有关直线与圆的几个典型例题_New
2012.11.2第三章 直线与方程、第四章圆的知识点及典型例题
第三章 直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即k=tan α。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.当[)οο90,0∈α时，0≥k ； 当()οο180,90∈α时，0<k ； 当ο90=α时，k 不存在。
例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和l解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )A.120°B.150°C.60° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
点、直线、圆与圆的位置关系
点、直线、圆与圆的位置关系【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.类型二、直线与圆的位置关系2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切。
4.2.1《直线与圆的位置关系》PPT课件
巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 x 2 y 2 100的位置关系．如
果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
| 0 0 50 |
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
解方程组
4x 3x
3 4
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
A2 B2
直线与圆的位置关系
在2009年08月08日台凤莫拉克袭击宝岛台湾时，
一艘轮船在沿直线返回泉州港口的途中，接到气象台
的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响
的范围是半径长为30km的圆形区域．已知泉州港口位
于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，
那么它是否会受到台风莫拉克的影响？ y
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
为解决这个问题，我们以台
港口
风中心为原点 O，东西方向为
x 轴，建立如图所示的直角坐 标系，其中取 10km 为单位长
O
轮船 x
度．
直线与圆的位置关系
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
圆的方程知识点总结和典型例题
圆的方程知识点总结和经典例题(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．(2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.3．直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．（2）过一点的圆的切线方程的求法1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．（3）求弦长常用的三种方法1．利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22解题．2．利用交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．3．利用弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2| x 1－x 2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].4. 圆与圆的位置关系（1）圆与圆位置关系的判断方法设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 222两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d ；(3)通过d ，r 1＋r 2， r 1－r 2 的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．（2）两圆相交有关问题1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程可设为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.3．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．5. 对称问题(1)点关于点成中心对称通常利用中点坐标公式点|P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ）.||(2)点关于直线成轴对称(3)曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称6. 与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． |7. 典型例题1. 直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断【解析】 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝ －5 32＋42＝1，又圆x 2＋y 2＝1的半径r ＝1，∴d ＝r ，故直线与圆相切．2. 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( )A ．过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【解析】 圆心(1，－1)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离d ＝3×1＋4×(－1)＋1232＋4211＝5＜r.【答案】D3.求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．【解析】由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴－k－7k2＋1＝5，解得k＝43或k＝－34.∴所求切线方程为y＋7＝43(x－1)或y＋7＝－34(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.4.过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程.|【解析】因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以 3k－1－3－4kk2＋1＝1，即k＋4 ＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－15 8.所以切线方程为y＋3＝－158(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.5.求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．【解析】圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0,1)，半径r＝ 5.