用数学模型巧解排列组合问题
解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型--“小球入盒”模型
解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型--“小球入盒”
模型
凤斌;叶菊
【期刊名称】《青苹果：高中版》
【年(卷),期】2016(000)005
【摘要】数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段。
排列组合问题的情景设置千变万化，“小球入盒”是一类典型的数学模型，将其用来解读排列、组合问题，可以搭起挖掘知识的内涵和外延的平台，直击目标。
【总页数】3页(P42-44)
【作者】凤斌;叶菊
【作者单位】安徽省宿州二中
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型——『小球入盒』模型 [J], 凤斌;叶菊
2.排列组合中一类分组分配问题的统一球盒模型 [J], 姜保庆;郭旌巍;张忠军
3.利用"球入盒"模型解决分组问题 [J], 叶德凤
4.解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型——“小球入盒”模型 [J], 凤
斌;叶菊;
5.利用“球入盒”模型解决分组问题 [J], 司振玲
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专题10-1 排列组合20种模型方法归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(原卷版)
专题10-1 排列组合20种模型方法归类目录【题型一】基础：相邻与不相邻 (2)【题型二】球放盒子：先分组后排列 (2)【题型三】平均分配：医生与护士型 (3)【题型四】特殊元素（位置）优先排 (3)【题型五】模型1：下电梯型 (4)【题型六】模型2：公交车模型 (4)【题型七】模型3：排课表 (5)【题型八】模型4：节假日值班 (6)【题型九】模型5：书架插书型（不改变顺序） (7)【题型十】模型6：地图染色 (7)【题型十一】模型7：几何体染色 (8)【题型十二】模型8：相同元素 (9)【题型十三】模型9：停车位、空座位（相同元素） (9)【题型十四】模型10：走路口（相同元素） (10)【题型十五】模型11：上台阶（相同元素） (11)【题型十六】模型12：“波浪数”型（高低站位） (12)【题型十七】模型13：配对型 (13)【题型十八】模型14：电路图型 (13)【题型十九】模型15：机器人跳动型 (14)【题型二十】难点：多重限制与分类讨论 (15)真题再现 (16)模拟检测 (17)【题型一】基础：相邻与不相邻【典例分析】阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有()A．144种B．216种C．288种D．432种1.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有A．72种B．108种C．36种D．144种2.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30B．36C．60D．723.现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A．12B．24C．48D．60【题型二】球放盒子：先分组后排列【典例分析】我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有A．300种B．150种C．120种D．90种【变式演练】1.我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种.2.将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法.3.某小区因疫情需求，物业把招募的5名志原者中分配到3处核酸采样点，每处采样点至少分配一名，则不同的分配方法共有（）A．150 种B．180 种C．200 种D．280 种【题型三】平均分配：医生与护士型【典例分析】某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？（）A．3180B．3240C．3600D．3660【变式演练】1.袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（）A．12344812161040C C C CC⋅⋅⋅B．2134481216240C C C CC⋅⋅⋅C．21144812161040C C C CC⋅⋅⋅D．13424812161040C C C CC⋅⋅⋅2.某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为A．4680B．4770C．5040D．52003.将6名志愿者分配到3个社区进行核酸检测志愿服务，若志愿者甲和乙必须在一起，且每个社区至少有一名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．150种B．180种C．360种D．540种【题型四】特殊元素（位置）优先排【典例分析】某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为A．600B．812C．1200D．1632【变式演练】1.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，1.女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．2.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有____________多少种参赛方法（用数字作答）．【题型五】模型1：下电梯型【典例分析】电梯有6位乘客，在5层楼房的每一层停留，如果有两位乘客从同一层出去，另两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，则不同的下楼方法的种类数是（）A．1600B．2700C．5400D．10800【变式演练】1.有3人同时从底楼进入同一电梯，他们各自随机在第2至第7楼的任一楼走出电梯．如果电梯正常运行，那么恰有两人在第4楼走出电梯的概率是（）A．172B．112C．572D．52162.甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有A．210种B．252种C．343种D．336种3.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17，18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为14，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.【题型六】模型2：公交车模型【典例分析】北京公交101路是北京最早的无轨电车之一，最早可追溯至1957年.游客甲与乙同时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的101路公交车，甲将在朝阳门外站之前的任意一站下车，乙将在神路街站之前的任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（ ）A ．720 B ．25 C ．920 D ．12【变式演练】1.车上有6名乘客，沿途有3个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（ ）A ．36B ．63C ．36AD ．36C2.有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G 77从武汉出发（G 77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（ ）A ．24种B ．36种C ．81种D ．256种3.某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为0123,,,A A A A ，现有甲、乙两人同时从0A 站点上车，且他们中的每个人在站点()0,1,2,3i A i =下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（ ）A ．