第二十二届五羊杯初中数学竞赛初三试题(含答案)
九年级数学竞赛试卷及答案
横岗中学九年级数学竞赛试题（本卷满分120分，考试时间120分钟）温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧．愿你能够放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．一、选择题（每小题6分，共30分）1．操场上，王宏用一根长为a 的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b ，王宏站在这个等边三角形内部，则他到等边三角形三边距离之和为（ ） Ａ．2b a Ｂ．4b a Ｃ．6b a Ｄ．视具体位置而定2．某公园中有一个三角形荷花池，边长分别为6，8，10，现计划在荷花池上拉一座浮桥，把三角形荷花池周长、面积都平分，那么这样的设计方案有（ ）Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 3．A B C D ，，，是四个城市（如图1），它们之间 （除B C ，外）都有飞机航班通行．机票价格与城市间距离成正比，已知各城市间的机票价格如下：A B ↔：1000元；A C ↔：1250元；A D ↔：800元；B D ↔：600元；C D ↔：450元．为了B C ，之间的交通方便，要在B C ，之间开通飞机航班，请按上述标准计算出B C ，之间飞机票价为（ ） Ａ．750元 Ｂ．780元 Ｃ．800元 Ｄ．900元4．横岗中学有一面积为100米2的正方形展厅，计划铺满统一大小的正方形地板砖，现市场上有大、小两种规格产品：大地板砖对角线长为50cm ，每块0.8元；小地板砖对角线长为40cm ，每块0.6元，甲公司的优惠办法是：凡购买大地板砖700块以上者给予9折优惠，凡购买小地板砖1 000块以上者给予7折优惠；乙公司的优惠办法是：凡购买700元以上者，不管购买大块还是小块均按8折优惠．在质量、服务条件相同的情况下，为使学校支付的费用最少，请你为该校选择最佳购买方案（ ）A ．到甲公司购买大块地板砖B ．到乙公司购买大块地板砖C ．到甲公司购买小块地板砖D ．到乙公司购买小块地板砖5．如图4，在某条公路上，从里程数8m 开始到4 000m 止，每隔8m 将树与灯按图中的规则设立：在里程数8m 处种一棵树，在16m 处立一盏灯，在24m 处种一棵树（相邻的树与树、树与灯之间的距离都是8米）……，且每两盏灯之间的距离相等．依此规则，下列里程数800m~824m 之间树与灯的排列顺序中正确的是（ ）A B C D 图1二、填空题（每小题6分，共30分）6．王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是千克．7．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是60％，坏天气的机会是40％，则作出决策为——————————（填“出海”、“不出海”）．8．某希望小学刚刚建起，田径场还没建好，秋季运动会时，临时设置简易跑道如图6所示，两端由两个半圆组成，一周约250米，在一次400米跑比赛中，第一道从起点A要跑一圈半到终点C．第二道终点不变，且中途不准抢道（每道宽1米）．为公平起见，第二跑道起点B应比第一跑道向前移动．9．自行车轮胎安装在前轮上行驶6 000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶4 000千米．为了行驶尽可能远的路程，如果采用当自行车行驶一定路程后将前、后轮胎调换使用的方法，那么安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶千米．10．小明想知道刚来的数学老师家的电话号码是多少，老师说：“我家的电话号码是八位数，这个数的前四位数相同，后五位数是连续的自然数，全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，动动脑筋，算出来后欢迎给我打电话．”则老师的电话号码是．三、解答题（本大题共60分）11．12．（本题15分）方案设计：东风汽车租赁公司共有30辆出租汽车，其中甲型汽车20辆，乙型汽车10辆．现将这30辆汽车租赁给A、B两地的旅游公司，其中20辆派往A地，10辆派往B地，两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格如下表：（1）设派往A地的乙型汽车x辆，租赁公司这30辆汽车一天共获得的租金为y（元），求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26 800元，请你说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案．13．（本题15分）实践应用：下承式混凝土连续拱圈梁组合桥，其桥面上有三对抛物线形拱圈．图8（1）是其中一个拱圈的实物照片，据有关资料记载此拱圈高AB为10.0m（含拱圈厚度和拉杆长度），横向分跨CD为40.0m．（1）试在示意图（图8（2））中建立适当的直角坐标系，求出拱圈外沿抛物线的解析式；（2）在桥面M（BC的中点）处装有一盏路灯(P点)，为了保障安全，规定路灯距拱圈的距离PN不得少于1.1m，试求路灯支柱PM的最低高度．（结果精确到0.1m）14．（本题20分）归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：（1）如图9，已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？（2）如图10，将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？多边形的半径，可参看图11）？请说明理由．（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．九年级数学竞赛试题参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1．C 2．A 3．A 4． 5．二、填空题（每小题5分，共30分）6．3 125 7．出海 8．2π米 9．4 800 10．88887654三、解答题（每小题15分，共60分）11．12．解：（1）1 000(20)900800y x x x=-++； ······························ 6分（2）依题意，得26 00010026 800x +≥，又因为010x ≤≤，∴810x ≤≤．因为x 是整数，∴x =8，9，10，方案有3种． ···················································· 9分 方案1：A 地派甲型车12辆，乙型车8辆；B 地派甲型车8辆，乙型车2辆；方案2：A 地派甲型车11辆，乙型车9辆；B 地派甲型车9辆，乙型车1辆；方案3：A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆． ························· 12分（3）∵26 000100y x =+是一次函数，且1000k =>，∴y 随x 的增大而增大．∴当10x =时，这30辆车每天获得的租金最多．∴合理的分配方案是A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆． ··········································································································· 15分13．（1）如右图，以A 为坐标原点，BA 所在直线为y 轴建立直角坐标系xAy ，因拱圈外沿所在的抛物线过原点，且以y 轴为对称轴，故可设抛物线解析式为：2y ax =， ················································· 4分由题意抛物线过点(2010)D -，，代入得140a =-，故拱圈外沿抛物线的解析式为： 2140y x =-． ································································································ 8分（2）设(10)N k -，，则：21(10) 2.5(m)40k =-⨯-=-， ∴107.5(m)MN k =+=， ············································································ 12分 ∴7.5 1.18.6PM MN PN =++=≥（m ），即路灯支柱PM 的最低高度为8.6米．