“五羊杯”初中数学竞赛初三试题(含答案).
2007年第19届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解(圣才出品)
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A．15
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B．18
C． 30
D． 33
【来源】 2007 年第19 届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级
【答案】D
【解析】显然，图中有16 个三角形，只有一个（ ABC ）面积为 S SABC ， 有 6 个（ ABD ， ACD ， BCE ， BAE ， CAF ， CBF ）面积为 S ；
【答案】B
【解析】将195 分解质因数可得195 3 513 ，因此195 的不同的质约数是 3 、 5 、 13 ，共 3 个。
2 ．计算： 3.1431.4 628 0.686 68.6 6.86 （ ）。
A． 3140
B． 628
C．1000
D．1200
【来源】 2007 年第19 届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级
（ ）条边的边长。
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
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A
H
B CF
G
DE
【来源】 2007 年第19 届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级
【答案】A
【解析】显然只知道边 AH 、 AB 、 CD 的长度，或知道 AH 、 HG 、 FE 的长度，
便可算出多边形
ABCDEFGH 的周长 2 AH AB CD 2 AH HG FE ，需要知道边长的边数
最少是 3 。
故正确的答案选 A。
7 ．五羊中学初一（ 20 ）班一次数学竞赛中，平均成绩为 70 分，恰有五分之一的学生 获奖，且获奖学生的平均分比全班平均分高出16 分，那么没有获奖的学生的平均分比全班
专题02 数的整除性(含答案)
解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数 能被198整除，求 ， 的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立 ， 的等式，求出 ， 的值．
【例4】已知 ， ， 都是整数，当代数式7 ＋2 ＋3 的值能被13整除时，那么代数式5 ＋7 －22 的值是否一定能被13整除，为什么？
⑵若 =13， =2 012，从 经过1 999步到 ．不妨设向右跳了 步，向左跳了 步，则 ，解得 可见，它一直向右跳，没有向左跳．
⑶设 同时满足两个条件：① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．由于 =0，故从原点出发，经过( －1)步到达 ，假定这( －1)步中，向右跳了 步，向左跳了 步，于是 = － ， ＋ = －1，则 ＋ ＋ ＋…＋ =0＋( )＋( )＋…( )=2( ＋ ＋…＋ )－[( )＋( )＋…＋( )]=2( ＋ ＋…＋ )－ ．由于 ＋ ＋ ＋…＋ =0，所以 ( －1)=4( ＋ ＋…＋ )．即4| ( －1)．
且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．
8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝－＝(1a－c)．
①若 | ， | ，则 | ；
②若 | ， | ，则 |( ± )；
③若 | ， | ，则[ ， ]| ；
④若 | ， | ，且 与 互质，则 | ；
⑤若 | ，且 与 互质，则 | ．特别地，若质数 | ，则必有 | 或 | ．
第二十九届“五羊杯”初中数学竞赛
1.45【解析】如图，连接AF 、BD 交于点O ，AF 与DE 交于点G ，EF 与BD 交于点H .将△AEG 、四边形EHOG 、△EBH 、△GOD 、△HOF 、△DOF 的面积分别记为①、②、③、④、⑤、⑥。
由AD //BD ，可得①+②+③=⑥， 又∵AEF S ∆=①+②+⑤，BDE S ∆=②+③+④，DEF S ∆=②+④+⑤+⑥，AE ：EB =5：3，∴53=88DEF AEF BDE ABF ABD S S S S S ∆∆∆∆∆=++∵AD //BC ，BF ：FC =3：2。
∴3==5ABF DBF DBC S S S ∆∆∆又∵梯形ABCD 的面积为120，∴35333()4558888DEF DBC ABD DBC ABD ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆=⋅+=+==梯形.2.28【解析】含有“*”的正方形中可能含有1、4、9、16、25、36个小正方形，对应地分别有1、4、9、9、4、1种情况，故共有1+4+9+9+4+1=28个符合条件的正方形。
3.552-【解析】x =231a x =+，2833a x +∴=+1111x ==+-=同理：1=而()()()()()2222222222222222222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a a b a b a b ++==⎛⎫+--⎛⎫+-++- ⎪⎪⋅-+⎝⎭⎝⎭-+∵()2222216,a b ab a b ==-=∴原式5=-。
4.3≤a【解析】方法1：原不等式可化为： 3212x a x x -≥+-+，分类讨论如下：当202x x +≤≤-即，不等式可化为333x a x -≥+，而3323320x +≤-⨯+=-<，故不等式恒成立；当21x -<≤时，不等式可化为31x a x -≥-，而10x -≤，故不等式恒成立； 当1x >时，不等式可化为31x a x -≥-，若133a a ≥≥即时，取3ax =，则不等式化为010x ≥->，不等式无解，不符合题意；若133a a <<即时，不等式可化为31x a x -≥-，即12a x -≥，此时1x >，故112a -≥，解得3a ≤。
(初中数学)质数精选题练习及答案
（初中数学）质数精选题练习及答案阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：1⎧⎪⎨⎪⎩单位正整数质数合数关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4． 2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数p |ab ，则必有p |a 或p |b ．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N 能唯一地分解成k 个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N= 1212k aa a k P P P ，其中12k PP P <<< ，i P 为质数，i a 为非负数(i =1，2，3，…，k )． 正整数N 的正约数的个数为(1＋1a )(1＋1a )…(1＋1a )，所有正约数的和为(1＋1P ＋…＋11aP )(1＋2P＋…＋22a P )…(1＋k P ＋…＋kak P )．例题与求解【例1】已知三个质数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＋abc =99，那么a b b c c a -+-+-的值等于_________________．(江苏省竞赛试题)解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a ，b ，c 的值．【例2】若p 为质数，3p ＋5仍为质数，则5p ＋7为( )A ．质数B ．可为质数，也可为合数C ．合数D ．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数n，求证：n一定是合数．⑵若n是大于2的正整数，求证：2n－1与2n＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明2n－1与2n＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且112x y p+=，求x＋y的值．