23 B ．34C ．35D ．12【题型七】模型3：排课表【典例分析】某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ）A ．18B ．48C ．50D ．54【变式演练】1.某学校为高一年级排周一上午的课表，共5节课，需排语文､数学､英语､生物､地理各一节，要求语文､英语之间恰排1门其它学科，则不同的排法数是（）A．18B．26C．36D．482.某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共8节课，上午5节，下午3节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）A．312种B．300种C．52种D．50种3.大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表，语文､数学､外语､物理､化学各一节，现要求数学和物理不相邻，且都不排在第一节，则课表排法的种数为（）A．24B．36C．72D．144【题型八】模型4：节假日值班【典例分析】甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A．13B．25C．1130D．310【变式演练】1.2021年7月20日郑州特大暴雨引发洪灾，各地志愿者积极赴郑州救灾.某志愿小组共5人，随机分配4人去值班，每人只需值班一天，若前两天每天1人，第三天2人，且其中的甲、乙两人不同在第三天值班，则满足条件的排法共有（）A．72种B．60种C．54种D．48种2.某校安排甲、乙、丙三位老师担任五月一日至五月五日的值班工作，每天1人值班，每人不能连续两天值班，且每人都参与值班，则不同的安排方法共有（）种A．14B．16C．42D．483.某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（）A．甲乙都不选的方案共有432种B．选甲不选乙的方案共有216种C．甲乙都选的方案共有96种D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种【题型九】模型5：书架插书型（不改变顺序）【典例分析】书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为（ ）.A ．60B ．120C ．336D ．504【变式演练】1.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（ ）.A ．210种B ．252种C ．504种D ．505种2.10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（ ）A ．2575C AB ．2275C A C ．2273C AD ．2274C A3.某同学计划用他姓名的首字母,T X ，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码．若,T X 必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（ ）A ．864B ．1009C ．1225D ．1441【题型十】模型6：地图染色【典例分析】在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（ ）A ．1440B ．720C ．1920D ．960比如，以下这俩图，就是“拓扑”一致的结构【变式演练】1.如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A．480B．720C．1080D．12002.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A．192B．336C．600D．以上答案均不对3.用五种不同的颜色给图中ABCDEF六个小长方形区域涂色，要求颜色齐全且有公共边的区域颜色不同，则共有涂色方法A．720种B．840种C．960种D．1080种【题型十一】模型7：几何体染色【典例分析】ABC A B C的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂用五种不同颜色给三棱柱111不同颜色，则不同的涂法有（）A．840种B．1200种C．1800种D．1920种【提分秘籍】基本规律立体型结构，可以“拍扁了”，“拓扑”为平面型染色，这是几何体染色的一个小技巧【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A．420B．600C．720D．7802.过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（）A．18B．30C．36D．543.给正方体的八个顶点涂色，要求同一条棱的两个端点不同色，现有三种颜色可供选择，不同的涂色方法有________种．【题型十二】模型8：相同元素【典例分析】将1个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为()A．96B．114C．128D．136【变式演练】1.有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为A．78B．102C．114D．1202.由1,1,2,2,3,3,4,4可组成不同的四位数的个数为__________．3.把a，a，a，b，b，α，β排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有______种．【题型十三】模型9：停车位、空座位（相同元素）【典例分析】某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是A．514B．1528C．914D．67【变式演练】1.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.2.．某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同的停放方法共有( )A ．16种B ．18种C ．24种D ．32种3.某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众前来就座，若他们每两人都不能相邻，且要求每人左右至多两个空位，则不同的坐法共有A ．36种B ．42种C ．48种D ．96种【题型十四】模型10：走路口（相同元素）【典例分析】如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止，则下列说法错误的是（ ）A ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有9种B ．甲､乙两人相遇的概率为81100C ．甲乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲从M 到达N 处的方法有20种【变式演练】1.夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在M处，学校在N处，AB段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（）条．A．23B．24C．25D．262.如图，小明从街道的A处出发，选择最短路径到达B处参加志愿者活动，在小明从A处到达B处的过程中，途径C处的概率为（）A．1063B．3063C．635D．18353.如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（）A．5B．6C．7D．8【题型十五】模型11：上台阶（相同元素）【典例分析】有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.【变式演练】1.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（）A．45种B．36种C．28种D．25种2.共有10级台阶，某人一步可跨一级台阶，也可跨两级台阶或三级台阶，则他恰好6步上完台阶的方法种数是（）A．30B．90C．75D．603.某人从上一层到二层需跨10级台阶. 