微分算子法在求常系数非齐次线性微分方程特解中的应用
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11； （21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。
（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。
由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。
我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。
例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。
解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。
（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
线 性 微 分 方 程 ， 文 给 出 了非 线 性 项 为 指 数 函 数 、 角 函 数 、 函 数 及 其 混 合 函 数 的 微 分 算 子 特 解 公 式 ， 例 表 明 论 三 幂 实 特 解 公 式 在 解 题 中 具有 可应 用 性 、 有效 性 和 简 捷 性 。 关 键 词 ： 性 微 分 方 程 ； 系数 ； 分 算 子 ；特 解 线 常 微 中 图分 类 号 ： ７． Ｏ１５ １ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ７—０ Ｘ（０ ８ ０ —３００ ６ ３８ ８ ２０ ）４０ ３ —４
ＬＩ Ｓｈ ｏ ｇ ｎ ａ — ａ ｇ，ＸＵ — ｏ ｇ Ａｎ ｎ ｎ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ａ ｈ ｍａｉｓａ ｄ Ｃ ｍ ｐ ｔｔ ｎ ｌ ｉ ｃ ，Ｇｕｌ ｉ ｅ ｓ ｙｏ ｅｔ ｏ ｃＴｅ ｈ ｏｏ ｙ・Ｇｕｌ ４ ０ ４， ｉａ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｔ ｅ ｔ ｎ ｏ ｕ ａ ｉ ａ ｅ ｅ Ｍ ｃ ｏ ｃ Ｓ ｎ ｉ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｆ ｉ ｔ Ｅｌｃｒ ｎ ｃ ｎ ｌｇ ｉ ｉ ｎ ５ １ ０ Ｃｈｎ ） ｉ
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第 ２卷 第 ４ ８ 期 ２ ０ 年 ８月 ０８
桂 林 电 子 科 技 大 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｉ ｏ ｒ ａ ｆ Ｇｕ ｌｎ Ｕｎｉ ｅ ｓ ｔ ｆ Ｅｌ ｃ ｒ ｎ ｃＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｅ ｔ ｏ ｉ ｃ ｎ ｌ ｇ
常微分方程特殊类型及解法的应用拓展
常微分方程特殊类型及解法的应用拓展常微分方程是数学中一种重要的方程类型，广泛应用于物理、工程、经济、生物等领域。
在解常微分方程的过程中，我们常常遇到一些特殊类型的方程，需要采用相应的解法来求解。
本文将介绍几种常见的特殊类型常微分方程及其解法，并探讨这些解法在实际问题中的应用拓展。
一、线性微分方程线性微分方程是最基本的一类常微分方程。
形如dy/dx + P(x)y =Q(x)的一阶线性微分方程，可以通过积分因子法来求解。
具体步骤如下：1. 将方程化为dy/dx + Py = Q的形式，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
2. 根据积分因子的定义，积分因子μ(x)满足μ(x) = e^(∫P(x)dx)。
3. 两边同时乘以μ(x)，得到μ(x)dy/dx + Pμ(x)y = Qμ(x)。
4. 将左边化为(μ(x)y)'的形式，并对方程两边同时积分。
5. 最后解出y(x)即可。
线性微分方程的解法能够涉及到求解常数变易法、常数变异法、待定系数法等多种方法，具体根据问题的特点选择合适的方法。
二、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程是常微分方程中的典型问题。
形如d^2y/dx^2 + ay' + by = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程法来求解。
具体步骤如下：1. 将方程化为特征方程r^2 + ar + b = 0的形式。
2. 求解特征方程的根r1和r2。
3. 根据特征值的不同情况，得到方程的通解。
- 当特征根为实数且不相等时，通解为y(x) = C1e^(r1x) +C2e^(r2x)。
