高中数学(人教A版)选修2-2同步课件 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
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人教A版高中数学选修1-2《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件
数
的Байду номын сангаас
z a bi(a,b R)
代
数 形
实部
虚部 虚数
单位
式 把全体复数所成的集合C=a bi a,b R叫做复数集.
信息交流 揭示规律
-5-
复 下列各数中哪些是复数？如果是 数 复数，请说明它们的实部与虚部.
的 代 1 3i 数
1i 7
1 3
形 5i 8 (1 )i 0
4，
即m 2时，复数z是虚数4+3i.
反思小结 观点提炼
-10-
小
结
复数
式
信息交流 揭示规律
-6-
实数 (b 0)
复复数 a bi
数 (a,b R) 虚数(b 0)(当a=0时为纯虚数）
的
集
代 数 形
集 集 R QZ N
式
集
信息交流 揭示规律
-7-
复数的发展史
虚数这种假设，是需要勇气的，人们在当时是无法
接受的，认为她是想象的，不存在的，但这丝毫不影响
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
创设情境 设计问题
-2-
从一个数集中任取两个数，经过下列六种运算， 所得的结果是否仍然属于原数集？
运算 加法 减法 乘法 除法 乘方 开方
数集
自然数集 是
否
是
否
是
否
整数集 是
是
是
否
是
否
有理数集 是
是
是
是
是
否
实数集 是
是
是
是
是
否
问题1：有哪些运算是对于任何集合都成立的？ 问题2：数系的每一次扩充，解决了怎样的运算问题？ 问题3：在实数范围内，还有什么运算问题没有解决？
《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件1-优质公开课-人教A版选修2-2精品
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
[ 问题 1]
的实数解？
方程 2x2 － 3x ＋ 1 ＝ 0. 试求方程的整数解？方程
1 [提示 1] 方程的整数解为 1，方程的实数解为 1 和2. [问题2] 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
[提示2]
没有解．
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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[问题3] 有解吗？
若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0
[提示3]
[ 问题 4]
有解，x＝i但不是实数范围内．
实数 a 与实数 b 和 i 相乘的结果相加，结果记作 a
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第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1．了解数系的扩充过程．
2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示法．
若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R) 若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定
相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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1．复数i－i2的虚部为( A．0 C．i 解析： i － i 2 ＝ 1＋ i .
人教A版高中数学选修1-2课件3.1.1数系的扩充与复数的概念
高中数学课件
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第三章 数系的扩充与复数的引入
学科网
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题提出
1.数的概念产生和发展的历史进程：
N 正分数 Q＋ 正无理数 R＋ 零和负数 R
数系每次扩充的基本原则： 第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.
2.虚数单位i的引入解决了负数不能 开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复 数集，它使得任何一个复数都可以写成 a＋bi（a，b∈R）的形式.
18
3.复数包括了实数和虚数，实数的某些 性质在复数集中不成立，如x2≥0； 若x －y＞0，则x＞y等，今后在数学解题中， 如果没有特殊说明，一般都在实数集内 解决问题.
＝0的充要条件是什么？ a＝b＝0
思考5：对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）
当b＝0时，z为什么数？由此说明实数集
与复数集的关系如何？
当b＝0时z为实数. 实数集R是复数集C的真子集.
13
思考6：对于复数z＝a＋bi（a，b∈R） 当b≠0时，z叫做虚数，当a＝0且b≠0时， z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之 间如何？
9
思考6：设a∈R，下列运算正确吗？
a+i= i+a
a ?i i ?a
a ?( i) = - ai
i 3 = i 2 ?i - i1ຫໍສະໝຸດ = =-ii i2 10
探究（二）：复数的有关概念
思考1：虚数单位i与实数进行四则运算， 可以形成哪种一般形式的数？
a＋bi（a，b∈R）
思考2：把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫 做复数，全体复数所成的集合叫做复数 集，记作C，那么复数集如何用描述法表 示？
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题提出
1.数的概念产生和发展的历史进程：
N 正分数 Q＋ 正无理数 R＋ 零和负数 R
数系每次扩充的基本原则： 第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.