（其余解法可类似给分）． ····························· 15分14．解：（1）当正三角形ABC 向右翻滚一周时，其中心O 经过的路线是三条等弧，所以其中心O 经过的路程为：120π32π180R R ⨯=． ···································· 3分 （2）中心O 经过的路程为90π42π180R R ⨯=． ······················································ 6分 （3）当n 边形向右翻滚一周时，其中心O 经过的路线是n 条等弧，这些弧的半径为R ，所对的圆心角为360n ，所以中心O 经过的路程为360π2π180R n n R ⨯=． ·················································································· 10分 （4）是定值2πR ，理由如下：在△ABC 中，设A B C αβγ∠=∠=∠=，，，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为R ，把△ABC 沿直线l 向右翻滚一周时，其外心O 经过的路线是三条弧，当AC 边与直线l 重合时，C 与C '重合，A 与A '重合，B 与B '重合，连接CO 、C O ''，则ACO A C O '''∠=∠，所以180OCO ACA γ''∠=∠=-，所以(180)π180R l γ-=，同理，另两条弧长分别为：(180)π180R α-，(180)π180R β-，所以外心O 所经过的路程为2πR ． ·································································· 16分 通过以上猜想可得结论为：把圆内接多边形翻滚一周时，多边形的外心所经过的路程是一个定值． ········································································ 20分。
九年级数学竞赛题(含答案)
初三数学竞赛题（含答案）（全卷满分120分考试时间90分）姓名_________班级________指导教师_________ 得分_________一 .单项选择题（每题6分，共30分）1.22016－22017＝( )A.-22016B.-2C. 22016D.22.若关于x 的多项式x 2-6x+m 2是一个完全平方式，则m=( ) A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±93.圆锥的侧面展开是圆心角为90°的扇形，则圆锥的母线与底面半径之比为（） A . 6:1 （B ）. 4:1 （C ）.3:1 （D ）.2:14.如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形AB CD 外部的点A 1、D 1处，则阴影部分图形的周长为（） A.15 B.20 C.25 D.305.如图，矩形ABCD 中，AB AD 2=，E 是AD 边上一点，AD nDE 1=（n 为大于2的整数），连接BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点F ，G ，FG 与BE 的交点为O ，连接BF和EG .记四边形BFEG 的面积为1S ，矩形ABCD 的面积为2S ，当301721=S S 时，n = （ ）A.3B. 4C.6D.8第4题图第5题图二 .填空题（每题6分，共30分）6.已知2cos 2β+3sin β-3=0,则锐角β＝________. 7.化简：324324--+＝________8.（1+2+3+…+99）（2+3+4+…+100）－（1+2+3+…+100）（2+3+4+…99）＝________. 9.已知关于x 的分式方程111=--++x kx k x 的解为负数，则k 的取值范围是_______. 10.如图，点A 1，A 2依次在的图象上，点B 1，B 2依次在x 轴的正半轴上，若ΔA 1OB 1 ,ΔA 2B 1B 2均 为等边三角形，则点B 2的坐标为 ． 三．解答题（每题20分，共60分）11.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m 的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a （50＜a ＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？BCAD12. 如图，抛物线y=x2－2x+c的顶点A在直线l：y=x－5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．数学竞赛答案1.A2.B3.D4. D5. C6.3007.28.1009. k＞1/2, 且k≠1 10.(26,0)11. 解：（1）依题意得，=，整理得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100，经检验，m=100是原分式方程的解，所以，m=100；（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意得，，解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，所以，不等式组的解集是95≤x≤105，∵x是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案；（3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，所以，当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样；③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，所以，当x=95时，W有最大值，12. 解：（1）∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x－5上，∴当x=1时，y=1－5=－4，∴A（1，－4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，－4）代入y=x2－2x+c，可得，1－2+c=－4，∴c=－3，∴y=x2－2x－3，∴B（0，－3）当y=0时，x2－2x－3=0，x1=－1，x2=3∴C（－1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4－3）2+12=2，AD2=（3－1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x－5交y轴于点A（0，－5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x1，x1－5），则G（1，x1－5）则PC=|1－x1|，AG=|5－x1－4|=|1－x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1－x1）2+（1－x1）2=18，x12－2x1－8=0，x1=－2，4∴P（－2，－7），P（4，－1）存在点P（－2，－7）或P（4，－1）使以点A．B．D．P为顶点的四边形是平行四边形．第12题图第13题图S△AEM =．13.（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC－EC=6－5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE =，∴BE=6－=；（3）解：设BE=x，又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=－+x=－（x－3）2+，∴AM=－5－CM ═（x－3）2+，∴当x=3时，AM 最短为，又∵当BE=x =3=BC时，∴点E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE ==4，此时，EF⊥AC，∴EM ==，。
