07练习题解答：第七章 参数估计
第七章参数估计
练习题：
1．假设一个总体有3、6、9、12、15共5个元素，抽取样本容量为2的样本，绘制总体分布与样本均值的抽样分布，并比较两个分布的异同？
解：○1总体分布：
总体中5个元素3、6、9、12和15在总体中都各自仅仅出现一次，其分布为均匀分布，如下图所示：
○2若重复抽取（抽取后放回）样本容量为2的样本，则可以抽取的样本有52=25个，样本以及样本的均值如下表所示：
根据上表可以绘制出25个样本均值的相对频数分布，如下图所示：
样本均值的抽样分布
2．某报刊为了对某市交通的便利情况进行调查，在全市随机抽取了56名市民，调查其每天上下班大约在公交车上花费的时间，下表是56名市民做出的回答：（单位：分钟）
80 80 68 48 60 50 110 50 85 95
75 70 210 60 50 60 200 70 40 35
120 90 60 80 70 80 190 45 60 120
100 40 78 50 80 50 30 55 80 110
50 70 90 40 60 30 60 60 70 60
60 80 50 60 80 120
（1）请计算这56名市民上下班在公交车上花费的时间的平均数
x和标准差S。
（2）求该市市民上下班在公交车上花费的平均时间的置信区间，置信度为95%。解：（1）均值：1
8080684224
75.43
5656
n
i
i
X
x
n
=
+++
====
∑
…+120
标准差：
=37.11
S==
=
（2）大样本单总体均值的区间估计：
在1α-的置信度下，总体均值μ
的置信区间为22
x Z x Z α
α
?
?
-+ ?，
该题目中：=0.05α，75.43x =，=37.11σ，0.052
2
==1.96 Z Z α，56n =
则：2
1.969.72Z α
==
可得：2
75.439.7265.71x Z α
-=-=
2
75.439.7285.15x Z α
+=+=
可得总体均值μ的置信区间为()65.71,85.15。
3．某大学为了了解本校学生每天上网的时间，在全校6000名学生中随机抽取了20 名学生进行调查，得到下面的数据：（单位：小时）
2.5 3 4 2 1.6 2.5 4 2 3 1 2.8
3.5
6
2
4
1
2
3.8
1
5
（1）请计算这20学生每天上网的时间的平均数x 和方差S 。
（2）求该校20名学生每天上网的平均时间的置信区间，置信度为99%。
解：（1）均值：1
2.53456.7
2.842020
n
i
i X
x n
=+++==
==∑…+5
标准差：
=1.35
s ==
=
（2）小样本单总体均值的区间估计：
在1α-的置信度下，总体均值μ
的置信区间为2
2
x t x t α
α??-+ ?
，该题 目中：=0.05α， 2.84x =，s=1.35，0.052
2
2.093t t α==（自由度为19），20n =
则：2
2.0930.63t α
==
可得：2
2.840.63 2.21x t α
-=-=
2
2.840.63
3.47x t α
+=+= 可得总体均值μ的置信区间为()2.21,3.47。
4．中华人民共和国建国60周年阅兵式通过电视和网络直播传递到了世界的每一个 角落，阅兵式结束的当天下午，某国的中文报纸随机抽取了200名华人对之进行电话调查，结果显示有180名华人对阅兵式印象深刻，请计算该国对于阅兵式印象深刻的华侨的比例的置信区间，置信度为95%。
解：大样本单总体比例的区间估计：
样本中对阅兵式印象深刻的华侨占200名华人的比例：180
=
0.9200
p = 在置信度为1α-下P
的置信区间为//(p Z p Z αα-+，
本题目中：0.05α=，0.052
2
==1.96 Z Z α，0.9p =，200n =
则：/ 1.960.0416Z α=
可得：/0.90.04160.8584p Z α--=
/0.90.04160.9416p Z α+=+= 可得总体比例P 的置信区间为()85.84%,94.16%。
5．某购物中心准备在甲乙两个城区选出一个建立一个新的购物中心，策划人员分别在甲城区随机抽取了200名居民，在乙城区随机抽取了240名居民，对其月消费额度进行了调查，下表是调查的结果：（单位：元）
来自甲城区的样本
来自乙城区的样本
1n =200
2n =240
1x =720 2x =640 1s =120
2s =88
（1）求12μμ-的95%的置信区间。
（2）求12μμ-的99%的置信区间。
解：（1）大样本两总体均值差的区间估计：
在置信度为1α-下两总体均值差12μμ-的置信区间为
(
)(
)12/12/x x Z x x Z αα?---+ ?