- 当特征根为实数且相等时，通解为y(x) = (C1 + C2x)e^(r1x)。
- 当特征根为复数时，通解为y(x) = e^(αx)(C1cosβx + C2sinβx)，其中α为特征根的实部，β为特征根的虚部。
三、一阶可分离变量微分方程一阶可分离变量微分方程是常微分方程中的另一类特殊类型方程。
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。
本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。
二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。
其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。
常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。
其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。
而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。
三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。
常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。
以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。
将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。
对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。
不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。
线性常系数非齐次微分方程的特解求解
线性常系数非齐次微分方程的特解求解微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程等领域。
其中，线性常系数非齐次微分方程是一类常见的微分方程类型。
本文将讨论如何求解线性常系数非齐次微分方程的特解。
首先，我们先来了解一下线性常系数非齐次微分方程的一般形式：$$a_n\frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots +a_1\frac{dy}{dx} + a_0y = F(x)$$其中，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$为常数，$F(x)$为已知函数，$y$为未知函数。
要求解该微分方程的特解，我们可以使用常数变易法。
常数变易法的基本思想是：假设特解$y^*$为一个与齐次方程解不同的特殊解，将其代入非齐次方程，得到一个关于常数的方程，通过求解该方程来确定特解。
下面，我们通过一个具体的例子来说明常数变易法的求解过程。
假设我们要求解如下的线性常系数非齐次微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = e^x$$首先，我们先求解该方程的齐次部分：$$\frac{d^2y_h}{dx^2} - 2\frac{dy_h}{dx} + y_h = 0$$该齐次方程的特征方程为：$$r^2 - 2r + 1 = 0$$解该特征方程得到两个相等的实根$r=1$，因此齐次方程的通解为：$$y_h = C_1e^x + C_2xe^x$$其中$C_1$和$C_2$为任意常数。
接下来，我们假设非齐次方程的特解为$y^* = Ae^x$，将其代入非齐次方程得到：$$\frac{d^2y^*}{dx^2} - 2\frac{dy^*}{dx} + y^* = e^x$$将$y^* = Ae^x$代入上式，得到：$$Ae^x - 2Ae^x + Ae^x = e^x$$整理后得到：$$Ae^x = e^x$$解得$A=1$，因此特解为$y^* = e^x$。
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解引言微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在微分方程的研究中，常系数非齐次微分方程是一类常见且重要的问题。
解决这类微分方程需要找到其特解，本文将介绍常系数非齐次微分方程的特解的设定方法和求解步骤。
常系数非齐次微分方程的定义常系数非齐次微分方程是指形如下式的微分方程：d n y dt n +a n−1d n−1ydt n−1+⋯+a1dydt+a0y=F(t)其中，y是未知函数，t是自变量，a0,a1,…,a n−1是常数，F(t)是已知函数。