(初中数学)质数精选题练习及答案
（初中数学）质数精选题练习及答案阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：1⎧⎪⎨⎪⎩单位正整数质数合数关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4． 2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数p |ab ，则必有p |a 或p |b ．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N 能唯一地分解成k 个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N= 1212k aa a k P P P ，其中12k PP P <<< ，i P 为质数，i a 为非负数(i =1，2，3，…，k )． 正整数N 的正约数的个数为(1＋1a )(1＋1a )…(1＋1a )，所有正约数的和为(1＋1P ＋…＋11aP )(1＋2P＋…＋22a P )…(1＋k P ＋…＋kak P )．例题与求解【例1】已知三个质数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＋abc =99，那么a b b c c a -+-+-的值等于_________________．(江苏省竞赛试题)解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a ，b ，c 的值．【例2】若p 为质数，3p ＋5仍为质数，则5p ＋7为( )A ．质数B ．可为质数，也可为合数C ．合数D ．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数n，求证：n一定是合数．⑵若n是大于2的正整数，求证：2n－1与2n＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明2n－1与2n＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且112x y p+=，求x＋y的值．解题思想：由题意变形得出p整除x或y，不妨设x tp=．由质数的定义得到2t－1=1或2t－1=p．由x≠y及2t－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A 级1．若a ，b ，c ，d 为整数，()()2222a bcd ++=1997，则2222a b c d +++=________．2．在1，2，3，…，n 这个n 自然数中，已知共有p 个质数，q 个合数，k 个奇数，m 个偶数，则(q －m )＋(p －k )=__________．3．设a ，b 为自然数，满足1176a =3b ，则a 的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题)4．已知p 是质数，并且6p ＋3也是质数，则11p －48的值为____________．(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( )A ．4B ．8C ．12D ．0 6．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个(“希望杯”邀请赛试题)7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有( )A ．1个B ．3 个C ．5个D ．6 个(“希望杯”邀请赛试题)8．设p ，q ，r 都是质数，并且p ＋q =r ，p <q ．求p ．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x cm 规格的地砖，恰用n 块，若选用边长为y cm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x ，y ，n 都是正整数，且(x ，y )=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B 级1．若质数m ，n 满足5m ＋7n =129，则m ＋n 的值为__________．2．已知p ，q 均为质数，并且存在两个正整数m ，n ，使得p =m ＋n ，q =m ×n ，则p qnmp q m n ++的值为__________．3．自然数a ，b ，c ，d ，e 都大于1，其乘积abcde =2 000，则其和a ＋b ＋c ＋d ＋e 的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题)4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题)5．若a ，b 均为质数，且满足11a ＋b =2 089，则49b －a =_________． A ．0B ．2 007C ．2 008D ．2 010(“五羊杯”竞赛试题)6．设a 为质数，并且72a ＋8和82a ＋7也都为质数，记x =77a ＋8，y =88a ＋7，则在以下情形中，必定成立的是( )A ．x ，y 都是质数B ．x ，y 都是合数C ．x ，y 一个是质数，一个是合数D ．对不同的a ，以上皆可能出现(江西省竞赛试题)7．设a ，b ，c ，d 是自然数，并且2222a b c d +=+，求证：a ＋b ＋c ＋d 一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足： ⑴ 6个数中任意两个都互质；⑵ 6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数p ，q 都是质数，并且7p ＋q 与pq ＋11也都是质数，试求q p p q 的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．质数答案例1 34 例2 C例3 3符合要求 提示：当p =3k ＋1时，p ＋10=3k ＋11，p ＋14=3(k ＋5)，显然p ＋14是合数，当p =3k＋2时，p ＋10=3(k ＋4)是合数，当p =3k 时，只有k =1才符合题意． 例4 （1）因1＋2＋ (2004)21×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n 是大于2的正整数，则n2－1≥7，n2－1、n2、n2＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除n2，故n2－1与n2＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a 的所有正约数之和为b ，1d ，2d ，3d ，…，n d 为a 的正约数从小到大的排列，于是1d =1，n d =a ．由于nd d d d S 1111321+⋅⋅⋅+++=中各分数分母的最小公倍数n d =a ，故S =n n n n n d d d d d d 11⋅⋅⋅++-=nn d d d d ⋅⋅⋅++21=a b ，而a =360=53223⨯⨯，故b =（1＋2＋22＋32）×（1＋3＋23）×（1＋5）=1170．a b =3601170=413． 例5 由xy y x +=p 2，得x ＋y =pxy2=k ．（k 为正整数），可得2xy =kp ，所以p 整除2xy 且p 为奇质数，故p 整除x 或y ，不放设x =tp ，则tp ＋y =2ty ，得y =12-t tp为整数．又t 与2t －1互质，故2t －1整除p ，p 为质数，所以2t －1=1或2t －1=p ．若2t －1=，得t =1，x =y =p ，与x ≠y 矛盾；若2t －1=p ，则xyy x +=p 2，2xy =p （x ＋y ）．∵p 是奇质数，则x ＋y 为偶数，x 、y 同奇偶性，只能同为xy =()2y x p +必有某数含因数p ．令x =ap ，ay =2y ap +，2ay =ap ＋y ．∴y =12-a ap，故a ，2a －1互质，2a －1整除p ，又p 是质数，则2a －1=p ，a =21+p ，故x =p p ⋅+21=()21+p p ，∴x ＋y =()21+p p ＋21+p =()212+p 。
