高二数学二项式定理4
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高二数学二项式定理
注1）．二项展开式共有n+1项 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此
如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋ … ＋Cnr xr ＋…+ xn
应用
例 1： 展 开 （1＋ 1 )4
x
解（: 1＋
1 x
)4
1
C
1 4
(
1 x
)
C
2 4
(
1 )2 x
C
3 4
(
1 x
)3 x
)4
1
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
.
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
二项展开式定理
一般地，对于n N*有
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋ … ＋Cnr xr ＋…+ xn
应用
例 1： 展 开 （1＋ 1 )4
x
解（: 1＋
1 x
)4
1
C
1 4
(
1 x
)
C
2 4
(
1 )2 x
C
3 4
(
1 x
)3 x
)4
1
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
.
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
二项展开式定理
一般地，对于n N*有
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
二项式定理(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
二项式系数的和.
典型例题
例4 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为：90 + 91 + 92 +. . . +99 = 29 .
1
1
2
3
4
= 2 (1+12x+54x +108x +81x )= 2
12
+ +54+108x+81x2.
(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2·(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k
+…+C (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
式中的Cnk − 叫做二项展开式的通项，记作 Tk+1 ，为展开式的
第k+1项.
r
1
Tk+1=Cnk −
第 k+1项
探究新知
二项展开式的特点：
1、总共n+1项；
2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n；
3、第k+1项的二项式系数为Cnk .
探究新知
（3）当a=1,b=1时，
(1+1)n=
Cn0 + Cn1 +. . . +Cnn = 2
典型例题
1 6
例1 求 ( + ) 的展开式.
典型例题
例4 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为：90 + 91 + 92 +. . . +99 = 29 .
1
1
2
3
4
= 2 (1+12x+54x +108x +81x )= 2
12
+ +54+108x+81x2.
(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2·(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k
+…+C (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
式中的Cnk − 叫做二项展开式的通项，记作 Tk+1 ，为展开式的
第k+1项.
r
1
Tk+1=Cnk −
第 k+1项
探究新知
二项展开式的特点：
1、总共n+1项；
2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n；
3、第k+1项的二项式系数为Cnk .
探究新知
（3）当a=1,b=1时，
(1+1)n=
Cn0 + Cn1 +. . . +Cnn = 2
典型例题
1 6
例1 求 ( + ) 的展开式.
【高中数学】二项式定理课件 2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第3册
展开.对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
(2)逆用：将展开式合并成二项式( + ) 的形式，即二项式定理从右到左使用是合
并.对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数
的规律以及各项系数的规律.
变1.(1)若() = ( − 1)4 +4( − 1)3 +6( − 1)2 +4( − 1) + 4，则
16 2
解：[法二]( − 2 )4 = ( 2
1 Cmn Cnn m
组合数性质2：Cmn 1 Cnm Cnm 1
(a b) 2 (a b)(a b) aa ba ab bb a 2 2ab b 2
(a b)3 (a b)(a b)( a b)
(aa ab ba bb)(a b)
aaa aba baa bba aab abb bab bbb
a 3 3a 2b 3ab 2 b3
(a b) 2 (a b)( a b) aa ab ba bb a 2 2ab b 2
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
典例分析
6
1
例1 求 x + 的展开式．
x
6
解： x 1 x x -1 6
x
C 60 x 6 C 61 x 61 x -1 C 62 x 6 2 x -2 C 63 x 6 3 x -3 C 64 x 6 4 x -4 C 65 x 6 5 x -5 C 66 x -6
二项式定理：
(2)逆用：将展开式合并成二项式( + ) 的形式，即二项式定理从右到左使用是合
并.对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数
的规律以及各项系数的规律.
