实数的概念及运算
实数运算知识点总结
实数运算知识点总结一、实数的基本性质1. 实数的定义及性质实数是指包括有理数和无理数的数集。
实数的性质包括封闭性、传递性、结合律、交换律和分配律等。
2. 实数的大小比较对于任意实数a和b，有两个重要性质：反对称性和三角不等式。
3. 实数的绝对值绝对值是实数a到原点的距离。
绝对值的性质包括非负性、非零性、三角不等式和绝对值的运算法则。
4. 实数的方根与幂实数的n次方根、实数的n次幂的运算法则和性质。
二、实数的运算1. 实数的加法运算实数的加法运算法则，包括交换律、结合律和单位元素等性质。
2. 实数的减法运算实数的减法定义，以及减法的性质和规律。
3. 实数的乘法运算实数的乘法运算法则，包括交换律、结合律、分配律和零因子等性质。
4. 实数的除法运算实数的除法定义，包括零的倒数、分数的相乘和相除等性质。
5. 实数的乘方运算实数的乘方运算法则，包括同底数幂的乘法法则和除法法则等。
三、实数的运算法则1. 基本的实数运算法则包括整数的加减法和乘法运算、有理数的加减法和乘法运算、实数的加减法和乘法运算等基本法则。
2. 实数的化简运算将实数的表达式化为最简形式，包括有理数的四则运算和乘方运算、无理数的运算等。
3. 实数的合并与分解将实数的表达式进行合并或分解，以便进行进一步的运算。
四、实数的应用1. 实数的应用于代数方程实数的应用包括一元一次方程、一元二次方程等的求解和实数的性质应用等方面。
2. 实数的应用于不等式实数的应用包括一元一次不等式、一元二次不等式等的求解和实数的性质应用等方面。
3. 实数的应用于几何问题实数的应用包括平面几何和立体几何中实数的运用、问题的建立和解决。
五、实数的推论与应用1. 实数的应用问题实数的运算和性质在实际生活中的应用，如金融、工程、物理等领域的问题解决。
2. 实数性质的证明实数的性质和运算法则的证明，以及实数应用问题的解题过程。
3. 实数性质的应用实数的性质在代数方程、不等式、几何问题和实际应用问题中的具体应用。
初中数学精品课件：实数及其运算
【典例 1】 (2019·宁波)请写出一个小于 4 的无理数： ______．
【答案】 π(答案不唯一)
【类题演练 1】 (2019·衢州)在12，0，1，－9 四个数中，
【典例 1】
在
实
数
－
π 2
，
2
，
22 7
，
0.3333333…
，
0
，
1.732
，
2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”) 中，是无理数的
是
．
【错解】 2，272，2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)
【析错】 无理数是无限不循环小数，而有理数可以写成 分母不为 0 的分数形式，所以272是有理数，－π2是无理数． 【正解】 －π2， 2，2.1010010001…(每两个“1”之 间依次多一个“0”)
2．初中数学中常见的非负数有：①实数的绝对值：|a|≥0； ②实数的平方：a2≥0；③非负实数的算术平方根： a ≥0(a≥0)．如果 a，b，c 都是实数，且满足 a2＋|b|＋ c ＝0，那么根据非负数的性质，有 a＝b＝c＝0.由非负 数的性质可以求出多个未知数的值.
易错点1 平方根与算术平方根概念的混淆
数，则 ab＝ 1 ．
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数 的绝对值．
a（a＞0）， |a|＝0（a＝0）， 以上三条反之亦成立．
－a（a＜0）.