解题思想：由题意变形得出p整除x或y，不妨设x tp=．由质数的定义得到2t－1=1或2t－1=p．由x≠y及2t－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A 级1．若a ，b ，c ，d 为整数，()()2222a bcd ++=1997，则2222a b c d +++=________．2．在1，2，3，…，n 这个n 自然数中，已知共有p 个质数，q 个合数，k 个奇数，m 个偶数，则(q －m )＋(p －k )=__________．3．设a ，b 为自然数，满足1176a =3b ，则a 的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题)4．已知p 是质数，并且6p ＋3也是质数，则11p －48的值为____________．(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( )A ．4B ．8C ．12D ．0 6．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个(“希望杯”邀请赛试题)7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有( )A ．1个B ．3 个C ．5个D ．6 个(“希望杯”邀请赛试题)8．设p ，q ，r 都是质数，并且p ＋q =r ，p <q ．求p ．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x cm 规格的地砖，恰用n 块，若选用边长为y cm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x ，y ，n 都是正整数，且(x ，y )=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B 级1．若质数m ，n 满足5m ＋7n =129，则m ＋n 的值为__________．2．已知p ，q 均为质数，并且存在两个正整数m ，n ，使得p =m ＋n ，q =m ×n ，则p qnmp q m n ++的值为__________．3．自然数a ，b ，c ，d ，e 都大于1，其乘积abcde =2 000，则其和a ＋b ＋c ＋d ＋e 的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题)4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题)5．若a ，b 均为质数，且满足11a ＋b =2 089，则49b －a =_________． A ．0B ．2 007C ．2 008D ．2 010(“五羊杯”竞赛试题)6．设a 为质数，并且72a ＋8和82a ＋7也都为质数，记x =77a ＋8，y =88a ＋7，则在以下情形中，必定成立的是( )A ．x ，y 都是质数B ．x ，y 都是合数C ．x ，y 一个是质数，一个是合数D ．对不同的a ，以上皆可能出现(江西省竞赛试题)7．设a ，b ，c ，d 是自然数，并且2222a b c d +=+，求证：a ＋b ＋c ＋d 一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足： ⑴ 6个数中任意两个都互质；⑵ 6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数p ，q 都是质数，并且7p ＋q 与pq ＋11也都是质数，试求q p p q 的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．质数答案例1 34 例2 C例3 3符合要求 提示：当p =3k ＋1时，p ＋10=3k ＋11，p ＋14=3(k ＋5)，显然p ＋14是合数，当p =3k＋2时，p ＋10=3(k ＋4)是合数，当p =3k 时，只有k =1才符合题意． 例4 （1）因1＋2＋ (2004)21×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n 是大于2的正整数，则n2－1≥7，n2－1、n2、n2＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除n2，故n2－1与n2＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a 的所有正约数之和为b ，1d ，2d ，3d ，…，n d 为a 的正约数从小到大的排列，于是1d =1，n d =a ．由于nd d d d S 1111321+⋅⋅⋅+++=中各分数分母的最小公倍数n d =a ，故S =n n n n n d d d d d d 11⋅⋅⋅++-=nn d d d d ⋅⋅⋅++21=a b ，而a =360=53223⨯⨯，故b =（1＋2＋22＋32）×（1＋3＋23）×（1＋5）=1170．a b =3601170=413． 例5 由xy y x +=p 2，得x ＋y =pxy2=k ．（k 为正整数），可得2xy =kp ，所以p 整除2xy 且p 为奇质数，故p 整除x 或y ，不放设x =tp ，则tp ＋y =2ty ，得y =12-t tp为整数．又t 与2t －1互质，故2t －1整除p ，p 为质数，所以2t －1=1或2t －1=p ．若2t －1=，得t =1，x =y =p ，与x ≠y 矛盾；若2t －1=p ，则xyy x +=p 2，2xy =p （x ＋y ）．∵p 是奇质数，则x ＋y 为偶数，x 、y 同奇偶性，只能同为xy =()2y x p +必有某数含因数p ．令x =ap ，ay =2y ap +，2ay =ap ＋y ．∴y =12-a ap，故a ，2a －1互质，2a －1整除p ，又p 是质数，则2a －1=p ，a =21+p ，故x =p p ⋅+21=()21+p p ，∴x ＋y =()21+p p ＋21+p =()212+p 。
2003年第13届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷
2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）方程323223232xx+-+=-+的根是（ ）A ．3-B ．2C ．1-D ．02．（5分）设323(437)3770x x x +---=，则43277372x x x x +--+的值为（ ）A ．307B ．30C ．7D ．03．（5分）方程组224||||04||||0x x y y y x ⎧-+=⎨-+=⎩在实数范围内（ ） A ．有1组解B ．有2组解C ．有4组解D ．有多于4组的解4．（5分）设[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，x <>表示最接近x 的整数(0.5x n ≠+，n 为整数）．例如[3.4]3=，{3.4}4=， 3.43<>=．则不等式组{}23.24[]3{}235.624.343[]237.7x x x x x x x x ++<>+⎧⎨<>+++⎩的解为（ ） A ．2.2 3.6x ， 2.5x ≠，3.5B ．24x ， 2.5x ≠，3.5C ．2.2 3.6xD ．2x =，3 5．（5分）作自然数带余除法， 有算式27A B C ÷=． 如果100B <，且80215240A B C -++=，则A =（ ）A ． 2003B ． 3004C ． 4005D ． 43596．（5分）如图，由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分（小菱形）的面积为1，那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为（ ）A ．400B ．300C ．200D ．1507．（5分）在1，2，3，…，200中既与96互质，又与75互质，而且与80也互质的所有整数的总和为（ ）A ．5468B ．6028C ．5828D ．50588．（5分）如图，::1:2:1BP PQ QC =，:1:2CG AG =，则::BE EF FG =（ ）A ．12:17:7B ．11:16:6C ．10:15:6D ．