冈萨雷斯-数字图像处理第3版第4章习题-4.16-4.43

4.16 证明连续和离散二维傅里叶变换都是平移和旋转不变的。 首先列出平移和旋转性质：

002(//)00(,)(,)j u x M v y N f x y e F u u v v π+⇔-- (4.6-3) 002(//)00(,)(,)j x r M y v N f x x y y F u v e π-+--⇔ (4.6-4)

旋转性质：

cos ,sin ,cos ,sin x r y r u v θθωϕωϕ====

00(,)(,)f r F θθωϕϕ+⇔+ (4.6-5) 证明：由式(4.5-15)得：

由式(4.5-16)得：

依次类推证明其它项。

4.17 由习题4.3可以推出1(,)u v δ⇔和(,)1t z δ⇔。使用前一个性质和表4.3中的平移性质证明连续函数00(,)cos(22)f t z A u t v z ππ=+的傅里叶变换是

0000(,)[(,)(,)]2

A

F u v u u v v u u v v δδ=+++-- 证明：

000000002()2()002()2()2()

2()2()2()2((,)(,)cos(22)[]222j ut vz j ut vz j u t v z j u t v z j ut vz j u t v z j u t v z j ut vz j u F u v f t z e dtdz

A u t v z e dtdz

A e e e dtdz

A A e e dtdz e e πππππππππππ∞∞

-+-∞-∞

∞

∞

-+-∞-∞

∞∞+-+-+-∞-∞

∞∞+-+-+--∞-∞==+=

+=+⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰)

00000000(,)(,)22[(,)(,)]2t vz dtdz A A

u u v v u u v v A

u u v v u u v v δδδδ∞∞+-∞-∞=--+++=--+++⎰⎰ 4.18 证明离散函数(,)1f x y =的DFT 是

1,0

{1}(,)0,u v u v δ==⎧ℑ==⎨

⎩其它

证明：离散傅里叶变换

11

2(//)00(,)(,)M N j ux M vy N x y F u v f x y e π---+===∑∑

11

2(//)

00

11

2(//)

00

{1}M N j ux M vy N x y M N j ux M vy N x y e e ππ---+==---+==ℑ==∑∑∑∑

如果0u v ==，{1}1ℑ=，否则：

11

00{1}{cos[2(//)]sin[2(//)]}M N x y ux M vy N j ux M vy N ππ--==ℑ=+-+∑∑

考虑实部，11

00

{1}cos[2(//)]M N x y ux M vy N π--==ℑ=+∑∑，cos[2(//)]ux M vy N π+的值介

于[-1, 1]，可以想象，11

00

{1}cos[2(//)]0M N x y ux M vy N π--==ℑ=+=∑∑，虚部相同，所以

1,0

{1}(,)0,u v u v δ==⎧ℑ==⎨⎩

其它

4.19 证明离散函数00cos(22)u x v y ππ+的DFT 是

00001

(,)[(,)(,)]2

F u v u Mu v Nv u Mu v Nv δδ=+++--

证明：

00000011

2(//)

0011

2(//)

0000

112()2()2(//)00

112()2(//)00(,)(,)cos(22)1[]21{2M N j ux M vy N x y M N j ux M vy N x y M N j u x v y j u x v y j ux M vy N x y M N j u x v y j ux M vy N x y F u v f x y e u x v y e e e e e e πππππππππ---+==---+==--+-+-+==--+-+====+=+=∑∑∑∑∑∑∑∑000000112()2(//)00

11112(//)2(//)2(//)2(//)00000000}1{}21

[(,)(,)]2

M N j u x v y j ux M vy N x y M N M N j Mu x M Nv y N j Mu x M Nv y N j ux M vy N j ux M vy N x y x y e e e e e e u Mu v Nv u Mu v Nv ππππππδδ---+-+==----+-+-+-+====+=+=+++--∑∑∑∑∑∑4.20 下列问题与表4.1中的性质有关。 ★ (a) 证明性质1的正确性。 ★ (b) 证明性质3的正确性。 (c) 证明性质6的正确性。 ★ (d) 证明性质7的正确性。 (e) 证明性质9的正确性。 (f) 证明性质10的正确性。 ★ (g) 证明性质11的正确性。 (h) 证明性质12的正确性。 (i) 证明性质13的正确性。

(a)当)y ,x (f 为实函数，则

()()[][]())

v ,u (F )

N /y v M /x u 2exp()y ,x (f )

N /vy M /ux 2j exp()y ,x (f )N /vy M /ux 2j exp()y ,x (f )v ,u (F 1M 0x 1N 0

y 1M 0x 1

N 0

y *

*

1M 0x 1N 0y *--=-+--=

+=⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡+-=∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=πππ

(b)当)y ,x (f 为实函数，则)v ,u (jI )v ,u (R )v ,u (F +=和)v ,u (jI )v ,u (R )v ,u (F *

-=并且)v ,u (jI )v ,u (R )v ,u (F --+--=--。而且)v ,u (F )v ,u (F *

--=，所以可以得到：

)v ,u (jI )v ,u (R )v ,u (jI )v ,u (R --+--=-，便是)v ,u (R )v ,u (R --=为偶函数和 )v ,u (I )v ,u (I --=-为奇函数。