第12-16届“五羊杯”初中数学竞赛试题
第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题 (1)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题 (4)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题 (8)第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题 (13)第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题 (17)第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题 (21)2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初一试题 (27)2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初二试题 (33)2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初三试题 (39)2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题 (43)2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初二试题 (47)2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题 (51)2004年第16届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题 (57)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题(考试时间：90分钟满分：100分)一、选择题(4选l型，选对得5分，否则得0分，本大题满分50分，)1，已知68 9□□□20 312≈690亿(四舍五入)，那么其中的三位数□□□有( )种填写的方法．(A)1 000 (B)999 (C)500 (D)4992，8 642 097 53l，6 420 875 319，4 208 653 197，2 086 43l 975，864 219 753的平均数是( )．(A)4 444 455 555 (B)5 555 544 444(C)4 999 999 995 (D)5 999 999 9943．图中一共能数出( )个长方形(正方形也算作长方形)。
(A)64 (B)63 (C)60 (D)484．五羊牌电视机连续两次降价20％后，又再降价10％，或者连续两次降价25％，则前者的售价比后者的售价( )，(A)少2％ (B)不多也不少 (C)多5％ (D)多2．4％5．甲、乙两人在长400米的直路上来回慢跑，速度分别为3米/秒和2．5米/秒。
第二十二届希望杯全国数学邀请赛初三第一试试题和答案
第二十二届希望杯全国数学邀请赛初三第一试试题和答案1 / 3第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初三(浙江赛区) 第1试试题2011年3月13日 上午8:30至10:00 得分未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 共得分 答案1.假期里，王老师有一个紧急通知，要用电话通知到50位同学.假设没通知一位同学需要1分钟，同学接到电话后也可以相互通知，那么要是所有同学都接到通知，至少需要（ ）（A ）5分钟. （B ）6分钟. （C ）7分钟. （D ）8分钟.2.若关于x 的一元一次方程(3a +2b )x 2+ax +b =0有唯一解，则这个解是（ ）（A ）. （B ）. （C ）.（D ）.3.如图1，已知AD ∥EF ∥BC ，若AD :EF :BC =1:2:4，则梯形与AEFD 梯形EBCF 的面积之比为（ ）（A ）1:2. （B ）1:3. （C ）1:4. （D ）2:3.4.一个乒乓球队有男队员6人，女队员5人，其中男女队员左撇子分别有3人和2人.若从这个球队中任意抽取两人，则抽到2个左撇子的概率是（ ）（A ）. （B ）. （C ）. （D ）.5.已知x ,y 都是负整数，且满足y =，则y 的最小值为（ ）（A ）-3. （B ）-4. （C ）-5. （D ）-6.6.已知等腰△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =30°，AD 为BC 边上的高，点P 在AC 上，E 点在AD 上，若PE +EC 的最小值为4，则△ABC 的面积为（ ）（A ）8. （B ）16. （C ）32. （D ）64.7.如图2，AB 是半圆的直径，点C 平分AB ，点D 平分AC ，DB 、CA 交于点E ，则=（ ）（A ）. （B ）. （C ）. （D ）.8.已知直线y =kx (k<0)与双曲线y =交于点A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)，则3x 1y 2-8x 2y 1的值是（ ）（A ）-10. （B ）-5. （C ）5. （D ）10.9.用一些棱长是1的小正方体堆成一个立体，图3是它的俯视图，图4是主视图，则这个立体的表面积(含下底面面积)的值最小是（）（A）42. （B ）43. （C ）44. （D ）46. 10.如图5，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点I ，若∠APB =35°，BC =AI +AC ，则∠BAC 的度数为（ ）（A ）60°. （B ）70°. （C ）80°. （D ）90°.二、A 组填空题（每小题4分，共40分.）11.如图6正六边形的边向外延长一倍，连接端点后又构成一个大的正六边形，则小正六边形与大正六边形的面积之比为 .图1图4○ ○图2图3 图5图6初三（浙江） 第一页 共两页12.若对于p 的任意值，抛物线y =2x 2-px +3p +1都过一个定点，则这个定点的坐标是 . 13.如图7，正方形ABCD 的边长为4，E 点在BC 上，以E 为圆心，EC 为半径的半圆以A 为圆心，AB为半径的圆弧外切，则EC = .14.在锐角△ABC 中，AB =5，AC =4，则BC 的取值范围是 .15.袋中装有大小相同的黑球、白球、红球各2个.规定：取出一个黑球计0分，取出一个白球计1分，取出一个红球计2分；在抽取这些球的时候，看不到球的颜色.甲先取出3个球，不再放回袋中，然后，乙取出剩余的3个球；取出球的总积分多者获胜.则甲乙成平局的概率为 .16.不等式|x -2|+|x -1|≥a 对所有实数x 都成立，则a 的最大值是 . 17.如图8，设M 是△ABC 的重心，过M 的直线分别交边AB 、AC 与P 、Q 两点，且=m，=n ，则= .18.已知抛物线y =ax 2+bx +c (c ≠0)与x 轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),当-2≤x ≤5时，y 的最大值为12，则该抛物线的解析式为 .19.已知平面直角坐标系中有A (1,3)，B (3,1)两点，在x 、y 轴上分别找一点C 、D ，使四边形的周长最小，则最小周长为 .20.明明用计算器求代数式a (b +c )的值.他依次按出“a ,×,b ,+,c ,=”，显示11；当他依次按“b ,+c ,×,a ,=”，显示14(其中a ,b ,c均为正整数).这时他才明白不按括号时，计算器先做乘法再做加法.那么如果他按键正确(该加括号时加括号)时，显示结果应为 .三、B 组填空题（每小题8分，共40分.）21.已知代数式x 2-3xy -4y 2-x +by -2能分解为两个关于x 、y 的一次式的乘积，则b = 或 . 22.