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 a×10n(反数，则和为 0；若两数互为倒数，则积 为 1.反之亦成立．
实数的定义及其运算
18．若∣a∣=6， =3，且ab 0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数 则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解
按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类：
三、数轴：
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。
五、非负数
若数a≧0，则称a为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
3.点A在数轴上表示的数为 ，点B在数轴上表示的数为 ，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
例题：1、如图，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
12． 的算术平方根是_______， =______。
13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
实数的概念和运算
实数的概念和运算实数是数学中的一种重要概念，它包括有理数和无理数两部分。
实数运算指对实数进行加、减、乘、除等基本运算的操作。
在本文中，我们将从实数的概念入手，探讨实数的性质、分类以及基本运算规则。
一、实数的概念实数是一种可以用来表示尺寸、时间、温度、权重等具体物理量的数。
它包括有理数和无理数两个部分。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则无法表示为有理数的比值。
有理数是实数的一部分，它包括整数、分数和小数。
整数是不带小数点的正负整数，分数是两个整数的比值，小数是无限位小数或者有限位小数。
有理数之间的运算满足交换律、结合律和分配律等基本运算规则。
无理数包括无限不循环小数和根号形式的数。
无限不循环小数是指小数位数无限且没有循环的小数，如圆周率π和自然对数的底数e。
根号形式的数是指无法表示为有理数的平方根或立方根等形式的数，如根号2和根号3等。
二、实数的分类实数可以分为有限实数和无限实数。
有限实数是指小数位数有限的实数，而无限实数则是指小数位数无限的实数。
在有限实数中，又可以进一步分为有理数和有限不循环小数。
有理数是可以表示为两个整数的比值，而有限不循环小数则是指小数位数有限且不出现循环的小数，如0.25和0.333等。
在无限实数中，又可以进一步分为无理数和无限不循环小数。
无理数是指无法表示为有理数的比值的数，而无限不循环小数是指小数位数无限且不出现循环的小数，如π和e等。
三、实数的基本运算规则实数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍它们的运算规则。
1. 加法：实数的加法满足交换律、结合律和零元素的存在。
即对于任意实数a、b和c，满足以下规则：- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 零元素：a + 0 = a2. 减法：实数的减法可以转化为加法运算。
即对于任意实数a、b 和c，满足以下规则：- 减法定义：a - b = a + (-b)3. 乘法：实数的乘法满足交换律、结合律和单位元素的存在。
初二实数的概念及运算
初二实数的概念及运算实数是数学中最基本的数集之一，包括正数、负数和零。
初二数学课程中，学生开始接触实数的概念和运算。
本文将详细介绍初二实数的概念以及基本运算。
1. 实数的概念实数是一种用来表示具体数量的数。
它们可以是有理数或无理数的集合。
有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括整数、分数和可以有限或无限循环的小数。
无理数是无法表示为有理数的数，例如根号2和圆周率π等。
初二阶段，学生主要学习实数的基本概念，包括正数、负数和零。
正数是大于零的数，负数是小于零的数，零是不大于也不小于零的唯一数。
2. 实数的运算实数具有四种基本的运算，分别是加法、减法、乘法和除法。
下面我们将逐一介绍这些运算。
2.1 加法实数的加法满足交换律和结合律。
给定实数a、b和c，a + b的结果仍然是一个实数，记作c。
例如，2 + 3 = 5，-5 + 7 = 2。
2.2 减法实数的减法也是一种加法运算，可以将减法转化为加法的形式。
给定实数a和b，a - b的结果可以表示为a + (-b)。
例如，5 - 3 = 5 + (-3) = 2。
2.3 乘法实数的乘法也满足交换律和结合律。
对于给定的实数a、b和c，a × b的结果仍然是一个实数，记作c。
例如，2 × 3 = 6，-5 × 7 = -35。
2.4 除法实数的除法也可以转化为乘法的形式。
给定实数a和b，a ÷ b的结果可以表示为a × (1/b)。
需要注意的是，除数b不能为零，否则结果将无意义。
例如，6 ÷ 3 = 6 × (1/3) = 2，-15 ÷ (-5) = -15 × (1/(-5)) = 3。
3. 实数的性质实数具有许多重要的性质，下面我们简要介绍其中几个。
3.1 闭合性实数的加法和乘法都满足闭合性。
也就是说，对于任意的实数a和b，a + b和a × b仍然是实数。