9:14:59．（5分）设23482222135357579959799S =+++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，24712221335579597T =+++⋯+⨯⨯⨯⨯，则123S T -=（ ） A ．48219603- B ．4829603- C ．48213201- D ．4823201- 10．（5分）设99n =…9（100个9），则3n 的10进位制表示中，含有的数字9的个数是（ ）A ．201B ．200C ．100D ．199二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）在实数范围内分解因式：4234x x -+= ．12．（5分）已知32521322232826a b b c c a a b b c c a +-++-+===-++-+-，则232437a b c a b c ++-=-++ ． 13．（5分）不等式232||3353||5x x x x ++>++的解是 ． 14．（5分）要使分式222424x x x x x x +----+和22222x x x x --+--都有意义，则x 的取值范围是 ．15．（5分）设215322x y xy x+-=，x ，y 是整数，则方程的非零整数解有 组． 16．（5分）如图，护城河在CC '处直角转弯，宽度保持为4米．从A 处往B 处，经过2座桥：DD '，EE '．设护城河是东西一南北方向的，A 、B 在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米．恰当地架桥可使A 到B 的路程最短．这个最短路程为 米．17．（5分）四边形ABCD 的四边长为34AB =，2(7)1BC m =-+，22(6)CD m n =+-，216DA n =+，一条对角线227(5)BD n =+-，其中m ，n 为常数，且07m <<，05n <<，那么四边形的面积为 ．18．（5分）设0x ≠，1x ≠，21P x =-，212x Q x-=，2(2)(1)x x R x -=-，且AP BQ CR s ++=对任意的x 都成立，其中A ，B ，c 为常数， 2422145(1)x x x s x x -+-=-．则AQ BR CP ++= (0,1)x ≠． 19．（5分）利用不等式33A B CABC ++，A ，B ，0C >，等号成立当且仅当A B C ==”解决以下问题：把长为8dm 宽为3dm 的长方形铁片的四角各剪去一个边长相同的正方形小铁片，折成一个无盖长方体盒子（折缝不计），要使所得到的盒子容积最大，剪去的4个正方形小铁片的边长应是x = dm ．20．（5分）以下算式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么这个算式的结果，非典不可怕” = ．可怕非典⨯抗⨯抗⨯抗⨯抗=非典不可怕．。
1995年第7届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷(解析版)
1995年第7届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）计算：=（）A．B．C．D．2．（5分）分母有理化：=（）A．B．C．D．3．（5分）设A=，B=，C=，a＞0，则下列三个结论中正确的个数是（）（1）A2﹣B2=1（2）A﹣2﹣C2=1（3）C﹣2﹣B﹣2=1．A．3 B．2 C．1 D．04．（5分）如果A，B两镇相距8千米，B，C两镇相距10千米，那么C，A两镇相距（）A．2千米B．18千米C．2千米或8千米D．x千米，2≤x≤18，但x无法确定5．（5分）等腰直角三角形的斜边长是有理数，则面积S是（）理数，周长l是（）理数．A．有，有B．无，无C．有，无D．无，有6．（5分）甲，乙，丙，丁，戊五人按下列规则安排工作：（1）甲当天工作，如果乙昨天工作，而丙大前天不工作；（2）乙当天工作，如果丙昨天工作，而丁大前天不工作；（3）丙当天工作，如果丁昨天工作，而戊大前天不工作；（4）丁当天工作，如果戊昨天工作，而甲大前天不工作；（5）戊当天工作，如果乙昨天工作，而乙大前天不工作．现在假定今年6月1日甲，丙两人工作，那么10月1日工作的是（）A．乙，戊B．甲，丁C．丙，戊D．乙，丁7．（5分）等边三角形中一点P到三边距离之和为h1+h2+h3=，则该三角形的边长是（）A．10B．10 C．5 D．58．（5分）不超过10000的自然数中，各位数字不相同的奇数的个数是（）A．1260 B．1530 C．2260 D．26059．（5分）m，n是一元二次方程ax2+bx+a=0（a≠0）的两根，则以，为两根的是（）A．a3x2+（3a2﹣b2）bx+a3=0 B．a3x2﹣（3a2﹣b2）bx+a3=0C．a3x2﹣（a2﹣3b2）bx+a3=0 D．a3x2+（a2﹣3b2）bx+a3=010．（5分）如果a，b，c是正实数且满足abc=1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（）A．64 B．8 C．8 D．二、填空题（每小题5分，共50分）11．（5分）设a，b，c＞0，化简=．（结果表示为不出现分数指数，负指数，根号内式子分母不含字母的形式）12．（5分）王工程师用竹篱笆围一块一面靠墙三面向外的长方形花圃，面积是50平方米，那么竹篱笆最少有米长．13．（5分）如图，以正方形ABCD的一边AD为直径向内作半圆AED，已知Rt △EFD的面积为1，那么曲边四边形ABCDE（阴影部分）的面积是．（答案精确到小数点后两位数字）14．（5分）边长为a，b，c的三角形面积分式是S=，其中s 是三角形周长的一半，若a，b，c满足b2+c2=a2+19，bc=95，S=．（答案用最简根式表示）15．（5分）如下是一个完全平方数开平方的竖法算式：那么，这个完全平方数应是．16．（5分）如图，圆（直径为）的切点分别为A，B，C，那么图中的距离x=．（用最简分数表示）．17．（5分）如果袖珍电子计算器能显示八位的有效数字，利用此计算器，作由1开始的连续整数的加法运算，1+2+3+…，如果要使结果不超过八位数字，且不必借助于科学记数法，那么，能被连续加上的最大整数是．18．（5分）某自然数恰好等于它的各位数字和的11倍，则这个自然数是．19．（5分）等边三角形边长为1厘米，分别以每边为直径向三角形内侧作半圆，交成的阴影部分（即这些半圆的公共部分）的面积是平方厘米（如图）（用准确式子表示结果）20．（5分）有种蚂蚁是白蚁的天敌，现在有一根高3米，截面半径为20厘米的圆柱形木柱，一只白蚁幼虫，停在上底面B处，另有甲，乙两只蚂蚁分别停在A1处和离地面高10厘米的A2处（如图），如果两只蚂蚁的爬行速度都是0.1厘米/秒，那么甲，乙两蚁爬到B处吃掉白蚁幼虫需要的最短时间分别是甲蚁秒，乙蚁秒．（答案写成整数）1995年第7届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）计算：=（）A．B．C．D．【解答】解：=1+×34﹣=1+﹣=．故选：A．2．（5分）分母有理化：=（）A．B．C．D．【解答】解：原式===．故选：C．3．（5分）设A=，B=，C=，a＞0，则下列三个结论中正确的个数是（）（1）A2﹣B2=1（2）A﹣2﹣C2=1（3）C﹣2﹣B﹣2=1．A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：（1）A2﹣B2=（A+B）（A﹣B）=（+）（﹣）=a x×a﹣x=1，正确；（2）A﹣2﹣C2=（A﹣1+C）（A﹣1﹣C）=≠1，故错误；（3）C﹣2﹣B﹣2=（C﹣1+B﹣1）（C﹣1﹣B﹣1）=≠1．正确结论有1个．故选：C．4．（5分）如果A，B两镇相距8千米，B，C两镇相距10千米，那么C，A两镇相距（）A．2千米B．18千米C．2千米或8千米D．x千米，2≤x≤18，但x无法确定【解答】解：当A、B和C三点在一直线上时，C，A两镇相距为2千米或18千米，当A、B和C三点不在一直线上时，A、B和C三点构成一个三角形，根据三角形的边角关系知，C，A两镇相距大于2且小于18，综上可知C，A两镇相距x千米，2≤x≤18，但x无法确定．故选：D．5．（5分）等腰直角三角形的斜边长是有理数，则面积S是（）理数，周长l是（）理数．A．有，有B．无，无C．有，无D．无，有【解答】解：设等腰三角形的斜边为c，则可求得直角边为，∴s=××=，为有理数；l=++c=c+c，为无理数．故选：C．6．