他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步. 从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶. 则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A．6B．8C．10D．12【题型十六】模型12：“波浪数”型（高低站位）【典例分析】在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（）A．13B．16C．18D．1121.因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有（）种．A．181B．109C．84D．962.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A．120B．112C．110D．163.几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（）A．23B．24C．32D．33【题型十七】模型13：配对型【典例分析】新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（）A．310B．13C．1130D．25【变式演练】1.．由5双不同的鞋中任取4只，其中至少有两只配成一双的取法共有()A．130种B．140种C．250种D．205种2.柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是（）A．25B．35C．45D．143.—对夫妇带着他们的两个小孩一起去坐缆车，他们随机地坐在了一排且连在一起的4个座位上（一人一座）．为安全起见，管理方要求每个小孩旁边要有家长相邻陪坐，则他们4人的坐法符合安全规定的概率是（）A．13B．12C．23D．56【题型十八】模型14：电路图型【典例分析】如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，则因电阻断路的可能性的种数为（）A．12B．28C．54D．63【变式演练】1.如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，则因电阻断路的可能性的种数为（）A．12B．28C．54D．632.如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（）种.A．9B．11C．13D．153.如图，在由开关组A与B组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有（）种A．6B．5C．18D．21【题型十九】模型15：机器人跳动型【典例分析】一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有种.A．105B．95C．85D．75【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A．5B．25C．55D．75⨯=个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形2.如图，由6636的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段AB，那么不同的走法共有______种．3.动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（）A．7B．9C．11D．13【题型二十】难点：多重限制与分类讨论【典例分析】小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）A．20160B．20220C．20280D．20340【变式演练】1.“迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛．自由式滑雪接力赛设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目．现安排两名男生和两名女生组队参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，则共有___种出场顺序与项目展示方案．（用数字作答）2.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅰ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（ ）A ．87B ．95C ．100D ．1033.某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任，每个班级安排1个班主任．由于某种原因，数学老师不担任A 班的班主任，英语老师不担任B 班的班主任，化学老师不担C 班和D 班的班主任，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．1．（辽宁·高考真题）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A．46801010100C C C ⋅ B ．64801010100C C C ⋅ C ．46802010100C C C ⋅ D ．64802010100C C C ⋅2．（全国·高考真题（文））将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填 ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种3．（北京·高考真题（文））某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）A ．6B ．12C ．15D ．304．（·全国·高考真题（文））2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种5．（全国·高考真题（文））元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（ ）A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种6．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种7．（·全国·高考真题（文））5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（）A．10种B．20种C．25种D．32种8．（·全国·高考真题）某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，则至少有1名女生当选的不同的选法有（）A．27种B．48种C．21种D．24种9．（山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A．12B．120C．1440D．1728010．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种11．（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.812．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种13．（2019·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．11161．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）A．25种B．50种C．300种D．150种2．编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每个座位坐一位学生，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是（）A．23B．13C．16D．563．某地为遏制新冠肺炎病毒传播，要安排3个核酸采样队到2个中风险小区做核酸采样，每个核酸采样队只能选择去一个中风险小区，每个中风险小区里至少有一个核酸采样队，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种4．