1272064080x x -=-=，1n =200，2n =240，1s =120，2s =88，0.05/2 1.96Z =
/ 1.9620.01Z α== 可得：(
)12/8020.0159.99x x Z α--=-= (
)12/8020.01100.01x x Z α-+=+= 可得12μμ-的95%的置信区间为(59.99,100.01)。 （2）0.01/2 2.58Z =
/ 2.5826.34Z α== 可得：(
)12/8026.3453.66x x Z α--=-= (
)12/8026.34106.34x x Z α-+=+= 可得12μμ-的99%的置信区间为(53.66,106.34)。
6．在旅游开发过程中将旅游地社区居民的意见考虑进来已经是一种比较通行的做 法，某地要新开发一个旅游项目，在附近的甲社区随机抽取60名居民，在乙社区随 机抽取了64名居民，调查其是否同意该旅游项目开工建设，表示同意开工建设的居 民的百分比如下表所示：
来自甲社区的样本
来自乙社区的样本
1n =60
2n =64
1p =86%
2p =72%
（1）构造12P P -的90%的置信区间。
（2）构造12P P -的95%的置信区间。 解：（1）在置信度为1α-下两总体比例差12P P -的置信区间为：
(
)(
)12/12/p p Z p p Z αα?---+ ?
该题目中：120.14p p -=，1n =60，2n =64，/2 1.65Z α=
/ 1.650.1185Z α== 可得：(
)12/0.140.1185=0.0215p p Z α--=-
(
)12/0.140.1185=0.2585p p Z α-+=+ 12P P -的90%的置信区间为(0.0215,0.2585)。
（2）/2 1.96Z α=
/ 1.960.1407Z α= 可得：(
)12/0.140.1407=-0.0007p p Z α--=-
(
)12/0.140.1407=0.2807p p Z α-+=+ 12P P -的95%的置信区间为(-0.0007,0.2807)。
7．现今有大量的中小学生参加各种培优项目，某教育研究机构在某中学初二年级
中随机抽取了30名学生，上一学期参加过培优的有12名学生，没有参加过培优的
1x 2x 12（2）求12μμ-的95%的置信区间。
解：（1）1190781034
86.171212n
i
i x
x n
=++=
=
==∑…+82
1
280871485
82.501818
n
i
i x
x n
=++=
=
==∑…+87
1 5.36
S ==
=
2 8.51
S ==（2）小样本总体均值差12μμ-的区间估计，21σ≠2
2σ且1n ≠2n ：
在置信度为1α-下两总体均值差12μμ-的置信区间为：
(
)(
)1212x x x x ?---+ ?
其中t 分布的自由度df ：
()
()
2
22
12122
2
221
12
212//11
S S n n df S
n S n n n ??
+ ???
=
+
--
该题目中，1286.1782.50 3.67x x -=-=
()
()
()
()
2
22
12122
2
221122122
222
2
22//1
1
5.368.511218 =
5.36/128.51/18121
181
41.178
=
1.473 =27.96 28
S S n n df S n S n n n ??+ ???
=
+
--??
+ ??
?+
--≈
则在自由度为28，置信度为10.05-时0.052
2
2.048t t α==，
可得：
2.048 2.048 5.19=== 可得：(
)12 3.67 5.19-1.52x x --=-= (
)12 3.67 5.198.86x x -+=+= 可得12μμ-的95%的置信区间为(-1.52,8.86)。
8．根据武汉市初中生日常行为状况调查的数据（data9），试以95%的置信度求武 汉市初中生平时一天睡觉时间(C11)的置信区间？
解：《武汉市初中生日常行为状况调查问卷》：
C11 请你根据自己的实际情况，估算一天内在下面列出的日常课外活动上所花的时间大约为（请填写
具体时间，没有则填“0”） 平时（非节假日）：8)睡觉_______小时
SPSS 的操作步骤如下：
○1选择“Aanalyze → Descriptive Statistics → Explore ”,打开如图7-1（练习）所示
的对话框。
图7-1（练习） Explore的对话框
○2将变量“初中生平时一天睡觉时间（c11a8）”放在Dependent List栏中，Display选项中选择Both。
○3点击Statitics按钮，出现如图7-2（练习）所示的对话框。设置置信水平为95%，点击Continue按钮，返回到上一级对话框。
图7-2（练习） Explore：Statistics分析对话框
○4点击OK按钮，输出如表7-1（练习）所示的结果。
从表7-1（练习）可以看出，初中生平时每天睡觉的平均时间为7.772小时，我们有95%的把握认为初中生平时每天平均睡觉时间在7.626-7.918小时之间。
9．根据武汉市初中生日常行为状况调查的数据（data9），试以95%的置信度求武汉市不与父母双亲住在一起(A7)的初中生的比例的置信区间?