2.虚数单位i的引入解决了负数不能 开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复 数集，它使得任何一个复数都可以写成 a＋bi（a，b∈R）的形式.
18
3.复数包括了实数和虚数，实数的某些 性质在复数集中不成立，如x2≥0； 若x －y＞0，则x＞y等，今后在数学解题中， 如果没有特殊说明，一般都在实数集内 解决问题.
＝0的充要条件是什么？ a＝b＝0
思考5：对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）
当b＝0时，z为什么数？由此说明实数集
与复数集的关系如何？
当b＝0时z为实数. 实数集R是复数集C的真子集.
13
思考6：对于复数z＝a＋bi（a，b∈R） 当b≠0时，z叫做虚数，当a＝0且b≠0时， z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之 间如何？
9
思考6：设a∈R，下列运算正确吗？
a+i= i+a
a ?i i ?a
a ?( i) = - ai
i 3 = i 2 ?i - i1ຫໍສະໝຸດ = =-ii i2 10
探究（二）：复数的有关概念
思考1：虚数单位i与实数进行四则运算， 可以形成哪种一般形式的数？
a＋bi（a，b∈R）
思考2：把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫 做复数，全体复数所成的集合叫做复数 集，记作C，那么复数集如何用描述法表 示？
高中数学新课标人教A版选修2-2《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件
∈R，y 是纯虚数． 解 设 y＝bi(b∈R 且 b≠0)代入等式得 (2x－1)＋i＝bi＋(bi－3)i 即(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i，
∴21x＝－b1－＝3－，b，
解得x＝－32， b＝4.
∴x＝－32， y＝4i.
课前探究学习
课堂讲练互第动十九页，编辑于活星期页一规：点范二训十分练。
课前探究学习
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复数z＝a＋bi(a，b∈R)中注意以下几点： (1)a，b∈R，否则不是代数形式． (2)从代数形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数． 反之，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)； 若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)； 若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．
课前探究学习
课堂讲练互第动十页，编辑于星活期一页：规点 二范十训分。练
题型一 关于复数的概念 【例1】 下列命题中，正确命题的个数是( )．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； ④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根； ⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数． A．0 B．1 C．2 D．3
(1)复数 ①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 虚数单位 ，满足i2＝ －1，a叫做复数的 实部，b叫做复数 的 虚部 ． ②表示方法：复数通常用 字母z表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R这) 一 表示形式叫做复数的代数形式．
课前探究学习
课堂讲练互第动四页，编辑于星活期一页：规点 二范十训分。练
课前探究学习
高中数学：3.1.1数系的扩充和复数的概念名师课件新课标人教A版选修2-2
2 可以与其它数进 行四则运算,在进行四 则运算时,原有的加法 与乘法的运算律(包括
交换律、结合律和分 配律)仍然成立.
i可以与实数进行四则 运算,在进行四则运算 时,原有的加法与乘法 的运算律(包括交换律、 结合律和分配律)仍然 成立.
1、定义:形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫复
数,其中i叫虚数单位。
之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经 成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
即时训练
1、请指出下列复数的实部与虚部。
1 3
i
3i
0
5i+4
3 2i
其中哪些是实数、哪些是虚数、哪些是纯虚数？
复数的分类
实数(b 0)
1、复数z=a+bi
虚数(b
0)
纯虚数(a 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b
但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存 在于“幻想之中”，并用 （imaginary，即 虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学 家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这
种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作 用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系 的复平面上的点表示复数 ，使复数有了立足
有理数
RQ Z N
度量的需要 解方程 x2=2
实数 C
解方程 x2=－1
？
复数
？
（3）若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。
4. 已知 (2x 1) i y (3 y)i，其中 x, y R 求x与y?
