乘法公式和因式分解

b
2 2 a -b
a
= (a+b) (a-b)
(3)
9 —
25
=(4a+1)(4a-1)
x²-
1 — 16
y²
解：2） 4x² - m² n²
( 4 ) –9x² +4
=(2x)² - (mn)²
=（2x+mn)(2x-mn)
例2.把下列各式因式分解
1)( x + z )² - ( y + z )²
解： 2)4( a + b)² - 25(a - c)²
1、选择:下列多项式能用完全平方公式分解因式的是(
A.
)
D.
4 a2
B. x 2 4 x 4
C.
x 2 2x 1
9 x 2 4 x 16
例2 已知x+
1 x
=4，求：
(1)x² +
(2)（x-
1 的值； x
1 ）2的值. 2 x
例3 已知|b-4|+a² -a+
4)(x + y + z)² - (x – y – z )²
1 5)— 2 a²
解： =[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)]
=(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c) 3.原式=4a(a² -1)=4a(a+1)(a-1)
2
用平方差公式计算
(5+6x)(5-6x) (x-2y)(x+2y) (-m+n)(-m-n) ( 2a+3b)(2a-3b)
）（ ）（ ）（
）+（3b）² ）+（ ）²
）+（3b）² 。
=（a-3b）²
（a+2y）² =a² +
（a+3b）² =a² +
+
+
=（a-2y）²
=（a-3b）²
。
。
a 2 2a 1
a 2 2ab b 2
2 2 __ __ 2 ____
2 2 __ ___ 2 _______
a² -b² =（a+b）（a-b）
(3)x² -1; (4)-2(x-y)² +32; (5)(x+y+z)² -(x-y+z)²
(2)(a+1)² -1;
（1）25－16x2
（2）a2b2－m2
（3）（m－a）2－（n+b）2
随堂检测
1.将x2﹣16分解因式正确的是（ A．（x﹣4）2
B
）
B．（x﹣4）（x+4）
扩展延伸
1.（a+2b+c）(a+2b-c) 2.(a+b-3)(a-b+3) 3.(m-n+p)(m-n-p)
1、（a+b）(a-b)(a² +b² )
2、(a+2)(a-2)(a² +4)
3、(x-
1 2
)(x2+
1 4
1 )(x+ 2
)
m m
a
b
m² +am+bm=m(m+a+b）
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( 1 A.a² +1=a（a+ a ） B.(x+1)(x-1)=x² -1 C.a² +a-5=(a-² 2)(a+3)+1 D.x² y+xy² =xy(x+y)
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法
平方差公式反过 来就是说：两个 数的平方差，等 于这两个数的和 与这两个数的差 的积
a²- b² = (a+b)(a-b) 因式分解
例1.把下列各式分解因式
（1）16a² -1
解：1）16a² -1=(4a)² -1
( 2 ) 4x² - m² n²
1 4
=0，求ab的值.
小结：
平方差具有： 1、是一个二次二项式 2、两个“项”都是平方 3、我们可以利用平方差来进 行因式分解
1、是一个二次三项式 2、有两个“项”平方,而且有这 两“项”的积的两倍或负两倍 3、我们可以利用完全平方公 式来进行因式分解
将一个正方形的一角剪去一个小 正方形，观察剪剩下的部分，你能在 只能剪一刀的情况下，将剩余部分重 新拼接成一个特殊四边形吗？
(-x+2)(-x-2)
(a+2b)(a-2b)
(-2x+y)(2x+y)
(4a-1)(-4a-1)
扩展延伸
（1） 36－x² （2）a² －b² （3） x² －16y² （4） x² y² －z²
（5） (x+2)² －9
（6）(x+a)² －(y+b)²
（7） 25(a+b)² －4(a－b)²
C．（x+8）（x﹣8）
D．（x﹣4）2+8x
2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ A．a2+（﹣b）2 C．﹣x2﹣y2 B．5m2﹣20mn D．﹣x2+9
D
）
3.若a+b=2011，a﹣b=1，则a2﹣b2= 2011 ．
4.计算：20142﹣20132= 4027 ．
5.4x2﹣9=（2x﹣3）（2x+3） ．
随堂检测 1.下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是（ B ） A．2x2+4x+1 B．4x2﹣12xy+9y2 C．2x2+4xy+y2 D．x2﹣y2+2xy 2.把代数式x2﹣4x+4分解因式，下列结果中正确的是（ D ） A．（x+2）（x﹣2） B．（x+2）2 C．（x﹣4）2 D．（x﹣2）2 4 3.若a=2b﹣2，则a2﹣4ab+4b2的值是 ． 4.如果多项式x2﹣6x+c可以分解为（x﹣3）2，那么c的值是 9 ． 2 （2x﹣1）． 5.分解因式4x2﹣4x+1=
乘法公式
整式乘法、因式分解
乘法公式

b
a
(a+b)² =a² +2ab+b²
b
a 2ab b
2
2
a2 2ab b2
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
2 2 首 2首尾 尾
(a+b)² =a² +2ab+b²
(a-b)² =【a+（-b）】² =a² +2ab+（-b）²
m 14m 49
2
4 x 2 y 4 xy 2 y 3
6ax2 12ax 6a
(a b) 2 4ab
4x 4xy y
2
2
x 2 2 xy y 2
3ax2 6axy 3ay2
2 xy
12ab
4 xy
ab
4 y
（2a+3b）² =（2a）² +2（ （a-3b）² =（2a）² -2（ （-a+3b）² =（ ）² +2（ （a+3b）² =a² + +
解： 4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)] × [(x+y+z)- (x-y-z)]
1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] =4 x ( y + z ) 3)4a³ - 4a 解： =(x+y+2z)(x-y) 2.原式=[2(a+b)]² -[5(a-c)]²
=2 x ( 2 y + 2 z)
D)
(1)8a³ b² -12ab³ c；
(2)-3x² +6xy-3x；
(3)x(x-y)-y(x-y).
(1)4x² y³ +8x2y² z-12xy² z;
(2)-a² b³ c+2ab² c³ -ab² c;
(3)5x(x-2y)³ -20y(2y-x)³ .
平方差公式法
(1)x² y-4y;
(a-b)² =a² -2ab+b²
是
是
是 否 是
否
用完全平方公式解题
（5+3p）² （2x-7y）² (a+b)²
1 a a
2
(a+b)²
(2a+b)2
(-x- )2
(x-3y) 2
［-(m+n)］2
(-3a-4b) 2
平方差公式
a
a
b
b
求阴影部分面积： （a+b）（a-b）=a² -b²