解：《武汉市初中生日常行为状况调查问卷》：
A7 你的居住情形是
1)与父母亲住在一起 2)仅与其他亲戚住 3)只与父亲住在一起
4)只与母亲住在一起 5)单独居住 6)和父母及其他亲戚一起居住SPSS的操作步骤如下：
○1《武汉市初中生日常行为状况调查问卷》“A7你的居住情形”这个题目有1）到6）六个选项，其中只有1）和6）是与父母亲双亲住在一起，其余的2）到5）都不是与双亲住在一起。○2将变量“居住情形（a7）”进行变换，生成新变量“是否与父母双亲住在一起（a7fz）”，其中1）与父母双亲住在一起，2）不与父母双亲住在一起。该步骤的操作步骤如下:
A. 依次点击Transform→Recode→Into Different Variables，打开如图7-3（练习）
所示的对话框。
图7-3（练习） Transform对话框
B.再将“你的居住情形（a7）”这个变量放置在Numeric Vavriable→output对话框
中，如图7-3（练习）所示，并在Output Variable框中给要生成的新变量命名
为“a7fz”，点击Change按钮后,新变量名字将出现在Numeric Vavriable→output
中，Label是新变量的标签，将之标示为“是否与父母双亲住在一起”。
C.点击如图7-3（练习）的Old and New Values按钮，得到如图7-4（练习）所示
的对话框，将“你的居住情形（a7）”这个变量转换成两种类别。Old Value选项
Value中输入1，在New Value一栏Value中输入0,再点击Add按钮，使之出现
在Old→New栏中；同样Old Value选项Value中输入6，在New Value一栏Value
中输入0,再点击Add按钮，使之出现在Old→New栏中；Old Value选项的Range
栏的through左侧框中输入2，through右侧框中输入5，在New Value一栏Value
中输入1，再点击Add按钮，也使之出现在Old→New栏中。
图7-4（练习） Old and New Values对话框
D．点击Continue按钮，返回到上一级对话框，再点击图7-3（练习）中的OK按钮，完成设置。则生成新变量“是否与父母双亲住在一起（a7fz）”,该变量在SPSS
数据中有0和1两个取值,其中“与父母双亲住在一起”取值为0，“不与父母双
亲住在一起”取值为1。则变量“是否与父母双亲住在一起（a7fz）”的平均值就
是“不与父母双亲住在一起的初中生”的比例。
○3选择“Aanalyze → Descriptive Statistics→ Explore”,打开如图7-5（练习）所示的对话框。
图7-5（练习） Explore的对话框
○4将变量“是否与父母双亲住在一起（a7fz）”放在Dependent List栏中，Display选项中选择Both。
○5点击Statitics按钮，出现如图7-6（练习）所示的对话框。设置置信水平为95%，点击Continue按钮，返回到上一级对话框。
图7-6（练习） Explore：Statistics分析对话框
○6点击OK按钮，输出如表7-2（练习）所示的结果。
的把握认为没有与父母双亲住在一起的初中生的比例在9.21%—14.90%之间。
概率统计第七章参数估计参考答案
概 班级 姓名 学号 任课教师 第七章 参数估计 教学要求： 一、理解点估计的概念，了解矩估计法和极大似然估计法； 二、了解无偏性、有效性、一致性等估计量的评判标准； 三、理解区间估计的概念，会求单个正态总体均值与方差的置信区间，会求两个正态总体均值差与方差比的置信区间． 重点：极大似然估计法、矩估计法． 难点：置信区间的定义及求法． 习题一 点估计 1.随机抽取8只活塞环，测得它们的直径（单位：mm ）为： 74.001， 74.005， 74.003， 74.001， 74.000， 73.998， 74.006， 74.002 试求总体均值μ与总体方差2σ的矩估计值，并求样本方差2 s ． 解：总体的一、二阶原点矩分别为： ()μ=X E ， () ()()[]222 2μσ+=+=X E X D X E ； 样本的一、二阶中心矩分别为： X X n A n i i ==∑=111， ∑==n i i X n A 1 2 21； 由矩估计法有 ()X A X E ===∧ ∧ 1μ, ()22 2 2 A X E =+=∧∧ ∧ μσ , 即 X =∧ μ， () ∑∑==∧∧ -=-=-=n i i n i i X X n X X n A 12 2122 22 11μσ 由题中所给数据得 001.74=∧ μ， 52 10388.1-∧?=σ