特解的设定方法齐次方程的解首先，我们需要求解对应的齐次方程：d n y dt n +a n−1d n−1ydt n−1+⋯+a1dydt+a0y=0齐次方程的解称为齐次解，通常用yℎ表示。
特解的设定设非齐次方程的特解为y p，则有以下几种常用的特解设定方法：1. 常数特解当非齐次方程的右侧为常数时，可以设定特解y p为常数。
2. 多项式特解当非齐次方程的右侧为多项式时，可以设定特解y p为与右侧多项式相同次数的多项式。
例如，如果非齐次方程的右侧为F(t)=at2+bt+c，则可以设定特解y p=At2+ Bt+C，其中A,B,C为待定常数。
3. 正弦/余弦特解当非齐次方程的右侧为正弦或余弦函数时，可以设定特解y p为与右侧正弦或余弦函数相同形式的函数。
例如，如果非齐次方程的右侧为F(t)=Asin(ωt)，则可以设定特解y p=Bsin(ωt)+Ccos(ωt)，其中B,C为待定常数。
4. 指数特解当非齐次方程的右侧为指数函数时，可以设定特解y p为与右侧指数函数相同形式的函数。
例如，如果非齐次方程的右侧为F(t)=Ae kt，则可以设定特解y p=Be kt，其中B 为待定常数。
求解步骤求解常系数非齐次微分方程的特解可以按照以下步骤进行：1.求解对应的齐次方程，得到齐次解yℎ。
2.根据非齐次方程的右侧函数形式，设定特解y p的形式。
微分方程特解的原理及应用
微分方程特解的原理及应用一、微分方程特解的定义微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
微分方程的解分为通解和特解两种。
通解是指包含所有可能解的一类函数，而特解则是满足特定条件的特定函数。
二、微分方程特解的求解方法1.常数变易法–对于一阶齐次线性微分方程：$$ \\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 $$可先设 $ y = Ce^{-\int P(x) dx} $，其中 $ C $ 为常数，然后求导，并代入原微分方程解得特解。
–对于一阶非齐次线性微分方程：$$ \\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $$可先设特解为 $ y = u(x) v(x) $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 为未知函数，然后代入微分方程解得特解。
–对于高阶齐次线性微分方程：a n(x)y(n)+a n−1(x)y(n−1)+...+a1(x)y′+a0(x)y=0可先设 $ y = e^{\lambda x} $，其中 $ \lambda $ 为常数，然后代入微分方程解得特解。
2.拉普拉斯变换法对于线性微分方程，通过对微分方程进行拉普拉斯变换，将微分方程转换为代数方程，从而求解特解。
3.特殊函数法对于特定形式的微分方程，例如常系数线性齐次微分方程、变系数线性齐次微分方程等，可以利用特殊函数的性质求解特解。
三、微分方程特解的应用微分方程是多个学科的重要工具，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
微分方程特解的应用包括但不限于以下几个方面：1.物理学中的应用微分方程特解在物理学中有着重要的应用，特别是在描述运动、振动、波动等过程中。
例如，加速度为常数的匀加速运动可以由二阶齐次线性微分方程得到特解。
另外，通过微分方程描述的波动现象也可以通过特解求得。
2.电路分析中的应用在电路分析中，通过对电路中的电压、电流进行微分方程建模，可以求解电路的特解，从而了解电路的动态行为。
例如，通过对电感、电容和电阻元件建立微分方程，可以求解 LC 振荡电路的特解，获得电路中电流和电压的变化规律。
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解引言微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了变量之间的关系以及其随时间变化的规律。
常系数非齐次微分方程是一种经典的微分方程类型，它在物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍常系数非齐次微分方程的特解求解方法。
常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程可以写成如下形式：d n dt n y(t)+a n−1d n−1dt n−1y(t)+⋯+a1dydt+a0y(t)=F(t)其中a n−1,…,a1,a0是常数，F(t)是已知函数。
我们希望找到一个特解y p(t)，使得上述方程成立。
特解求解方法1. 线性常数法（适用于F(t)为多项式函数）当F(t)为多项式函数时，我们可以使用线性常数法来求解特解。
假设特解为y p(t)=c m t m+c m−1t m−1+⋯+c1t+c0，其中c m,…,c1,c0是待定常数。