（5分）甲，乙，丙，丁，戊五人按下列规则安排工作：（1）甲当天工作，如果乙昨天工作，而丙大前天不工作；（2）乙当天工作，如果丙昨天工作，而丁大前天不工作；（3）丙当天工作，如果丁昨天工作，而戊大前天不工作；（4）丁当天工作，如果戊昨天工作，而甲大前天不工作；（5）戊当天工作，如果乙昨天工作，而乙大前天不工作．现在假定今年6月1日甲，丙两人工作，那么10月1日工作的是（）A．乙，戊B．甲，丁C．丙，戊D．乙，丁【解答】解：根据甲当天工作，如果乙昨天工作；乙当天工作，如果丙昨天工作；丙当天工作，如果丁昨天工作；丁当天工作，如果戊昨天工作；丁当天工作，如果戊昨天工作；戊当天工作，如果乙昨天工作．则五个人的工作顺序一定是：戊，丁，丙，乙，甲的顺序．今年6月1日甲，丙两人工作，因而工作时是两个人一组．则组合是：并且五天一次循环．6月1日，到10月1日是122天，则10月1日是第123天．第121天是甲和丙，则第123天是甲和丁．故10月1日是：甲和丁工作．故选：B．7．（5分）等边三角形中一点P到三边距离之和为h1+h2+h3=，则该三角形的边长是（）A．10B．10 C．5 D．5【解答】解：设三角形的边长为a，则AD=a，此等边三角形的面积可表示为：BC×a=a2；又∵h1+h2+h3=，=S△ACO+S△ABO+S△BCO=AC×h1+AB×h2+BC×h3=a×（h1+h2+h3）则S△ABC=a，故有a2=a，解得：a=10，即三角形的边长为10．故选：B．8．（5分）不超过10000的自然数中，各位数字不相同的奇数的个数是（）A．1260 B．1530 C．2260 D．2605【解答】解：（1）满足题意的1位数有：1，3，5，7，9，共5个；（2）满足题意的2位数有：5×8=40个；（3）满足题意的3位数有，①含有0时，有5×8=40个；②不含0时，5×8×7=280；（4）满足题意的4位数有，①当0在十位时，有5×8×7=280，②当0在百位时，有5×8×7=280个，③当不含0时，有5×8×7×6=1680；综上可得满足题意的奇数有：5+40+40+280+280+280+1680=2605．故选：D．9．（5分）m，n是一元二次方程ax2+bx+a=0（a≠0）的两根，则以，为两根的是（）A．a3x2+（3a2﹣b2）bx+a3=0 B．a3x2﹣（3a2﹣b2）bx+a3=0C．a3x2﹣（a2﹣3b2）bx+a3=0 D．a3x2+（a2﹣3b2）bx+a3=0【解答】解：∵m，n是一元二次方程ax2+bx+a=0（a≠0）的两根，∴m+n=，mn=1，∴+==，×=1，∴所求的方程为：x2﹣x+1=0，∴方程两边同乘以a3，得：a3x2﹣（3a2﹣b2）bx+a3=0．故选：B．10．（5分）如果a，b，c是正实数且满足abc=1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（）A．64 B．8 C．8 D．【解答】解：要使（a+1）（b+1）（c+1）取得最小值，则三个因式都应取得最小值，∵m+n≥2，当且仅当m=n时取得最小值，故可得①当a=1时，a+1取得最小值2；②当b=1时，b+1取得最小值2；③当c=1时，c+1取得最小值2；又∵a=1，b=1，c=1可能满足条件abc=1，∴代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值=2×2×2=8．故选：C．二、填空题（每小题5分，共50分）11．（5分）设a，b，c＞0，化简=．（结果表示为不出现分数指数，负指数，根号内式子分母不含字母的形式）【解答】解：=﹣，=，故===．故答案为．12．（5分）王工程师用竹篱笆围一块一面靠墙三面向外的长方形花圃，面积是50平方米，那么竹篱笆最少有20米长．【解答】解：设与墙平行的一面长为am，另一面长为bm，篱笆长为z米，根据题意得：a•b=50，a+2b=z，∴a•2b=100，∴a，2b是方程x2﹣zx+100=0的两个根，∴z2﹣400≥0，即z≥20（z为正数），因此篱笆最少需要20m长．故答案为：20．13．（5分）如图，以正方形ABCD的一边AD为直径向内作半圆AED，已知Rt △EFD的面积为1，那么曲边四边形ABCDE（阴影部分）的面积是 4.86．（答案精确到小数点后两位数字）【解答】解：设半圆AED的半径为r，∵Rt△EFD的面积为1，即S Rt=DE•EF=r2=1，△EFD∴r=，∴AD=2r=2，∴S=S正方形ABCD﹣S半圆AED=（2）2﹣π×（）2=8﹣π≈4.86．曲边四边形ABCDE故答案为：4.86．14．（5分）边长为a，b，c的三角形面积分式是S=，其中s是三角形周长的一半，若a，b，c满足b2+c2=a2+19，bc=95，S=．（答案用最简根式表示）【解答】解：∵b2+c2=a2+19，bc=95，∴b2+c2+2bc=a2+19+190，即（b+c）2=a2+209，b2+c2﹣2bc=a2+19﹣190，即（b﹣c）2=a2﹣171，∴S2=S（S﹣a）（S﹣b）（S﹣c）=（a+b+c）（b+c﹣a）（a﹣b+c）（a+b﹣c）=[（b+c）2﹣a2][a2﹣（b﹣c）2]=[a2+209﹣a2][a2﹣（a2﹣171）]=×209×171=×11×19×19×9∴S=．故答案为：．15．（5分）如下是一个完全平方数开平方的竖法算式：那么，这个完全平方数应是207936．【解答】解：如图所示：456×456=207936．故答案为：207936．16．（5分）如图，圆（直径为）的切点分别为A，B，C，那么图中的距离x=．（用最简分数表示）．【解答】解：连接CO、OG、OF、OB，CO交EF于点H．∵⊙O的直径是∴OC=OB=，GH=，HC=x∴OH=﹣x∵△GEF是等边三角形∴∠OGF=30°∴GF=2HF在Rt△GHF中，由勾股定理，得HF=，GF=，在Rt△HOF中，由勾股定理，得OF2=在Rt△OBG中，由勾股定理，得GB=，BF=﹣在Rt△OBF中，由勾股定理，得﹣=，解得：x1=（不符合题意，舍去），x2=．故答案为：．17．（5分）如果袖珍电子计算器能显示八位的有效数字，利用此计算器，作由1开始的连续整数的加法运算，1+2+3+…，如果要使结果不超过八位数字，且不必借助于科学记数法，那么，能被连续加上的最大整数是14141．【解答】解：设连续被加的最大整数为n，根据题意可得：1+2+3+…+n﹣1+n≤10000000，即≤10000000，代值验证可得n最大值为14141．故答案为14141．18．（5分）某自然数恰好等于它的各位数字和的11倍，则这个自然数是0或198．【解答】解：①如果是1位数，则a=11a，该数为0；②如果是2位数，则10a+b=11（a+b），10b+a=0，则该数为0，（舍去）；③如果是3位数，则100a+10b+c=11（a+b+c）89a=b+10c，89a≥89，b+10c≤99，仔细分析可得该数=198；④如果是4位数，则1000a+100b+10c+d=11（a+b+c+d），而1000a+100b+10c+d≥1000，11（a+b+c+d）≤11×36=396所以等式不成立，同样4位以上的数也不成立．结论是符合要求的数只有0和198．故答案为：0或198．19．（5分）等边三角形边长为1厘米，分别以每边为直径向三角形内侧作半圆，交成的阴影部分（即这些半圆的公共部分）的面积是平方厘米（如图）（用准确式子表示结果）【解答】解：设三个半圆相交于点E，F，D，连接ED，DF，DE，作FN⊥ED，∵等边三角形边长为1厘米，分别以每边为直径向三角形内侧作半圆，∴半圆半径为：，ED=EF=DF=，∴△EFD为等边三角形，∴扇形EFD面积为：=π，∴三个扇形面积为：，∵ED=EF=DF=，∴ND=，NF=，=××=，∴S△DEF∴阴影部分（即这些半圆的公共部分）的面积是：扇形EDF+扇形EFD+扇形DEF﹣2S=﹣=，△DEF故答案为：．20．（5分）有种蚂蚁是白蚁的天敌，现在有一根高3米，截面半径为20厘米的圆柱形木柱，一只白蚁幼虫，停在上底面B处，另有甲，乙两只蚂蚁分别停在A1处和离地面高10厘米的A2处（如图），如果两只蚂蚁的爬行速度都是0.1厘米/秒，那么甲，乙两蚁爬到B处吃掉白蚁幼虫需要的最短时间分别是甲蚁3030秒，乙蚁2970秒．（答案写成整数）【解答】解：如图所示，∵DA1==π，DF=20π，∴A1F=π，BF=300，∴BA1=≈303cm，∴甲蚁爬到B处吃掉白蚁幼虫需要的最短时间是：303÷0.1=3030秒．根据已知可以得出，DA2=10cm，BC=×2πR=20π，∴CA2=290cm，∴A2B=≈297cm，∴乙蚁爬到B处吃掉白蚁幼虫需要的最短时间是：297÷0.1=2970秒．故答案为：3030，2970．。
“五羊杯”初中数学竞赛初三试题(含答案).