2.设总体X 的密度函数为，()??? ??≤>=-;0, 0,0,1x x e x f x θθ 其中θ0>是未知参数，求θ的矩 估计． 解：因为 ()θθ θ=== - ∞ +∞ +∞ -? ? dx e x dx x xf X E x 1 )( 则 X =∧ θ. 3.设总体X 服从泊松分布，其分布律为λλ-==e x x X P x ! }{， ,2,1=x ．试求未知参 数λ)0(>λ的矩估计． 解：因为 λλλλλλλ λ λ λ =-=-=? =? =∑∑ ∑∑∞ =---∞ =-∞ =∞ =-1 1 11 )!1()! 1(! ! )(x x x x x x x x x e e x e x x x e x X E ， 故 X =∧ λ. 4.设总体X 的密度函数为：σ σ x e x f -=21)( ，)(+∞<<-∞x 求参数σ)0(>σ的最大似然估计． 解：似然函数为 ()σ σσσ σ∑=∏==---=n i i i x n x n i e e L 1 221)(1， σ σσ∑=- -=n i i x n L 1 )2ln()(ln ， 对σ求导得似然方程 01 )(ln 1 2 =+-=∑=n i i x n d L d σ σσσ 求得σ的最大似然估计为 ∑=∧ =n i i ML x n 1 1σ. 5.已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布，其分布参数均未知．在某个星期所生产的这种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：小时）为： 1067， 919， 1196， 785， 1126， 936， 918， 1156， 920， 948. 试用最大似然估计法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率．
第7章 统计学 参数估计 练习题
第7章参数估计 练习题 一、填空题（共10题，每题2分，共计20分） 1．参数估计就是用_______ __去估计_______ __。 2. 点估计就是用_______ __的某个取值直接作为总体参数的_______ __。3．区间估计是在_______ __的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减_______ __得到。 4. 如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为_______ __，也成为_______ __。 5．当样本量给定时，置信区间的宽度随着置信系数的增大而_______ __；当置信水平固定时，置信区间的宽度随着样本量的增大而_______ __。 6. 评价估计量的标准包含无偏性、_______ __和_______ __。 7. 在参数估计中，总是希望提高估计的可靠程度，但在一定的样本量下，要提高估计的可靠程度，就会_______ __置信区间的宽度；如要缩小置信区间的宽度，又不降低置信程度，就要_______ __样本量。 8. 估计总体均值置信区间时的估计误差受总体标准差、_______ __和_______ __的影响。 9. 估计方差未知的正态总体均值置信区间用公式_______ __；当样本容量大于等于30时，可以用近似公式_______ __。 10. 估计正态总体方差的置信区间时，用_____ __分布，公式为______ __。 二、选择题（共10题，每题1分，共计10分） 1．根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间 ( )。 A．以95%的概率包含总体均值 B．有5%的可能性包含总体均值 C．一定包含总体均值 D. 要么包含总体均值，要么不包含总体均值 2．估计量的含义是指( )。
第7章参数估计习题及答案精编版
第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<
α是未知参数， n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计. 解：因? ?++=+= 10 1 1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2 α1 α2α1α102++= ++= +|a x 令2α 1α ++==??)(X X E X X --=∴112α ?为α的矩估计 因似然函数1212 (,, ;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+ ∑=++=∴n i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 1 01ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0,x e x f x λλ-?>=?? 其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1） 求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.
