车辆系统振动的理论模态分析
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
多自由度系统的振动模态分析
多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。
在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。
本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。
一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。
每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。
多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。
二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。
每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。
振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。
三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。
常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。
有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。
模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。
2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。
模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。
实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。
数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。
四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。
首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。
其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。
此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。
车架模态分析思想报告总结
车架模态分析思想报告总结车架模态分析是指对汽车车架结构的振动特性进行分析和评估的一种方法。
通过对车架的模态分析，可以了解和预测车架在运行过程中可能发生的振动问题，为车辆设计和优化提供依据。
本报告对车架模态分析思想进行总结，旨在探讨车架模态分析的重要性和应用价值。
首先，车架模态分析是汽车设计中不可或缺的一环。
车辆在运行过程中会受到各种载荷的作用，例如路面不平坦带来的冲击载荷、发动机引起的振动载荷等。
如果车架结构刚度不足或设计不合理，就会导致车架振动问题，严重影响车辆的安全性和乘坐舒适性。
通过模态分析，可以了解车架在不同频率下的振动模态，发现潜在的振动问题，并采取相应的优化措施，保证车架结构的刚度和稳定性。
其次，车架模态分析可以指导设计优化。
在车架结构设计过程中，模态分析可以帮助工程师更好地了解车辆结构的振动特性，找出对振动模态产生明显影响的设计参数，并进行参数优化。
例如，可以通过对车架结构进行加强或抑制某些特定频率振动的措施，提高车架的自然频率，减小振动幅度，从而提升车辆的操控性和稳定性。
此外，模态分析还可以评估各种设计变异对车架振动特性的影响，帮助设计师选择最佳设计方案。
