主析取范式解析及其应用
析取范式
例 求公式(p→q)↔r的析取范式与合取范式。 解: (1)合取范式： (p→q)↔r (┐p∨q)↔ r ((┐p∨q)→ r)∧(r→(┐p∨q)) (┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
一、析取范式与合取范式
定义1： 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
例如，文字：p, ┐q, r, q. 简单析取式: p, q, p∨q, p∨┐p∨r, ┐p∨q∨┐r. 简单合取式: p, ┐r, ┐p∧r, ┐p∧q∧r, p∧q∧┐q.
例 求公式 (p→q)↔r的主析(合)取范式。 解: (1)主析取范式 由例 2.7 知，(p→q)↔r ⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) ∵ (┐p∧r)⇔┐p∧(┐q∨q)∧r ⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ⇔ m1∨m3 (q∧r) ⇔ (┐p∨p)∧q∧r ⇔(┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔ m3∨m7 （p∧┐q∧ ┐ r) ⇔ m4 ∴ (p→q)↔r ⇔m1∨m3∨m4∨m7
3. 主析取范式的用途（其主合取范式可类似论）： (1) 求公式的成真赋值与成假赋值 由上例已知. (2) 判断公式的类型,设公式A含n个命题变项，可知 （i）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个 极小项。 （ii）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何 极小项。此时，记A的主析取范式为0。 （iii）A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含 一个极小项。
例如，析取范式：（┐p∧q）∨r, ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r. 合取范式:(p∨q∨r)∧(┐q∨r), ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r. 定理： （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的 每个简单合取式都是矛盾式。 （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式。
主要内容公式类型等值演算与置换规则析取范式与合取范式,主析取.
p, q, pq, pqr, … (4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr) (5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
例. 对任何公式A，A∨┐A是重言式，A∧┐A是矛盾式.
这两个事实揭示人们通常的思维所遵循的逻辑排中律和矛 盾律. 对任何原子命题 p，p与┐p都是可满足式. 可以用真值表 验证重言式.
3
例. 用真值表证明(p∨q)∧┐p→q为重言式.
证 建立待证公式的真值表，由表的最后一列可以看出，原式 为重言式.
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基本等值式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC),
A(BC)(AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB
(p ∧ q ∧ s) ∨(p ∧ r ∧ s) ((p ∧ s) ∧ q) ∨((p ∧ s) ∧ r) (p ∧ s) ∧(q ∨ r) 所以其开关设计图可简化
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作业 1、习题一：19（1）（3）（5）（7），
20，21，23，25. 2、习题二：3，4（1）（2）.
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由于同一个命题公式可以有不同的表达形式，而不同的表达 式可以显示很不同的特征。但同一个命题公式的不同表达形 式对我们研究命题演算带来了一定的困难。对众多的命题公 式，可依它们之间的等值关系进行分类，使相互等值的公式 为一类. 现在的问题是，是否可以在各类公式中分别选出一个 公式作为各类的“代表”，而且使它们具有统一的规范形式 呢？回答是肯定的.
AB(AB)(AB)
主范式的求法及应用
论文作者签名:
年 月 日
摘 要
主式即主合取式与主析取式，它是数理逻辑中重要的基石也是推动计算机科学发展的动力，其方法与应用颇有价值.本文通过介绍主式的相关定理、定义并作出相应解释，以及由式的不唯一性引出主式的唯一性，得到求主式的三种方法：真值表法、真值指派法、等值演算法，并给出主式的四种应用：判断几个命题公式是否等价、命题公式的类型、求公式的成真成假赋、解决实际问题.
性质2.3[3]任意两个极大(小)项的析(合)取式永为1(0),即 时， .
性质2.4[3]每个极大(小)项当其真值指派与编码相同时，其真值为0(1)，其余 种指派情况下均为1(0).
定义2.4[2]由不同极大(小)项组出的合取(析取)式称为主合(析)取式.