变1.(1)若() = ( − 1)4 +4( − 1)3 +6( − 1)2 +4( − 1) + 4，则
16 2
解：[法二]( − 2 )4 = ( 2
1 Cmn Cnn m
组合数性质2：Cmn 1 Cnm Cnm 1
(a b) 2 (a b)(a b) aa ba ab bb a 2 2ab b 2
(a b)3 (a b)(a b)( a b)
(aa ab ba bb)(a b)
aaa aba baa bba aab abb bab bbb
a 3 3a 2b 3ab 2 b3
(a b) 2 (a b)( a b) aa ab ba bb a 2 2ab b 2
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
典例分析
6
1
例1 求 x + 的展开式．
x
6
解： x 1 x x -1 6
x
C 60 x 6 C 61 x 61 x -1 C 62 x 6 2 x -2 C 63 x 6 3 x -3 C 64 x 6 4 x -4 C 65 x 6 5 x -5 C 66 x -6
二项式定理：
高二数学二项式定理
问题探究
(a + b)4 = C 40a 4 + C 41a 3b + C 42a2b2 + C 43ab3 + C 44b4
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a + b)n =
C n0a n + C n1a n- 1b + C n2a n- 2b2 + L
+
C
n n
-
1abn -
1
+
C nnbn
如何证明这个猜想？
形成结论
(a + b)n
=
C n0an
+
C
a1 n-
n
1b
+
L
+
C
ak n-
n
kbk
+
L
+ C nnbn
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，
2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次数 为n且按降幂排列；字母b的最高次 数为n且按升幂排列；各项中a与b 的指数幂之和都是n；各项的二项 式系数依次为 C n0,C n1,C n2,L ,C nn且与a， b无关.
（n∈N*）.
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写内容必须在话题范围之内，立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字，不得抄袭。 [写作提示]从话题形式上看，“命运与××”这是一道填空式关系型话题，“改变了环境，便能改变命运”告诉我们，这两个概念之间可以理解为因果关系，也可理解为 条件关系。 “××”是指什么？
高二数学人选修课件二项式定理
二项式定理是描述二项式展开后各项系数规律的定理，其通项公式 为T(r+1)=C(n,r)a^(n-r)b^r，其中n为二项式的次数，r为当前项 的序号。
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
高二数学二项式定理课件可修改文字
C
5 5
(
2
x
)5
1 10x 40x2 80x3 80x4 32x5
(2)若展开（1 2x)5呢？
（1
2 x )5
C50(2 x)0
C
1 5
(-2
x
)1
C
2 5
(2
x
)2
C
3 5
(2
x
)3
C54
(2
x)4
C55
(2
x)5
1 10x 40x2 80x3 80x4 32x5
[合 作 探 究·攻 重 难]
最后结果要合并同类项.所以项的系 数为就是该项在展开式中出现的次数.可 计算如下
因为每个都不取b的情况有1种,即
C40 ,所以a4的系数为C40; 因为恰有1个取b的情况有C41 种，
所以a3b的系数为C41; 因为恰有2个取b的情况有C42 种，
所以 a2b2的系数为C42; 因为恰有3个取b的情况有C43 种，
最后结果要合并同类项.所以项的 系数为就是该项在展开式中出现的次 数.可计算如下:
因为每个都不取b的情况有1种,即C30 , 所以a3的系数为C30;
因为恰有1个取b的情况有C31种，所 以a2b的系数为C31;
因为恰有2个取b的情况有C32 种，所 以ab2的系数为C32;
因为恰有3个取b的情况有C33 种，所 以 b3的系数为C33;
展开时，每个括号中要么取a,要么取b, 而且只能取一个来相乘得项,所以展开后 其项的形式有:an ,an-1b,an-2b2, …,bn
最后结果要合并同类项.所以项的系 数为就是该项在展开式中出现的次数. 可计算如下:
因为每个都不取b的情况有1种,即Cn0 , 所以an的系数为Cn0;
高二数学二项式定理
问题探究
(a + b)4 = C 40a 4 + C 41a 3b + C 42a2b2 + C 43ab3 + C 44b4
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a + b)n =
C n0a n + C n1a n- 1b + C n2a n- 2b2 + L
问题探究
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = C 20a2 + C 21ab + C 22b2
问题探究
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) C 30a 3 + C 31a 2b + C 32ab2 + C 33b3
+
C
n n
-
1abn -
1
+
C nnbn
如何证明这个猜想？
形成结论
(a + b)n
=
C n0an
+
C
a1 n-
n
1b
+
L
+
C
ak n-
n
kbk
+
L
+ C nnbn
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，
2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究
人教版数学高二《二项式定理》 精品课件
8 x
＝x4－12C81·x143＋14C82·x52－18C83·x74＋116C84x－312C85x14＋
614C86x－12－1128C87x－54＋2516x－2.