某班9名同学参加植树活动，若将9名同学分成挖土､植树､浇水3个小组，每组3人，则甲､乙､丙任何2人在不同小组的安排方法的种数为（）A．90B．180C．540D．32405．有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（）A．17B．67C．78D．186．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；7．入冬以来，梁老师准备了4个不同的烤火炉，全部分发给1,2,3楼的三个办公室（每层楼各有一个办公室）.1，2楼的老师反映办公室有点冷，所以1，2楼的每个办公室至少需要1个烤火队，3楼老师表示不要也可以.则梁老师共有多少种分发烤火炉的方法（）A．108B．36C．50D．868．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A､B､C､D､E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A．45B．12C．47D．389．某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数______．10．若方程12348x x x x+++=，其中22x=，则方程的正整数解得个数为______.11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是________.12．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为______。
高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型
1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m nn n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题知识内容排列组合问题的常见模型1解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．排队问题【例1】 三个女生和五个男生排成一排⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ ⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ ⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？典例分析【例2】6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？【例3】7名同学排队照相．⑴若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例4】6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例5】 ABCDE 五个字母排成一排，若ABC 的位置关系必须按A 在前、B 居中、C 在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．【例6】 用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个（用数字作答）．【例7】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种 B ．960种C ．720种D ．480种【例8】 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A【例9】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例10】 在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【例11】 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．【例13】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例14】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．360B ．288C ．216D ．96【例15】 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）．【例16】 在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）种．A ．288B ．576C ．864D ．1152【例17】 从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例18】 从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例19】 6个人坐在一排10个座位上，问⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种? ⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例20】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．360B ．288C ．216D ．96【例21】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C A D ．2285C A【例22】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例23】 2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（ ）A ．36种B ．108种C ．216种D ．432种数字问题 【例24】 给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？ ⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？【例25】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例26】 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例27】 用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足12233445a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？【例28】 用0129L ，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例29】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例30】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有 种． 432；【例31】 有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ） A ．1344种B ．1248种C ．1056种D ．960种【例32】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种（用数字作答）．【例33】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例34】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．48个 B．36个 C．24个 D．18个，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到个这样的【例35】从1238910不同偶数？【例36】求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字【例37】用数字0123456之和为偶数的四位数共有个（用数学作答）．