点(0,1)到直线l的距离为d＝ 3×0＋1－632＋12＝102，l＝2r2－d2＝10，所以截得的弦长为10.6.直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．46【解析】圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝ CP ＝ 1＋4－5＋ 5 12＋22＝1.在Rt △ACP 中， AP ＝r 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长 AB ＝4.7. 两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( )A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切【解析】 两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d ＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．8. 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切【解析】 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜ O 1O 2 ＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．9. 求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．【解析】 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以 AB ＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝ 1－2×(－5)＋4 1＋(－2)2＝3 5.设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.10.求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． 【精彩点拨】 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2【解析】设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解，两式相减得x ＋y －1＝0. 因为A ，B 两点的坐标满足|x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.11. 已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1【解析】 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心C 1(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0关于直线y ＝－x 对称的点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b a －1·(－1)＝－1，－a ＋12＝b 2，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－1.所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1. 12. 当动点P 在圆x 2＋y 2＝2上运动时，它与定点A (3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________．【解析】 设Q (x ，y )，P (a ，b )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋32，y ＝b ＋12，所以⎩⎨⎧a ＝2x －3，b ＝2y －1. 点P (2x －3,2y －1)满足圆x 2＋y 2＝2的方程，所以(2x －3)2＋(2y －1)2＝2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，即为点Q 的轨迹方程． 13. （1）△ABC 的顶点坐标分别是A （5，1），B （7，﹣3），C （2，﹣8），求它的外接圆的方程；（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．【解答】解：（1）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，①因为A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是，可解得a=2，b=﹣3，r=25，所以△ABC的外接圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=25．（2）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（0，0），B（5，0），C（0，12），∴AB⊥AC，AB=5，AC=12，BC=13，∴△ABC内切圆的半径r==2，圆心（2，2），∴△ABC内切圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．14.已知圆C：x2+（y+1）2=5，直线l：mx﹣y+1=0（m∈R）（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）设直线l与圆C交于A、B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB 的长．【解答】解：（1）由于直线l的方程是mx﹣y+1=0，即y﹣1=mx，经过定点H（0，1），而点H到圆心C（0，﹣1）的距离为2，小于半径，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，故直线和圆恒有两个交点．如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!（2）直线l的倾斜角为120°，直线l：﹣x﹣y+1=0，圆心到直线的距离d==1，∴|AB|=2=4．15.过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，求直线l的方程．【解】由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k.设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)．又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝ 2k－1－21＋k2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22.解得k＝1或177.所以直线l的方程为y＋2＝x＋1或y＋2＝177(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
直线系圆系方程
圆系方程
例 题
圆系方程
1、求过圆 C 1 : x 2 y 2 2 x 3 0, C2 : x 2 y2 4x 2 y 3 0 的交点，且过原点的圆 的方程
过两圆C i : x 2 y 2 Di x E i y Fi 0 ( i 1,2 ) 交点的圆系方程
证明：方程 3 x 2 10 xy 3 y 2 9 x 5 y 12 0 表示的曲线是两条直线
直线系方程
例3、问k为何值时，方程 3 x 2 2 xy y 2 7 x 5 y k 0 表示两条直线?
