黄淑清热学教程

互作用力。
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关于分子集体运动的统计假设
（1）无外场时，平衡态分子按位置均匀分布
n
dN dV
N V
（2）平衡态分子速度取向各方向等概率
x y z
x2 y2 z2 132
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三、理想气体压强公式
平衡态 忽略重力 分子看成质点
m－分子质量
身高分布 hhdh d N h
N
年龄分布 yydy d N y
N
资产分布 mmdm d N m
N
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2)定义相应物理量的分布函数
以身高分布函数为例
分间隔
hhdh
h
概率 d N h N
与h 和dh 有关
用dh去除 d N h 得到一个新的关系 N
dN h N dh
= f (h) -------身高分布函数
§4-5、速率分布的测定与速率分布函数
对任何一个分子，速度取值和取向都是偶然事件，不可 预知,但对平衡态下大量气体分子，速度的分布将具有稳 定的规律
一.气体分子速率的实验测定
Stern 实验
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三. 速率分布函数
f () d N N d
d N ：速率 d N：分子总数
f()42m kT 3/22em 2/2kT
T, m
f
(
)d
dN N
0
d
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讨论 ：验证一下归一化：
3/2
f()42m kT e 2 m 2/2kT
3/2
0 f()d 4 2m k T
e d 2 m 2/2kT
0
由积分公式 x e 2 bx2 dx1
dIix0diI1 2i
diIdtdAnm i i2x
i
压强：
dF dI P m
dAdtdA i
n 2 i ix
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求统计平均值：
Pm nii2x nm
ni n
2 ix
nm
2 x
i
i
2 x
1 3
2
P
2 3
n平
平
1 2
m
2 —平动动能的统计平均值
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N—分子总数
V—体积
n N —分子数密度
V
ni
Ni V
—速度为
i 分子数密度
nni, NNi
i
i
dA
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一个分子对dA冲量：
x
2m ix
dt 内所有 i 分子对dA冲量：
idt
dIi (niixdtd)A(2mix)
ix dt
2nimi2xdtdA
dt 内所有 分子对dA冲量：
m
3
)2
e d 2
m2
2kT
2kT
~em 2k2Td(m2)ekETdE f(E)dE
2
由于理想气体只有动能没有势能存在。
在更一般的平衡态中，分子间有势能， 在外力场中运动还有相应势能,分子按能 量的分布就应该和总能量相关
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玻尔兹曼能量分布律
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1. 统计规律与涨落现象
伽尔顿板
一个小球落在哪里 有偶然性；少量小球 的分布每次都可能不 同；大量小球的分布 却是稳定的。
统计规律：对大量偶然事件整体起作用的稳 定的规律 。
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2.分布函数与平均值
研究人口统计规律的一个方法 1)分间隔
f()42m kT 3/22em 2/2kT
f()
2 02f()dM 3RmT ol
T
rms 2
3RT 1.73 RT
Mmol
Mmol
0
p 2
p:: 21.4:11.6:01.73
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§4-8 玻耳兹曼分布
对于理想气体平衡态，由其满足的麦克斯韦速率分布律得：
f()d4(
如何取小体元 dV ixdtdA？
宏观小 微观大
宏观小：
dA
x 例如 dV1 09cm 3
idt
ix t
微观大： 标准状态下空气
n2.71109c m -3 dN ndV 2.71100
涨落0
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§4.4 温度的微观实质
由理想气体状态方程
pVRT
pVRT
NA
V
R NA
T
p nkT
n
NA
V
—分子数密度
k R 1.381023JK— 玻尔兹曼常量
NA
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温度的统计意义：
P
2 3
n
（统计力学）
PnkT （热力学）
3 2
kT
热力学温度是分子平均平动动能的量度。
温度是一个统计概念，描述大量分子的集体状态。
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用分布函数计算平均值
W W()f()d 0
其中，分布函数已归一化 f()d1 0
一般情况下 W ( ) f ( ) d W 0 f ( ) d 0
§4-6
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麦克斯韦速率分布律
一. 麦克斯韦速率分布律
温度为T的平衡态下，气体分子速率分布的
概率密度为
f ( )
h
dN h
N
h hf ( h )d h
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§4-3 理想气体的压强公式 一、理想气体的微观假设 关于每个分子力学性质的假设 （1）质点 (分子线度<<分子间平均距离) （2）遵从牛顿力学规律,分子间、分子与器壁间
的碰撞—弹性碰撞 （3）除碰撞瞬间，分子间、分子与器壁间无相
内的分子数
在速率 附近，单位速率区间内的分子数占分子总
数的百分比。
对于一个分子，其速率处于附近单位速率区间的概
率— 速率分布的 “概率密度”
归一化条件：
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0 f()d1
因为
f
()
dN
N d
f()d1
N
dN1
0
N0
一个分子速率处于区间 0的总概率等于1。
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0
4
b3
，得
0 f()d1
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二.三种统计速率
1.
最概然速率：由
d f ( ) d p
0
f ( )
p
2RT
RT
1.41
Mmol
Mmol
T
2.平均速率：
0
p
0f()d8 M R mT o1 l.60M R mT ol
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3. 方均根速率：
f (h ) 的性质
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f ( h )d h 1 归一性质
f
(h)
dΔNN h NN Δdh
f (h)dh
f ( h )d h 1 几何意义
o
hhΔdh
曲线下面积恒为1
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3) 分布函数的应用
平均值计算式为
h d N h Nhf ( h )d h