，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的【例38】从012345个数为（）A．300 B．216 C．180 D．162【例39】 从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A ．300B ．216C ．180D ．162【例40】 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑵上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑶⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例41】 用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例42】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种（用数字作答）．【例43】 在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【例44】 由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则19a =_____．A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430【例45】 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=，其中有实数根的有几个？【例46】 从{}32101234，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?。
14种策略7大模型绝杀排列组合
14种策略7大模型“绝杀”排列组合排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握模型和解题方法，识别并化归到模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径。
第一部分——组合的常见技巧策略一：合理分类与准确分步策略分类相加:每类方法都能独立地完成这件事 ；分步相乘:只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
【例1】有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是法语译员，另外两名是英、法语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译法语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？【解析】：按只会英语的有4名、3名、2名分类4431422456525524C C C C C C C C ++【例2】见后面【例19】【特别提醒】 在解排列组合问题时，一定要以两个原理为核心。
按元素的性质分类，按事情发生的过程分步。
综合题通常是整体分类再局部分步。
【类题演练】1、360的正约数（包括1和360）共有 个。
（答案24）2、工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有____种 （答案15）；3、公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种 （答案36）；4、f 是集合{}4,5,6M =到集合{}1,0,1N =-的映射。
（答案①7；②9） ①若(4)(5)f f +(6)f =，则映射共有 个 ； ②若()3xf x +为奇数，则映射共有 个。
5、（2010湖南卷理科7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） （答案B ）（A ）10 （B ） 11 （C ）12 （D ）156、（2010浙江卷17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。
高中数学《排列组合的常见模型》基础知识与练习题(含答案)
高中数学《排列组合的常见模型》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。
例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =⨯=种2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。
例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。
从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。
3310785N C C =−=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数mn A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。
但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。
例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。
解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。
所以共有213433108C C A =种方案（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。
例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有44A 种位置，第二步考虑甲乙自身顺序，有22A 种位置，所以排法的总数为424248N A A =⋅=种2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序例如：有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从5个空中选择2个插入进去，即有25C 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。
高中数学排列组合中几种常见的数学模型
高中数学排列组合中几种常见的数学模型作者：林子碧来源：《新课程学习·上》2014年第08期摘要：以常见的排列组合试题为例，分析了各种排列组合中的数学模型，以期帮助学生更快更准确地解决排列组合问题。
关键词：高中数学；数学模型；排列组合排列组合问题是高考中必考的一个类型题，常常单独命题或与概率内容等相结合，一般以较容易题出现，但由于解这类问题时方法灵活，切人点多，且抽象性极强，在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以又成为高中学生学习的难点之一。
故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解，找出问题的切入点，建立合理的数学模型，将问题简单化、常规化。
一、特殊元素优先数学模型对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或其他位置，这种模型称为“特殊元素优先数学模型”。
例1.用0，1，2，3，4，5这六个数字可组成无重复数字的四位偶数____个。
（用数字作答）解：先安排四位偶数的个位上的数字（优先考虑）。
无重复数字的四位偶数中如果个位数是0共有C■A■个，同时如果个位数是2或4共有C■C■A■=96个，所以，重复数字的四位偶数共有60+96=156个。
点评：特殊元素优先法是比较容易入手的一种方法，在处理此类问题时一是要注意优先考虑有要求的特殊位置的元素，二是要注意与分步计数原理结合运用。
二、捆绑式数学模型对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排，这种模型称为“捆绑式数学模型”。
這种模型分为两种，一种是相邻元素要全排列，一种是相邻元素是组合问题，不用排列。
例2.四个工人去住旅店，旅店只剩下三个房间，要求四人中必须有两个住在一个房间，另两个房间各住一人，问共有多少种不同的安排方法？解：第一步：把四个工人中的二个捆绑在一起，共有C■=6种方法；第二步：把四个工人看成三个工人进行排列，共有A■=6种方法。
