有限元方法与ANSYS应用二讲

面力─作用于物体表面上的力。如流体压力和接触力。以单位
面积所受的力来量度 f x , f y , f z .
集中力如牵引力 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
z
V
fx
fz F f fy P
lim f ΔF Δv0 ΔV
矢量 f 方向沿 F 的极
限方向
o
x
y
f
f
2 x

f
2 y

f
2 z
矢量 p 方向沿
o
x
I
F 的极限方向
沿截面切向和法
y 向分解为 和
量纲： L1MT 2
应力分量的空间方位，注意每个分量的作用 面与作用方向！
• 剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是 互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角 码可以对调。
弹性力学中的五个基本假定。
关于材料性质的假定及其在建立弹力理论中的作用：
• （1）连续性 ─ 假定物体是连续的。各物理量可用连续函数表示。 • （2）完全弹性 ─ 假定物体是,
a.完全弹性—外力取消,变形恢复,无残余变形。
b.线性弹性—应力与应变成正比。 即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。 • （3）均匀性 ─ 假定物体由同种材料组成。 E、μ等与位置
应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个 方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程（受力状态的描述） ：
• 平衡微分方程的推导过程
二、几何方程 空间独立的应变分量
正应变分量： 切应变分量： 应变分量列阵：
如何计算正应变和切应变？？
正应变 切应变
• 如何描述位移分量？？
• 几何方程
刚体虚位移原理：对刚体而言，如果它处于平衡状态，则其上作用力在虚 位移上做的总虚功等于零。
刚体：刚体受力后，仅发生刚体位移，无变形和应变发生。 如何导出弹性体虚功原理？？
外力虚功；
作用在弹性体上的外力在虚位移上做的功 体积力
表面力
外力虚功=体积力虚功+表面力虚功
内力虚功即应力在虚应变上做的虚功，也称虚应变能。
未知数
位移3个+应力6个+应变6个=15 方程个数
平衡方程3个+几何方程6个+物理方程6个=15 原则上15个方程可以求解15个未知量，但实际上先求出一部分 ，
再通过方程求剩下的。
• 四、边界条件
4.1 位移边界条件 给出边界面上所有点的位移
给定边界上位移
• 4.2 应力边界条件
给出边界面abc上表面力!!
应力分量
一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此， 描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常 量，而是坐标x、y、z的函数。
六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：
位移、应变、刚体位移
• 弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述：
1、给出各点的位移；2、给出各微元体的变形 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。这三个 投影称为位移分量。
待求量：应力、形变和位移。
解法：
在弹性体内部：
根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程； 根据微分线段上应变－位移的几何条件，建立几何方程； 根据应力－应变间的物理条件，建立物理方程
在弹性体边界上：
根据面力条件，建立应力边界条件； 根据约束条件，建立位移边界条件。
弹性力学基本方程
• 考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意
虚功原理表述如下： 在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相
符合的任意微小的虚刚体位移时，体系上的主动力在虚位移上所 作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。
虚功原理用公式表示为：
这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移。
虚功原理----用于弹性体的情况
虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设上图的杠杆是绝
2）受力特征
薄板的两个侧面上无载荷作用；
边缘上受到平行于板面且沿板厚均匀分布的面力作用；
体力平行于板面且不沿板厚变化（x,y的函数）。
平 面 应 力 问 题 模 型
以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄 板两表面没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：
另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内 各点均有：
b.简化几何方程：在几何方程中，由于
( , ) ( , )2 ( , )3 ,
等项,使几何方程成为线性方程。
可略去 ( , )2
弹性力学中几个基本概念
• 外力─其他物体对研究对象（弹性体）的作用力
体力─作用于物体体积内的力。如重力、惯性力和电磁力。以
f , f , f 单位体积内所受的力来量度， x y z.
进一步分析。当杠杆处于平衡状态时， 和
这两个位移是
不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一
定满足上式的关系。将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原 理，去指导分析和计算结构。
对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真
正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位 移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。 这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图a中的 和 所作 的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡 的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个 位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。
以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负 .一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移 并不是定值，而是坐标的函数。
• 微元体的变形可以分为两类：
1、长度的变化，2、角度的变化。
• 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为 线应变(或称正应变)，用符号 来表示。沿坐 标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之 ，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的 正负号规定相对应。
正负号规定：fx、 f y
、
f
沿坐标正
z
向为正，负向为负。
量纲（因次）：L2MT 2
z
o
x
fz F
S
f
fy
P
Hale Waihona Puke lim f ΔF ΔS0 ΔS
f 方向沿 F 极限方向
222
f fxfyfz
fx
正负号规定：
y
f x 、 f y 、f z 沿坐标
轴正向为正、负向为负
量纲：L1MT 2
虚位移：满足物体内变形连续条件，边界上位移约束条件 的任何可能的无限小位移。
虚功：真实外力在虚位移上所做的功。
虚应变：对可变形的弹性体，虚位移也必将导致虚应变， 虚应变和虚位移之间满足弹性体几何方程。
虚功原理：外力作用下处于平衡状态的弹性体，外力在虚 位移上做的总虚功等于弹性体内真实应力在虚应变上做的 总虚变形功。
正应力虚功
切应力虚功
外力虚功= 总变形虚功
弹性力学平面问题基础
• 任何实际变形体的力学问题都是空间问题（三维问题）， 所受的外力一般都是空间力系。
• 在某些特殊情况下，比如物体具有特殊形状，受特殊的外力，特 殊的位移约束时，空间问题就可以简化成平面问题。此时，问题 的几何和力学量仅仅是二维坐标的函数。所求未知力学量只是二 维空间内的分量。
目前有限元法采用位移法，以三个位移分量为 基本未知量。
位移产生变形，变形产生应变，应变产生应力， 应力于外力平衡。
协调的含义：不重叠、不开裂！
五、虚功原理
图a示一平衡的杠杆，对C点 写力矩平衡方程：
图b表示杠杆绕支点C转动时 的刚体位移图：
综合可得：
即： 式是以功的形式表述的。 表明：图a的平衡力系在图b 的位移上作功时，功的总和必 须等于零。这就叫做虚功原理。
为正。(如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个
面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个 面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负 。)
z

m A
p F
P II n
lim p ΔF ΔA0 ΔA
•平面应变问题的应力、应变、位移分量 由基本特征推出：
z zy zx 0 z 0 （非独立）
应变分量：
x , y , xy ——x,y的函数
应力分量：
x , y , xy ——x,y的函数
• 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹 角的变化值称为角应变或剪应变，用符号 来
表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的
角码，分别用
来表示。规定当夹角
变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号
规定相对应(正的 引起正的 ，等等)。
• 描述变形体的基本方程
弹性力学的研究方法
已知量：物体的形状和大小、材料性质、体力、边界上的面 力或约束。
于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的
三个应力分量，即
，所以称为平面应力问题。
•平面应力问题的应力、应变、位移分量
由基本特征推出：
z zx zy 0
( z 0)
（非独立）
应力分量：
x , y , xy ——x,y的函数
应变分量：
x , y , xy ——x,y的函数
• 这种平面问题模型下，所得到的结果能满足工程上的精度要求， 而分析计算工作量大大减少。
• 大量的固体力学问题都可以简化为平面问题。