已知x ,y ,z 是三个非负实数，满足3x +2y +z =5，x +y -z =2，若S =2x +y -z ，则S 的最大值为 ，最小值为 .23.已知f (x )=，若f (0)=1，并且f (x +1)-f (x )=2x ，则f (1)= ，f (-1)= ，a = ，b = .24.如图9，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在轴上，顶点B 在(14,8)，点E 、F 分别在OA 、OB 、上.将△AEF 沿EF 对折，使点A 落在线段BC 上的点D 处.经过抛物线y =ax 2-2abx +ab 2+c (c <0)顶点P 的每一条直线总平分矩形OABC 的面积.若点P 在线段DE 上，AF 的长为整数，且已知抛物线与线段EF 仅有一个交点，则点F 的坐标是 ，a 的取值范围是 .25.某种在同一平面内进行传动的机械装置如图10，图11是它的示意图.其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆PQ 也随之运动，并且PQ 带动连杆OP 绕定点O 摆动.在摆动过程中，两连杆的接点P 在以OP 为半径的⊙O 上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O 做OH ⊥l 于点H ，并测得OH =4分米，PQ =3分米，OP =2分米.则点Q 在l 上允许滑动的最大距离为 分米，点P 在⊙O 上的最大移动路线长为 分米.参考答案及评分标准 题号12345678910图7图8图10图9图11初三（浙江） 第二页 共两页第二十二届希望杯全国数学邀请赛初三第一试试题和答案3 / 3评分标准：1~20题,每题4分；21~25题,每题8分(其中23题每空3分；其余各题每空4分)；答案 B D C A C B D A C B题号 11 1213 14 15 答案4(3，19) 1 3<BC <题号 16 17 1819 20 21 答案 1 1y =(x +1)(x -3)或y =-3(x +1)(x -3)620-6;9 题号 22 23 24 25答案3;21;3;1;-1(14,5);<a <06;。
五羊杯数学竞赛试卷初三
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，能被3整除的是：A. 12345B. 12346C. 12347D. 123482. 若a²+b²=25，且a+b=5，则a-b的值为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 已知等差数列{an}中，a1=2，d=3，则a10的值为：A. 25B. 28C. 31D. 345. 一个正方体的体积是64立方厘米，那么它的对角线长是：A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 10厘米6. 下列函数中，是奇函数的是：A. y=x²B. y=x³C. y=xD. y=x²+17. 若log₂x=3，则x的值为：A. 2B. 4C. 8D. 168. 已知二次方程x²-5x+6=0的两个根分别为a和b，则a²+b²的值为：A. 14B. 15C. 16D. 179. 在等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则a5的值为：A. 18B. 24C. 36D. 4810. 下列命题中，正确的是：A. 若a>b，则a²>b²B. 若a²=b²，则a=bC. 若a²+b²=0，则a=0且b=0D. 若a²+b²=1，则a和b一定是单位圆上的点二、填空题（每题5分，共50分）11. 若x²-4x+3=0，则x的值为______。
12. 在△ABC中，若∠A=90°，AB=3，AC=4，则BC的长度为______。
13. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S10=______。
14. 若log₃x=2，则x的值为______。
“五羊杯”初中数学竞赛初三试题(含答案)(K12教育文档)
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第十二届“五羊杯"初中数学竞赛试题初三试题（考试时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(4选l 型，选对得5分,否则得0分．本大题满分50分．) 1．方程x ＝3-5535x 3++ 的根是x ＝（ )．（A)4—15 (B ）4+15 （C)15—4 (1）)3-52．设x ＝2-3，则x 7+3x 6-10x 5—29x 4++x 3—2x 2+x －l 的值为（ ）．(A)610-2-323+ （B ） 6102323+++ （C) 6102-327-++ (D ） 6102327+++ 3．若32x＝6·22x—5·6x ,则( ）．(A)2x>3x(B)2x<3x, （C ）2x>3x或2x〈3x都有可能 (D ）以上三者都不对4．如图，两条平行直线m ，n 上各有4个点和5个点．任选这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连( ）条直线．（A)20 （B)36 （C ）34 (D ）225．图中一共可以数出( )个锐角． （A ）22 (B)20 (C)18 （D)156．设[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3．15]＝3，[3．7]＝3，E 3]＝3，则 ]200220012000[...5]43[]432[]321[3333⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=( ）． （A ）2 000 000 （B)2 001 000 (C)2 002 000 (D)2 003 001 7．如图,长方形图中有许多三角形．如果要找全等的三角形，一共可以找出( )对．（A)8 (B ）7 (C ）6 （D)48．设A 2＝0．012 345 678 987 654 321×（1+2+3 +……+9+……+3+2+1），B 2＝0，012 345 679，则9·109(1-|A|)B ＝ ( )．(A ）10 （B ）±10 （C ）l (D)±l9．如图,正方形ABCD 外有一点P ，P 在BC 外侧，并夹在平行线AB 与CD 之间．若PA ＝17，PB ＝2 ，PC ＝5 ，则PD ＝( )， (A)25 （B)19 （C ）32 （D)17 10．如图，D 是△ ABC 的边AB 延长线上一点，DE ∥BC ，E 在AC 延长线上，EF ∥AB ，F 在BC 延长线上，已知S △ADE ＝m ，S △EFC ＝n ，则S 四边形BFED＝（ ）．（A)4mn (B ）3mn （C ）2mn (D) mn二、填空题（每小题填对得5分,不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分．本大题满分50分)1．分解因式：(x 4+x 2—4)（x 4+x 2+3）+10＝ ．2。
第二十一届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题+答案