高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法(含答案)
高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动好玩，但题型多样，思路敏捷，因此解决排列组合问题，首先要仔细审题，弄清晰是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采纳合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.驾驭解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简洁的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的实力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类方法，在第1类方法中有m种不同的方法，在第2类方法1中有m种不同的方法，…，在第n类方法中有n m种不同的方法，那么完成这件2事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，须要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有2m种1不同的方法，…，做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区分分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事务的一个阶段，不能完成整个事务．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.仔细审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即实行分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必需驾驭一些常用的解题策略一.特别元素和特别位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特别要求,应当优先支配,位置.先排末位共有1C3然后排首位共有1C4最终排其它位置共有3A4434由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合常见题型在数学建模中的应用
排列组合常见题型在数学建模中的应用莆田市仙游县华侨中学陈炳泉摘要：排列组合作为高中数学难点知识之一，有着其独特的解题思维，关键在于数学建模中将实际问题抽象为数学问题.答题的灵活往往是造成解题困难的直接原因.掌握排列组合基本原理，解题做到不重不漏，往往能给解题的准确带来显著的效果.常见的解题方法有捆绑法、插空法、优先法、隔板法等.关键词：数学建模；核心素养；排列组合；先分堆再分配排列组合常与概率问题作为高考重点,每年的全国高考题都有一道大题出现,而且都是以解答题的方式出现.排列组合是在生活中提炼出来的,因此,解决目前社会生产生活中遇到的问题必须使用排列组合的基本思想、方法和技能,把实际问题转化为需要的数学模型.数学建模是现实生活与数学连接的纽带,是数学核心素养、育人目标的具体体现.计数问题是数学中的重要研究对象之一,分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题最基本、最重要的的方法,它们为解决很多问题提供了思想和工具.在本文中,主要运用数学核心素养之数学建模研究排列、组合常见的几种考题类型以及题型的扩充和推广.1数字问题模型【例题1】(1)求4320的不同正约数的个数;(2)求这些正约数的和。
解析(1):这是一道分步乘法计数原理的应用题目,但题目中并无明确的分步步骤,这就需要我们自己来确定一个分步步骤.由于题目要求4320的正约数,因此我们将4320用从小到大的不同质因数的幂之积来表示,即4320=25·33·51.容易看出,4320的正约数的质因数必在2, 3,5中.则可根据分步计数原理进行求解.解:设4320的正约数为N=2n·3m·5r,则n可取0,1,2,3, 4,5六个值;m可取0,1,2,3四个值;r可取0,1两个值.∴所求的正约数的个数为6×4×2=48个.解析(2):题目乍看感觉无从下手,其实我们根据(1)中得出的结论可以很容易看出,求这些正约数的和即求20·30·50+21·30·50+22·30·50+…+25·33·51,而这个式子正是(20+21+22+23+24+25)(30+31+32+33)(50+51)的展开式.因此,题意就转为求上式的和.解:(20+21+22+23+24+25)(30+31+32+33)(50+51)=20(1-26)1-2×30(1-34)1-3×50(1-52)1-5=63×40×6=15120.2分步乘法计数原理例:(1)从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有多少种?(2)6个人要去巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科这四个城市中的某个城市游览,且甲、乙两人不去巴黎游览.则不同的选择方案共有多少种?解析:根据题目的限制:甲、乙不去巴黎,则应首先考虑甲、乙和巴黎.其次,这两道题看似差不多,而实际上(1)中是四个城市都必须有人去,而(2)中则是6个人必须都去,但不一定每个城市都必须要有人去.所以,考虑问题(1)要以“城市”为主,问题(2)则以“人”为主.解:(1)去巴黎的人除甲、乙外从剩下的4人当中选一个人,去伦敦的有5个人可选,去悉尼有4人可选,去莫斯科有3人可选.∴不同的选择方案共有4×5×4×3=240种. (2)甲和乙有3个城市可选,而其他4人均有4个城市可选.∴不同的选择方案共有3×3×4×4×4×4=2304种.3涂色问题模型【例题2】一个同心圆行花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为n(n≥4,nϵN*)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花[1].(1)如图1,圆环分成的4等分为a1,a2,a3,a4,有多少种不同的种植方法?(2)如图2,圆环分成的n等分,a1,a2,a3,…a n,有多少种不同的种植方法?解:(1)如图1,当a1与a3不同颜色时,有A32×1×1=6种,当a1与a3相同颜色时,有A31×2×2=12种.∴共有S(4)=6+12=图1图25218种.(2)如图2,圆环分为n等份,对a1有3种不同的种法,对a2,a3,a4,…a n都有两种不同的种法,但这样的种法只能保证a i-1与a i(i=1,2,3,…n-1)不同颜色,但不能保证a1与a n不同颜色.于是,一类是a n与a1不同色的种法,这是符合要求的,记为S(n)(n≥4)种,另一类是a n与a1同色的种法,这时可以把a n与a1同色看成一部分,这种种法相当于对n-1种部分要求的种法,记为S（n-1),共3×2n-1种种法.则S(n)+S(n-1)=3×2n-1,即S(n)-2n=-〔S(n-1)-2n-1〕.∴〔S(n-1)-2n〕(n≥4)数列是首项为S(4)-24,公比为-1的等比数列.由S(4)=18得:S(n)-2n=(18-24)(-1)n-4∴S(n)=2n+2·(-1)n-4.【点评】图形涂色问题是利用两个原理处理的一种对能力要求较高的问题,需要特别关注图形的特征,有多少块,用多少种颜色.4排队问题模型【例题3】三个男生和四个女生按下列条件排成一排,有多少种排法?(1)男生互不相邻;(2)男女生间隔相排;(3)甲、乙两人必须相邻;(4)男生排在一起,女生排在一起;(5)甲不站左端,也不站右端;(6)甲、乙站两端;(7)甲不站左端,乙不站右端;(8)甲在乙前面(不一定相邻).解析:(1)解决间隔排列问题常用“插空法”,也就是先排不需要间隔(可以相邻)的元素,再将需要间隔的元素用插空方式插进来即可.∴先考虑女生全排有A44种,形成5个空隙,再将3个男生任意插入5个空中,有A53种.∴共有A44×A53=1440种.(2)这题仍是采用插空法,所不同的是,两种元素都不能间隔.显然,女生或男生之间必须相差1的排法才能满足题意.因此,女生全排A44种,为了满足条件,剩下的3个男生必须只能在4位女生中间的3个空位排,∴共有A44×A33=144种.