线性代数第3章_线性方程组习题解答
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
第七章参数估计练习题(最新整理)
第七章参数估计练习题 一．选择题 1.估计量的含义是指（） A.用来估计总体参数的统计量的名称 B.用来估计总体参数的统计量的具体数值 C．总体参数的名称 D．总体参数的具体取值 2．一个95%的置信区间是指（） A.总体参数有95%的概率落在这一区间内 B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数。 D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数。 3.95%的置信水平是指（） A.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是95% B．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95% C．总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是5% D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5% 4.根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（） A．以95%的概率包含总体均值 B．有5%的可能性包含总体均值 C.一定包含总体均值 D．要么包含总体均值，要么不包含总体均值 5. 当样本量一定时，置信区间的宽度（） A.随着置信水平的增大而减小 B. .随着置信水平的增大而增大 C．与置信水平的大小无关D。与置信水平的平方成反比 6.当置信水平一定时，置信区间的宽度（） A.随着样本量的增大而减小 B. .随着样本量的增大而增大 C．与样本量的大小无关D。与样本量的平方根成正比 7.在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（） A．无偏性 B.有效性 C. 一致性D. 充分性 8. 置信水平（1-α）表达了置信区间的（） A．准确性 B. 精确性 C. 显著性D. 可靠性 9. 在总体均值和总体比例的区间估计中，边际误差由（） A．置信水平决定 B. 统计量的抽样标准差确定 C. 置信水平和统计量的抽样标准差 D. 统计量的抽样方差确定 10. 当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是（） A.正态分布 B. t分布 C.χ2分布 D. F分布 11. 当正态总体的方差未知，且为大样本条件下，估计总体均值使用的分布是（）
线性方程组典型习题及解答
线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
概率与数理统计第7章参数估计习题及答案
第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<
α是未知参数， n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计. 解：因? ?++=+= 10 1 1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2 α1 α2α1α102++=++= +|a x 令2 α1α ++==??)(X X E X X --=∴112α ?为α的矩估计 因似然函数1212(,,;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+ ∑=++=∴n i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 1 01ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0,x e x f x λλ-?>=?? 其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1） 求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.
第七章参数估计
第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθL d x θc θn θn θL
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r
解线性方程组
课程设计阶段性报告 班级：学号：姓名：申报等级： 题目：线性方程组求解 1.题目要求：输入是N（N<256）元线性方程组Ax=B，输出是方程组的解，也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解，也可以采用其它方法。 2.设计内容描述：将线性方程组做成增广矩阵，对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素，从而得到上三角矩阵，再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍：我使用Dev-C++环境编译的，调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数，FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号，ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码： #include