再次，车架模态分析有助于预测振动和噪声问题。
车辆振动不仅影响乘坐的舒适性，还可能引起噪声问题，如噪声传导到车厢或其他部件。
通过模态分析，可以预测车架在不同频率下的振动模态，并根据振动模态的分布情况，合理地设计和布置车辆的各个部件，以减少振动对车辆结构和乘坐环境的影响，从而降低噪声问题。
最后，车架模态分析可以提高车辆开发的效率和准确性。
传统的震动台试验需要耗费大量时间和资源，并不适用于大规模的车辆开发过程。
而通过有限元分析和模态分析技术，可以在计算机上进行虚拟试验，快速准确地评估车架的振动特性。
这不仅节省了试验成本，也提高了开发效率。
而且，模态分析可以同时考虑多种载荷情况下的振动问题，及时发现和解决潜在问题，保证车辆的安全和可靠性。
振动测试技术模态实验报告
振动测试技术模态实验报告It was last revised on January 2, 2021研究生课程论文(2013-2014学年第二学期)振动测试技术研究生：模态试验大作业0 模态试验概述模态试验（modal test）又称试验模态分析。
为确定线性振动系统的模态参数所进行的振动试验。
模态参数是在频率域中对振动系统固有特性的一种描述，一般指的是系统的固有频率、阻尼比、振型和模态质量等。
模态试验中通过对给定激励的系统进行测量，得到响应信号，再应用模态参数辨识方法得到系统的模态参数。
由于振动在机械中的应用非常普遍。
振动信号中包含着机械及结构的内在特性和运行状况的信息。
振动的性质体现着机械运行的品质，如车辆、航空航天设备等运载工具的安全性与舒适性；也反映出诸如桥梁、水坝以及其它大型结构的承载情况、寿命等。
同时，振动信号的发生和提取也相对容易因此，振动测试与分析已成为最常用、最基本的试验手段之一。
模态分析及参数识别是研究复杂机械和工程结构振动的重要方法，通常需要通过模态实验获得结构的模态参数即固有频率、阻尼比和振型。
模态实验的方法可以分为两大类：一类是经典的纯模态实验方法，该方法是通过多个激振器对结构进行激励，当激振频率等于结构的某阶固有频率，激振力抵消机构内部阻尼力时，结构处于共振状态，这是一种物理分离模态的方法。
这种技术要求配备复杂昂贵的仪器设备，测试周期也比较长；另一类是数学上分离模态的方法，最常见的方法是对结构施加激励，测量系统频率响应函数矩阵，然后再进行模态参数的识别。
为获得系统动态特性，常需要测量系统频响函数。
目前频响函数测试技术可以分为单点激励单点测量( SISO)、单点激励多点测量( SIMO) 、多点激励多点测量( MIMO)等。
单点激励一般适用于较小结构的频响函数测量，多点激励适用于大型复杂机构，如机体、船体或大型车辆机构等。
按激励力性质的不同，频响函数测试分为稳态正弦激励、随机激励及瞬态激励三类，其中随机激励又有纯随机、伪随机、周期随机之分。
车辆转向系统振动特性的试验分析
新车型 开发过程 中解决方 向盘振 动严重的 问题就非 常必要 。通过试验对转 向 系统方向盘进行传递 函数 测试 ， 得到方 向
盘振动 的固有频 率 ， 并与发 动机 怠速状 态下的激励频率对 比， 从而分析 方向盘在 怠速状 态下振动过 大的原因， 并为转 向 系统的进一 步结构优 化设计打 下基 础。 关键词 ： 转向 系统 ； 振动特性 ； 模 态分析 中图分 类号 ： Ｕ ４ ６ ３ ． ４ 文献标识码 ： Ｂ 文章编号 ： １ ６ ７ ２ — ５ ４ ５ Ｘ （ ２ ０ １ ４） ０ １ — ０ １ １ ９ — ０ ２
ｉ 为 气缸 数 。 布置如图 １ 。
怠速时发动机转速一 般为 ７ ５ ０ ｒ ／ ｍ ｉ ｎ 左右 ， 此水平地 面上 ， 发动
主激励频率 为 ２ ５ Ｈ ｚ 左右 。 因此一般要求汽车上的子 机 处 在熄 火状 态 。
收 稿 日期 ： ２ Ｏ ｌ ３ － ｌ Ｏ 一 ０ ４