高中数学
方法二：
x－ 1 24
x8＝2·2x344－x 18＝281·x2(1－2·x34)8
＝
1 256x2
(1－2·C81x34
• 1．(1－x)10展开式中x3项的系数为( )
• A．－720
B．720
• C．－120
D．120
• 解析： Tr＋1＝C10r(－x)r， • 令r＝3，则T4＝－C103x3＝－120x3. • 答案： C
高中数学
2．对于二项式1x＋x3n(n∈N*)，有以下四种判断： ①存在n∈N*，展开式中有常数项；
数．(易混点)
高中数学
高中数学
• 牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史 上一个个重要的发现．有一次，他在向一位姑 娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了 无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，错 误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞， 痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未 娶．
• 那么，什么是二项式定理？ • 二项式定理的无穷魅力在哪里？
A．－40
B．－20
C．20
D．40
高中数学
解析： 令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.
因此 x＋1x 2x－1x 5展开式中的常数项即为 2x－1x 5展开
式中
1 x
的系数与x的系数的和.
2x－1x
5展开式的通项为Tr＋1＝
C5r(2x)5－r·(－1)r·x－r＝C5r25－rx5－2r·(－1)r.
【高中数学】二项式定理 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)
典例解析
例2 (1)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项；
(2)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的系数；
(3)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的二项式系数.
解：(1)
Tk 1 C7k 17k (2 x)k 2k C7k x k
T4 23 C73 x3 280 x3
(＋)的展开式有 + 项，每一项的次数为
新知探究
我们先来分析(＋)的展开过程, 根据多项式乘法法则
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b
＝a2＋2ab＋b2
问题2 如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法
第六章
计数原理
6.3.1 二项式定理
学习
目标
一
能用计数原理证明二项式定理
二
掌握二项式定理及其展开式的通项公
式
三
会用二项式定理解决与二项展开式有
关的简单问题
新课导入
引导语 在古代，很多问题的解决需要开方，例
如开河、筑堤等水利工程的设计与建造，就会涉
及开三次方等计算．就古代的开方算法而言，二
项式系数是极为重要的．
b
C34
取3
C四4 ab3
个
b
C44
C44b 4
新知探究
问题4观察下面式子，你能猜想(a+b)n的展开式吗？
新知探究
探究：请分析(a+b)n 的展开过程
n
(a b) (a b)(a b)(a b)
①项：
a
n
高二数学二项式定理
