎样呢？
探究、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线 l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a（a>c>0),求点M 的轨迹。
解：设 d是M到直线l 的距离，根
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴分别为2a,2b 的椭圆
I’ y
l
F’ o F
x
由探究可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直
线的距离 的比是常数 e c 0 e 1 时，这个点的轨
a 迹 就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常
数e是椭圆的离心率。 此为椭圆的第二定义.
准焦线点：：xF1(ca,02)、F2 (c,0) c
平面内与 一个定点的距 离和它到一条
定直线的距离
于 F1F2 ）的点 的轨迹。
的比是常数
e c (0 e 1) a
的点的轨迹。
焦点：F1(0,c)、F2 (0, c) 准线：y a2
c
由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：
据题意，所求轨迹就是集合
I’
y
l
M
P={M|
MF d
c a
}
F’ o F
x
由此得
x c2 y 2 c
a2 x
a
c
将上式两边平方，并化简，得
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
设 a2-c2=b2,就可化成
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
合集下载
椭圆的简单几何性质公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
a
(e越靠近于1越扁)
a、b、c关系
c2 a2 b2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
第12页
例1已知椭圆方程为
它长轴长是9：x2+2105。y短2轴=长2是2：5, 6 。
第14页
练习：已知椭圆 x2 (m 3) y2 m(m 0) 离心率
e 3 ,求m值及椭圆长轴和短轴长、焦点坐
2
标、顶点坐标。
第15页
例2 求适合下列条件椭圆原则方程
⑴通过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２：１两部分，且通过点
P 3 2, 4
第1页
知识储备案 ：
1.椭圆定义:
到两定点F1、F2距离之和为常数（不小于|F1F2 |）动
点轨迹叫做椭圆。
2.椭圆原则方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
当焦点在Y轴上时
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
3.椭圆中a,b,c关系是:
c2 a2 b2
第2页
y
B2
A1
ba
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
第6页
3、椭圆顶点
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
令 x=0，得 y=？，阐明椭圆与 y轴交点？
令 y=0，得 x=？阐明椭圆与 x轴交点？
(e越靠近于1越扁)
a、b、c关系
c2 a2 b2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
第12页
例1已知椭圆方程为
它长轴长是9：x2+2105。y短2轴=长2是2：5, 6 。
第14页
练习：已知椭圆 x2 (m 3) y2 m(m 0) 离心率
e 3 ,求m值及椭圆长轴和短轴长、焦点坐
2
标、顶点坐标。
第15页
例2 求适合下列条件椭圆原则方程
⑴通过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２：１两部分，且通过点
P 3 2, 4
第1页
知识储备案 ：
1.椭圆定义:
到两定点F1、F2距离之和为常数（不小于|F1F2 |）动
点轨迹叫做椭圆。
2.椭圆原则方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
当焦点在Y轴上时
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
3.椭圆中a,b,c关系是:
c2 a2 b2
第2页
y
B2
A1
ba
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
第6页
3、椭圆顶点
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
令 x=0，得 y=？，阐明椭圆与 y轴交点？
令 y=0，得 x=？阐明椭圆与 x轴交点？
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
3.1.2椭圆的简单几何性质(第二课时)(教学课件(人教版))
其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之 和与两根之积后代入公式可求得弦长． 提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
四.直线与椭圆的位置关系
（二）弦长及弦的中点问题
例 3（1）已知直线 y＝x＋1 与椭圆x2＋y2＝1 相交于 A、B 两点，求弦 AB 的长． 4
＝1＋4m＋ n ＋4＝5＋4m＋n ≥5＋2 4m·n ＝9，
nm
nm
nm
四.直线与椭圆的位置关系
（一）直线与椭圆位置关系及判定
跟踪训练（2）已知椭圆的方程为 x2＋2y2＝2.①判断直线 y＝x＋ 3与椭圆的位置关系； ②判断直线 y＝x＋2 与椭圆的位置关系；③在椭圆上找一点 P，使 P 到直线 y＝x＋2 的距离 最小，并求出这个最小距离．
两式相减，得 3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，∴34xy00＝－yx11－ －yx22＝－kPQ.
∵kPQ＝－14，∴y0＝3x0.代入直线
y＝4x＋1，得 2
x 0＝－12， y0＝－32
则直线 PQ 的方程为 y＋3＝－1(x＋1)即 2x＋8y＋13＝0. 2 42
|
2a,所以
a
1 2
(|
F1B
|
|
F2 B
|)
4.1,
b a2 c2 3.4.
所以，所求的椭圆方程为
x2 4.12
y2 3.42
1.
二.和椭圆有关的实际问题
跟踪练习1(多选)嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡查 探测的航天器.202X年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的 着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发 表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入 以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距， 用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是
椭圆的简单几何性质(上课课件)
人A数学选择性必修第一册
返回导航 上页 下页
又△ABF2 是等腰直角三角形，所以|AB|＝2ab2＝2|F1F2|＝4c， 所以ba2＝2c 即 c2－a2＋2ac＝0， 所以 e2＋2e－1＝0，解得 e＝ 2－1.