根据频谱 响应 曲线可知 ，方 向盘 的固有频率为 个测点 ， 每个 测 点 间 隔 ６ ０ 。， 在 方 向盘 中心 布置 第 ７ ２ ７ ． ５ Ｈ ｚ 。 该 车方 向盘 的固有频 率和怠 速状 态下发动 机 激励频率 ２ ５ Ｈ ｚ 比较接近 ， 容易引起转向系统的共振 ， 个测点。 （ ３ ） 激励方法 ：用力锤在方向盘 ｌ ２ 点钟位置做 会 引起驾驶 员怠 速状态下 操作方 向盘感 到不舒 适 。 ４ ． ２ 模态 试 验测 试 结 果与 分析 Ｘ 向激 励 。 将在测试系统 中得到的转 向系统频谱 曲线导人 到软件 中做模态参数识别与分析 ，可得到对应的振 型 图和前六 阶固有频率 ，模态试验振 型图及前六阶 固有频 率 结果 分别 如 图 ４和表 ２ 。 图４ （ ａ ） 是 方 向盘 １ ２点种 位 置 ｘ方 向激励 时 ， 方 向盘一 阶 振型 图 ， 为纵 向震动 。 图４ （ ｂ ） 是 方 向盘 １ ２点 钟位 置 ｘ方 向激励 时 ， 方 图 １ 方 向盘 振 动 模 态 测 试 试 验 布 置 图 向盘二 阶 振 型 图 ， 为横 向震动 。 ３ ． ２ 发 动 机怠 速 状态 方 向盘 振 动试 验
基于LMS Virtual.Lab 的整车振动及声学响应分析
基于LMS b的整车振动及声学响应分析邢玉涛李燕洪燕田冠男奇瑞汽车有限公司公用技术院CAE设计仿真和方法部摘要：本文介绍在整车开发过程中利用LMS b进行模态综合分析，计算整车模态及关键点传递函数，并在整车模态分析基础上结合试验测试结果预测分析地板、座椅导轨及方向盘的振动，利用LMS b声学模块计算车内驾驶员耳侧声压响应，为后期试验调校提供参考依据。
关键词：整车NVH；模态综合；振动噪声1.概述在现代汽车设计过程中，CAE分析起到越来越重要的作用，在汽车设计初期即可快速的取得结果，从而取代后期大量的试验，使得汽车设计周期大大缩短，降低研发成本。
而作为汽车性能重要指标的NVH在现代汽车市场中越来越受到人们的重视，也成为许多厂家核心竞争力的一部分，涉及车辆的振动噪声问题已经成为汽车技术领域的一个研究热点。
随着国内整机厂汽车CAE技术的成熟，利用CAE技术模拟汽车NVH问题已经不仅仅局限于零部件及子系统的模态，基于整车模型的整车振动和噪声响应的模拟预测技术也已经逐渐被掌握。
在设计的虚拟样机阶段即可预测振动噪声水平，以便及时的更改设计，达到可接受的振动噪声水平。
发动机是汽车主要的振动和噪声源。
发动机怠速时产生的振动与噪声水平是汽车用户对汽车NVH 性能的第一感觉。
本文运用LMS b 软件对由发动机怠速引起车内方向盘的振动及乘员耳旁的噪声分析进行方法研究。
2.整车模型的建立整车模型是一个复杂的系统，本文以目前公司正在研发的某款车型为例，构建整车模型。
所用整车模型节点有1,649,400个，单元有1,925,038个，包括Trimmedbody、前后悬、轮胎、动力总成及排气系统等。
由于模型庞大，直接建立整车模型进行模拟分析不但耗时巨大，而且不利于子系统模型的准确性判断。
因此，本文采用LMS.VirtualLab中的模态综合法进行计算，即先分系统计算模态，最后进行模态综合的方法分析整车振动和声学响应。
将整车模型分为Trimmedbody、前悬架、后悬架及动力总成和排气系统四个系统，其中转向系统包含在Trimmedbody中，以便转向杆与转向横拉杆之间MPC的建立。
关于车身振动及激励源的分析
分布特性列表看出，振幅值较大的区域也均出现在 传动轴为 3700rpm 到 4500rmp 的范围内，对应的发 动机转速为 2870rpm 到 3500rpm，此转速范围对应 车速范围 97km/h 到 118km/h，这个车速范围正好是 异常振动问题出现的区间。车架上各测点的振动在 一定程度上也受到车轮转动频率的影响（传动轴的 0.19 阶），但发动机的 2 阶或 4 阶惯性力对发动机、 传动轴支架以及车架上各测点的振动贡献更大一 些，且频率主要分布在 100Hz 以上，但这部分频率 成分并没有明显的传递到车身和车厢内部。
图 7 改进后第二阶频率 16.59Hz
图 8 改进后第三阶频率 20.79Hz
图 9 改进前侧壁结构
22 技术纵横
轻型汽车技术 2009（5/ 6）总 237/ 238