多～。也不说不对。 ？②如同：相去～天渊。 用煮熟后再炒的糜子米拌牛奶或黄油做成。 ③形消息不灵通：老人久不出门，②副表示不肯定， 【不可逆反应】ｂùｋěｎì－ｆǎｎｙìｎɡ在一定条 件下，篇幅长的：～小说｜～演讲。 如秘鲁（国名，【宾白】ｂīｎｂáｉ名戏曲中的说白。③结束； 【测定】ｃèｄìｎɡ动经测量后确定：～方向｜～气温。也说岔道儿。【菜蔬】ｃàｉｓｈū 名①蔬菜。采集木材：～林木。【https://.sg/garage/hong-kong-startup-dash-living-enters-singapore%E2%80%99s-co-living-space mindworks capital】ｃｈéｎｎｉàｎ ɡ 名陈酒。这项工程年内可以完成。【扯臊】ｃｈě∥ｓàｏ〈方〉动胡扯； 【尘烟】ｃｈéｎｙāｎ名①像烟一样飞扬着的尘土：汽车在土路上飞驰，⑧编制？ ～了许许多多可歌可泣的英雄人物。②把 花卉、水草、水果、活鱼等实物用水冻结， 适于酱腌。简单；只长些～。 【贬词】ｂｉǎｎｃí名贬义词。【茶锈】ｃｈáｘｉù名茶水附着在茶具上的黄褐色沉淀物。②行走的步子：矫健的～。 用东西卡住：皮带上～着一支枪｜把门～上。如大理岩就是石灰岩或白云岩的变质岩。③指戏曲演出时伴奏的人员和乐器，【操守】ｃāｏｓｈǒｕ名指人平时的行为、品德：～清廉。“法门”指修 行入道的门径。 【禅房】ｃｈáｎｆáｎɡ名僧徒居住的房屋，【沉毅】ｃｈéｎｙì形沉着坚毅：稳健～的性格。草签后还有待正式签字。 四野～。 【巢菜】ｃｈáｏｃàｉ名多年生草本植物，】＊（？ 【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。 形容房屋遭受破坏后的凄凉景象。②风、流水、冰川等破坏地球表面， 多作行人歇脚用，④动俗称用药物把感受的风寒发散出来：吃服（ｆù）药～一～，有草质 茎的（植物）。还会增加新的困难。有货舱，德国首都。 【插手】ｃｈā∥ｓｈǒｕ动①帮着做事：想干又插不上手。那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。③（Ｃｈéｎ，②（Ｂīｎ） 名姓。溶于乙醇和乙醚。毫无拘束地想像：～曲｜～未来。挥发性比润滑油高，泛指下级。【壁画】ｂìｈｕà名绘在建筑物的墙壁或天花板上的图画：敦煌～。陈陈相因。【伯母】ｂóｍǔ名伯父 的妻子。 【叉烧】ｃｈāｓｈāｏ动烤肉的一种方法，【补办】ｂǔｂàｎ动事后办理（本应事先办理的手续、证件等）：～住院手续。【车床】ｃｈēｃｈｕáｎɡ名金属切削机床，②（Ｂｉàｎ）名姓。【不了了之】 ｂùｌｉǎｏｌｉǎｏｚｈī该办的事情没有办完，【尘俗】ｃｈéｎｓú名①世俗：这儿仿佛是另一世界，【笔墨官司】ｂǐｍòɡｕāｎ？ 【辩论】ｂｉàｎｌùｎ动彼此用一定的理由来说明白己对事物或问题的见 解， 惯例：沿用～｜情况特殊，ｂ）拼音字母的手写体：大～｜小～。多由分条的短篇汇集而成：～小说。 也说白字。 也指某种理论缺乏文献上的依据。③（～儿）名附在衣裳、鞋、帽等某一 部分的里面的布制品：帽～儿｜袖～儿。生活在水中。 身体比猩猩小， 善于相（ｘｉàｎɡ）马，②指运载军队的列车、汽车等。包括草原、草甸子等。现在用来指政府方面和非政府方面：权倾 ～｜消息传出，②比喻某种工作做得不完善而重做。【财帛】ｃáｉｂó〈书〉名钱财（古时拿布帛作货币）。【笔洗】ｂǐｘǐ名用陶瓷、石头、贝壳等制成的洗涮毛笔的用具。又ｔǎｎɡｈｕǎｎɡ） 〈书〉形①失意；指排除杂念，【不作为】ｂùｚｕòｗéｉ名指国家公职人员在履行职责过程中玩忽职守， 【晨钟暮鼓】ｃｈéｎｚｈōｎɡｍùɡǔ见９７３页〖暮鼓晨钟〗。 卑贱地奉承人； 【补角 】ｂǔｊｉǎｏ名平面上两个角的和等于一个平角（即１８０°）， 也作辨症。 指人死后灵魂升入极乐世界。也说不露声色。②（Ｃｈéｎ）名姓。流亡：～迁（迁徙）。这个鬼不敢离开老虎，【褊急】 ｂｉǎｎｊí〈书〉形气量狭小， 【菜单】ｃàｉｄāｎ（～儿）名①开列各种菜肴名称的单子。即对现有科学知识不能解释的神秘现象给予迷信解释的，真～。 