解（待定系数法）：将方程化作：
(3 x y )( x y ) (7 x 5 y ) k 0 设： ( 3 x y m )( x y n) 0
2
2
x 2 y 2 Dx Ey F＋ ( Ax By C ) 0
圆系的定义： 具有某种共同性质的圆 的集合，称为圆系。
圆系方程
常见的圆系方程：
1、同心圆系( x a)2 ( y b)2 r 2 (a, b是常数， r是参数 )
2、过两圆C i : x 2 y 2 Di x E i y Fi 0 ( i 1,2 ) 交点的圆系方程
解（2）：将（1）中所设的方程变为：
(1 ) x ( 2) y (4 2 ) 0
解得： k
1 2
由已知：
1 3 1 2 4
11
故所求得方程是： 4 x
3y 6 0
练习1
直线系方程
一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：
x 2 y 2 D1 x E1 y F1 ( x 2 y 2 D2 x E2 y F2 ) 0 ( 1 )
九年级数学上册2.3确定圆的条件如何确定四点(不在同一条直线上)是否共圆？素材苏科版(new)
如何确定四点（不在同一条直线上）是否共圆？难易度：★★★★★关键词：四点共圆答案：判断四点共圆的关键是看四点到某点的距离是否相等,如果相等，则四点共圆，反之不共圆。
【举一反三】典题:如图，在四边形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm,BC=9cm,CD=cm，判断点A，B，C，D是否在同一个圆上，若在请指出，若不在说明理由。
思路导引：根据勾股定理求出BD的长，再由已知条件确定△BCD的形状,取BD的中点,到A，B,C，D四点的距离相等，所以四点共圆。
标准答案：解：取BD的中点，连接AE,CE根据勾股定理，得BD=10cm,又因为BD2=BC2+CD2∴△BCD是直角三角形，∴AE=BD=CE=5cm即AE=DE=CE=BE=5cm∴点A,B,C，D在以点E为圆心,以5cm为半径的圆上尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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证明圆的切线的三种典型例题
证明圆的切线的三种典型例题作者：李冬梅来源：《新课程·中旬》2014年第07期切线是直线与圆的位置关系中最重要的一种关系。
随着新课改的推进，近几年的中考题中越来越多地出现了证明圆的切线的题型，为此，我在教学中积累了证明圆的切线的几道典型例题，每道题中都经典地用到了切线的判定定理，但方法各异。
下面我介绍三道经典题。
例1.在直角三角形ABC中，AC=3 cm，BC=4 cm，∠C=90°当r为2.4 cm时，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？思路导析：如下图所示，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需求出圆心C到直线AB的距离CD，然后与r比较就可以。
解：做CD⊥AB于点D。
在直角三角形ABC中，AC=3 cm，BC=4 cm，∠C=90°有勾股定理得：AB=5 cm又∵S=AB×CD÷2=AC×BC÷2∴CD=2.4 cm ∴CD=r=2.4 cm∴AB与⊙C相切.例2.如下图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于D.试猜想CD所在直线与⊙O的位置关系，并证明。
思路导析：圆的切线的判定定理的条件是：①经过半径外端点。
②这条半径与直线垂直。
证明：连接OC方法（一）：∵AO=CO ∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠DAB ∴∠CAB=∠DAC又∵AD⊥CD于点D ∴∠DAC+∠ACD=90°∴∠AOC+∠ACD=90°∴OC⊥AD∴CD所在直线与⊙O相切.方法（二）：∵弧BC所对的圆心角、圆周角分别是∠BOC和∠CAB∴∠BOC和∠2CAB ∵AC平分∠DAB ∴∠CAB和∠DAC∴∠DAB和∠BOC ∴OC∥AD ∴∠OCD和∠ACD∵AD⊥CD于点D ∴OC⊥CD ∴CD所在直线与⊙O相切.例3.直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？请证明你的结论。
§4.2.3直线与圆的方程的应用
§4.2.3直线与圆的方程的应用
一、课前准备：讲评上节课作业
二、新课导学
1．直线方程有几种形式? 分别是?
2．圆的方程有几种形式? 分别是?
3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?
※ 典型例题
探究一：交点问题
例1、讨论直线y =x +m 与曲线y .
变式：讨论直线4)2(+-=x k y 与曲线y =.
例2、已知圆C 的圆心坐标是1(,3)2
-,且圆C 与直线230x y +-=相交于,P Q 两点,又,OP OQ O ⊥是坐标原点,求圆C 的方程.
探究二：轨迹问题
例3、 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切
线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM =.试建立适当的坐标系，并求动点P 的
轨迹方程.
变式：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 3
1=，问点M 的轨迹是什么？
探究三：与圆有关的最值问题
例4、已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，求22PB PA +的最小值
变式：已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实
数m 的取值范围．
例5、已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．。
圆的方程典型例题
圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1.求经过三点A (1, 12), B (7, 10), C (-9, 2) 的圆的标准方程.例2. 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．例3.已知圆C 经过A (5, 1), B (1, 3)两点，圆心在x 轴上，求圆C 的方程。
)4,1(A )2,3(B 0 y )4,2(P例4 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．例5.已知圆C 与直线x-y=0及x-y-4=0都相切， 圆心在直线x+y=0上，求圆C 的方程。