将特解代入原方程，得到：d n dt n y p(t)+a n−1d n−1dt n−1y p(t)+⋯+a1dy pdt+a0y p(t)=F(t)然后对上式两边进行求导运算，并整理得到：m(m−1)…(m−n+1)c m t m−n+(m−1)(m−2)…(m−n)c m−1t m−n+1+⋯+m(m−1)…(m−n+2)c n−2t2+m(m−1)…(m−n+1)c n−1t=F(t)比较上式中t的各次幂系数与F(t)的各次幂系数，可以得到一组关于待定常数的线性方程组。
解这个线性方程组即可求得特解。
2. 试探法（适用于F(t)为指数函数、正弦函数、余弦函数等）当F(t)为指数函数、正弦函数、余弦函数等特殊函数时，我们可以使用试探法来求解特解。
假设特解为y p(t)=R(t)cos(ωt+ϕ)，其中R(t)是待定函数，ω是特征方程根的虚部，ϕ是相位角。
将特解代入原方程，得到：d n dt n y p(t)+a n−1d n−1dt n−1y p(t)+⋯+a1dy pdt+a0y p(t)=F(t)然后对上式两边进行求导运算，并整理得到：−ω2R(t)cos(ωt+ϕ)+a n−1(−ω2R(t)cos(ωt+ϕ))′+⋯+a0R(t)cos(ωt+ϕ)=F(t)比较上式中cos(ωt+ϕ)的系数与F(t)的系数，可以得到关于待定函数R(t)的微分方程。
利用算子分解求解常系数非齐次线性微分方程
利用算子分解求解常系数非齐次线性微分方程顾新丰;姚洪亮【摘要】利用算子分解的方法给出了常系数非齐次线性微分方程的复通解.利用此通解,给出了特征根具有重数时齐次方程特解的形式,从而得到齐次方程的通解.给出了非齐次方程实的特解,从而得到了非齐次方程的通解.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2019(039)007【总页数】4页(P1-4)【关键词】常系数非齐次线性微分方程;通解;特解【作者】顾新丰;姚洪亮【作者单位】南京理工大学理学院,江苏南京 210094;南京理工大学理学院,江苏南京 210094【正文语种】中文【中图分类】O175.1常系数线性微分方程是高等数学课程的重要内容，给出其通解具有重要意义．如无特别说明，本文通解指的是实通解．阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式可表示为其中：非齐次项是实函数；是实常数．方程（1）对应的齐次方程可表示为在通常的高等数学教材中，求齐次方程（2）的通解一般是先求出特征方程的所有特征根，然后根据实根、复根及重数等情况写出通解形式，而非齐次方程（1）的通解则是由方程（2）的通解和方程（1）的一个特解相加而得．当非齐次项是一些特定形式时，方程（1）的特解可用待定系数法求出；当非齐次项是一般函数时，方程（1）的特解可以采用常数变易法来求．文献[1]给出了二阶方程的求解方法；文献[2]给出了三阶方程的求解方法；文献[3]给出了一般的阶方程的求解方法，不过随着阶数的增加，这种方法的运算量增长很快，需要求多个高阶行列式和不定积分．文献[4]将二阶非齐次线性微分方程分解为2个一阶线性微分方程，然后利用一阶方程求解公式给出了二阶方程的通解；文献[5]利用类似的降阶思想给出了三阶非齐次线性微分方程的复通解；文献[6]提出了阶非齐次方程的降阶思想，并给出了一些具体算例；文献[7]给出了将阶非齐次线性微分方程分解为个一阶方程的结果，但其证明用的是数学归纳法，比较复杂．本文利用算子分解的方法给出将阶非齐次线性微分方程分解为个一阶方程的简单证明，并利用这种分解给出了阶非齐次方程的复通解，这种通解文献[8]用积分因子法也给出过．但这种通解并不完全符合要求，因为我们想要的通解是实的，所以本文利用这种复通解给出齐次方程的实通解和非齐次方程的实特解，从而得到非齐次方程的通解．本文中自变量都是实变量，实函数和复函数指的分别是值域为实数域和复数域的函数．复函数可分解为，其中：都是实函数，复函数的不定积分定义为．定理1 方程（1）可分解为，，…，，个一阶线性微分方程，其中：是特征方程（3）在复数域内的个根．从而方程（1）的复通解可表示为其中：是任意复数．证明引入微分算子，这里是恒等算子，则方程（1）可写为．设特征方程（3）在复数域内的个根分别为，则假设可分解为，即将式（5）和式（6）建立和的对应关系，其中时的对应即和的对应，则易见可取为特征方程的个根．方程（1）可写为，令，，则．利用一阶非齐次线性微分方程解的公式依次可得推论若是特征方程（3）的重根，则均为齐次方程的特解．证明利用式（4），令，齐次方程（2）的复通解可表示为，此解对特征值的排列顺序没有要求，不妨设．令，其它的，得；令，其它的，得；令，其它的，得；；令，其它的，得．于是均为齐次方程的特解．证毕．注１推论的结论在通常的高等数学教材中采用的是待定函数法[1]340，这里则是利用齐次方程的复通解（4）直接给出这些齐次方程的特解，这些特解有可能是复的．