第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题(考试时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(4选l 型，选对得5分，否则得0分．本大题满分50分．)1．方程x ＝3-5535x3++ 的根是x ＝( )． (A)4-15 (B)4+15 (C)15-4 (1))3-52．设x ＝2-3，则x 7+3x 6-10x 5-29x 4++x 3-2x 2+x －l 的值为( )． (A)610-2-323+ (B) 6102323+++ (C) 6102-327-++ (D) 6102327+++ 3．若32x ＝6·22x -5·6x ，则( )．(A)2x >3x (B)2x <3x ， (C)2x >3x 或2x <3x 都有可能 (D)以上三者都不对4．如图，两条平行直线m ，n 上各有4个点和5个点．任选这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连( )条直线．(A)20 (B)36 (C)34 (D)225．图中一共可以数出( )个锐角．(A)22 (B)20 (C)18 (D)156．设[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3．15]＝3，[3．7]＝3，E 3]＝3，则]200220012000[...5]43[]432[]321[3333⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=( )．(A)2 000 000 (B)2 001 000 (C)2 002 000 (D)2 003 0017．如图，长方形图中有许多三角形．如果要找全等的三角形，一共可以找出( )对．(A)8 (B)7 (C)6 (D)48．设A 2＝0．012 345 678 987 654 321×(1+2+3 +……+9+……+3+2+1)，B 2＝0，012 345 679，则9·109(1-｜A ｜)B ＝ ( )．(A)10 (B)±10 (C)l (D)±l9．如图，正方形ABCD 外有一点P ，P 在BC 外侧，并夹在平行线AB与CD 之间．若PA ＝17，PB ＝2 ，PC ＝5 ，则PD ＝( )， (A)25 (B)19 (C)32 (D)1710．如图，D 是△ ABC 的边AB 延长线上一点，DE ∥BC ，E 在AC 延长线上，EF ∥AB ，F 在BC 延长线上，已知S △ADE ＝m ，S △EFC ＝n ，则S 四边形BFED＝( )． (A)4mn (B)3mn (C)2mn (D) mn二、填空题(每小题填对得5分，不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分．本大题满分50分)1．分解因式：(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3)+10＝ ．2.已知4a -3c 32c -b 2b a ==+ ，则9b8a 7c -6b 5a ++= ．(abc ≠0) 3.方程2x -92x -112x -172x -192x -152x -172x -112x -13+=+ 的解是x ＝ ． 4．已知：4zx z x 3zx -z x 3yz z y 2yz -z y 2x y y x x y -y x +++=+++=+++ ，且z1-y 3x 2=，则 x= ,y= ，Z=5，一个多边形的每个外角都等于10°，则它有 条对角线．6．设a ，b ，c ，d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ．有一个三角形的三边长分别为22c a +,22d b +,22c)-(d a)-(b +，则此三角形的面积为7.如图，设P 为△ ABC 外一点，P 在边AC 之外，在∠B 之内．S △PBC ：S △ PCA ：S △ PAB ＝4：2：3．又知△ ABC 三边a ，b ，c 上的高为ha ＝3，h b ＝5，hc ＝6，则P 到三边的距离之和为 ．8.已知5 =2．236，那么56-14253-95-3+=9．在三边长为自然数、周长不超过30、最大边与最小边之和恰好等于第三边的2倍的不等边三角形中，互不全等的三角形有 个．10．如图，已知凸四边形ABCD 的两对角线BD 与AC 之比为k ，菱形EFGH 各顶点位于四边形ABCD 的顺次四边之上，且EF ∥AC ，FG∥BD ，则四边形ABCD 与菱形EFGH 的面积之比为 ．答案一、1．B． 2．A．3．D．4．D．任选两点都在m(或n)上，只能连出直线m(或n)．若任选两点分别在m，n上，则可连4×5=2O条．所以一共可以连2 2条直线．5．C．如图，以A为顶点的锐角总共有1+2+3=6个，以B为顶点的锐角也有6个，以C，D，F为顶点的锐角各有2个，所以图中一共可以数出1 8个锐角．6．B．设n(n≥2)为自然数，有n-1<5．5 94．设该多边形有n条边，则其n个外角之和为3 60°，即n·1 0°一3 6 0°，n=3 6．此3 6边形的每个顶点都可向其他3 3个顶点(除了2个相邻顶点)连一条对角线，又因为一条对角线有2个顶点，因此，对角线数目1 8 X 3 3=594．第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题(考试时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)1.方程2-7x227x)(17+++=0的根是x=( )， (A)97-14 (B)914-7 (C)311497-+ (D) 311497+ 2.设x ＝3-2，则x 6+3x 5+11x 3+2x+1＝( )． (A)143 +24 (B)143 -24 (C)143－32 (D)32－1433．要使分式|4-x ||8-x |3-3-x 有意义，则x 的取值范围是( )． (A)x ≥12 (B)x ≥12或x ＝3，6，7，8，9，10(C)x ≥3且x ≠4，5，11 (D)x ≥34.如图，∠AOB 的两边分别有5个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5和4个点B 1,B 2，B 3，B 4，线段AiB j (1≤i ≤5, 1≤j ≤4) 之中，在∠AOB内及其边上不相交的一对线段称为“和睦线对”(不分顺序)，例如A 5B 4和A 4B 3便是和睦线对，那么图中一共有 ( )个“和睦线对”．(A)100 (B)90 (C)66 (D)605．一块木板上钉有9枚铁钉，钉尖向上(如图)．用橡皮筋套住其中4枚铁钉，构成一个平行四边形，共有( )种套法．(A)82 (B)40 (C)22 (D)216．如图，按给定的点和边，一共可以数出( )个多边形，(A)24 (B)30 (C)36 (D)407．设 x 表示不大于x 的最大整数， x ✍表示不小于x 的最小整数, x ✍表示最接近x 的整数(x≠n+0．5，n 为整数)．例如 3.4 =3， 3.4✍=4，3.4✍=3,则方程3 x +2 x ✍ +[ x ✍=8的解为( )．(A)满足l<x<1．5的全部实数(B)满足l<x<2的全部实数(C)满足l<x<l.5或1．5<x<2的全部实数(D)以上答案都不对8．设[x]表示最接近x 的整数(x ≠n+0．5，n 为整数)，则]36[]3[]2[]1[+∙∙∙+++＝( )，(A)131 (B)146 (C)161 (D)6669．如图，梯形ABCD 两腰DA ，CB 的延长线交于O ．已知S △AOB ＝4，S △AOC ＝9，则S 梯形ABCD ＝( )．（A ）25（B ）16．25（C ）16（D ）15．2510．如图，设梯形两对角线交于 M ，且 S △AOB=c 2,S △AMB=a 2,c>a>0,则S 梯形ABCD =( )（A ）22242)(4a c c a +（B ）22224a c c a +（C ）22242)(4a c c a -（D ）22224a c c a - 二、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．分解因式：(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1)+10x 4＝2． 已知42b 3a c 33c 2c -b 23c -2b a ++=+=+,则2c-3b a 3c 2b -a ++= ．(a ≠0) 3．不等式3-4x 2-x -1-4x x 1-4x x -34x 2x >++的解是 4．设41y 3-x 2=，x ，y 都是正整数，则方程有 组正整数解．5．一个多边形一共有14条对角线，则它的内角和为6．上图是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝ ．(用度数表示)7．把7个两两不同的球分给两个人，使得每人至少分得2个球，则不同的分法共有 种．8．如图，∠AOB ＝45°，角内有点P ，PO ＝10．在两边上有点Q ，R(均不同于O)，则△ PQR 的周长的最小值为 ．9．在三边长为自然数、周长不超过100、最长边与最短边之差不大于2的三角形中，互不全等的三角形共有 个．10．