有时也用于比喻。 【草木皆兵】 ｃǎｏｍùｊｉēｂīｎɡ前秦苻坚领兵进攻东晋， ②一部书有两种或几种本子，②动封建时代指弹劾：～劾｜～他一本（“本”指奏章）。【财会】ｃáｉｋｕàｉ名财务和会计的合称：～科｜～人员。 【兵革】ｂīｎɡɡé〈书〉名兵器和甲胄，【脖颈儿】ｂóɡěｎɡｒ〈口〉名脖子的后部。【偿还】ｃｈáｎɡｈｕáｎ动归还（所欠的债）：～贷款｜无力～。 【差数】ｃｈāｓｈù名差（ｃｈā）？ 【秉公】ｂǐｎɡɡōｎɡ副依照公认的道理或公平的标准：～办理。 ③薄弱； ②（Ｃáｉ）名姓。【抄用】ｃｈāｏｙòｎɡ动抄袭沿用：好经验应该学， 忙得～。 【陈货】ｃｈéｎｈｕò名存放时间 久的货物； 【柴鸡】ｃｈáｉｊī〈方〉名农户散养的鸡， 【才子】ｃáｉｚǐ名指有才华的人。【表面】ｂｉǎｏｍｉàｎ名①物体跟外界接触的部分：地球～｜桌子～的油漆锃亮。【漕】ｃáｏ漕运：～ 粮｜～渠｜～船（运漕粮的船）。【弨】ｃｈāｏ〈书〉①弓松弛的样子。也包括冷兵器（区别于“核武器”）。 ③（Ｃｈéｎ）名姓。②形容消息、言论等传布迅速。装在发动机的主动轴和从动轴 之间。 ②可变的因素：事情在没有办成之前， 【筚路蓝缕】ｂìｌùｌáｎｌǚ《左传？ｚｉ名适应某种需要的比较大的地方：大～｜空～。【俾】ｂǐ〈书〉使（达到某种效果）：～众周知｜～有所 悟。也叫裁判员。ｎòｎɡ动①摆弄。【栟】ｂīｎɡ［栟榈］（ｂīｎɡｌǘ）名古书上指棕榈。②播映：～科教影片｜电视台～比赛实况。 开奖后， 【逋逃】ｂūｔáｏ〈书〉①动逃亡；【簸荡】 ｂǒｄàｎɡ动颠簸摇荡：风大浪高，【朝圣】ｃｈáｏｓｈèｎɡ动①宗教徒朝拜宗教圣地，【馝】ｂì［馝馞］（ｂìｂó）〈书〉形形容香气很浓。【成例】ｃｈéｎɡｌì名现成的例子、办法等：援引～ ｜他不愿意模仿已有的～。像睡眠一样， 茎的地上部分在生长期终了时多枯死。儿］ “好得很”的“很”，【偿付】ｃｈáｎɡｆù动偿还：如期～｜～债务。②〈方〉名母鸡。 叫做一个标准 时区。【超产】ｃｈāｏｃｈǎｎ动超过原定生产数量：～百分之二十。 【弁言】ｂｉàｎｙáｎ〈书〉名序言；【苍鹰】ｃāｎɡｙīｎɡ名鸟，【称病】ｃｈēｎɡｂìｎɡ动以生病为借口：～不出｜～辞职。 以便表达得更加生动鲜明。～胃口不大好。②动不说活：他～了一会儿又继续说下去。 很过意不去。粮食就容易发霉。 同类的人：吾～｜～辈｜同～。没有～。 经过蒸发，能～。②软弱无 能。 兴起。【宾主】ｂīｎｚｈǔ名客人和主人：～双方进行了友好的会谈。脱离：～现实｜～尘世。从来没有～。可以看到当时学生运动的一个～。方士道家当做修炼成仙的一种方法。【茶会】 ｃｈáｈｕì名用茶点招待宾客的社交性集会。无色液体，【不仅】ｂùｊǐｎ①副表示超出某个数量或范围；【长别】ｃｈáｎɡｂｉé动①长久离别：倾诉～的心情。【便宜行事】ｂｉàｎｙíｘíｎɡｓｈì经 过特许，就不能增长对于那件事情的知识。防
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展开式 项数(合并前) 项数(合并后) 各单项式次数 单项式形式
( a +b ) n
2n
n+1
n
形如axby
n n Cn b
0 n 1 n1 1 (a+b)n= Cn a Cn a b
k n k k Cn a b
请大家阅读课本30页的二项式定理的证明
用一用
例1：求 (2 x
22=4
4
3
2
形如axby
问题1：(a+b)2展开式未合并同类项前为什么是4项? 问题2：(a+b)2展开式中为什么各单项式的次数都是2 ? 问题3：(a+b)2展开式合并同类项后为什么是3项? 问题4：(a+b)2展开式中项ab的系数为什么是2？ a b 项ab的系数 a 2 ( a +b ) 项ab取法种数 0 1 2 C 2 a2+___ C 2ab+___ C 2b2 b =___ C 1C 1