人A数学选择性必修第一册
返回导航 上页 下页
椭圆的第二定义
平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l 的距离之比为常数 e(0＜ e＜1)的点的轨迹为椭圆． 定点F 为椭圆的焦点， 定直线l 叫做椭
返回导航 上页 下页
4.点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比 是1∶2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？
解析：设 M(x，y)，d 是点 M 到直线 x＝8 的距离，由题意， 动点 M 的轨迹就是集合 P＝M|MdF|＝12. 即 x－|x－282＋| y2＝12，化简，得1x62 ＋1y22 ＝1，
人A数学选择性必修第一册
返回导航 上页 下页
[解析] 如图，设 d 是点 M 到直线 l：x＝245的距离，根据题意，动点
M 的轨迹就是集合
P＝M|MdF|＝45. 由此得 x2－45－42x＋ y2＝45⇒5 x－42＋y2＝ 4245－x，将上式两边平方，并化简，得 9x2＋25y2＝225，即2x52＋y92＝1. 所以，动点 M 的轨迹是长轴长、短轴长分别为 10,6 的椭圆．
离心率
c
e＝__a__
人A数学选择性必修第一册
返回导航 上页 下页
[例1] 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点
的坐标．
由椭圆方程讨论其几何性质的步骤
(1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上．
(2)由标准形式求a，b，c，写出其几何性质．
椭圆的几何性质ppt课件
的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
x2 a2
y2 b2
1，
（4）
由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程（1）是椭圆
的参数方程，在椭圆的参数方程（1）中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
6、椭圆的参数方程
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 （a
b
0），的参数方程是
x
y
a cos b sin
（为参数）
7、椭圆的焦半径公式
P（x0，y0）是椭圆
c2
b2，就可化
成：x a
2 2
y2 b2
（1 a
b 0）.
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴长分别为2a、2b的椭圆.
5、椭圆的第二定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的
距离的比是常数：e c （0＜e＜1）时，这个 a
点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线 叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法
画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程： x 2 52
y2 42
1，
这里，a 5，b 4，所以：c 25 16 3，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是：2a 10
和 2b 8，离心率 e c 3，两个焦点分别是 a5
F1 （ 3，0）和F2 （3，0），椭圆的四个顶点是 A（1 5，0）、A（2 5，0），B（1 0， 4）和B（2 0，4）.
练习
一、选择题
1、椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆
的中心到其准线的距离是（D ）
A、8 5 5
B、 4 5 5
C、8 3 3
D、 4 3 3
2、椭圆 9x2 25 y 2 225 上有一点P，它到右准
椭圆的几何性质优秀课件公开课
切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
高中数学《椭圆的简单几何性质》优秀课件
e c 叫做椭圆的离心率. a
2.为什么定义 e c
1-
b
2
为离心率呢？
a
a
椭圆的离心率可以形象地理解为在椭圆长轴不变的 前提下，两个焦点偏离中心的程度，这样规定为今后 研究双曲线，抛物线等性质带来方便。
10
e c a
[1]离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0 < e < 1 [2]离心率对椭圆形状的影响： 1〕e 越接近 1，c 就越接近 a，此时椭圆就越扁 2〕e 越接近 0，c 就越接近 0，此时椭圆就越圆
〔1〕数形结合，用代数的方法解决几何问题;
〔2〕分类讨论的数学思想 .
18
谢谢大家
19
3.椭圆中a,b,c的关系是: c2 a2b2
二、椭圆
x2 a2
y2 b2
1简单的几何性质
Y
1.椭圆的对称性
从图形上看： 椭圆关于x轴、y 轴对称，
关于原点成中心 对称。
P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
对称性：
从方程上看：
〔1〕把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
〔2〕把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
〔3〕把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成
中心对称。
y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
2.椭圆的顶点 x2 y2 1(ab0) a2 b2
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ 〔0，-b〕、〔0，b〕
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ 〔-a，0〕、〔a，0〕
椭圆的简单几何性质ppt课件
探究 离心率对椭圆形状的影响
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
81椭圆公开课一等奖课件
出最值。
注意事项
03
在求最值时，要注意参数的取值范围，以确保结果的准确性。
典型例题分析
例题一
已知椭圆C的参数方程为{x=4cosθ, y=3sinθ}，求椭圆C上的点到直线 l:4x+3y+10=0距离的最大值和最小 值。
例在平题面二直角坐标系xOy中，已知椭圆
C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的 左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0) ，其中c>0，椭圆C与过焦点的直线 l:x=my+c相交于M，N两点。若 △F1F2M的周长为4√2，且△F2MN的 面积的最大值为√2/3，求椭圆C的方 程。
变量分离法
几何意义法
通过变量分离，将定值表示为两个变 量的函数，进而求解该函数的值。
利用椭圆的几何意义，结合已知条件 ，确定定值。
方程思想法
通过建立关于定值的方程，解方程求 得定值。
典型例题解析
例题1
已知椭圆C: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2， 点P在椭圆C上，且PF1垂直于PF2，过点P作直线l与椭圆C交于另一点Q，若直线 l的斜率为k，且k > 0，则k的取值范围是____。
竞赛题选讲（二）
01
02
03
04
05
题目：已知椭圆C： x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的左、右焦点 分别为F1、F2，过F1的 直线l与C交于A、B两点 。
(1)若l的倾斜角为30°， 且|F1A|=3|F1B|，求椭 圆的离心率；
(2)若|AF1|=3|F1B|，且 3|BF2|=4|AB|，求l的方 程。