辽宁高考理科数学试卷带答案

2012年高考辽宁卷理科数学答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集{}=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U ，集合{}=0,1,3,5,8A ，集合

{}=2,4,5,6,8B ，则()()=U U C A C B

A ．{}5,8

B ．{}7,9

C ．{}0,1,3

D ．{}2,4,6 难度 易 正确答案B ()

()(){}=C =7,9U U U C A C B A

B

2.复数

2-=2+i

i A ．34

-55

i

B ．34+55

i C ．41-5

i

D ．31+5

i

难度 易 正确答案A

()()()2

2-2-3-434===-2+2+2-555

i i i i i i i 3. 已知两个非零向量,a b 满足+=-a b a b ，则下面结论正确 A ．//a b B ．a b ⊥ C ．=a b D ．+=-a b a b

难度 中 正确答案B

+=-a b a b ，可以从几何角度理解，以非零向量,a b 为邻边做平行四边形，对

角线长分别为+,-a b a b ，若+=-a b a b ，则说明四边形为矩形，所以a b ⊥；也可由已知得2

2

+=-a b a b ，

即2

2

2

2

-2+=+2+=0a ab b a ab b ab a b ∴∴⊥

4. 已知命题()()()()12212

1

:,,--0p x x R f x f x x x ?∈≥，则p ?是

A ．()()

()()12212

1

,,--0x x R f x f x x x ?∈≤

B ．()()()()12212

1,,--0x x R f x f x x x ?∈≤

C ．()()

()()12212

1

,,--<0x x R f x f x x x ?∈ D ．()()

(

)()12212

1

,,--<0x x R f x f x x x ?∈

难度 易 正确答案C

全称命题的否定形式为将“?”改为“?”，后面的加以否定，即将“()()

()()212

1

--0f x f x x x ≥”

改为“()()

()()212

1--<0f x f x x x ”

5. 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 A ．33!? B ．()3

33!? C ．()4

3! D ．9!

难度 中 正确答案C

每家3口人坐在一起，捆绑在一起3!，共3个3!，又3家3个整体继续排列有3!种方法，总共有()4

3!

6. 在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．176

难度 中

正确答案B

4866+=2=16=8a a a a ∴，而()

11111611+=

=11=882

a a S a 7. 已知()sin -cos 0,αααπ∈，则tan α=

A ．1-

B ．22-

C ．2

2

D ．1

难度 中 正确答案A

方法一：()sin -cos =2,0,αααπ∈，两边平方得1-sin 2=2,α

()sin 2=-1,20,2,ααπ∈332=

,=,24

ππααtan =-1α∴ 方法二：由于形势比较特殊，可以两边取导数得cos +sin =0,tan =-1ααα∴

8. 设变量,x y 满足-10

0+20015x y x y y ≤??

≤≤??≤≤?

，则2+3x y 的

最大值为

A ．20

B ．35

C ．45

D ．55 难度 中 正确答案D

如图所示过点()5,15A 时，2+3x y 的最大值为55 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是

A ．-1

B ．

23 C ．3

2

D ．4 难度 中 正确答案D 当=1i 时，经运算得2

=

=-12-4

S ； 当=2i 时，经运算得()22

=

=2--13S ；

当=3i 时，经运算得23=

=222-3

S ； 当=4i 时，经运算得2

=

=432-2S ； 当=5i 时，经运算得2

==-12-4

S ；

从此开始重复，每隔4一循环，所以当=8i 时，经运算得=4S ；接着=9i 满足输出条件，输出=4S

10. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为 A ．

16

B ．

13 C ．23 D ．45

难度 中 正确答案C

如图所示，令=,=AC x CB y ，则()+=12>0,y>0x y x ，矩形面积设为S ，则()==12-32S xy x x ≤。

解得0<48<12x x ≤≤或，该矩形面积小于322cm 的概率为

82

=123

11. 设函数)(x f ()x R ∈满足()()()(),=2-f x f x f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，

()3=f x x .又函数()()=cos g x x x π，则函数()()()=-h x g x f x 在13-,22??

????

上

的零点个数为

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8 难度 难 正确答案B

()(),f x f x -=所以函数)(x f 为偶函数，所以

()()()=2-=-2f x f x f x ，

所以函数)(x f 为周期为2的周期函数，且()()0=0,1=1f f ，而

()()=cos g x x x π为偶函数，且()1130==-==0222g g g g ??????