3
由于主式是由极大项或极小项构成，从极大项和极小项的定义，可知：
分类号O158单位代码11395
密 级 学 号1204210135
学生毕业论文
题 目
主式的求法及应用
作 者
王定超
院 (系)
数学与统计学院
专 业
数学与应用数学
指导教师
祁兰
答辩日期
2016年5月21日
榆 林 学 院
毕业论文诚信责任书
本人重声明：所呈交的毕业论文，是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等,均已明确注明出处。尽我所知，除文中已经注明引用的容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.
因此，主合取式和主析取式有着“互补”关系[4].设命题公式 中含有 个命题变元，且 的主析取式中含有 个小项 ，则 的主析取式中必含有其余的 个小项，不妨含为 ，即 于是
主析取范式和主合取范式的关系
主析取范式和主合取范式的关系
主析取范式和主合取范式是求出布尔代数表达式的两种常见方式，它们拥有一定的内在联系，也可以互相转换。
在了解二者关系之前，我们先简单介绍一下主析取范式和主合取范式的概念。
主析取范式：将一个布尔代数表达式拆分成多个项（每个项包含有布尔变量及其取反形式），并用“或”连接。
从定义上可以看出，主析取范式和主合取范式都是针对布尔代数表达式，而分别使用“或”和“与”连接各个项，这也是它们存在联系的重要原因。
具体来说，主析取范式和主合取范式可以互相转换，这是因为它们本质上表示同一个逻辑意义，只是用不同的逻辑运算符来表达。
具体的转换方法可以通过以下步骤实现：
1. 首先需要将原始布尔代数表达式转化为其对偶形式（即对所有变量取反）。
这一步的目的是使后续处理更加方便，因为对于布尔代数表达式和其对偶形式，主析取范式和主合取范式是等价的。
2. 接着针对对偶形式的布尔代数表达式，先求出它的主析取范式，然后再对这个主析取范式进行求反（即将所有项中的“或”替换为“与”，所有变量取反），得到主合取范式。
综上所述，主析取范式和主合取范式是求解布尔代数表达式的两个重要方法，它们可以互相转换，并且对于一些逻辑设计和开发的问题，往往能够提供较为便利的解决方案。
主析取范式与主合取范式
第四节 主析取范式与主合取范式n 个命题变项虽然可以构成无穷多个形式各异的命题公式，但就其真值而言，只有22n种。
对应每种真值情况虽然又有无穷多个等值的公式，但这些公式却有相同的标准形式。
本节将给出规范公式的概念，这种规范的公式能表达真值表所能给出的一切信息。
定义4.1 命题变项及其否定统称为文字。
如p ，q ，¬p ，¬q ，L 都是文字，即每个命题变项产生两个文字。
（1）仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
（2）仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。
例如，p ∧q ，p ∧¬q ∧r ，L 都是简单合取式。
p ∨q ， ¬p ∨q ∨r ，L 都是简单析取式。
单个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
定义4.2 （1）仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式； （2）仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取式。
例如，p ，¬q ，p ∧q ，（p ∧¬q ）∨（p ∧q ），L 都是析取范式。
p ，¬r ，p ∨q ，（p ∨q ）∧（q ∨¬r ），L 都是合取范式。
注意，两个文字构成的简单合取式与析取式都既是析取范式又是合取范式。
例如，p ∨q 是析取范式，它是由两个简单的合取式p 与q 析取而成。
同时它也是合取范式，看成是一个简单析取式构成的合取范式。
定义 4.3 （1）n 个命题变项1p ，2p ，L ，n p （1n ≥）构成的简单合取式中，若每个i p （1,2,,i n =L ）都以文字的形式出现一次且仅出现一次，而且出现在左起的第i 位上，则称它为极小项。
（2）n 个命题变项1p ，2p ，L ，n p （1n ≥）构成的简单析取式中，若每个ip （1,2,,i n =L ）以文字的形式出现一次且仅出现一次，而且出现在左起的第i 位上，则称它为极大项。
两个命题变项p ，q 共可形成4个极小项：¬p ∧¬q ，¬p ∧q ，p ∧¬q ，p ∧q 。
离散数学析取范式与合取范式幻灯片课件
（对分配）
(q p)( p r)(q r) （零律,同一律）
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(2) 求 ( p q) (p r) 的合取范式。
解: ( p q) (p r)
(p q) ( p r)
（消去）
(p q p) (pq r) （ 对 分配）
p q r
（排中律,同一律）
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极小项
定义 在含有n个命题变项的简单合取式中， 若每个命题变项均以文字的形式在其中出现 且只出现一次，而且第i（1 i n）个文字出 现在左起第 i 位上，这样的简单合取式称为 极小项. 如： p q， p q r
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主范式的用途——与真值表相同
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.