(3)像这类有些元素必须要安排在一起的问题,常用“捆绑法”解决,即先排集团内部的元素(甲、乙),再把该集团作为一个整体,看成一个元素,然后与其他剩余的元素进行全排即可.∴共有A22×A66=1440种.(4)同(3),这题仍是相邻问题,但是这题的两种元素都分别需要安排在一起.一样的道理,男生内部排法有A33种,女生内部排法有A44种,∴共有A33×A44×A22=288种. (5)因甲不能站在左右端的任一位置,故第一步先让甲站在除两端以外的位置上,有A51种站法;第二步再让余下的6个人任意站在其他6个位置,有A66种,∴共有A51×A66=3600种.(6)首先考虑特殊元素,让甲、乙站两端有A22种,再让其他5个人任意站在中间5个位置,有A55种.∴共有A22×A55= 240种.(7)甲在左端的站法有A55种,乙在右端的站法有A55种,而甲在左端,乙在右端的站法有A44种,故共有A66-2A55+A44=504种.(本题采用间接法解题较简单,有时候根据题目的方向,采用直接法会比较简单.)(8)不考虑其他元素时,仅对甲、乙两人进行排列,有A22种,其中甲在乙前面的排法只有1种,因此可以看做甲在乙前面的比例为1A22,因此,七个人全排时有A77种,其中满足甲在乙前的排法占1A22,∴共有A77×1A22=2520种.以上是排列组合几种常见的题型,排列组合的题目贵在灵活,重在数学建模,通过对实际问题的简化和抽象后,用计数原理建立模型,用数学方法解决问题,再回到实际问题中解释,主要包括分析抽象、建立模型、求解模型.但从解法上看,大致有以下几种:第一,有附加条件的排列、组合问题,大多数需要分类讨论的方法,注意分类时不重不漏;第二,排列与组合的混合题型,分步骤,用分步乘法原理解决;第三,元素要相邻,看作一个整体,使用捆绑法;第四,元素不相邻,用插空法;第五,间隔法,把不符合条件的排列或组合剔除掉;第六,先分堆,再分配,面对不同的元素,可采用分堆分配;第七,面对相同的元素,可以用隔板法进行求解。
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用数学模型巧解排列组合问题
知识归纳: 分类计数，分步计数两个原理是解决排列、组合问题的基本方法，利用该两个原理及课堂中学习的常规解法如：特殊元素、特殊位置、插空法、捆绑法等解决某些问题总觉的较难或者解答较繁．针对该现象本文列举几例介绍解排列组合问题的非常规解题思路
一、构建方程模型
例 1 上一个有10级台阶的楼梯，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？
二、构建立体几何模型
例2 如图1中A ，B ，C ，D 为海上四个岛， 要建三座桥，将这四个小岛连接起来，
则不同的建桥方案共有（ ）
A.8种
B.12种
C.16种
D.20种
三、构建隔板模型 例3 把20个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有 种不同的放法。
四、构建油箱模型
例4 若集合1A ，2A 满足A A A =21 ，则称),(21A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当21A A =时，),(21A A 与),(12A A 为集合的同一种分拆，则集合{}321,,a a a A =的不同分拆种数为 。
变式练习
1.袋中有5分硬币23个，1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法？
2.
2. 期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？
.
3. 我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？
练习4、某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种？练习5、一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？
练习6、马路上有编号为1，2，3，……10的十只路灯，为节约电而不影响照明，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉马路两端的灯，问满足条件的关灯方法有多少种？
练习7、A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边，那么不同的站法有多少种？
练习8、某电路有5个串联的电子元件，求发生故障的不同情形数目？
小结：解决排列组合应用题的一些解题技巧，具体有插入法，捆绑法，转化法，剩余法，对等法，排异法；对于不同的题目，根据它们的条件，我们就可以选取不同的技巧来解决问题。
对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种技巧结合起来应用，便于我们迅速准确地解题。
在这
些技巧中所涉及到的数学思想方法，例如：分类讨论思想，变换思想，特殊化思想等等，要在应用中注意掌握。
学案2离散型随机变量的分布列
1.在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两
球，所得分数分别记为x、y，设O为坐标原点，点P的坐标为(2,)
x x y
--，记
2
OP
ξ=．（I）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
2.某电视台举办有奖竞答活动，活动规则如下：①每人最多答4个小题；②答题过程中，若答对则继续答题，答错则停止答题；③答对每个小题可得1 0分，答错得0分．甲、乙两人参加了此次竞答活动，且相互之间没有影响．已知甲答对每个题
的概率为1
3
，乙答对每个题的概为
2
3
．
( I )设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望；(Ⅱ)求甲、乙最后得分之和为20分的概率．
3.某次考试中，从甲，乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班10名学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
(I)从每班抽取的学生中各抽取一人，求至少有一人
及格的概率；
(Ⅱ)从甲班l0人中取两人，乙班l0人中取一人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．
4.中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为
3 4、
2
3
、
1
2。
指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合
格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．
(I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；
(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
5.生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于
（2）生产一件元件A，若是正品可盈利80元，若是次品则亏损10元；生产一
件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前
提下。
（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于280元的概率；
（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望。
6.某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，
如果前四
项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。
已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、
B、C、D四项考试不合格的概率均为1
2
，参加第五项不合格的概率为
2
3
（1）求该生
被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．。