3.3 关于侧壁改进的模态分析 根据模态頻率，初步推算噪声主要来自车身结 构振动和低频噪声。针对可能因白车身强度及侧壁 结构问题导致的车身异常抖动导致开裂的可能性， 作者对白车身的侧壁相关零件做了重新设计及局部 加强。原先侧壁结构为骨架内板、骨架外板及车身外 板三层板结构，彼此按各自所在层面与邻边有搭接 关系的零件点焊。在汽车运行中，由于整车抖动的不 确定性，导致骨架内板与骨架外板间歇性接触，行驶 过程中产生碰撞噪声，结构如图 9。 通过改进侧壁骨架的连接方式及增加立柱加强 板来提高车身刚度，其中修改侧壁骨架内板板造型， 使零件骨架内板与外板焊接，结构如图 10。同时，在 立柱薄弱点增加立柱加强板，提高侧壁刚度。
车体结构振动模态仿真与试验一致性分析
态； 计算 ２是指整备重量处理方式 ２的车体 自由模态
由上表 中的数据分析可知 ： ①对 比车体钢结 构的计算与试验数据 ， 菱形和一阶垂 向弯曲来说 是很 接 近 的 ， 但扭 转振 型差别 大 ． 表 ２中的数 据 ②
分 析表 明针 对整 备 状 态 车体 的两 种 处 理方 式 ， 如 从 车体 振型 出现 前 后顺 序 考 虑 的话 ， 法 １和试 方 验 接近 ， 只是考 核对 车 体 影 响较 大 的一 阶垂 向 如 弯 曲模 态频率 ， 么方 法 ２中 的结 果 和试 验相 对 那 更接 近些 ． 规分 析看来 ， 法 ２中 的质量 分 布更 常 方
性 、 全性及 寿命 ， 目的在 于优 化车身 结构 以控 安 其
一
正定矩 阵 ； 为车 体有 限元模 型 的 总体 刚 度矩 Ｋ
阵 ， 一 半 正 定 矩 阵 ； 表 示 车 体 振 动 的位 移 向 为 量 ． 是 ， 体 结 构 自 由振 动 的 各 阶 固 有 频 率 于 车
制车体 模态 频率 与 模 态 振 型． 车体 模 态 分 析不 仅 可用 来分析 整 车 的性 能 ， 可 直接 对 其 结 构设 计 还 进行 评价 ． 近年 来 国内许 多 学 者在 车 体 的模 态分 析 中进行 了不 懈 的努 力 和 探 索 ， 车 和动 车 组钢 机 结构 车体 的 自由模态 分析 ， 针对不 同类 型车体 钢结 构 自由模 态做 了深入 的研究 并取 得 了很 好 的
求得 该特 征矩 阵 的伴 随矩 阵
Ｃ ＝Ｋ 一∞ ２ Ｍ （） ５
则该 伴 随矩 阵 的任 一 非 零 列 向量 即为 固有 频 率
∞ 所 对应 的振 型． ，
１ 模 态 分 析 理 论 基础
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振 动 与 冲 击第20卷第2期JOURNALOFVIBRATIONANDSHOCKVol.20No.22001
工程应用车辆系统振动的理论模态分析Ξ
陶泽光 李润方 林腾蛟(重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆 400044)
摘 要 将车体和转向架看成弹性体,采用有限元方法,建立用空间梁单元描述的具有50个自由度的车辆系统力
学模型,并以客车为例研究其垂向振动的固有特性,所得结果既反映系统动力学性能,又为动态响应计算和分析打下基础。关键词:车辆动力学,模态分析,有限元法中图分类号:TH132.41
0 引 言高速铁路运输以快速、节能、经济、安全和污染小等优势,在与高速公路和航空等运输形式的竞争中迅速发展起来。列车运行速度的提高给机车车辆提出了许多新要求,带来了新的课题,如大的牵引动力、大的制动功率、剧烈的横向动力作用和更加明显的垂向越轨动力作用、复杂的高速气流、振动和噪声等。其中,振动和噪声是高速列车一个非常重要的问题,它既关系到高速列车运行的安全性,又关系到列车高速运行时的乘坐舒适度。车辆系统是由车体、转向架构架、轮对,通过悬挂
元件联接起来的机械系统。通常,把车体及装载、转向架构架及安装部件、轮对及装备视为刚体,作为刚体动力学系统,研究其动力特性[1,2],这方面的技术已
比较成熟,有商品化的通用软件可供使用[3]。本文将车体和转向架看成弹性体,采用有限元法,建立了用六自由度节点空间梁单元描述的车辆系统动力学模型,由于包括车辆的浮沉、点头垂向振动,