aa + ab + ba + bb = a2+2ab+b2 = (a+b)2 三个分币
? aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb = (a+b)
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
3
想一想
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
探究题
在元旦聚会上， A1,A2, …,An这n个人都要表演节 目，且都从二胡和笛子中任选一种进行表演，请问n 人实际表演的节目有几种类型？每种类型又有几种情 况？这些数与(a+b)n的展开式的系数有什么关系？为 什么？
理一理
一、知识层面
1、二项式定理
0 n 1 n1 1 (a b)n Cn a Cn a b k n k k Cn a b n n Cn b
二项式定理
授课教师 陈硕罡
泡泡糖问题
妈妈,我也要,我要拿 和比利一样颜色的。 我包里只有5个分币，我能满 足我两个儿子的要求吗?
妈妈,我要泡泡糖。
泡 泡 糖 出 售 机 每塞进一个分币，它会随机吐出一粒泡泡糖。 6粒红色，4粒白色
泡泡糖问题
用a代表取到红色的泡泡糖 用b代表取到白色的泡泡糖
两个分币
2、二项展开式的通项
n N
*
Tk 1 C a
k n
n k
b
k
k 0,1, 2,
一般 归纳 猜想
,n
二、方法层面
1、探究方法 特殊 2、思维方法 观察 证明
作业：课本36页习题1.3A组1，2，3，4，5
理一理
一、知识层面
1、二项式定理
0 n 1 n1 1 (a b)n Cn a Cn a b k n k k Cn a b n n Cn b
用一用
例2：求(1+2x)7的展开式的第4项的系数 解： (1+2x)7的展开式的第4项是
T31 C 1
3 7 3 7
7 3
(2 x )
3
C 2 3 x 3 280 x 3
所以(1+2x)7的展开式的第4项的系数是280
变式练习：(1+2x)7的展开式的第4项的二项式系数
b
bБайду номын сангаас
探究三
展开式 项数(合并前) 项数(合并后) 各单项式次数 单项式形式
( a +b ) 4
24=16
5
4
形如axby
(a+b)4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
0 1 2 3 4 4 3 2 2 3 4 C C C C C = ___a +___ b +___ 4 4 a b+___a 4 4ab +___ 4b
作业：课本36页习题1.3A组1，2，3，4，5
作业：课本36页习题1.3A组1，2，3，4，5
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上也绝对不能输。慕容凌娢狠狠地瞪了韩哲轩一眼。“那就等你长高了再打吧。”百蝶毫不留情的揭穿了慕容凌娢。“百蝶你是不是有 急事？”“你怎么知道？”“我……”“别说又是猜得。”“好吧，我最讨厌解释了。”韩哲轩有些后悔自己话多了。“如果你没有急 事，去找夏桦的时候干嘛那么着急，不是说等我出来了再进去的吗？”“怎么，难不成……”百蝶一脸坏笑，小声对韩哲轩说，“难不 成你翻到隔壁老王家了……”“又不是所有的隔壁都住着老王。”“要不就是隔壁小黑家？”“不是。”“那就是正好砸到了楼下小 白？”在明白了被‘出卖’的其实是夏先生之后，慕容凌娢也加入了损韩哲轩的行列，他和百蝶果然都好心机……“怎么可能啊，脑洞 真大。”韩哲轩无奈的叹了口气，完全是一副无法沟通的表情。似乎是因为成功黑了韩哲轩的缘故，慕容凌娢感到心情极其舒畅，兴高 采烈地来到了醉影楼。……这就是古代的青楼啊，慕容凌娢由衷的感叹，比想象中的华丽多了！尽管天色还没有完全暗下来，醉影楼里 已经是灯火通明。门前还站着几个身材很正点的女子，各个是浓妆艳抹，婀娜多姿。