实数的性质与运算法则
实数的性质与运算法则一、实数的定义与性质1.实数是具有大小和方向的数，包括有理数和无理数。
2.实数可分为正实数、负实数和零。
3.实数具有加法、减法、乘法、除法等运算性质。
4.实数具有相反数、绝对值、平方等基本性质。
5.实数在数轴上表示，数轴上的点与实数一一对应。
二、实数的运算规则1.加法运算：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2.减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法运算：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
4.除法运算：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
5.零的运算：任何数与零相加等于该数本身；任何数乘以零等于零；零除以任何非零数等于零。
6.一的运算：任何数乘以一等于该数本身；任何数除以一等于该数本身。
三、实数的平方与开方1.平方：一个数的平方等于该数与自身相乘。
2.开方：一个数的开方等于使该数平方后得到该数的正数。
四、实数的绝对值与倒数1.绝对值：一个数的绝对值等于该数到原点的距离。
2.倒数：一个数的倒数等于1除以该数。
五、实数的乘方与幂运算1.乘方：一个数的乘方等于该数连乘自身若干次。
2.幂运算：幂运算包括乘方和开方，其中乘方是重复乘以同一个数，而开方是求一个数的平方根。
六、实数的三角函数1.正弦函数：正弦函数等于直角三角形中对边与斜边的比值。
2.余弦函数：余弦函数等于直角三角形中邻边与斜边的比值。
3.正切函数：正切函数等于直角三角形中对边与邻边的比值。
七、实数的指数函数与对数函数1.指数函数：指数函数等于底数连乘自身若干次。
2.对数函数：对数函数等于以10为底数的对数。
八、实数的方程与不等式1.方程：方程是一个含有未知数的等式。
2.不等式：不等式是一个含有不等号的式子。
九、实数的函数与图像1.函数：函数是一种关系，使一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
第1讲 实数的概念和运算
(2)将-0.0003054用科学记数法可表示为：-3.05410-4 .
知 识 点 分 析
（四 ）平方根与立方根
a ，这两个平方根 1.正数a有两个平方根记为： a 和 互为相反数 ；0的平方根是 0 ，负数 没有平方根 .
a
叫做a的算数平方根，0的算数平方根是
3a
0
.Hale Waihona Puke 2. a的立方根2 a 3.
知 识 点 分 析
（二 ）实数的有关概念
1.数轴的三要素： 原点
、 正方向 和
单位长度 .
2. 实数 与数轴上的点一一对应. 3.相反数：只有 符号 不同的两个数，我们称其中一个数是另 一个数的相反数，也称 这两个数互为相反数 .在数轴上，互 为相反数的两个数所对应的点在 原点 的两侧，且到 原点 的 距离相等. a的相反数是
.
0 ；
a a 0
0 ; a
0
例4.（1） ９ 的平方根是 3 （2） ３ （3）
－８ ＝ -2
３－２ ＝ 2- 3
２
知 识 点 分 析
（五 ）实数的运算
1.实数的运算顺序： 先乘方、开方，再算 乘 除 ，最后算 加 减，同级运算 按 从左到右 的顺序进行；有括号的先算 括 号 里 面 的. 2.
a0 = 1
(a≠0)
3. a-p=
1 a p (a ≠0,p为整数)
负数 ，
4.正数的任何次幂都为 正数 ；负数的奇次幂为 偶次幂为 . 正数 5.若几个非负数的和为0，则这几个非负数
同 时 为 0 .
若 a b2 c 0, 则 a =0，b2 =0 ，c =0
知 识 点 分 析
实数的概念及运算
12＝4＋1－2
„ [3分] 3
＝5－2
3
„ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „
[4分]
(2)(－2)2＋2×(－3)＋(
1 －1 ) ＝4－6＋3 3
„ „ „ [3分]
＝1
„ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „
[4分]
探究提高：实数运算要严格按照法则进 行，对于实数混合，注意符号和顺序是 非常重要的．
(6)平方根，算术平方根，立方根：
如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作_______ ± a ； 正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；
a 如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作_______ ． 3
3.零指数幂，负整数指数幂：
任何非零数的零次幂都等于1，即____ ____；任 a0＝1(a≠0) 何不等于零的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，
5.实数的运算： 乘方和开方 乘除 ， 实数的运算顺序是先算_____ ___，再算________ 最后算________ 加减 ．如果有括号，先算________ 小括号 ，再算 ________ 中括号 ，最后算________ 大括号 ．同级运算应__ 从左到右__ , 按顺序进行_. ___
1 C. 1 D．－ 2 2 解析：(1)a＋b＝0，可知a，b两数互为相反数.
A．－2 B．2
(2)|－2|＝2，绝对值的概念.