排序.
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求公式的主析取范式
例1.17 求公式 (pq)r 的主析取范式.
(pq)r
(pq)r , （析取范式） ①
其中 (pq)
(pq)(rr)
(pqr)(pqr)
m6m7 ,
②
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r
(pp)(qq)r
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m1m3m5m7
③
②, ③代入①并排序，得
主析取范式: 由极小项构成的析取范式. 例如，n=3, 命题变项为p, q, r时， (pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 A的主析取范式: 与A等值的主析取范式.
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定理 任何命题公式都存在着与之等值的主析取 范式, 并且是惟一的.
用等值演算法求公式的主析取范式的步骤： (1) 先求析取范式; (2) 将不是极小项的简单合取式化成与之等值的 若干个极小项的析取，需要利用同一律、排中 律、分配律、等幂律 …… (3) 极小项用名称mi 表示，按角标从小到大顺序
离散数学15.主范式的应用
课程名称
《离散数学》
教师姓名
授课题目
主范式的应用
授课章节
§1.7对偶与范式
授课对象
数学与应用数学专业
教学目标
了解主范式应用
教学方式
启发式
教学内容
主范式的应用方法
教学重点
主范式的应用
教学难点
主范式的使用方法
教学方法和策略
采用多媒体课件辅助，通过例子来分析主范式的应用方式；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。
学情分析
学生已经掌握了主析取范式的求解方法
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课。
教学过程：
例A,B,C,D四个人中要派两个人出差，按下述三个条件有几种派法？
A去则C和D中要去一个人.
B和C不能都去.
C去则D要留下.
(A∨(C∧D)∨(C∧D) )∧(B∨C)∧(C∨D)
(A∨(C∧D)∨(C∧D) )∧(C∨(B∧D))
( (A∨(C∧D)∨(C∧D) )∧C)∨
((A∨(C∧D)∨(C∧D) )∧(B∧D))
(A∧C)∨(C∧D∧C)∨(C∧D∧C)∨(A∧B∧D)
∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧B∧D)
(A∧C)∨F∨(C∧D)∨(A∧B∧D)∨(C∧D∧B)∨F
(A∧C)∨(C∧D)∨(A∧B∧D)∨(C∧D∧B)
(A∧(B∨B)∧C∧(D∨D))∨((A∨A)∧(B∨B)∧C∧D)∨(A∧B∧(C∨C)∧D)∨( (A∨A)∧C∧D∧B)
(A∧B∧C∧D)∨(A∧B∧C∧D)∨(A∧B∧C∧D)∨(A∧B∧C∧D)∨(A∧B∧C∧D)∨D分别表示A去，B去，C去，D去.
