复数基础知识讲解 题型分类 含答案

星海学校2014年秋季校区

3L 个性化一对一 名师培优精讲

【教学目标】

了解复数的概念和相关代数运算 【教学重点】

复数的概念和代数形式

【教学难点】

复数相等的条件

【教学内容】

1．复数的概念： （1）虚数单位i ；

（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集

3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚

数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。 应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算

若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；

（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；

（4）除法：

；

（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

整 数

有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环

小数)纯 虚 数(0)

虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨

=⎨⎪⎩⎪⎪

+∈⎨⎩⎪

⎧≠⎪≠⎨⎪

=⎩⎩11212211222

222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+教学标题填写

（6）特殊复数的运算：

① (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2

=±2i ；

③ 若ω=-+i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.

5．共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi ，则，为实数，为纯虚数(b ≠0).

（2）复数z=a+bi 的模

且=a 2+b 2.

6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di . 由这个定义得到a+bi=0.

两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

4．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。

5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i 2

=－1结合到实际运算过程中去。

如(a+bi)(a －bi)= a 2+b 2

6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即

.

7．复数a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。 （二）典型例题讲解 1．复数的概念

例1．实数m 取什么数值时，复数z=m+1+(m －1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z 在第三象限？

解：复数z=m+1+(m －1)i 中，因为m ∈R ，所以m+1，m －1都是实数，它们分别是z 的实部和虚部， ∴ （1）m=1时，z 是实数； （2）m ≠1时，z 是虚数；

（3）当时，即m=－1时，z 是纯虚数；

（4）当时，即m<－1时，z 对应的点Z 在第三象限。

例2．已知(2x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x, y ∈R ，求x, y.

解：根据复数相等的意义，得方程组，得x=, y=4.

n

i 2123

z a bi =-z z +z z -2||z z z ⋅=a c

b d =⎧⇔⎨

=⎩⇔0

0a b =⎧⎨

=⎩

22

()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i

c di c di c di c

d ++-++-==++-+1010m m +=⎧⎨

-≠⎩

1010m m +<⎧⎨

-<⎩

211(3)x y y -=⎧⎨

=--⎩

25

例4．当m 为何实数时，复数z ＝+(m2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．

解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

（1）z 为实数，则虚部m2+3m －10=0，即，

解得m=2，∴ m=2时，z 为实数。

（2）z 为虚数，则虚部m2+3m －10≠0，即，

解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．， 解得m=－, ∴当m=－时，z 为纯虚数．

考点：1、复数的概念；2、复数的四则运算. 1．复数

21

i

i -在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】 试题分析：()()()2121212121424

i i i i i

i i i +-+===---⋅+-Q

，故复数

21i i -在复平面内对应的点位于第四象限，选D 考点：复数的运算

2．已知复数241i

i z

+-= (i 为虚数单位)，则z 等于（ ） A.13i -+ B.12i -+ C.13i - D.12i -

【答案】A 【解析】

试题分析：∵241i

i z +-=，∴24(24)(1)(12)(1)131(1)(1)

i i i z i i i i i i +++=

==++=-+--+. 考点：复数的运算. 3．如果复数

()2bi

b R i

-∈的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） （A

（B

）（C ）2 （D ）2- 【答案】D 【解析】

试题分析：由于复数

()2bi

b R i

-∈可化为2b i --.又(2)0,2b b -+-=∴=-.故选D. 考点：1.复数的表示.2.复数的运算.

4．复数3

(1)z i i =+（Ⅰ为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D

22232

25m m m ---223100

250m m m ⎧+-=⎨

-≠⎩223100250m m m ⎧+-≠⎨

-≠⎩22

22320

3100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪

-≠⎩2121