? ? ???????

，在同一坐

标系下作出两函数在13-,22??????上的图像，发现在13-,22??

????

内图像共有6个公共

点，则函数()()()=-h x g x f x 在13-,22??

????

上的零点个数为6

12. 若[)0,+x ∈∞，则下列不等式恒成立的是 A ．21++x e x x ≤

B

211

1-+24x x ≤

C ．21cos 1-

2

x x ≥ D ．()2

1ln 1+-

8

x x x ≥ 难度 难 正确答案C

验证A ，当3

3

2

=3>2.7=19.68>1+3+3=13x e 时，，故排除A ；验证B ，当1

=2

x 时，，

3

，而111113391-+==22441648??，故排

除B ；

验证C ，令()()()2

1=cos -1+

,'=-sin +,''=1-cos 2

g x x x g x x x g x x ，显然()''>0g x 恒成立

所以当[)0,+x ∈∞，()()''0=0g x g ≥，所以[)0,+x ∈∞，()2

1=cos -1+2

g x x x 为增函数，所以

()()0=0g x g ≥，恒成立，故选C ；验证D ，令

()()()()()

2-311=ln 1+-+,'=-1+=8+144+1x x x h x x x x h x x x ，令()'<0h x ，解得0<<3x ，所以当0<<3x 时，()()<0=0h x h ，显然不恒成立

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．

难度 易 正确答案 38

由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为()243+41+31+2-2=38ππ????

14.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()2

510+2+1=,2+=5n n n a a a a a ，则数列{}

n a 的通项公式=n a ____________． 难度 中 正确答案2n

令 等比数列

{}n a 的公比为q ，则由()+2+12+=5n n n a a a 得，

222+2=5,2-5+2=0q q q q ，解得1==2

q 或q 2，又由2

510=a a 知，()24911

=a q a q ，

所以1=a q ，因为{}n a 为递增数列，所以1==2a q ，=2n

n a

15. 已知,P Q 为抛物线2

=2x y 上两点，点,P Q 的横坐标分别为4,-2，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 ． 难度 中 正确答案 -4

21

=,'=2

y x y x ，所以以点P 为切点的切线方程为=4-8y x ，以点Q 为切点的切线方程为=-2-2y x ，联立两方程的=1

y=-4x ???

16. 已知正三棱锥-P ABC ，点,,,P A B C 都在半径为

3的球面上，若

,,PA PB PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为 ．

难度 中 正确答案

33

如图所示，O 为球心，'O 为截面ABC 所在圆的圆心，令===PA PB PC a ，,,PA PB PC 两两相互垂直，

==2AB BC CA a ，所以6

'=

CO ，3

'=PO ，

22

363+=3??????

，解得=2a ，所以323

'=PO ，3'=OO 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角,,A B C 成等差数列。 （1）求cos B 的值；

（2）边,,a b c 成等比数列，求sin sin A C 的值 （1）由已知1

2=+,++=,=

,cos =32

B A

C A B C B B π

π∴ （2）解法一：2=b ac ，由正弦定理得23

sin sin =sin =

4

A C

B 解法二：2

=b ac ，222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B ac ac

，由此得22

+-=,a c ac ac 得

=a c

所以===

3

A B C π

，3

sin sin =

4

A C 18. （本小题满分12分）

如图，直三棱柱-'''ABC ABC ，=90BAC ∠?，

=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'AB 和''BC

的中点

（1）证明：//''MN AACC

平面； （2）若二面角'--A MN C 为直二面角，求λ的值 （1）连结','AB AC ，由已知=90,=BAC AB AC ∠? 三棱柱-'''ABC ABC 为直三棱柱， 所以M 为'AB 中点.又因为N 为''BC 中点 所以//'MN AC ，又MN ?平面''AACC

'AC ?平面''AACC ，因此//''MN AACC

平面

（2）以A 为坐标原点，分别以直线,,'AB AC AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系-O xyz ，如图所示 设'=1,AA 则==AB AC λ， 于

是

()()()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,'0,0,1,',0,1,'0,,1A B C A B C λλλλ，

所以1,0,,,,12222M N λλλ????

? ?????