如图，△ ABC 的面积为S ，在BC 上有点A'，且BA'：A'C ＝m(m>0)；在CA 的延长线有点B ’，且CB'：AB'＝n(n>1)；在AB 的延长线有点C'，且AC'，BC ’＝k(k>1)．则S △A ’B ’C ’＝初三答案7．1 1 2．因为把7件彼此相异的物件分给两个人，每件物件都有2种分法，故不同的分法共有27=1 2 8种．其中，使得有一个人没有分得物件的分法有2种，使得有一个人恰好分得一件物件的分法有2 ×7=1 4种，故使得每人至少分得2件物件的分法共有1 28—2—1 4=112种．2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初三试题一、选择题(4选1型，每小题选对得5分，否则得0分．本大题满分50分) 1．方程的根是x= ( )2．设x3-33 x2+6x-22 -8=O，则x5-41x2+1的值为 ( )A ．13-2B ．-13+2 C.13 D ．1 33．绝对值方程|(x-2)(x+3)|=4+| x-1|的不同实数解共有 ( )A ．1个B 2个 C,3个D ．4个4．设 x 表示不大于x 的最大整数， x ✍表示不小于x 的最小整数, x ✍表示最接近x 的整数(x≠n+0．5，n 为整数)．例如 3.4 =3， 3.4✍=4， 3.4✍=3．，则不等式8≤2x+ x +3 x ✍+4 x ✍≤14的解为 ( )A ．0．5≤x≤2 B．0．5<x<1．5或1．5<x<2C ．O ．5<x<1．5D ．1．5<x<25．设 x ✍表示最接近x 的整数(x ≠n+O ．5，n 为整数)，则21⨯✍ + 32⨯✍+ 43⨯✍+…+ 101100⨯✍的值为 ( )A 51 51 B.5150 C 5050 D. 50496．图中，按给定的点和边，可以数出的多边形共有 ( )A ．31个B. 48个 C. 63个D ．1 5个7．如图在等边△ABC 中，D 、E 、F 是三边中点．在图中可以数出的三角形中，任选一对三角形(不计顺序)，如果这2个三角形至少有一条边相等，便称之为一对“友好三角形”．那么，从图中选出“友好三角形”共有( )A ．120对 B.240对 C .234对 D ．114对8．图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( ) A.4+26+22 B. 2+26+22 C. 4+23 +42 D ．4+23+429．如图，已知凸四边形ABCD 的面积为S ，四边AB ，BC ，CD,DA 的第1个三等分点是E 、F 、G 、H ，连AF 、BG 、CH 、DE ，相邻两连线交于I 、．J 、K 、L ，又△AEL，、△BFI、△CGJ、△DHK 的面积分别为a 、b 、c 、d ，S 1=a+b+c+d ，则四边形IJKL 的面积为 ( ) A.194S S - B. 195S S - C. 192S S + D ．131S S +10．设S=+，则S —T= ( )二、填空题(每小题答对得5分，否则得O 分，本大题满分共50分．)11．在实数范围内的分解因式：x8-1=1 2．已知，a、b,c≠0，a≠b,b≠c,c≠a，则=．(5a≠2b+9c)13．不等式的满足x>O的解是．14．5位数n，满足以下4个条件：1.n是回文数(数字逆排仍等于自身的正整数称为回文数，例如33，252，10601);2．n是完全平方数；3．n的各位数字之和k也是完全平方数；4．k是2位数，k的2位数字之和r也是完全平方数．那么，n= ．15．平面上n条直线，它们恰有2002个交点，n的最小值是．16．三边长为整数、周长等于20的互不全等的锐角三角形共有个．17．五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河．如图l1∥l2表示小河甲，l3∥l4表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门．为方便人员来往，要在两条小河上各建一条桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离40米，B到乙河垂直距离20米，两河距离100米，A．B两点水平距离(与小河平行方向)120米．为使A、B两点间来往路程最短，两条桥都按这个目标而建，那么，此时A、B两点间来往的路程是米．18．把7本不同的书分给甲、乙两人，甲至少要分到2 本，乙至少要分到1本，两人的本数不能只相差1，则不同的分法共有种．19．已知正整数n大于30，且使得4n-1整除2002n，则n等于．20．设2002!=1×2×3×4×…×2002，那么计算2002!的得数末尾有个0．2002年第14届“五羊杯’’数学竞赛初三一、选择题：1．B 2．C 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题一、选择题(4选1型，每小题选对得5分，否则得O 分．本大题满分50分)1．方程223232323=+-+-+xx的根是 ( ) A.-3 B. 2 C.-1 D ．0。
初三数学竞赛考试试题及答案
初三数学竞赛考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. 0.333...C. πD. √22. 如果一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个数的立方根是2，这个数是多少？A. 2B. 4C. 8D. 164. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 一个数的相反数是-3，这个数是多少？A. 3B. -3C. 6D. -66. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 07. 如果一个二次方程的解是x1=2和x2=3，那么这个方程可以表示为？A. x^2 - 5x + 6 = 0B. x^2 - 5x + 4 = 0C. x^2 + 5x - 6 = 0D. x^2 + 5x + 4 = 08. 一个数列的前三项是2, 4, 6，这是一个什么数列？A. 等差数列B. 等比数列C. 等比数列D. 既不是等差也不是等比数列9. 一个长方体的长、宽、高分别是2, 3, 4，那么它的体积是多少？A. 24B. 26C. 28D. 3210. 一个分数的分子是3，分母是6，化简后是多少？A. 1/2B. 2/3C. 3/6D. 1/3二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是4，这个数是_________。
12. 一个数的平方是16，这个数是_________。
13. 一个数的立方是27，这个数是_________。
14. 一个数的倒数是2/3，这个数是_________。
15. 一个数的对数（以10为底）是2，这个数是_________。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 解一个一元二次方程：x^2 - 7x + 10 = 0。
17. 证明：对于任意实数a和b，(a + b)^2 ≤ 2(a^2 + b^2)。
第18届五羊杯初中数学竞赛试题
第18届“五羊杯”初中数学竞赛试题（初三试题 考试时间90分钟，满分100分）一、选择题（4选I 型，每小题选对得5分，否则得0分，本大题满分50分）1、关于x= ）A 、B 、C D2、已知2310a a -+=，那么2294921a a a --++=（ ）A 、3B 、5C 、D 、3、求和：10098S =++=（ ）A 、15 B C D 4、广州地铁实行分段计价（每相邻两站之间为1个区间，每3个区间为1个段），起价2元，每进入下一段加收1元．地铁一号线沿线站点依次为：广州东站（起点站），体育中心，体育西路，杨箕，东山口，烈士陵园，农讲所，公园前，西门口，陈家祠，长寿路，黄沙，芳村，花地湾，坑口，西朗（终点站）．小松、小梅、小柏、小枫四个好朋友分别住在体育中心、烈士陵园、长寿路、花地湾．他们相约搭乘地铁见面，应将见面地点选在哪一站可使四人所花费用最少。