//交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i 3 线性方程组 3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=??+++=? *???++ +=? 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组, i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b = =b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x x x x x a a a a a a a a a ++ +=??+++=? ???++ +=?c c c 的导出组, (其中12m c ,c ,...c 不全为零) 2、记1111 1221 n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ???? ?? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ???? = 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =** 3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2, n a a a α?? ? ? == ? ? ??? 则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b. ααα++ +=***。 同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断 1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解; ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A = ()<() ()=()=n, ()=()()=() 第七章 参数估计 §7.1 参数的点估计 §7.2 估计量的评选标准 一、 填空题 1．矩估计法是通过 参数 与 总体矩 的联系，解出参数，并用 样本矩 代替 总体矩 而得到参数估计的一种方法； 2．极大似然估计法是在 总体分布形式 已知情况下的一种点估计方法； 3．设n X X X 2,1是正态总体),(2σμN 的一个样本，则μ的极大似然估计为 =μ? ∑=n i i X n 11 ；总体方差的矩估计为=σ2 ? ∑=-n i i X X n 1 2)(1 ； 4.设()12?,,,n X X X θ 为未知参数θ的估计量，若() ?E θθ=，则称?θ为θ的无偏估计量； 5．设n X X X 2,1为总体X 的一个样本，则总体均值)(X E 的无偏估计为 ∑==n i i X n X 11 ；总体方差)(X D 的无偏估计为 ∑=--=n i i X X n S 1 22 )(11 ； 6.设总体X 服从二项分布(),,B N p N 已知，()12,,,n X X X 是来自X 的样本，则p 的极大似然估计量为 X N ； 解 {}() 1i i i N x x x i N P x x C p p -==-， ()()11 1111n n i i i i i i i i n n x N x nN x x x x N N i i L C p p C p p ==--==∑??∑=-=- ??? ∏∏， ()111ln ln ln ln 1i n n n x N i i i i i L C x p nN x p ===?????? =++-- ? ? ??? ????∑∑∏， 令11ln 11 0,1n n i i i i d L x nN x dp p p ==????=--= ? ?-????∑∑得到1n i i x X p nN N ===∑。 7.在天平上重复称量一重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 ()2,0.2N a ，若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值，则为使{} 0.10.95n P X a -<≥，n 的最小值应不小于自然数16。 解 ()()2 2 0.2,n n E X a D X n n σ===，所以20.2,n X N a n ?? ??? 第7章 参数估计 练习题 7.1 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。 （1） 样本均值的抽样标准差x σ等于多少? （2） 在95%的置信水平下，边际误差是多少？ 解：⑴已知25,40,5===x n σ 样本均值的抽样标准差79.04 10 40 5≈= = = n x σ σ ⑵已知5=σ,40=n ,25=x ，4 10 = x σ，%951=-α 96.1025.02 ==∴Z Z α 边际误差55.14 10 * 96.12 ≈==n Z E σ α 7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客 组成了一个简单随机样本。 （1） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （2） 在95%的置信水平下，求边际误差； （3） 如果样本均值为120元，求总体均值μ的95%的置信区间。 解.已知.根据查表得2/αz = （1）标准误差：14.249 15== =n X σ σ （2）．已知2/αz = 所以边际误差=2/αz * =n s *49 15= （3）置信区间：)(2.124,8.11596.149 151202 =*± =±n s Z x α 7.3 从一个总体中随机抽取100=n 的随机样本，得到104560=x ，假定总体标准差 85414=σ，构建总体均值μ的95%的置信区间。 96.12 =?Z 144.16741100 85414* 96.12 ==? ?n Z σ 856.87818144.16741104560. 2 =-=-?n Z x σ 144.121301144.16741104560. 2 =+=+?n Z x σ 置信区间：（，） 7.4 从总体中抽取一个100=n 的简单随机样本，得到81=x ，12=s 。 （1） 构建μ的90%的置信区间。 （2） 构建μ的95%的置信区间。 （3） 构建μ的99%的置信区间。 解；由题意知100=n , 81=x ,12=s . （1）置信水平为%901=-α，则645.12 =αZ . 由公式n s z x ? ±2 α974.181100 12645.181±=? ±= 即(),974.82,026.79974.181=± 则的的%90μ置信区间为~ （2）置信水平为%951=-α， 96.12 =αz 由公式得n s z x ? ±2 α=81352.281100 12 96.1±=? ± 即81352.2±=（，）， 则μ的95%的置信区间为~ （3）置信水平为%991=-α，则576.22 =αZ . 线性方程组求解 习题课 一、给定方程组123211*********x x x -???????????? =? ???????????-?????? 