，设()111=,,m x y z 是平面'AMN 的法向量， 由'=0,=0m A M m MN ?????得11111-=0221+=022

x z y z λλ??

?????，可取()=1,-1,m λ

设()222=,,n x y z 是平面MNC 的法向量，

由=0,=0n

NC n

MN ?????得222

22

-+-=0

221+=022

x y z y z λ

λλ???????，可取()=-3,-1,n λ

因为'--A MN C 为直二面角，所以()()2

=0,-3+-1-1+=0m n λ?即，解得=2λ 19. （本小题满分12分）

电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了

100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷“

（1）根据已知条件完成下面的22?列联表，并据此资料你是否认为“体育迷 非体育迷

体育迷 合计 男 女 10 55

合计

（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随

机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X

附：()2

112212212

1+2++1+2

-=n n n n n n n n n χ，

()2P k χ≥

0.05 0.01 k

3.841

6.635

（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22?列联表如下：

非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计

75

25

100

将列联表中的数据代入公式计算，得

()()2

2

1122122121+2++1+2-1003010-4515100

=== 3.0307525455533

n n n n n n n n n χ???≈???

因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.

（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为

14

. 由题意13,3X

B ??

???

，从而X 的分布列为 X 0

1

2

3

P

2764 2764 964 1

64

()==3=44E X np ?，()()=1-=3=4416

D X np p ??.

20. （本小题满分12分）

如图，

椭

圆

()22

022:+=1>b>0,a,b x y C a a b 为常数，动圆

222111:+=,<

左、右顶点，1C 与0C 相交于,,,A B C D 四点 （1）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；

（2）设动圆222

22:+=C x y t 与0C 相交于',',','A B C D 四点，其中2<

若矩形ABCD 与矩形''''ABCD 的面积相等，证明：2212+t t 为定值 设()()1111,,,-A x y B x y ，又知()()12-,0,,0A a A a ，则 直线1A A 的方程为 ()1

1=

++y y x a x a

① 直线2A B 的方程为

()1

1-=

--y y x a x a

② 由①②得 ()2

2

221221-=--y y x a x a

③

由点()11,A x y 在椭圆0C 上，故可得221122+=1x y a b ，从而有222112=1-x y b a ?? ???

，代

入③得

()22

22

-=1<-,<0x y x a y a b

（2）证明：设()22',A x y ，由矩形ABCD 与矩形''''ABCD 的面积相等，得

2222112211224=4,=x y x y x y x y ∴，因为点,'A A 均在椭圆上，所以

2222221212221-=1-x x b x b x a a ???? ? ?????

由12t t ≠，知12x x ≠，所以22212+=x x a 。从而222

12+=y y b ，因而222212+=+t t a b

为定值

21. （本小题满分12分）

设()(

)()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线

3

=2

y x 在()0,0点相切. （1）求,a b 的值；

（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6

x

f x x

（1）由()=y f x 的图像过()0,0点，代入得=-1b 由

()

=y f x 在

()

0,0处的切线斜率为32

，

又

=0=013'==++12

x x y a a x ??

???，得=0a

（2）（证法一）由均值不等式，当>0x 时，)+1+1=+2

x x ，故

+12

x

记

()()9=-

+6

x h x f x x

，则

()

()()()()

222

15454+654

'=

<-+14+1+6+6+6x h x x x x x x ()()()()

3

2

+6-216+1=4+1+6x x x x ，令()()()3

=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时， ()()2

'=3+6-216<0g x x

因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，于是当0<<2x 时，

()9<

+6

x

f x x （证法二）

由（1）

知()()=ln +1f x x ，由均值不等式，当>0x 时，

)+1+1=+2

x x +12

x

令()()=ln +1-k x x x ，则()()1-0=0,'=

-1=<0+1+1x

k k x x x ，故()<0k x ，即()ln +10x 时，()3

<2

f x x ，记()()()=+6-9h x x f x x ，

则当0<<2x 时，

()()()(

)()31

'=++6'-9<++6-92+1h x f x x f x x x x ? ?

(

)()()(()()()()(11=

3+1++6-18+1<3+1++63+-182+12+12x x x x x x x x x x x ???

?? ??????

?()

()=

7-18<04+1x

x x

因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，即()9<+6

x

f x x 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