答（ ）A 、杨箕B 、烈士陵园C 、长寿路D 、烈士陵园和长寿路之间任一站5、设ABC ∆中，边BC 上一点D 满足BC ：CD=4，边CA 上一点E 满足CA ：AE=5，边AB 上一点F 满足AB ：BF=6，那么DEF ∆的面积：ABC ∆的面积=（ ）A 、37：60B 、61：120C 、59：120D 、23：606、关于x 的含有绝对值的方程212x x --=的不同实数解共有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、47、设[]x 表示不小于x 的最小整数，如[][][][]3.44,44,3.84, 3.83===-=-．则下列7个结论中，不成立的结论（ ）①[]x x ≤ ②[]1x x <+ ③[]x x =只有x 为整数才成立 ④[][]22x x +=+⑤[][]22x x -=- ⑥[][]22x x = ⑦[]22x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 、不超过3个B 、恰为4个C 、刚好为5个D 、至少有6个8、下列各式的结果中最小的是（ ）A 1B 、2CD 、0.89、设n=180180180…18099（前面共有100个180，最后两位是99），那么，n 能够被3，7，9，11和13这5个数中的（ ）个整除A 、2B 、3C 、4D 、510、定义新运算∆：(1)(2)(1)a b a a a a b ∆=+++++++-，其中b 为正整数．如果 (3)(2)13x x ∆∆=，则x=（ ）A 、1或138B 、1或0C 、138D 、1二、填空题（每小题答对得5分，否则得0分，本大题满分50分）11、计算，结果表示为循环小数：7(22.07)1445-÷=12、在实数范围内因式分解：432344x x x x +---=13、已知a =，则4325654a a a a -+-+=14、设1234128,10298,1002998,100029998,,a a a a =⨯=⨯=⨯=⨯ 又设123420S a a a a a =+++++，那么S 的各位数字和为15、设,,,a b c d 都是正整数，而且2341a b c d >>>>，则a 的最小值=16、令111111425364797100S +++++=⨯⨯⨯⨯⨯，则1398S +=17、正方形ABCD 的对角线交于点O ，把A 、B 、C 、D 这4点中的每一点都涂上红色、黄色、蓝色或绿色，点O 则涂上红色或黄色，每一点都涂一种颜色，而且线段OA ，OB ，OC ，OD ，AB ，BC ，CD ，DA 中每一条的两个端点的颜色不能相同，那么，一共有 种不同的涂色方法。
2002年第14届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解(圣才出品)
2002年第14届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解一、选择题（每小题5分，共50分）1．用数字3、4、5、6排列成2个自然数A 、B ，使A B ⨯的积最大，那么A B ⨯=（）。
A．6453⨯B．6435⨯C．5436⨯D．6354⨯【来源】2002年第14届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级【答案】D【解析】分别计算A、B、C、D 四个选项中的值：64533392⨯=，64353215⨯=，54363258⨯=，63543402⨯=．显然3402是这四个值中的最大值，由排除法可知3402即为所求。
故正确的答案选D。
2．2002的不大于100的正约数有（）。
A．10个B．9个C．8个D．11个【来源】2002年第14届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级【答案】A【解析】将2002分解因数得2002271113=⨯⨯⨯，故它的不大于100的约数是1、2、7、11、13、27⨯、211⨯、213⨯、711⨯、713⨯，共10个。
故正确的答案选A。
3．在1，2，3， ，100中，不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是（）。
A．7B．1C．3D．9【来源】2002年第14届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级【答案】B【解析】分析题意可知，不能被2整除的整数的个位数字为1、3、5、7、9，不能被5整除的整数的个位数字为1、2、3、4、6、7、8、9．因此，既不能被2整除又不能被5整除的整数的个位数字为1、3、7、9．在1，2，3， ，100中满足题意的整数为：1，3，7，9，11，13，17，19 ，91，93，97，99．它们的乘积为13791113171991939799⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 。
又13791113171991939799⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 的个位数字，等于101010379⨯⨯的个位数字，等于1052181⨯的个位数字，等于1。
故正确的答案选B。
4．观察如下分数：197，296，395，494， ，953，962，971．其中是真分数又是既约分数（最简分数）的有（）。
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第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题 (考试时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(4选l 型，选对得5分，否则得0分．本大题满分50分．)1．方程x ＝3-5535x3++ 的根是x ＝( )． (A)4-15 (B)4+15 (C)15-4 (1))3-52．设x ＝2-3，则x 7+3x 6-10x 5-29x 4++x 3-2x 2+x －l 的值为( )． (A)610-2-323+ (B) 6102323+++ (C) 6102-327-++ (D) 6102327+++ 3．若32x ＝6·22x -5·6x ，则( )．(A)2x >3x (B)2x <3x ， (C)2x >3x 或2x <3x 都有可能 (D)以上三者都不对4．如图，两条平行直线m ，n 上各有4个点和5个点．任选这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连( )条直线．(A)20 (B)36 (C)34 (D)225．图中一共可以数出( )个锐角．(A)22 (B)20 (C)18 (D)156．设[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3．15]＝3，[3．7]＝3，E 3]＝3，则]200220012000[...5]43[]432[]321[3333⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=( )．(A)2 000 000 (B)2 001 000 (C)2 002 000 (D)2 003 0017．如图，长方形图中有许多三角形．如果要找全等的三角形，一共可以找出( )对．(A)8 (B)7 (C)6 (D)48．设A 2＝0．012 345 678 987 654 321×(1+2+3 +……+9+……+3+2+1)，B 2＝0，012 345 679，则9·109(1-｜A ｜)B ＝ ( )．(A)10 (B)±10 (C)l (D)±l9．如图，正方形ABCD 外有一点P ，P 在BC 外侧，并夹在平行线AB与CD 之间．若PA ＝17，PB ＝2 ，PC ＝5 ，则PD ＝( )， (A)25 (B)19 (C)32 (D)1710．如图，D 是△ ABC 的边AB 延长线上一点，DE ∥BC ，E 在AC 延长线上，EF ∥AB ，F 在BC 延长线上，已知S △ADE ＝m ，S △EFC ＝n ，则S 四边形BFED＝( )． (A)4mn (B)3mn (C)2mn (D) mn二、填空题(每小题填对得5分，不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分．本大题满分50分)1．分解因式：(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3)+10＝ ．2.已知4a -3c 32c -b 2b a ==+ ，则9b8a 7c -6b 5a ++= ．(abc ≠0) 3.方程2x -92x -112x -172x -192x -152x -172x -112x -13+=+ 的解是x ＝ ． 4．已知：4zx z x 3zx -z x 3yz z y 2yz -z y 2x y y x x y -y x +++=+++=+++ ，且z1-y 3x 2=，则 x= ,y= ，Z=5，一个多边形的每个外角都等于10°，则它有 条对角线．6．设a ，b ，c ，d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ．有一个三角形的三边长分别为22c a +,22d b +,22c)-(d a)-(b +，则此三角形的面积为7.如图，设P 为△ ABC 外一点，P 在边AC 之外，在∠B 之内．S △PBC ：S △ PCA ：S △ PAB ＝4：2：3．又知△ ABC 三边a ，b ，c 上的高为ha ＝3，h b ＝5，hc ＝6，则P 到三边的距离之和为 ．8.已知5 =2．236，那么56-14253-95-3+=9．在三边长为自然数、周长不超过30、最大边与最小边之和恰好等于第三边的2倍的不等边三角形中，互不全等的三角形有 个．10．如图，已知凸四边形ABCD 的两对角线BD 与AC 之比为k ，菱形EFGH 各顶点位于四边形ABCD 的顺次四边之上，且EF ∥AC ，FG∥BD ，则四边形ABCD 与菱形EFGH 的面积之比为 ．答案一、1．B． 2．A．3．D．4．D．任选两点都在m(或n)上，只能连出直线m(或n)．若任选两点分别在m，n上，则可连4×5=2O条．所以一共可以连2 2条直线．5．C．如图，以A为顶点的锐角总共有1+2+3=6个，以B为顶点的锐角也有6个，以C，D，F为顶点的锐角各有2个，所以图中一共可以数出1 8个锐角．6．B．设n(n≥2)为自然数，有n-1<5．5 94．