试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。 解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为 -1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-?? ??--?????? 因为3 5 04 J I B λλλ-=+=，得特征值 1230,,22i i λλλ===- 得( )12J B ρ=> ，由定理知 Jacobi 迭代法发散。 对Seidel 迭代法，迭代矩阵为 ()1 S B D L U -=-=1 20001100.50.511000100.50.5112000000.5---?????? ??????-=--?? ??????????--?? ???? 显然，其特征值为1230,0.5λλλ===- 故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。 二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ?????? = ??? ??????? ，11220a a ≠， 112221120a a a a -≠。证明：解线性方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。 证明： 121 1111 122221 21 22 0000 00J a a a a B a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ?-????- ??? ()2 1221 1122det J a a I B a a λλ-=-，故( )J B λ= ( )J B ρ= 。 1211111 1221 2212211122000000S a a a a B a a a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ????? ?? ? 数值分析计算实习题 第5章解线性方程组的直接方法 【选题 列主元高斯消去法解线性方程组。 书上的计算实习题1、2、3都要求用列主元高斯消去法解线性方程组，所以考虑写一个普适的程序来实现。 对于线性方程组Ax二b,程序允许用户从文件读入矩阵数据或直接在屏幕输入数据。 文件输入格式要求: (1)第一行为一个整数n (2<=n<=100)，表示矩阵阶数。 (2)第2~n+l行为矩阵A各行列的值。 (3)第n+2~n+n+2行为矩阵b各行的值。 屏幕输入：按提示输入各个数据。 输出：A. b、det(A).列主元高斯消去计算过程、解向量X。 【算法说明】 设有线性方程组Ax=b,其中设A为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为 ?12 ?21 [Nb] = 第1步（k=l ）：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素?I,作为第一步的主元素: ?|| H0 然后交换（A, b）的第1行与第I行元素，再进行消元计算。 设列主元素消去法已经完成第1步到第k?l步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组 A（k）x=b（k） 4? …4;) …唸) ? 忒 ? ? 輕 ■ [A.b]T[A ⑹,b")] = ??■ 咲■ ■ ■ ■ ■ * *■ 〃伏) ?? - % ■ 第k步计算如下: 对于 k=l, 2, ?…，0-1 （1）按列选主元：即确定t使 （2）如果tHk,则交换［A, b］第t行与第k行元素。（3）消元计算 5 4* J 叫=一鱼(=^ + 1,…,H) % 吗 <-?y + 〃如伽 (fJ = R + l,…/) b- <-勺+加汝仇， (i = /c + l,…,《) 消元乘数mik 满足: n (%-D 内) X1 < ------ -- ---- 9(j = ? 一 1,?一2■…J)tk M 1,(,=斤 +1, ???,?) fet e (4)回代求解 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第七章 参数估计（一） 一、选择题： 1矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计 （B ）总体矩的函数 （C ）样本矩的函数 （D ）极大似然估计 2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ） 122433X X + （B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355 X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2 2 90.98S =，则μ的极大似然估计值为 [ A ] （A ）31.06 （B ）(31.06-0.98 , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题： 1．如果1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差一定满 足 1212????,E E D D θθθθ=< 2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1 ~(,)X f x x θθθ-=，用最大似然法估计参 数θ时，似然函数为()L θ= 31(0.05)θθ- 3．假设总体X 服从正态分布2 12(,),,,(1)n N X X X n μσ> 为X 的样本， 1 2 211()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计，则C = 12(1) n - 三、计算题： 1．设总体X 具有分布律，其中(01)θθ<<为未知参数， 已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ 456()2(1)22.5 ')1(0.6 L L θθθθθθθθ=?-=-== 解：该样本的似然函数.为令得三 、 第七章参数估计 练习题： 1．假设一个总体有3、6、9、12、15共5个元素，抽取样本容量为2的样本，绘制总体分布与样本均值的抽样分布，并比较两个分布的异同？ 