探究提高：1. 两个互为相反数的和为0；2. 正 数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反 数，0的绝对值是0.
2 知能迁移:(1)－ 的倒数是______； 3
－ 2 的相反数是_______；－ 2 的绝对值是______；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------实数的概念及运算初三数学总复习实数的概念一：【课前预习】（一）：【知识梳理】 1. 实数的有关概念 (1) 有理数: 和统称为有理数。
(2) 有理数分类①按定义分: ②按符号分: 有理数()()；有理数（3）相反数：只有不同的两个数互为相反数。
若 a、 b 互为相反数，则。
（4）数轴：规定了、和的直线叫做数轴。
（5）倒数：乘积的两个数互为倒数。
若 a（a0）的倒数为1a. 则。
（6）绝对值：（7）无理数：小数叫做无理数。
（8）实数：和统称为实数。
1 / 10（9）实数和的点一一对应。
实数的分类: 实数 3.科学记数法、近似数和有效数字（1）科学记数法：把一个数记成a10（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
取近似数的原则是四舍五入。
（3）有效数字：从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。
（二）：【课前练习】 1． |－22|的值是（） n的形式（其中1a10， n 是整数） A．－2 B.2 C． 4 D．－4 2．下列说法不正确的是（） A．没有最大的有理数B．没有最小的有理数零C．有最大的负数D．有绝对值最小的有理数、、、、3．在． 1 个； B． 2 个； C． 3 个； D． 4 个4．下列命题中正确的是（） A．有限小数是有理数 B．数轴上的点与有理数一一对应 C．无限小数是无理数 D．数轴上的点与实数一一对应 5．近似数0.030 万精确到位，有个有效数字，用科学记数法表示为---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------3 / 10万 二：【经典考题剖析】 1． 在一条东西走向的马路旁， 有青少年宫、 学校、 商场、 医院四家公共场所． 已知青少年宫在学校东300m 处， 商场在学校西 200m 处， 医院在学校东 500m 处． 若将马路近似地看作一条直线， 以学校为原点， 向东方向为正方向， 用1 个单位长度表示 100m ． （1） 在数轴上表示出四家公共场所的位置； （2）列式计算青少年宫与商场之间的距离． ：、、这七个数中， 无理数有（ ）2． 下列各数中：-1， 0，169 ，， -有理数集合{ } ； 正数集合{ } ； 整数集合{ } ； 自然数集合{ } ； 分数集合{ } ； 无理数集合{ } ； 绝对值最小的数的集合{ } ； 3. 已知(x-2)2+| y-， 求 xyz 的值． ． 4． 已知 a 与b 互为相反数，c 、d 互为倒数， m 的绝对值是 2 求的值 5. a 、 b 在数轴上的位置如图所示， 且 a ＞ b ， 化简 、 一个数的倒数的相反数是 115 , 则这个数是（） A ．65 B ．56C ． -65D ． －56 3、 一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） A ． 非负数 B ． 非正数 C ． 负数 D ． 正数 4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 P 所表示的数是 2 ，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A．代人法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论 5. 若 a 的相反数是最大的负整数， b 是绝对值最小的数，则a＋b=___________． 6. 已知，，则7. 光年是天文学中的距离单位， 1 光年大约是 9500000000000km，用科学计数法表示 (保留三个有效数字) 8. 当 a 为何值时有：；；已知 a 与b 互为相反数， c、 d 互为倒数， x 的绝对值是 2 的相反数的负倒数， y 不能作除数，求的值． 10. （1）阅读下面材料：点 A、 B 在数轴上分别表示实数 a， b， A、 B 两点之间的距离表示为| AB| ，当 A上两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图 1－2－4 所示， | AB| =| BO| =| b| =| a－b| ；当A、 B 两点都不在原点时，①如图 1－2－5 所示，点 A、 B 都在原点的右边， | AB| =| BO| －| OA| =| b|－| a| =b－a=| a－b| ；②如图 1－2－6 所示，点 A、 B 都在原点的左边， | AB| =| BO| －| OA| =| b| －| a| =－ b － ( － a) =| a － b| ；③ 如图1 － 2 － 7 所示，| AB| =| BO| +| OA| =| b| +| a| =a+(－b) =| a－b| 综上，数轴上 A、 B 两点之间的距离| AB| =| a－b| （2）回答下列问题：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2 和－5 的两点之间的距离是____，数轴上表示 1 和－3的两点之间的距离是______. ②数轴上表示 x 和－1 的两点A 和B 之间的距离是________，如果 | AB| =2，那么 x 为_________．