主析取范式和析取范式的关系
主析取范式和析取范式的关系1. 逻辑世界的奇妙探索哎呀，朋友们，今天咱们来聊聊逻辑学的两大明星——主析取范式和析取范式。
别被这些名字吓到，听起来像是一大堆晦涩的学术术语，但其实它们的故事可是非常有趣的。
要知道，这两者就像是逻辑界的两位明星演员，每个都有自己的角色和风采。
就像你最喜欢的两部电影，虽然它们的情节和表现方式不尽相同，但都让人津津乐道。
1.1 主析取范式的基本概念首先，我们得介绍一下主析取范式。
这家伙的名字虽然听起来高大上，但它其实是在逻辑学里一种特定的格式。
主析取范式的基本特点就是，它总是以一种“或”的关系把条件串在一起。
你可以把它想象成一个超级大礼包，里面装满了各种“要么…要么…”的选择。
例如，你可能会看到这样的表达：“要么今天吃面，要么明天吃面。
”就是这么简单。
主析取范式的魔力在于，它把逻辑表达式转化成了一个“析取”操作的形式，而这个操作就是把一些简单的命题用“或”连接起来。
其实，它就像是把逻辑题目拆分成了更简单的单元，整齐又清晰。
1.2 主析取范式的妙用那么，主析取范式有什么好处呢？哎呀，这可是个大问题。
你可以把它看作是解决逻辑难题的利器。
因为它把复杂的问题拆分成了简单的“或者”关系，这样一来，我们就能更容易地看出每个部分的关系和逻辑。
就像是做一道难题，先把它分解成几个简单的部分，这样一一攻克就变得容易了。
真是妙不可言啊！2. 析取范式的基本概念接下来，咱们聊聊析取范式。
它其实是个老朋友，只不过名字不同罢了。
析取范式的重点在于“析取”，也就是“或”的运用，不过它可不仅仅是把简单的命题用“或”连接起来，它还得讲究点儿格式上的规范。
换句话说，它要求我们把逻辑表达式整理成一系列简单的“或”操作的组合，就像是在整理书架，把不同的书籍按照类别分门别类一样。
析取范式和主析取范式其实有点儿像。
它们都是把复杂的逻辑问题简化成了简单的形式，但这两者之间还有些细微的差别。
析取范式就像是一个熟练的厨师，把各种材料调配成美味的菜肴；而主析取范式则是把各种材料原封不动地分开摆在盘子里，看上去简单但却有条不紊。
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主析取范式解析及其应用
[摘要]数理逻辑中的范式在课本中基本上都是直接定义，然后推演，导致学
生不知道范式的重要性以及与生活中的联系，无法深入理解。本文针对这一情况，
深入分析了范式的定义，对比了各种范式求解方法，更为重要的是给出了范式中
所包含的若干原理与方法，并且与显示生活中的问题连接了起来，使其构成了一
个相对完整的知识体系。为解决离散数学课程中普遍存在的问题提供了一个方
法。
[关键词]范式 数理逻辑 离散数学
离散数学一方面充分地描述了计算机科学离散性的特点，而且给后继课程数
据库原理、数据结构、编译原理等提供必要的数学基础；另一方面，离散数学课
程所涉及的概念、方法和理论、所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学
技术及相关专业的诸领域，计算机科学所需要的概括抽象能力、逻辑思维能力、
归纳构造能力都可以通过离散数学的学习得到加强和锻炼，计算机技术所需要的
严谨、完整、规范的科学态度也会通过离散数学中的概念、模型描述、证明得到
充分体现。
范式在离散数学的教学过程中是一个重点内容，同时也是一个难点内容，以
至于有的学校将其作为选讲内容，笔者认为这一部分知识很重要，应该讲，且应
该讲透。这对学生有以下的帮助：可以深入理解数理逻辑，学会科学分析问题，
找出与生活中问题的联系，求出解决方法，全面领略范式的魅力，从而领略逻辑
魅力，提高学生学习离散数学的动力和能力，为解决离散数学课程中普遍存在的
问题提供了一个方法。
一、目前教学中存在的问题
范式在目前的教学中往往只注重方法的讲解，例如真值表法，公式转换法，