有了这些特解后就可以按照通常教材的方法给出齐次方程的通解．若是特征方程的重实根，则方程（2）的通解含有的任意实线性组合；若是特征方程的重复根，则方程（2）的通解含有，的任意实线性组合．定理2 方程（1）具有形如（7）的特解．如果每一对共轭复根都在相邻的位置上，即若是复根，则或，那么是实的；若对特征根的次序不加限制，那么是方程（1）的实特解．证明令式（4）中的全为，得到形如式（7）的特解．假设每一对共轭复根都在相邻的位置上．显然，对于实数及实函数，仍是实函数．因此，要证是实的只要证明对于任意复数及实函数，是实函数即可．利用分部积分，．令，，则．同理，．于是，故是实函数．若对特征根的次序不加限制，则不一定是实的．令，则，比较等式两边的实部函数可知，（即）满足方程（1）．证毕．注2 若共轭复根不限制在相邻位置上，则得到的特解不一定是实的．如对于微分方程，其特征根分别为，若取特解，则不是实的．考虑一些特定形式的非齐次项对应的方程（1）的特解的计算．如果是型的（是实数，是次多项式），则直接利用式（7）计算即可．如果是型的（和是实数，和是多项式），如果直接利用式（7）进行特解计算的话，积分是不容易计算的，利用线性叠加原理可以分别考虑是和型的．对于，由于它是的实部，其中：，故其对应的特解是对应特解的实部，这个结论仿照定理2最后一部分结论的证明易得；同理，对应的特解是对应特解的虚部．而和作为复函数，其对应的特解仍然可用式（7）来计算，也比较简单．3 实例例1 求三阶线性微分方程的特解．解特征方程的根为，根据式（7）并利用分部积分，特解为．例2 求二阶线性微分方程的通解．解特征方程的根为，．令，则是的虚部．根据式（7），作为非齐次项时对应的特解为．利用分部积分，，所以，，从而方程的特解为．方程的通解为．由于特解（7）形式上具有一般性，可以用来求解其它类型非齐次项对应的方程，如二阶非齐次方程，其特解可表示为，经过计算，．本文利用算子分解的思想给出了求解常系数非齐次方程的一种新思路，是对原有理论的一种补充，也可以作为一种新的教学思路进行教学尝试，检验其教学效果．Solving non-homogeneous linear differential equation with constantcoefficients by operator-decompositionGU Xin-feng，YAO Hong-liang（School of Science，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）Abstract：Uses the operator-decomposition method to give the complex general solution of non-homogeneous linear differential equation with constant coefficients．Uses this general solution to give the form of special solution of homogeneous equation when the multiple number of the characteristic root is nonzero，so that get the general solution of homogeneous equation．Gives the real special solution of non-homogeneous equation，so that get the general solution of non-homogeneous equation．Key words：non-homogeneous linear differential equation with constant coefficients；general solution；special solution中图分类号：O175.1文献标识码：Adoi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.07.001文章编号：1007-9831（2019）07-0001-04收稿日期：2019-02-10基金项目：江苏省自然科学基金项目（BK20171421）；南京理工大学高等教育教学改革研究项目（2017B22）作者简介：顾新丰（1980-），男，江苏启东人，助教，硕士，从事偏微分方程及大学数学教学研究．E-mail：*******************令，其它的，得；令，其它的，得；令，其它的，得；；令，其它的，得．于是均为齐次方程的特解．证毕．注１推论的结论在通常的高等数学教材中采用的是待定函数法[1]340，这里则是利用齐次方程的复通解（4）直接给出这些齐次方程的特解，这些特解有可能是复的．有了这些特解后就可以按照通常教材的方法给出齐次方程的通解．若是特征方程的重实根，则方程（2）的通解含有的任意实线性组合；若是特征方程的重复根，则方程（2）的通解含有，的任意实线性组合．