③当代数式| x+1| +| x－2| =2 取最小值时，相应的 x 的取值范围是_________. 四：【课后小结】点 A 、B 在原点的两边多边，实数的运算一：【课前预习】（一）：【知识梳理】 1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则 (1) 有理数加法法则：①同号两数相加，取________的符号，并把__________②绝对值不相等的异号两数相加，取________________的符号，并用 ____________________。
互为相反数的两个数相加得____。
③一个数同 0 相加， __________________。
(2) 有理数减法法则：减去一个数，等于加上____________。
(3) 有理数乘法法则：①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________。
任何数同 0 相乘，都得________。
5 / 10②几个不等于 0 的数相乘，积的符号由____________决定。
当______________，积为负，当_____________，积为正。
③几个数相乘，有一个因数为 0，积就为__________.(4) 有理数除法法则：①除以一个数，等于_______________________. __________不能作除数。
②两数相除，同号_____，异号_____，并把_________。
0 除以任何一个 ____________________的数，都得 0 (5) 幂的运算法则：正数的任何次幂都是___________；负数的__________是负数，负数的__________是正数 (6) 有理数混合运算法则：先算________，再算__________，最后算___________。
如果有括号，就_______________________________。
2. 实数的运算顺序：在同一个算式里，先、，然后，最后．有括号时，先算里面，再算括号外。
同级运算从左到右，按顺序进行。
3. 运算律（1）加法交换律：_____________。
（2）加法结合律：____________。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------7 / 10（3） 乘法交换律：_____________。
（4） 乘法结合律：____________。
（5） 乘法分配律：_________________________。
4. 实数的大小比较 （1） 差值比较法：＞＞ b ， ， （2） 商值比较法： b ＜＜ b 若ab、为两正数， 则ab ＞＞ b ；＜＜ b （3） 绝对值比较法： 若ab 、为两负数， 则 a ＞＜ b abab a ；；＜＞ b （4） 两数平方法： 如与 5. 三个重要的非负数： （二）： 【课前练习】 1. 下列说法中， 正确的是（ ） A ． |m| 与m 互为相反数 B ．与互为倒数 C ． 1998． 8用科学计数法表示为 1． 998810D ． 0． 4949 用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为 0． 50 2 2. 在函数中， 自变量 x 的取值范围是（ ） A ． x ＞1 B ． x ＜1 C ． x1D ． x1 3. 按鍵顺序－1 24＝， 结果是 。
4.16 的平方根是______5. 计算 (1) 32(－3)2+| － 16 | (－ 6) + 49 ； (2) 2(3 2-2 3) -(3 2+2 3) 二：【经典考题剖析】 1. 已知x、y 是实数，若求实数的值 2. 请在下列 6 个实数中, 计算有理数的和与无理数的积的差:24014 ,,比较大小: (1)3 52 11,(2)与与与3-2 2 4. 探索规律: 33数字是； 5. 计算：1=3，个位数字是 3； 35=243，个位数字是 3； 32=9，个位数字是 9； 36=729，个位数字是 9；那么 33=27，个位数字是7； 37的个位数字是； 34=81，个位数字是 1；20的个位（1） 5 41；（2）10三：【课后训练】 1. 某公司员工分别住在 A、 B、 C 三个住宅区，A 区有 30 人， B 区有 15 人， C 区有 10 人，三个住宅区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间设一个停靠站，为使所有员工步行到停靠站的路程之和最小，那么停靠站的位置应设在（） A． A 区； B． B 区； C． C 区； D． A、B 两区之间 2. 根据国家税务总局发布的信息， 2004 年全国税收收入完成 25718 亿元，比上年增长 25. 7%，占 2004 年国内生产总值（GDP）的 19%。