第二十一届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题（考试时间90分钟，满分100分）一、选择题（4选1型，共10小题，每小题选对得5分．否则得0分，本题满分50分）． 1．][x 表示x 的整数部分，}{x 表示x 的小数部分，若347-=x ，a x =][b x =}{则++b a （）=b1 A ．1； B ．2； C ．4； D ．6． 2．函数|3|||2||1||+++-+=x x x y ，则y 的最小值等于( )．A ．0；B ．21；C ．1；D ．211 3．如果m ，n 是偶数，关于x 的方程n mx x ++20=有两个实数根，则其实根的情况是( )．A ．只有偶数根；B ．只有奇数根；C ．有奇数根，也有偶数根；D ．既没有奇数根也没有偶数根． 4．设三角形三边长a ，b ，c 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=-+10292252222c b ac b a bc a c ab ，则a+b-c 的值是( )．A ．-2或4；B ．3；C ．-2或3；D ．4．5．若一个三角形的三个内角之比为a:b:c ，相应的外角之比为d:e:f ，则下列结论中：(1)d:e:f=c:b:a ；(2)d:e ：f ：(b+c):(a+c)：（a+b ）；(3)d+e+f=2（a+b+c ）；(4)a+d=b+e=c+f ，正确结论的个数为( )．A ．O ； B.1； C ．2； D ．3．6．如图，己知反比例函数)0(1>=x xy 上的两点A 和B ，过点A 作AC 垂直x 轴于C ，过点B 作BD 垂直x 轴于D ，AC 与BD 相交于点E ，则AOE S ∆与ECDB S 梯形的大小关系是( )．A ．ECDB AO E S S 梯形>∆B ．ECD B AO E S S 梯形=∆C ．ECD B AO C S S 梯形<∆ D ．AOE S ∆与ECDB S 梯形的大小关系不能确定． 7．5)4)(3)(2)(1(+++++=x x x x y ，其中33≤≤-x ．则y 的最小值为( )．A.3；B.4；C.29；D.5.5625.8．若方程0222=++b ax x 与=+22-2b cx x 0有相同的根，且a ，b ，c 为三角形三边，则此三角形必定是( )．A ．直角三角形；B ．等腰三角形；C ．等边三角形； D.等腰直角三角形．9．设⎣⎦x 表示不大于x 的最大整数，如⎣⎦4.3=3，⎣⎦2=2，则⎥⎦⎥⎢⎣⎢-21010492009的个位数是( )．A ．2；B ．4；C ．6；D ．8．10.右图为有名的Peterson 图，由10个顶点和15条边组成，现在你有红，黄，蓝三种水彩原料，你可以用这三种原料进行混合获得新的颜色用你得到的颜色对Peterson 图的15条边进行染色，要求共顶点的边不可以同色，那么你可以做到( )．A ．用所有可以配得的颜色恰好进行染色，少一种都不行；B ．只需要用配得的颜色中任意四种就可以染色了；C ．不需要配颜色，直接用三原色就可以按要求进行染色；D ．不可能按要求染色．二、填空题（共10小题，每小题答对得5分，否则得O 分，本题满分50分）．11.若c 是正整数，a ，b ，d ，e ，f 是整数，且满足a+b=c ，b+c=d ，d+c=e ，e+f =a ，则a+b+c+d+e+f 最小值为____________．12．一个七位数，由不同的七个数字组成的，如果将这七位整数中任何相邻的两个数码看作一个两位整数，则它们都能被13或17整除，那么这个七位数最大为____．13．己知|9|4422-+-=+y x xy y x ，则-y （=---14-)5()2y x x __________. 14.如右图，在△ABC 中，a S S D O F CO E ==∆∆，BCD S ∆b =，且21==BD AD FD AF ，则=∆AEF S ________.15.对于实数x ，y ，2x S =462322+++++y x y xy 的最小值=min S __________.16.己在函数|1|1+=x y ，2212+=x y ，-3=y 1+x ，对于任意的x ，令),,m in(321y y y y =，那么y 的最大值为___________ ．17.在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=CD=BD=5，BC=6，则四边形ABCD 的面积S=__________________.18.a 为非零整数，若方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++22224z xy z y x a z y x 的解算x 、y 、z 为互不相同的正数，则a=___________.19.a ，b 都为有理数，对于函数-+=x x x f 2)(21，定义域为[a ，b]，(a ＜b)，值域为[-b ，23]，则b=___.20.在△ABC 中，D 为内心，点E ，F 在大边BC 上，己知BF=BA ，CE=CA ，则∠EOF 与∠ABC+∠ACB 的大小关系为：∠EOF_______(∠ABC+∠ACB)(选填“≤”，“＜”，“=”，“＞”“≥”)．参考答案一、选择题．1．C ． 解：因为-=-=-=2)32(3472x 3．且1320<-<．所以=-==b b a /1,32,0.32+故,4/1=++b b a 2．C解：当x ≤-3时，y=-x -2，最小值为l ；当-3 ＜x ≤-2时，y=x+4，最小值将大于1；当-2＜x ≤-3/2时，y=-x ，最小值为3/2；当-3/2＜x ≤-1时，y=3x+6，最小值将大于3/2；当x ＞l 时，y =x+4，最小值将大于3．3．A ．解：设21,x x 为方程02=++n mx x 的两个整数根，则由韦达定理可知.,2121n x x m x x =-=+己知m ，n 均为偶数，根据奇偶性分析得21,x x 都必须为偶数．4．B ．解：将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-=-+102,92,252222c b ac b a bc a c ab 的第一个式子依次减去第二个和第三个式子可得：-+++ab c b a 2222622=+---c b a ac bc ，即b a c b a +--+（2)(3.06)=-+∴=--c b a c 或-2．∵a ，b ，c 为三角形的三边长，0>-+∴c b a .3=-+∴c b a5．B解：由于三角形三个内角之比为a:b:c ，故可设每一份为 x ，根据三角形内角和原理得：cx bx ax ++o 180=，解得⋅++=cb a x o 180故三个内角分别为：ac b a c c b a b c b a o o ++++++180,180,180 ，对应的三个外角分别为,180180,180180c b a b c b a a o o++-++- c b a c ++︒ 180-180，化简可得,180,180)(c b a c a c b a c b o ++++++）（ ⋅+++c b a b a 180)( )(:)(:)(::b a c a c b f e d +++=∴结论(2)成立，(1)错误．由于d ：e ：f=(b+c)：（a+c ）：(a+b)，若设d=k(b+c)，e=k(a+c)，f= k （a+b ），k ≠O ，则d+e+f=2k （a+b+c ）．因此结论(3)错误．对于结论(4)，由于a+d=a+k(b+c)，b+e=b+k （a+c ），c+f =c+k(a+b)当且仅当k=l 时，结论(4)才成立．综上所述，结论(2)正确，结论(1)，(3)，(4)错误．6．B ．解：设点>111),(x y x A （)0,01>y ，则=∆AOC S ==⨯112/1|1||2/1y x AC OC 2/1；同理，2/1=∆BO D S C E BO D EO C AO C S S S S 0∆∆∆∆-=-∴，即=∆E A S 0ECDB S 梯形7．B ．解：=+++++=5)4)(3)(2)(1(x x x x y +=++++++x x x x x [(5]2)4)(1)[(4)(1(222)45(5)4)(1(2)]4)(1++=+++++x x x x x .5)45(22++++x x 令452++=x x z ，则由-3≤x ≤3可得- 2.25≤z ≤28．4)1(2++=z y ，则．4min =y .8．A.解：设两个方程的公共根为t ，则有222b at t ++0=及.0222=-+b ct t ．两式相减可得2)(b t a c =-当c=a 时，则b=0不合题意，故c ≠a ，将a c b t -=2代入任一方程，可得222a c b =+，故为直角三角形．9．C ． 解：+--=-=-2102)10(210)10(210104941414949414949200921024941-，显然121024941<-，而=--2102)10(494141494013949404922)10()10(++⋅+ ，所以只考虑乘方数402的个位数字即可，这是一个简单的周期问题．10．B解：首先用三种原色总共可以配出7种完全不同的颜色，下面对Peterson 图的边染色情况进行考虑：1.如果用三原色进行染色，不妨设三原色为1，2，3最上面的顶点三种颜色为1，2，3．可知只有，如图1，及图2两种情况．在图l 中，可知AC ，CE 必须同为2，AB ，BD 必须同为3，这与题意矛盾；在图2中，可知AC ，CE 必须同为2，DE ，BD 必须同为3，这也与题意矛盾．