定理2 方程（1）具有形如的特解．如果每一对共轭复根都在相邻的位置上，即若是复根，则或，那么是实的；若对特征根的次序不加限制，那么是方程（1）的实特解．证明令式（4）中的全为，得到形如式（7）的特解．假设每一对共轭复根都在相邻的位置上．显然，对于实数及实函数，仍是实函数．因此，要证是实的只要证明对于任意复数及实函数，是实函数即可．利用分部积分，．令，，则．同理，．于是，故是实函数．若对特征根的次序不加限制，则不一定是实的．令，则，比较等式两边的实部函数可知，（即）满足方程（1）．证毕．注2 若共轭复根不限制在相邻位置上，则得到的特解不一定是实的．如对于微分方程，其特征根分别为，若取特解，则不是实的．考虑一些特定形式的非齐次项对应的方程（1）的特解的计算．如果是型的（是实数，是次多项式），则直接利用式（7）计算即可．如果是型的（和是实数，和是多项式），如果直接利用式（7）进行特解计算的话，积分是不容易计算的，利用线性叠加原理可以分别考虑是和型的．对于，由于它是的实部，其中：，故其对应的特解是对应特解的实部，这个结论仿照定理2最后一部分结论的证明易得；同理，对应的特解是对应特解的虚部．而和作为复函数，其对应的特解仍然可用式（7）来计算，也比较简单．3 实例例1 求三阶线性微分方程的特解．解特征方程的根为，根据式（7）并利用分部积分，特解为．例2 求二阶线性微分方程的通解．解特征方程的根为，．令，则是的虚部．根据式（7），作为非齐次项时对应的特解为．利用分部积分，，所以，，从而方程的特解为．方程的通解为．由于特解（7）形式上具有一般性，可以用来求解其它类型非齐次项对应的方程，如二阶非齐次方程，其特解可表示为，经过计算，．本文利用算子分解的思想给出了求解常系数非齐次方程的一种新思路，是对原有理论的一种补充，也可以作为一种新的教学思路进行教学尝试，检验其教学效果．Solving non-homogeneous linear differential equation with constant coefficients by operator-decompositionGU Xin-feng，YAO Hong-liang（School of Science，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）Abstract：Uses the operator-decomposition method to give the complex general solution of non-homogeneous linear differential equation withconstant coefficients．Uses this general solution to give the form of special solution of homogeneous equation when the multiple number of the characteristic root is nonzero，so that get the general solution of homogeneous equation．Gives the real special solution of non-homogeneous equation，so that get the general solution of non-homogeneous equation．Key words：non-homogeneous linear differential equation with constant coefficients；general solution；special solution中图分类号：O175.1文献标识码：Adoi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.07.001文章编号：1007-9831（2019）07-0001-04收稿日期：2019-02-10基金项目：江苏省自然科学基金项目（BK20171421）；南京理工大学高等教育教学改革研究项目（2017B22）作者简介：顾新丰（1980-），男，江苏启东人，助教，硕士，从事偏微分方程及大学数学教学研究．E-mail：*******************同理，．于是，故是实函数．若对特征根的次序不加限制，则不一定是实的．令，则，比较等式两边的实部函数可知，（即）满足方程（1）．证毕．注2 若共轭复根不限制在相邻位置上，则得到的特解不一定是实的．如对于微分方程，其特征根分别为，若取特解，则不是实的．考虑一些特定形式的非齐次项对应的方程（1）的特解的计算．如果是型的（是实数，是次多项式），则直接利用式（7）计算即可．如果是型的（和是实数，和是多项式），如果直接利用式（7）进行特解计算的话，积分是不容易计算的，利用线性叠加原理可以分别考虑是和型的．