以及其它间接的求法等，一般先定义文字、短语等概念，然后引出主析取（合取）
范式等，然后就直接告诉学生用主析取范式解决一些问题。这样的讲解，往往使
学生不能够深入理解范式的本质，概念难以理解，术语过多，往往在学过之后很
快忘记。为了避免这种现象，我们讨论以下的解决方法。
二、明确范式在整个命题逻辑中的主线作用
范式在数理逻辑教学中具有非常重要的地位，我们知道，数理逻辑是将数学
延伸到了逻辑领域，在逻辑领域语言是一个重要的组成，如何对语言进行分析，
推理是非常重要的。数理逻辑将其符号化，使得争辩不再需要无谓的争执，只需
要坐下来静静地拿一支笔将要讨论的问题符号化，然后进行数学演算就可以得到
一个正确的结果，为了使这个结果有一个统一的表示形式，避免许多等价公式引
来等价判断上的困难，我们引出了范式的概念，这样就将语言与逻辑联系起来，
使得读者很容易理解为什么用“短语”等来定义范式中的组成成分。通过对主析取
范式进行不同的求解，我们将命题逻辑中的最基本的知识“真值表”与逻辑推演中
的命题等价演算以及联结词的使用统一起来，而且我们可以通过实例使人们真切
地体会主析取范式在生活中的应用。这样，整个知识点就不再离散，而是变得系
统，并且生动有趣了。
三、分析主析取范式中的原理以及其求解方法
1．分析真值表技术
在此，要首先将方法与生活相联系，使学生与具体问题的解决联系起来，学
习致用。
例如求出G=（P∧Q）∨R的主析取范式。真值表如表1。
将公式中G的真值中1对应的极小项取出来，例如第二行1所对应的命题
变元P，Q，R取值分别为0，0，1，所对应的极小项为，可标记为M0.01=M1
根据真值表技术，我们容易等到其主析取范式为：
其中我们可以将极小项看成要完成一件事情必须具备的各种条件的一种情
况，主析取范式就可以各种情况下命题变元可能的组合方式的一个集合。利用主
析取范式，我们可以全面的考虑问题中出现的各种情况，避免了逻辑思维中遗漏
对某些条件讨论的弊端，使问题的解决痕全面。
2．等价推演
如果命题变元较多，利用真值表会使工作量以级数2n的速度增加，而当将
公式初步化为析取范式以后，各短语中包含的原子较少时，已经较接近主析取范
式，通过增加合取缺少的变元P的 (P∨P)，然后利用各种运算定律就可以轻松
地解决问题。上例可以如下推导：
推导过程并不难，但为何如此推导，很少有人深究，这是不对的。我们增加
短语中未出现命题变元的(P∨P)的形式，是与真值表法相同的，都是为了考虑到
解决问题时的各种因素（即范式中的变元），这样一讲，事理很显然。
3．其他方法中的原理
我们可以使用真值表法求出公式G的否定G的主析取范式G′，然后将G′
中未出现的极小项进行全析取G″就是公式G的主析取范式。课本上对此一般是
通过证明公式来完成的。
严格的证明是必须的，但也要找出其中的通俗道理，当这些条件使G′为假
时，则G必为真，因此真值表中为0的那些真值指派必然使G为真，是G中的
极小项，同理，当这些条件使G′为真时，则G必为假，因此真值表中为1的那
些真值指派必然使G为假，不可能是G中的极小项。
四、范式的应用
1．在电路的逻辑设计方面有广泛的应用
加法器的设计，有两个n 位二进制数a,b 相加和为s(s=a+b) ，a,b 分别写
成：
2. 在生活中的应用
安排课表，教语言课的教师希望将课程安排在第一或第三节；教数学课的教
师希望将课程安排在第二或第三节；教原理课的教师希望将课程安排在第一或第
二节。如何安排课表，使得三位教师都满意。
五、总结
通过分析讨论各种方法的适用情况，求解方法，通俗的道理，使这些形式化
的数理逻辑不再枯燥，与生活生动的联系在一起，极大地增强了学生学习的兴趣
和动力，将难点分而化之。
参考文献：
[1]耿素云.离散数学[M].北京：清华大学出版社，1999.
[2]傅彦.离散数学[M].北京：机械工业出版社，2005.
[3]郁国瑞.主析取范式求法解析[J].河北能源职业技术学院学报，2004，（3）.