当堂练习
1.a=0是复数a+bi(a,b∈R）为纯虚数的 （ ） A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 非必要非充分条件
人教A版高中数学选修2-2课件3-1《数系的扩充和复数的概念》
思考？ x2 1
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一
个新数：
满足
知识引入
我们已经知道：
一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
思考？ x2 1
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一
个新数：
满足 i 2 1
A．A∪B = C
B． UA = B
C．A∩ UB = Φ D．B∪ UB = C
课堂练习
1．使复数 lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i 是 纯虚数，则实数 m 的取值是 m=3 .
2．设 C = {复数}，A = {实数}，B = {纯虚数}，
全集 U = C，那么下面结论正确的是（ D ）
y
G
C
A
FO
E
x
H
例题讲解
例 2．已知复数2 i,2 4i,2i,4, 3 4i 2
在复平面内画出这些复 数对应的向量.
例题讲解
例 2．已知复数2 i,2 4i,2i,4, 3 4i 2
在复平面内画出这些复 数对应的向量.
例 3．如果 P 是复平面内表示复数 a+bi
我们已经知道：
一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
x2 1
知识引入
我们已经知道：
一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
思考？ x2 1
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
知识引入
我们已经知道：
一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一
个新数：
满足
知识引入
我们已经知道：
一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
思考？ x2 1
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一
个新数：
满足 i 2 1
A．A∪B = C
B． UA = B
C．A∩ UB = Φ D．B∪ UB = C
课堂练习
1．使复数 lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i 是 纯虚数，则实数 m 的取值是 m=3 .
2．设 C = {复数}，A = {实数}，B = {纯虚数}，
全集 U = C，那么下面结论正确的是（ D ）
y
G
C
A
FO
E
x
H
例题讲解
例 2．已知复数2 i,2 4i,2i,4, 3 4i 2
在复平面内画出这些复 数对应的向量.
例题讲解
例 2．已知复数2 i,2 4i,2i,4, 3 4i 2
在复平面内画出这些复 数对应的向量.
例 3．如果 P 是复平面内表示复数 a+bi
我们已经知道：
一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
x2 1
知识引入
我们已经知道：
一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
思考？ x2 1
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
知识引入
我们已经知道：
一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
人教A版高中数学选修1-2《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件
跟踪训练1 下列命题： ①1＋i2＝0； ②若a∈R，则(a＋1)i为纯虚数； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； ④两个虚数不能比较大小. 是真命题的为__①__④____.(填序号)
解析 答案
类型二 复数的分类 例 2 求当实数 m 为何值时，z＝m2m－＋m3－6＋(m2＋5m＋6)i 分别是： (1)虚数；
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021年6月23日 星期三 10时2分16秒10:02:1623 June 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午10时2分16秒 上午10时2分10:02:1621.6.23
谢谢大家
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得mm22＋ －m2m－＝2＝ 0，4， 解得 m＝2.
综上可知，m＝1或m＝2.
解答
当堂训练
1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是
A.±1
B.±i
√C.± 2 i
D.±2i
1234
答案
2.若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是
知识点三 复数的分类
实数b＝0 (1)复数(a＋bi，a，b∈R) 虚数b≠0纯 非虚 纯数 虚数a＝a0≠ 0
(2)集合表示：
题型探究
类型一 复数的概念
例1 (1)给出下列命题： ①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ⑤实数集的补集是虚数集.
其中真命题的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 答案
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分 别是_±___2_，__5_. 解析 由题意知ab2－＝22＝，3， ∴a＝± 2，b＝5.
人教A版高中数学选修1-2课件高二第3章《数系的扩充与复数的引入》：3.1.1数系的扩充
“将10分成两部分，使两者的乘积等于40.”
x2-10x+40=0 5 15,5 15
虚构的、想象的、“诡辩量”
虚数
虚数是“想”出来的. 1637年，法国数学
家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数”（“想 象中(imaginary)的数 ”）.