对于，由于它是的实部，其中：，故其对应的特解是对应特解的实部，这个结论仿照定理2最后一部分结论的证明易得；同理，对应的特解是对应特解的虚部．而和作为复函数，其对应的特解仍然可用式（7）来计算，也比较简单．例1 求三阶线性微分方程的特解．解特征方程的根为，根据式（7）并利用分部积分，特解为．例2 求二阶线性微分方程的通解．解特征方程的根为，．令，则是的虚部．根据式（7），作为非齐次项时对应的特解为．利用分部积分，，所以，，从而方程的特解为．方程的通解为．由于特解（7）形式上具有一般性，可以用来求解其它类型非齐次项对应的方程，如二阶非齐次方程，其特解可表示为，经过计算，．本文利用算子分解的思想给出了求解常系数非齐次方程的一种新思路，是对原有理论的一种补充，也可以作为一种新的教学思路进行教学尝试，检验其教学效果．【相关文献】[1] 同济大学数学系．高等数学（上册）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014：338-354[2] 郭晓晔．求解三阶非齐次线性微分方程的常数变易法[J]．齐齐哈尔大学学报：自然科学版，2017，33（2）：92-94[3] 于亚峰．阶非齐次线性微分方程的常数变易法[J]．贵州师范大学学报：自然科学版，2015，33（6）：83-86[4] 宋燕．二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式[J]．高等数学研究，2011，14（3）：6-7[5] 李文娟，李书海，汤获．三阶常系数线性非齐次微分方程通解的降阶法[J]．高等数学研究，2018，21（4）：59-61[6] 刘玲，苏农．阶常系数非齐次线性微分方程的降阶解法[J]．大学数学，2012，28（6）：91-95[7] 宋燕．高阶常系数非齐次线性微分方程的解法[J]．高等数学研究，2012，15（3）：22-23[8] 宁荣建，时军．阶常系数线性微分方程和阶欧拉方程的积分因子解法[J]．大学数学，2017，33（5）：44-48。
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
【常系数非齐次微分方程的特解怎么设】一、引言在数学的学习中，微分方程是一个重要的分支，在工程、物理等领域有着广泛的应用。
其中，常系数非齐次微分方程的特解是一个颇具挑战性的问题。
本文将围绕这一主题展开讨论，深入探究如何设定常系数非齐次微分方程的特解，以帮助读者更全面地理解这一内容。
二、常系数非齐次微分方程的基本形式我们需要了解常系数非齐次线性微分方程的基本形式。
一般地，常系数非齐次线性微分方程可以表示为：\[ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = F(x) \]其中，\[ y^{(n)} \] 表示 y 的 n 阶导数，\[ a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0 \] 为常数，\[ F(x) \] 为非齐次项。
三、常系数非齐次微分方程特解的设定接下来，我们将探讨如何设定常系数非齐次微分方程的特解。
一种常用的方法是根据非齐次项的形式来设定特解的形式。
具体来说，如果非齐次项为多项式形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的多项式；如果非齐次项为指数形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的指数函数；如果非齐次项为三角函数形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的三角函数等等。
四、具体案例分析为了更好地理解常系数非齐次微分方程特解的设定方法，我们以具体的案例来进行分析。
考虑如下的微分方程：\[ y'' - 3y' + 2y = 4e^x \]我们可以根据非齐次项的形式来设定特解的形式，因为非齐次项为指数形式，所以我们设定特解为与非齐次项形式相同的指数函数，即\( y_p = Ae^x \)。
将 \( y_p \) 代入原方程，得到：\[ (Ae^x)'' - 3(Ae^x)' + 2Ae^x = 4e^x \]整理化简后，得到 \( A = 2 \)，因此特解为 \( y_p = 2e^x \)。
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＝
ｅ … （ ２
第 ｍ ＋１步 上 得 到 的商 式 （ 是 Ｄ 的 ｍ 次 多项 它
式 ） 。
＝
一
寺ｅ （ｏ ｘ ｓ２） ｃｓ — ｉ ｘ ［ ２ ｎ
以上这六个公式的证 明请见参考文献 ［ ］ １。 现在使 用 以上 的公 式 重新 来 做 参 考文 献 ［ ］ ２ 中的几个 例题 。
凡重 根 ， 则有
１ ｌ 眦
其 中 ’ ａ （ ）表示 （ Ｄ）在点 ａ的 ｎ阶导数 ， ａ 且
∈ Ｃ． ∈ Ｎ 。 ｎ
（ （＋ ｘ ｅ２ １ ） ｉ）