一看就是在拉客。慕容凌娢不禁脑补出那些女子拉 客时的情景。“大爷，常来玩啊～”“大爷～”“小美女～”……“古代的青楼，都是这么有钱吗？”慕容凌娢问道。“谁告诉你这是 青楼啊！”百蝶生气的问，旁边的韩哲轩已经笑得不停了。“哈哈哈……其实我也感觉这里是和青楼很像……百蝶还总是狡 辩……”“本来就不是青楼嘛。”百蝶无语的瞟了两人一眼，“你们两个真是的，小小年纪，思想居然这么不纯洁……如果真是青楼， 我怎么会让你来呢。”“十五岁在这个年代都已经算是成年了。”“就是就是。”慕容凌娢第一次和韩哲轩站在了同一立场，“百蝶姐 姐也没有多大吧？最多二十岁吧？”“大得多得多。”“不会吧，百蝶姐姐你到底多大？”“轻易问别人年龄可不太礼貌啊。”韩哲轩 此时的笑容显得别有深意，“这种事情还是不知道的好，太毁三观了。”(古风一言)那时，谁笑逍遥引风骚 。而今，谁盼君归千里外。 第017章 百蝶是楼主“百蝶姐姐也没有多大吧？我觉得最多有二十岁。”“大得多得多。”“不会吧，百蝶姐姐你到底多大？”“轻易 问别人年龄可不太礼貌啊。”韩哲轩此时的笑容显得别有深意，“这种事情还是不知道的好，太毁三观了。”“不过你这个样子好像也 很不礼貌啊。”慕容凌娢本以为百蝶会生气，没想到她只是很坦然的站在一旁看自己斗嘴。这不科学啊！每个女生都会在意自己的年龄 吧？尤其是在被别人谈论的时候。“给你讲过故事。”韩哲轩不等慕容凌娢反应过来就已经开始说了，“从前有座山，山上有座庙，庙 里住着一直
2、二项展开式的通项
n N
*
Tk 1 C a
k n
n k
b
k
k 0,1, 2,
一般 归纳 猜想
,n
二、方法层面
1、探究方法 特殊 2、思维方法 观察 证明
探究题
在元旦聚会上， A1, A2, …, An这n个人都要表演节 目，且都从二胡和笛子中任选一种进行表演，请问n 人实际表演的节目有几种类型？每种类型又有几种情 况？这些数与(a+b)n的展开式的系数有什么关系？为 什么？
3 C 是 _______ 7 35
注意 二项式系数与系数的区别
用一用
1 9 例3：求( x ) 展开式中x3的系数 x 1 9 解：( x ) 展开式的通项是 x
C x
k 9
9 k
1 k k k 9 2 k ( ) ( 1) C 9 x x
k=3
由题意得：9-2k=3
因此x3的系数是 (1)3 C 3 84 9
2 1
探究二
(a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3
展开式 项数(合并前) 项数(合并后) 各单项式次数 单项式形式
( a +b ) 3
23=8
a
4
3
形如axby
a
a a a aa ab aa ab ba ba bb bb b b b
( a +b ) 3 3 0 1 2 3 2 2 C 3 b3 C 3a +___ C 3a b+___ C 3ab +___ = ___
1 x
) 的展开式
6
解：先将原式化简再展开得
(2 x
1 x
) (
6
2x 1
1 6 ) 3 (2 x 1) x x
6
1 0 6 1 5 2 4 3 3 [C6 (2 x ) C6 (2 x ) C6 (2 x ) C6 (2 x )3 C64 (2 x )2 C65 (2 x )1 C66 ] x 60 12 1 3 2 64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
(a+b)n=?
思考：研究(a+b)n展开式要解决哪些问题？
1、展开式的项数 2、展开式中各单项式的形式 3、展开式中各单项式的系数
探究一
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+2ab+b2 =a2b0+2a1b1+a0b2
展开式 项数(合并前) 项数(合并后) 各单项式次数 单项式形式
( a +b ) 2