设该多边形有n条边，则其n个外角之和为3 60°，即n·1 0°一3 6 0°，n=3 6．此3 6边形的每个顶点都可向其他3 3个顶点(除了2个相邻顶点)连一条对角线，又因为一条对角线有2个顶点，因此，对角线数目1 8 X 3 3=594．第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题 (考试时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)1.方程2-7x227x)(17+++=0的根是x=( )， (A)97-14 (B)914-7 (C)311497-+ (D) 311497+2.设x ＝3-2，则x 6+3x 5+11x 3+2x+1＝( )． (A)143 +24 (B)143 -24 (C)143－32 (D)32－1433．要使分式|4-x ||8-x |3-3-x 有意义，则x 的取值范围是( )． (A)x ≥12 (B)x ≥12或x ＝3，6，7，8，9，10(C)x ≥3且x ≠4，5，11 (D)x ≥34.如图，∠AOB 的两边分别有5个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5和4个点B 1,B 2，B 3，B 4，线段AiB j (1≤i ≤5, 1≤j ≤4) 之中，在∠AOB内及其边上不相交的一对线段称为“和睦线对”(不分顺序)，例如A 5B 4和A 4B 3便是和睦线对，那么图中一共有 ( )个“和睦线对”．(A)100 (B)90 (C)66 (D)605．一块木板上钉有9枚铁钉，钉尖向上(如图)．用橡皮筋套住其中4枚铁钉，构成一个平行四边形，共有( )种套法．(A)82 (B)40 (C)22 (D)216．如图，按给定的点和边，一共可以数出( )个多边形，(A)24 (B)30 (C)36 (D)407．设 x 表示不大于x 的最大整数， x ✍表示不小于x 的最小整数, x ✍表示最接近x 的整数(x≠n+0．5，n 为整数)．例如 3.4 =3， 3.4✍=4，3.4✍=3,则方程3 x +2 x ✍ +[ x ✍=8的解为( )．(A)满足l<x<1．5的全部实数(B)满足l<x<2的全部实数(C)满足l<x<l.5或1．5<x<2的全部实数(D)以上答案都不对8．设[x]表示最接近x 的整数(x ≠n+0．5，n 为整数)，则]36[]3[]2[]1[+∙∙∙+++＝( )，(A)131 (B)146 (C)161 (D)6669．如图，梯形ABCD 两腰DA ，CB 的延长线交于O ．已知S △AOB ＝4，S △AOC ＝9，则S 梯形ABCD ＝( )．（A ）25（B ）16．25（C ）16（D ）15．2510．如图，设梯形两对角线交于 M ，且 S △AOB=c 2,S △AMB=a 2,c>a>0,则S 梯形ABCD =( )（A ）22242)(4a c c a +（B ）22224a c c a +（C ）22242)(4a c c a -（D ）22224a c c a -二、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．分解因式：(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1)+10x 4＝2． 已知42b 3a c 33c 2c -b 23c -2b a ++=+=+,则2c-3b a 3c 2b -a ++= ．(a ≠0) 3．不等式3-4x 2-x -1-4x x 1-4x x -34x 2x >++的解是 4．设41y 3-x 2=，x ，y 都是正整数，则方程有 组正整数解．5．一个多边形一共有14条对角线，则它的内角和为6．上图是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝ ．(用度数表示)7．把7个两两不同的球分给两个人，使得每人至少分得2个球，则不同的分法共有 种．8．如图，∠AOB ＝45°，角内有点P ，PO ＝10．在两边上有点Q ，R(均不同于O)，则△ PQR 的周长的最小值为 ．9．在三边长为自然数、周长不超过100、最长边与最短边之差不大于2的三角形中，互不全等的三角形共有 个．10．如图，△ ABC 的面积为S ，在BC 上有点A'，且BA'：A'C ＝m(m>0)；在CA 的延长线有点B ’，且CB'：AB'＝n(n>1)；在AB 的延长线有点C'，且AC'，BC ’＝k(k>1)．则S △A ’B ’C ’＝初三答案7．1 1 2．因为把7件彼此相异的物件分给两个人，每件物件都有2种分法，故不同的分法共有27=1 2 8种．其中，使得有一个人没有分得物件的分法有2种，使得有一个人恰好分得一件物件的分法有2 ×7=1 4种，故使得每人至少分得2件物件的分法共有1 2 8—2—1 4=112种．2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初三试题一、选择题(4选1型，每小题选对得5分，否则得0分．本大题满分50分)1．方程的根是x= ( )2．设x 3-33 x 2+6x-22 -8=O ，则x 5-41x 2+1的值为 ( )A ．13-2B ．-13+2 C.13 D ．1 33．绝对值方程|(x-2)(x+3)|=4+| x-1|的不同实数解共有 ( )A ．1个B 2个 C,3个D ．4个4．设 x 表示不大于x 的最大整数， x ✍表示不小于x 的最小整数, x ✍表示最接近x 的整数(x≠n+0．5，n 为整数)．例如 3.4 =3， 3.4✍=4， 3.4✍=3．，则不等式8≤2x+ x +3 x ✍+4 x ✍≤14的解为 ( )A ．0．5≤x≤2 B．0．5<x<1．5或1．5<x<2C ．O ．5<x<1．5D ．1．5<x<25．设 x ✍表示最接近x 的整数(x ≠n+O ．5，n 为整数)，则 21⨯✍ + 32⨯✍+ 43⨯✍+…+ 101100⨯✍的值为 ( )A 51 51 B.5150 C 5050 D. 50496．图中，按给定的点和边，可以数出的多边形共有 ( )A ．31个B. 48个 C. 63个D ．1 5个7．如图在等边△ABC 中，D 、E 、F 是三边中点．在图中可以数出的三角形中，任选一对三角形(不计顺序)，如果这2个三角形至少有一条边相等，便称之为一对“友好三角形”．那么，从图中选出“友好三角形”共有( )A ．120对 B.240对 C .234对 D ．114对8．图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( ) A.4+26+22 B. 2+26+22 C. 4+23 +42 D ．4+23+429．如图，已知凸四边形ABCD 的面积为S ，四边AB ，BC ，CD,DA 的第1个三等分点是E 、F 、G 、H ，连AF 、BG 、CH 、DE ，相邻两连线交于I 、．J 、K 、L ，又△AEL，、△BFI、△CGJ、△DHK 的面积分别为a 、b 、c 、d ，S 1=a+b+c+d ，则四边形IJKL 的面积为 ( ) A.194S S - B. 195S S - C. 192S S + D ．131S S +10．设S=+，则S —T= ( )二、填空题(每小题答对得5分，否则得O 分，本大题满分共50分．)11．在实数范围内的分解因式：x 8-1=1 2．已知，a 、b,c≠0，a≠b,b≠c,c≠a，则= ．(5a ≠2b+9c)13．不等式的满足x>O 的解是 ． 14．5位数n ，满足以下4个条件：1.n 是回文数(数字逆排仍等于自身的正整数称为回文数，例如33，252，10601);2．n 是完全平方数；3．n 的各位数字之和k 也是完全平方数；4．k 是2位数，k 的2位数字之和r 也是完全平方数．那么，n= ．15．平面上n 条直线，它们恰有2002个交点，n 的最小值是 ．16．三边长为整数、周长等于20的互不全等的锐角三角形共有 个．17．五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河．如图l1∥l2表示小河甲，l3∥l4表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门．为方便人员来往，要在两条小河上各建一条桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离40米，B到乙河垂直距离20米，两河距离100米，A．B两点水平距离(与小河平行方向)120米．为使A、B两点间来往路程最短，两条桥都按这个目标而建，那么，此时A、B两点间来往的路程是米．18．把7本不同的书分给甲、乙两人，甲至少要分到2 本，乙至少要分到1本，两人的本数不能只相差1，则不同的分法共有种．19．已知正整数n大于30，且使得4n-1整除2002n，则n等于．20．设2002!=1×2×3×4×…×2002，那么计算2002!的得数末尾有个0．2002年第14届“五羊杯’’数学竞赛初三一、选择题：1．B 2．C 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题一、选择题(4选1型，每小题选对得5分，否则得O 分．本大题满分50分)1．方程223232323=+-+-+xx的根是 ( ) A.-3 B. 2 C.-1 D ．0。