所以不可能用三原色进行染色．2．现考虑用四种颜色进行染色，不妨设这四种颜色为l ，2，3，4，则如图3可以得到四种颜色是可以对Peterson 图进行染色的．故选项B 正确．二、填空题．11.4．解：由题意可得a+b+c+d+e+f=c+e+a =2c+d+a=4c ，而c 是正整数，其最小值为l ，所以a+b+c+d+e+f 的最小值为4．12.9178526.解：由于每两位数码看成一个两位整数都能被13或17整除，故为了保证满足条件的整数最大，利用位值原则不难算出9178526.13.0．解：由|9|4422-+-=+y x xy y x 变形可得2x 0|9|442=-++-+y x xy y ，即+-2)2(y x 0|9|=-+y x ．因而⎩⎨⎧=-+=-.09,02y x y x 求解得到：⎩⎨⎧==36y x 所以011)5()2(2214=-=-----y x x y . 14．3/2a S AEF =∆解：设x S EOF =∆，则由DOF COE S S ∆∆=知CD ∥EF ，既以 EF:DC=1:3，=∆DOC S x 9．由21=FD AF ，可得=∆AEF S )(2/12/1x a S DEF +=∆；=+=∆)(2/3x a S ACF )9(2/12/1x a S CDF +=∆．由此即可推得 a x a =+33x 9+，即a x a x 3/1,26==．所以3/2a S AEF =∆.15.1．解：方法1．4622)(22+++++=y x y y x S ，令u y x =+，上式变成u y u y u S (442222=++++=11)1(2)122≥++++y ．当y=-1，x=0时，S 有最小值1min =S .方法2．关于x 的二次方程223)22(y x y x +++046=-++S y 有实数解，其判别式21)22(+=∆y 0)342(4)63(422≥+---=-+-S y y S y y ．上面关于y 的二次不等式有解，其判别式⋅-=∆41620)3(2≥-S ，从而得S ≥1．容易验证当（x ，y ）=（0，-1）时1min =S .16.1．解：因为y 是321,,y y y 中的最小值，由321,,y y y 的图象可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤<-+-≤<----≤+=.0,1,01,1,12,1,2,22/1x x x x x x x x y 17．⋅25468解：∵AD=CD=BD=5，A ，B ，C 在以D 为圆心，5为半径的圆周上．如图，作⊙D 延长 CD 交OD 于E ，则AE=10， 90=∠CAE ，AE=BC=6．由勾股定理得：=AC =-=-610222AE CE 8．.242/1=⋅=∆AE AC S ACE 设梯形ABCD 的高为h ，由242/1=⋅=∆h CE S ACE ，得h=24/5.又2)2/1(AB 22h AD -=．可得5/724255/12/122=-=AB AB=14/5.所以，梯形ABCD 的面积+=AB S （2/1254682512)1425)=⨯+=⋅（h CD18.3． 解：由已知2222242z z xy y x +=+++，即+x （224)z y +=．又x+y=a-x ，所以+=-4)(2z a 2z ，解得a a z 242-=，所以22224)4(a a z xy -==．由aa z a y x 242+=-=+可知x ，y 是关于t 的方程 -224t a 0)4()4(2222=-++a t a a 的两不等正实根．由x a a y 242+=+知a ＞0，x ，y 不相等必须△＞O ，即2(a 222)4(4)4->+a 由于0242>-=a a z ，所以-2a 04>故)4(2)4(22->+a a ，于是.320<<a 又因为042>-a ，所以.322<<a 因a 为整数，故a=3．此时.6/5126913,,6/5=/±==y x z 综上所述，a=3． 19.2．解：12)(2-+=x x x f 的图象如右图所示：(l)当a ≤-1≤6时，f(x)在x=-1处取得最小值，所以-b=-2，即b=2．而)2(f 23712222<=-⨯+=，所以-+=a a a f 2)(2231=，求得4,621=-=a a （舍）；(2)当a ＜b ＜-l 时，f(x)在[a ，b]上单调减．所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-+==-+=bb b b f a a a f 12)(2312)(22解之可得+=2)(b b f b b -=-12，但其解为无理数，故舍去；(3)当-1＜a ＜b 时f(x)在[a ，b]上单调增，因而⎩⎨⎧⋅=-+=-=-+=2312)(,12)(22b b b f b a a a f 解之得：61-=b （舍），42=b ．所以412)(2-=-+=a a a f ，此时△=-8 ＜0无解，所以b=2．20.=．解：如图作辅助线，由己知BOF BOA ∆≅∆，从而OA= OF ；COE A C ∆≅∆0，从而OA=OE.由此可得OA=OF=OE ，点O 为△AEF 的外心．由三角形外心性质知.2EAF EOF ∠=∠．又因为BF=BA ，CE=CA ，所以-=∠∠-=∠ 90,2/190AEC ABC AFB o ACB ∠2/1此时)(180AFE AEF EAF ∠+∠-=∠+∠=∠+∠-=ABC AFB AEC (2/1)(180 )ACB ∠比较可得.ACB ABC EOF ∠+∠=∠。
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第二十二届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题一、 选择题（4选1型，共10小题，每小题选对得5分，否则得0分。
本题满分50分） 1、 在正方体的八个顶点上分别标注数字1——8，使得每个面上的四个顶点处的数字和均相等。
那么这个相等的和是 。
2、 满足不等式＜4的x 的取值范围是 。
A 、x ＞3B 、x ＜－C 、x ＞3或x ＜－D 、无法确定3、 梯形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝1000，AD ＝2010，∠A ＝37°，∠D ＝53°，M 是BC 的中点，N 是AD 的中点，则线段MN 的长为 。
4、 如果a 是方程的一个根，那么的值为 。
A 、1B 、－1C 、2D 、－2 5、 已知x 、y 、z 都是实数，且 。
A 、只有最大值B 、只有最小值C 、既有最大值也有最小值D 、既无最大值也无最小值 6、 如图，点O 在△ABC 内，点P 、Q 、R 分别在AB 、BC 、CA 上，且OP ∥BC ，OQ ∥CA ，OR ∥AB ，OP ＝OQ ＝OR ＝x ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则 x ＝ 。
A 、B 、C 、D 、7、 一枚不均衡的正方体骰子，投掷一次出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率之比是1：2：3：4：5：6，连掷两次这枚骰子，出现的点数之和为7的概率是 。
A 、 B 、 C 、 D 、8、 一个三角形的三个顶点分别是（0，0），（1，1），（6m ，0）。
直线y ＝mx 把此三角形的面积二等分，所有满足条件的m 的值之和是 。
A 、－B 、－C 、D 、9、 对每个正整数n ，用S （n ）表示n 的各位数字之和，那么有 个n 使得:n ＋S (n )＋S (S (n ))＝2010成立。
A 、2B 、3C 、4D 、5 10、 定义函数f （x ）＝，令，，…，，n 是正整数，在0≤x ≤1的范围内，共有 个x 值可使（ ） A 、2010 B 、4020 C 、 D 、CBAOQ PR五羊杯数×学竞赛好×3＝五羊杯数学竞赛好，在这个乘法算式中，每个数字表示一个数字，二、填空题（共10小题，每小题选对得5分，否则得0分。
本题满分50分）11、 共有 组整数解。
12、 从1—2010这2010个自然数中最多能取出 个数，使得其中任意两数不连续而且其差不等于4。