解：○1总体分布： 总体中5个元素3、6、9、12和15在总体中都各自仅仅出现一次，其分布为均匀分布，如下图所示： ○2若重复抽取（抽取后放回）样本容量为2的样本，则可以抽取的样本有52=25个，样本以及样本的均值如下表所示： 根据上表可以绘制出25个样本均值的相对频数分布，如下图所示： 样本均值的抽样分布 2．某报刊为了对某市交通的便利情况进行调查，在全市随机抽取了56名市民，调查其每天上下班大约在公交车上花费的时间，下表是56名市民做出的回答：（单位：分钟） 80 80 68 48 60 50 110 50 85 95 75 70 210 60 50 60 200 70 40 35 120 90 60 80 70 80 190 45 60 120 100 40 78 50 80 50 30 55 80 110 50 70 90 40 60 30 60 60 70 60 60 80 50 60 80 120 （1）请计算这56名市民上下班在公交车上花费的时间的平均数 x和标准差S。 （2）求该市市民上下班在公交车上花费的平均时间的置信区间，置信度为95%。解：（1）均值：1 8080684224 75.43 5656 n i i X x n = +++ ==== ∑ …+120 标准差： =37.11 S== = （2）大样本单总体均值的区间估计： 在1α-的置信度下，总体均值μ 的置信区间为22 x Z x Z α α ? ? -+ ?， 该题目中：=0.05α，75.43x =，=37.11σ，0.052 2 ==1.96 Z Z α，56n = 则：2 1.969.72Z α == 可得：2 75.439.7265.71x Z α -=-= 2 75.439.7285.15x Z α +=+= 可得总体均值μ的置信区间为()65.71,85.15。 3．某大学为了了解本校学生每天上网的时间，在全校6000名学生中随机抽取了20 名学生进行调查，得到下面的数据：（单位：小时） 2.5 3 4 2 1.6 2.5 4 2 3 1 2.8 3.5 6 2 4 1 2 3.8 1 5 （1）请计算这20学生每天上网的时间的平均数x 和方差S 。 （2）求该校20名学生每天上网的平均时间的置信区间，置信度为99%。 解：（1）均值：1 2.53456.7 2.842020 n i i X x n =+++== ==∑…+5 标准差： =1.35 s == = （2）小样本单总体均值的区间估计： 在1α-的置信度下，总体均值μ 的置信区间为2 2 x t x t α α??-+ ? ，该题 目中：=0.05α， 2.84x =，s=1.35，0.052 2 2.093t t α==（自由度为19），20n = 第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10< α是未知参数， n X X X Λ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计. 解：因? ?++=+= 10 1 1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2 α1 α2α1α102++= ++= +|a x 令2 α1α ++==??)(X X E X X --=∴112α ?为α的矩估计 因似然函数1212(,,;)(1)()n n n L x x x x x x α αα=+L L ∑=++=∴n i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 1 01ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0,x e x f x λλ-?>=?? 其他 ，n X X X Λ,,21是来自X 的样本，（1） 第七章 参数估计 参数估计是数理统计研究的主要问题之一. 假设总体X ~N （μ，σ2），μ，σ2是未知参数，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本，样本值是x 1，x 2，…，x n ，我们要由样本值来确定μ和σ2的估计值，这就是参数估计问题，参数估计分为点估计（Point estimation ）和区间估计(Interval estimation). 第一节 点估计 所谓点估计是指把总体的未知参数估计为某个确定的值或在某个确定的点上，故点估计又称为定值估计. 定义7.1 设总体X 的分布函数为F （x ，θ），θ是未知参数，X 1，X 2，…，X n 是X 的一样本，样本值为x 1，x 2，…，x n ，构造一个统计量（X 1，X 2，…，X n ），用它的观察值 （x 1，x 2，…，x n ）作为θ的估计值，这种问题称为点估计问题.习惯上称随机变量（X 1，X 2，…，X n ）为θ的估计量,称（x 1，x 2，…，x n ）为的估计值. 构造估计量（X 1，X 2，…，X n ）的方法很多，下面仅介绍矩法和极大似然估计法. 1.矩法 矩法（Moment method of estimation ）是一种古老的估计方法.它是由英国统计学家皮尔逊（K .Pearson ）于1894年首创的.它虽然古老，但目前仍常用. 矩法估计的一般原则是：用样本矩作为总体矩的估计，若不够良好，再作适当调整. 矩法的一般作法：设总体X ~F （X ；θ1,θ2，…，θl ）其中θ1,θ2,…,θl 均未知. （1） 如果总体X 的k 阶矩μk =E (X k ) (1≤k ≤l)均存在，则 μk =μk (θ1,θ2,…,θl )，（1≤k ≤l ）. (2) 令?? ?????. ),,,(,),,,(, ),,,(212 2121211l l l l l A A A θθθμθθθμθθθμ 其中A k （1≤k ≤l ）为样本k 阶矩. 求出方程组的解,?,,?,?21l θθθ 我们称),,,(??21n k k X X X θθ=为参数θk (1≤k ≤l )的矩估计量, ),,,(??21n k k x x x θθ=为参数θk 的矩估计值. 例7.1 设总体X 的密度函数为： f （x ）=???-><<+., 0), 1(,10,)1(其他αααx x 其中α未知，样本为（X 1，X 2，…，X n ），求参数α的矩法估计. 解 A 1=X .由μ1=A 1及3线性方程组典型习题解析
第七章 参数估计
大学统计学第七章练习题及答案(供参考)
线性方程组习题课
数值分析计算实习题列主元高斯消去法解线性方程组
概率论与数理统计练习题第七章答案
07练习题解答：第七章 参数估计
概率与数理统计第7章参数估计习题及答案
第七章参数估计讲解