公 ５ ［ 训＝ ‘ 式： ｅ ｅ 志
其 中 ａ ∈ Ｃ 。 公式 ６ 若 ／ ）－ ，则 有 ： ４０ ￣ －０ （ ） ＝
＋ （ｏ２ ｅｓ ｘ＋ｓ ２ ） ｉ ｘ］ ｎ
所 以特解 Ｙ ’＝ （ ｉ２ ｓ ｘ—ｃ ｓｘ 。 ｎ ｏ２ ）
求 该方 程 的特解 时使 用 了公式 ３和 ５ 如果方 。 程 的非齐次项 中含有 正 弦 函数 ， 需 要 求 复值 函 则 数 （ （＋ｘ ｅ ｉ））的虚 部 即可得 出此 时 的特解 。 ２１
方 面的研究 ；
６
安 阳 师 范 学 院 学 报
公 式 ４： Ｌ 若 （
＝０， 妨 设 ｎ为 （ ：０的 不 ）
（ 。２ ） １ 于方 程 的非 齐 次项 中 含有 余 ｅｃ ｓ ． ｛ ｌ 弦 函 数 ， 所 以 我 们 需 要 求 复 值 函 数 （ ”） Ｉ ）的 实部 ， 这样 就可 得 到特解 ） ， 。
了７
式 ： Ｄ）＝Ｄ （ ＋０ Ｉ Ｉ Ｉ Ｄ， １＋… ＋ａ＿ ＋口 ， ，１ ｎＤ 于是方
程 （ ）可改 写为 如下 形式 ： １
［ 收稿 日期 ］０ ２—０ 一２ ２１ ｌ ０
＿ ： ７ ａ 口 ｌｅ ７ ｅ 其 Ｅ 。 丽 ．ｘ 中口 Ｃ ＿ ＇ Ｉ ， 具
四种不 同二 阶常 系数 非齐次线性微分方程 的特解为例 ， 证了应用该方法 的简便性 和有效性 。 验 ［ 关键 词］ 微分算子法 ； 常系数非齐次线性微分方程 ； 特解
［ 中图分类号 ］ １５ １ Ｏ ７ ．４ ［ 文献标识 码］ Ａ ［ 文章编号 ］６ １— ３ ０ ２ １ ）２— ０ ５一 ２ １７ ５ ３ （０ ２ ０ ０ ０ ｏ Ｌ（ Ｙ ＝ ） Ｄ） （ （ ２）
： ｅ
（ｉ ） ・ ２＋１ｘ
ｆ 了 ｉ 一 ｌ ｅＸ ２ ＋ １ Ｏ） Ｄ＋ ） ．
（ ｉ＋１可 ） １ ２ 一
Ｑ （ （ ， 中 （ Ｄ） ） 其 ）是 的 ｍ 次 多 项 式 ， Ｑ（ Ｄ）是 以 Ｌ Ｄ）按 Ｄ的升幂 排列后 去除 １ （ 时在
则会 克 服上 述缺 点 ， 且不 需要 记忆 特解 的形式 ， 具
解， 这样就有 （ Ｄ）
形式 上 可 以把
） ］ｉ， ， （ 因此 ， ） 在
看作 是 （ Ｄ）的逆算 子 。
有 运算 量小 、 用方便 的优点 。 使
３
２ 问题 的提 出
首 先给 出 ｎ阶常 系数非 齐 次线性 微分 方程
１ 引言
’
在求 常 系数 非 齐 次 线 性微 分 方 程 的特 解 时 ，
ｇ－：ｊ （ ） 令 记 号 ｒｆＪ＂ ２ ， Ｊ ＝ ￣
）表 示 它 的 任 一
大多数高等数学教材和常微分方程教材都是采用 的待定系数法。该方法虽然容易理解 ， 但是计算 量太 大 ， 使用 起来 十 分不便 。而使 用微 分算子 法 ，
的一个 特解 即可 ， 以这 里 只讨 论 求 方 程 （ ）的 所 １
， ， ２
公 ｌ ） ， ）… （ 次 式 ： ＝… ｄ ｘ 不 ｎ
定 积分 ， 中 １为任 意正 整数 ） 其 ７ ， 公 式 ２： Ｌ Ｄ）＝Ｌ （ Ｌ （ ， 设 （ Ｄ） Ｄ） 则
特 解 的 问题 。 引入 微 分 算 子 Ｄ ＝ ， ＝ Ｄ
ｕ二 ‘
Ｊ ｎ
… …
，
却 ＝ ［ 圳
‘
口
，
Ｄ“：
ｄ戈
， 以及 与方 程 （ ）相应 的算子 多项 １
一 （ １Ｄ 、 Ｄ） （ ［ 训 ２
＝
公式 ３ 若 Ｌ ａ ： （ ）≠ ０， 则有・
［ 基金项 目】 南 省 科 技 厅 基 金 项 目（０ ３０ １ １ ） 河 南 省 教 育 厅 项 目（ ０１ １０１ ） 郑 州 市 科 技 局 项 目 河 １２０４０ ２ 、 ２ ２ １Ｂ２００ 及
（ ００ Ｙ Ｍ５２ ２ １Ｇ Ｘ ３ ） ．
［ 作者简 介］ 自强 （９ ８一） 男 ， 李 １７ ， 博士 ， 从事非线性系统理论等方 面的研究 ； 周德文（ ９ ６一） 男 ， 士 ， １７ ， 博 系数非齐次线性 微分方程的特解是 一种非 常有 效的方法 ， 本文 在总结其他 文献的
基 础 上 给 出 了六 个 最 基 本 的 公 式 ， 以此 六 个 公式 为基 础 可 以解 出 常 见 的二 阶常 系数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 特 解 ， 以 求 并
微 分 算 子 法 在 求 常 系 数 非 齐次 线性 微 分 方 程特 解 中 的应 用
李 自强 周德 文 ，
（ ． 南 工 程 学 院 数 理 科 学 系 ， 南 郑 州 ４ ０ ０ ２ 中原 工 学 院 理 学 院 ， 南 郑 州 ４ ０ ５ ） １河 河 ５０ ０；． 河 ５０ ２
Ｙ‘ ＋ 口 Ｙ ＋ … “ １ ‘一 ＋ ａｎ Ｙ＋ａ ｙ＝ － － ｉ ．
重 要公 式 下 面给 出使 用微分 算子 法需 要 记住 的六个 基
本 公式 。
）
（） １
为 了求 出方 程 （ ）的通 解 ， 以先 求 出 它对 １ 可 应 的齐 次线 性 微 分 方 程 的 通 解 ， 加 上 方 程 （ ） 再 １