笛卡尔 (R.Descartes,)
人们开始记数时，最初没有“零”的概念， 在生产实践需要记数的东西越来越多，逐 渐产生了位值记数法，如我国古代筹算上 利用空格表示“零”。引入“0”是数的 概念的第二次扩展。
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的
请你归纳一下： 数系是如何扩充的？
正分数 自然数
引入0
负数
无理数
有理数
实数
数学思想过程方法
服务与实用 统一性原则
构造法 结合法
自然数
• 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追 溯到五万年前.
由于生产力的发展，在土地丈量、天文观测 、水利工程等方面的需要，正分数运应而 生。据史书记载，三千多年前埃及纸草卷 中已有关于正分数问题的记述。引进正分 数是数的概念的第一次扩充。
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
欧拉 LeonhardEuler （1707-1783）
1777年欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数
高斯 JohannCarlFriedrichGauss
（1777—1855）
1801年高斯系统使用了i这个符号
使之通行于世
人教A版高中数学选修2-2课件 3.1.1数系的扩充和复数的概念课件3
(3)数集扩充后有 实数b＝0
复数z虚数纯 非虚 纯数 虚数 a＝0，b≠0
2．复数的代数形式 复数a＋bi(a，b∈R)中应注意以下几点： (1)a，b∈R必须注明，否则不是代数形式. (2)z是实数⇔b＝0. (3)z为纯虚数⇔z＝bi(b≠0，b∈R)． (4)z为虚数⇔z＝a＋bi(b≠0，b∈R)． (5)z为复数⇔z＝a＋bi(a，b∈R)．
【例4】
定义运算
a c
b d
＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i
＝3x＋－2yy 1i，求实数x，y的值．
【分析】 理解运算的定义，利用运算的定义转化为两个
复数相等求解．
【解】 由运算的定义知，
3x＋2y
－y
1i ＝(3x＋2y)＋yi，
∴(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi.
B．②
C．③
D．④
解析 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，b≠0时为纯虚 数．
在①中，a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错； 在③中，x＝－1，不成立，故③错； ④正确．
答案 D
4．实数x分别取什么值时，复数z＝
x2－x＋6 x＋3
＋(x2－2x－
第三章 数系的扩充与复数的引入
§3.1 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1.理解虚数单位的概念． 2．理解复数及其有关的概念． 3．理解两个复数相等的条件及其在解题中的应用.
课前热身 1.复数的概念． (1)复数与复数集 形如__________的数叫做复数，其中i叫做__________， 全体复数所成的集合叫做__________，用字母__________表 示. (2)复数的代数形式 复数通常用z表示，z＝__________叫做复数的代数形式， 其中a叫做复数z的__________，b叫做复数z的__________．
人教A版高中数学选修2-2课件：第三章 3.1.1数系的扩充和复数的概念(共41张PPT)
一种力量，消极的力量。赞扬也是一种力量，但却是积极的力量。 凡过于把幸运之事归功于自我的聪明和智谋的人多半是结局很不幸的。 认真可以把事情做对，而用心却可以做到完美。 早晨给自己一个微笑，种下一天旳阳光。 最常见的勇气就是在日常生活中做到诚实和正直，能够抵制诱惑，敢于讲真话，表现自己真实的一面，而不要虚伪造作。 没有失败，只有暂时停止的成功。 获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。 盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。 经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。 做最好的今天，回顾最好的昨天，迎接最美好的明天。 失败并不意味你浪费了时间和生命，失败表明你有理由重新开始。 每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。 驾驭命运的舵是奋斗。 有时候谎言，经过精心的包装就有了一个更好听的名字：誓言。 早晨给自己一个微笑，种下一天旳阳光。 努力向上的开拓，才使弯曲的竹鞭化作了笔直的毛竹。 无所求则无所获。 人只要不失去方向，就不会失去自己。 生气是拿别人做错的事来惩罚自己。 没有所谓失败，除非你不再尝试。