13、 如图所示，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 在BC 边上，且BP ＝3，把△ABC 绕点P逆时针旋转90°至△DEF 处，则△ABC 与△DEF 重合部分，（图中阴影部分）的面积是 。
14、 正整数a 、b 、c 、d 满足a ＞b ＞c ＞d ，且，那么a 的可能值共有 个。
15、不同的汉字可能表示相同的数字，首位数字不为0，那么四位数五羊杯数＝ 。
16、 设下列三个一元二次方程：；；，至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是 。
17、 有20个重量都是整数克的砝码，可以有重量相同的砝码，用它们可以称出重量为整数克并且不超过2010克的所有物体的重量，称量时砝码放在天平的右盘，物体放在天平的左盘。
这20个砝码中最重的砝码最小是 克。
18、 实数a ，b ，x ，y 满足ax ＋by ＝3，a ，a ，a ，那么a 。
19、 满足abcde ≤a ＋b ＋c ＋d ＋e ≤10的有序正整数组（a ，b ，c ，d ，e ）共有 组。
20、 方程[x ]＋＝3的解是 。
其中[x ]表示不超过x 的最大整数。
参考答案一、选择题（4选1型，共10小题，每小题选对得5分，否则得0分。
本题满分50分）1、在正方体的八个顶点上分别标注数字1——8，使得每个面上的四个顶点处的数字和均相等。
那么这个相等的和是。
解：每个点上所标的数被三个面所用，所以六个面上的“面和”＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×3＝108，所以每个面上的四个数之和＝108÷6＝182、满足不等式＜4的x的取值范围是。
A、x＞3B、x＜－C、x＞3或x＜－D、无法确定解：＜4，，＜0，当x＞0时化为＞0，所以x＞3；当x时，化为＞0，所以x＜－。
答案：C3、梯形ABCD中，BC∥AD，BC＝1000，AD＝2010，∠A＝37°，∠D＝53°，M是BC的中点，N是AD的中点，则线段MN的长为。
解：延长AB，DC交于点P，∠A＝37°，∠D＝53°，则∠APD＝90°∴PM＝，PN＝，∴MN＝5054、如果a是方程的一个根，那么的值为。
A、1B、－1C、2D、－2解：。
答案：B5、已知x、y、z都是实数，且。
A、只有最大值B、只有最小值C、既有最大值也有最小值D、既无最大值也无最小值解：；6、如图，点O在△ABC内，点P、Q、R分别在AB、BC、CA上，且OP∥BC，OQ∥CA，OR∥AB，OP＝OQ＝OR＝x，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则x＝。
A、B、C、D、解：分别过点P、Q、R作PD∥AC交BC于D，QE∥AB交AC于E，RF∥BC 交AB于F。
则PD＝DQ＝QE＝ER＝RF＝FP＝x，，即BD＝；，即CQ＝。
BC＝BD＋DQ＋CQ，即a＝＋x＋。
答案：A7、一枚不均衡的正方体骰子，投掷一次出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率之比是C BAOQPR67254813PNMADB CEDFCBAOQRP1：2：3：4：5：6，连掷两次这枚骰子，出现的点数之和为7的概率是 。
A 、 B 、 C 、 D 、解：投掷一次骰子，出现点数为k （1≤k ≤6）的概率是，连掷两次这枚骰子，出现的点数之和为7的情形是（1＋6），（6＋1），（2＋5），（5＋2），（3＋4），（4＋3）。
所以出现的点数之和为7的概率＝······。
答案：C8、 一个三角形的三个顶点分别是（0，0），（1，1），（6m ，0）。
直线y ＝mx 把此三角形的面积二等分，所有满足条件的m 的值之和是 。
A 、－B 、－C 、D 、解：由于O （0，0），A （6m ，0）都在x 轴上，B （1，1），且直线y ＝mx 过原点，所以要平分△OAB的面积，直线y ＝mx 必须过AB 的中点M （）。
即：m ·，解得，， 所以。
答案：B9、 对每个正整数n ，用S （n ）表示n 的各位数字之和，那么有 个n 使得:n ＋S (n )＋S (S (n ))＝2010成立。
A 、2B 、3C 、4D 、5解：n ≤2010，S （n ）≤S （1999）＝28，S （S （n ））≤S （28）＝10，n ＋S (n )＋S (S (n ))＝2010，所以n ≥2010－28－10＝1972，当n ＝1978，1981，1984，2002时可使n ＋S (n )＋S (S (n ))＝2010。
10、 定义函数f (x )＝，令，，…，，n 是正整数，在0≤x ≤1的范围内，共有 个x 值可使（ ） A 、2010 B 、4020 C 、 D 、 解：f （x ）＝，f （x ）的图象如右图：在0≤x ≤1时有两个x 值使f （x ）＝用表示使得的个数，则；f （f （x ））＝的图象如右：在0≤x ≤1时有四个x 值使＝，则 x 的取值范围和的取值范围都是01，而每次都有两种选择，所以使得的x 值共有个。
答案：C二、 填空题（共10小题，每小题选对得5分，否则得0分。
本题满分50分） 共有 2010 组整数解。
11 0.5 0 11 0.5五羊杯数×学竞赛好×3＝五羊杯数学竞赛好，在这个乘法算式中，每个数字表示一个数字，（）＝（），（），（2），（），…，（），（）共2010组12、从1—2010这2010个自然数中最多能取出 804 个数，使得其中任意两数不连续而且其差不等于4从1开始每10个连续自然数为一组，每组取个位数字是1、3、6、8的四个数，这样12010最多可以取201×4＝804个。
13、如图所示，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 在BC 边上，且BP ＝3，把△ABC 绕点P 逆时针旋转90°至△DEF 处，则△ABC 与△DEF 重合部分，（图中阴影部分）的面积是 1.44平方单位 。
由题意得，PC ＝2，PW ＝PV ＝1.5，BV ＝1.5，VC ＝3.5，WC ＝2.5 △CPW ∽△CXV ，，：： ∴×1.5÷－1.5＝1.4414、 正整数a 、b 、c 、d 满足a ＞b ＞c ＞d ，且，那么a 的可能值共有 1006 个因为，而、都是正整数。
所以，即a ＋＋c ＋＝2010，所以a ＋c ＝1006，15、不同的汉字可能表示相同的数字，首位数字不为0，那么四位数 1667 。
左边是a 的倍数，右边10000a 是a 的倍数，所以b 也是a 的倍数，设b =na ，所以n =是正整数。
3×1000－1≤3a －1≤10000，3a －1＝5000或10000，a ＝1667或a ＝（舍去）进而n＝2，b ＝an ＝1667×2＝3334，所以四位数16、设下列三个一元二次方程：；；，至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是 。
； ； 。
XWVDEF ABPC五羊杯数= 1667五羊杯数=学竞赛杯=b 五羊杯数=a 五羊杯数×学竞赛好×3＝五羊杯数学竞赛好，化为：3ab =10000a +b ，综合上述，当时，三个方程均没有实数根，故当或时，至少有一个方程有实根。
17、有20个重量都是整数克的砝码，可以有重量相同的砝码，用它们可以称出重量为整数克并且不超过2010克的所有物体的重量，称量时砝码放在天平的右盘，物体放在天平的左盘。
这20个砝码中最重的砝码最小是147克。
18、实数a，b，x，y满足ax＋by＝3，a，a，a，那么a。
(a，整理得：a，得方程：；（a，整理得：a，得方程：；得方程组：，解得：（a，整理得：.19、满足abcde≤a＋b＋c＋d＋e≤10的有序正整数组（a，b，c，d，e）共有116组。
当a＝b＝c＝d＝e＝1时，所以（a，b，c，d，e）＝（1，1，1，1，1）只有一组解；当a，b，c，d，e中有四个为1时，第五个有2，3，4，5，6五种可能。
所以（a，b，c，d，e）共有5×5＝25组解；当a，b，c，d，e中有三个为1时，另两个可能是（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，3），再考虑计数顺序，共有×8＝80组种；当a，b，c，d，e中有二个为1时，由于其积小于等于10，所以其余三个都必须是2，，这时共有＝10组解所以满足题设条件的有序正整数组（a，b，c，d，e）共有1＋25＋80＋10＝160（组）20、方程[x]＋＝3的解是3。