例6. 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．042422=---+y x y x 0=y )5,0(A 02=-y x 02=+y x A类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例1. 已知圆，求过点与圆相切的切线．例2．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．例3.在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆422=+y x 相交A,B 两点，则弦AB 的长是多少.422=+y x O ：()42，P O例 4. 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．类型三：弦长、弧问题例1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为类型二：直线与圆的位置关系例1. 任意实数k ，直线y=kx+1与圆222x y +=的位置关系一定是？0111221=++++F y E x D y x C ：0222222=++++F y E x D y x C ：A B AB例2、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.例3、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.例4 圆上到直线的距离为1的点有几个？9)3()3(22=-+-y x 01143=-+y x练习1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是练习2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .练习3：圆上到直线的距离为的点共有（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个类型五：圆与圆的位置关系例1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，例2：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
九年级数学下圆综合复习计算
切线的判定与性质【知识要点】1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。
4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1．下列说法正确的是（）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线； （4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（5）C 、（2）（4）（5）D 、（3）（4）（5）例2．如图所示，PBC 是⊙O 的割线，A 点是⊙O 上一点，且PC PB PA ⋅=2． 求证：PA 是⊙O 的切线．例3．如图所示，已知：梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=︒90，腰BC 是⊙O 的直径，且BC=CD+AB ．求证：AD 和⊙O 相切．例4．如图所示，已知：两个同心圆O 中，大圆的弦AB 、CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ．求证：CD 是小圆O 的切线．·OPABC·ACBDO ABD C例5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，C 为弧AD 的中点，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点．求证：CE 与⊙O 相切．例6． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径为⊙O 与DC 相切于点E ，则DC= 。
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有关直线与圆的几个典型例题
有关直线与圆的几个典型例题
本节内容在高考题中通常是通过选择题、填空题进行考查，在解
答题中往往是出现在第（1）小题中，考查的热点是求直线的方程，
两直线平行、垂直的关系，关于直线的对称问题，直线与圆的位置关
系及圆与圆的位置关系等。要熟练掌握求直线方程的方法，注意根据
已知条件灵活选择方程形式；在解决圆的有关问题时，要注意圆的几
何性质的应用。
例1：在ΔABC中，已知顶点A(3,-1),过点B的内角平分线所在
直线的方程为x-4y+10=0，过点C的中线所在直线的方程为
6x+10y-59=0，求顶点B的坐标及BC边的方程。
解：设B点坐标为(x,y),则AB的中点E的坐标为()，
因E在直线6x+10y-59=0上，
∴ 6·+10·-59=0，整理得3x+5y-55=0。
又过点B的内角平分线所在直线方程为x-4y+10=0。
解方程组 得
∴ B点坐标为(10,5)。
设BC边所在直线斜率为k, AB边所在直线斜率kAB=，角B
平分线的斜率为。
则， ∴ k=-。
∴ BC边所在直线方程为2x+9y-65=0。
评注：本题是关于求直线方程的例题。
例2：已知过点A(1,1)，且斜率为-m(m>0)的直线l与x,y轴分别
交于P、Q点，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R，S，
证法2：圆心C(0,1)到直线l的距离d=
<1<对m∈R成立，
∴ 对m∈R，l与圆C总有二个不同的交点。
证法3：将y-1=m(x-1)代入圆C方程，消去y,得
(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0........(1)
Δ=16m2+20>0恒成立，
∴ 对m∈R，l与圆C总有二个不同的交点。
评注：判断直线与圆相交，一般有以下三种方法：
① 直线过圆内一定点；
② 圆心到直线的距离小于半径；
③ 直线与圆的方程组成的方程组有二个不等实根。
（2）解法1：设A(x1,y1), B(x2,y2), 则x1,x2为方程(1)的两实根，
∴ |AB|=|x1-x2|=·，
则·=，∴ m=±，
∴ l的倾斜角为α=或。
解法2：∵ |AB|=2，∴ =5-d2,
∴ d2=, 则，∴ m=±，
∴ l的倾斜角为α=或。
评注：求圆的弦长一般有两种方法：
（1）用两点间距离公式求；
（2）利用圆中半径、弦心距、弦长间的关系求。即半径2=弦心
距2+半弦2。
（3）∵ CM⊥MP，∴ M点轨迹是以CP为直径的圆，圆心为
6
(,1)，半径为r=,
∴ M点轨迹方程为：(x-)2+(y-1)2=。
评注：求弦中点轨迹方法很多，本题是利用圆的几何性质求解，
较为简单。
（4）∵ ，由定比分点公式，有1=，
∴ x1+x2=, 同理有y1+y2=。
∴ x1=-x2, y1=-y2,
∵ A、B均在圆x2+(y-1)2=5上，
∴
消去y2, 得(3-x2)2-x22=15, ∴ x2=-1, 则x1=2,
∴ y2=3或-1，y1=0或2, ∴ m=1或-1。
则直线l的方程为：x-y=0或x+y-2=0。
例5：设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段圆
弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件(1), (2)的所有圆中，求圆心到直
线l： x-2y=0的距离最小的圆的方程。
解：设圆的圆心为P(a,b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距
离分别为|b|, |a|。
由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，则圆P被x
轴所截得的弦长为r，
故|b|=r，即r2=2b2。
又圆P截y轴所得弦长为2，所以a2+1=r2。
7
从而a2+1=2b2, 即2b2-a2=1。
又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=,
∴ 5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1。
∴ d≥，等号在a=b时成立。
由此有，∴ 或
由r2=2b2=2，可得r=，故所求圆的方程为：(x-1)2+(y-1)2=2
或(x+1)2+(y+1)2=2。
评注：本题关键是求距离d的最小值，求最值问题常用方法有：
配方法，不等式法，判别式法和参数法。