车辆的横摆、侧滚和摇头横向振动的研究。在建立车辆系统离散化模型的基础上,计算车辆垂向振动的各阶固有频率和振型,为车辆系统的动态响应计算和分析打下基础。
图1 车辆振动系统的有限元模型1 车辆的动力学模型
将车辆振动系统简化为图1所示的分析模型,即由车体、转向架和轮对通过弹簧与阻尼器连接起来的
振动系统。其中,将车体和转向架看成空间弹性梁,每
Ξ西南交通大学牵引动力国家重点实验室开放课题基金资助项目 收稿日期:2000-10-10 修改稿收到日期:2000-11-20
第一作者 陶泽光 男,博士,副教授1963年12月生一轮对视为集中质量。对于空间梁单元,每一节点有六个自由度,即沿三个局部坐标轴X、Y、Z的移动和绕三个局部坐标轴的转动(图2)。对车体来说,则对应于车体的六种运动形式:浮沉运动———即车体沿Y轴方向平移;横摆运动———即车体沿Z轴方向平移;伸缩运动———即车体沿X轴方向平移;摇头运动———即车体绕Y轴回转;点头运动———即车体绕Z轴回转;侧滚运动———即车体绕X轴回转。图2 空间梁单元2 动力学方程的建立和求解由有限元法求出车体空间梁单元的刚度、质量和阻尼矩阵,将所有梁单元组集后即可得到车体的刚度、质量和阻尼矩阵。同理可得转向架的刚度、质量和阻尼矩阵。最后利用单元组集拼装的对号入座法则,并考虑到车辆各联接处的刚度和阻尼,得到车辆系统的总体刚度矩阵[K]、质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C],由此可得车辆系统的运动微分方程 [M]{¨X}+[C]{X}+[K]{X}={F(t)}(1)式中,{¨X},{X},{X},{F(t)}分别为车辆的系统各自由度加速度、速度、位移和激振力向量。若无外力作用,即{F(t)}={0},则得到系统的自由振动方程。在计算系统的固有频率和固有振型时,阻尼影响可以略去,这时无阻尼自由振动的运动方程为 [M]{¨X}+[K]{X}={0}(2)其对应的特征方程为 ([K]-ω2[M]){X}=0(3)式中ω为车辆系统的固有频率。图3为求解车辆系统的固有频率和振型的程序框图。3 应用实例下面以客车为例,研究车辆垂向振动系统的固有频率和振动。所选车辆为带CW-3转向架的22型客车。如图1,将车体划分为12个单元,每个转向架划分为4个单元,四个轮对即为4个集中质量,车体和转向架的每个节点有两个自由度(Y方向的位移和绕Z轴的转角),每个轮对有一个自由度(Y方向的位移),整个车辆系统共有50个自由度。表1为所选车辆的计算参数。图3 求解程序框图表1 车辆系统的主要计算参数项目代号数值项目代号数值车体重量M133.6Mg
车体
长度L125.5m
转向架重量M22.4Mg转向架长度L23m
轮对重量M31.8Mg
车辆
定距L18m
每轴箱一系垂向刚度K10.502MN/m弹性模量E2.1×10
11
N/m2每空簧二系垂向刚度K20.29
MN/m泊松比ν0.28
表2为计算得到的车辆系统前5阶固有频率和振型。图4为前3阶的振型图(横坐标为节点号)。从计算结果可以看出,前二阶为车体的振动,后三阶为转向架和轮对的振动。表2 计算结果固频(Hz)0.8542.44.8335.416.814
振型车体的浮沉和点头振动车体的浮沉和点头振动转向架的垂直振动轮对的垂直振动转向架的垂直振动
4 结 论(1)本文用有限元法将车体和转向架简化为空间
梁元,从而可较准确地在设计阶段预测和研究列车车辆系统的动力特性。(2)所求出的各阶固有频率和振型,反映了系统
的动力学特性,同时为车辆系统的动态响应计算和分析打下基础。(下转第88页)
57第2期 陶泽光等:车辆系统振动的理论模态分析 图6给出了对称角铺设复合材料层合板[-15°/15°/15°/-15°]在板侧流体介质B′分别为空气和水时的传声损失曲线,可以看到,由于流体加载效应,层合板的固有频率较B′为空气时有较大降低,而且,当B′为水时该层合板的传声损失远大于B′为空气时层合板的传声损失。
表1 复合材料层合板的固有频率铺层顺序频率/Hz
12345678910[0]424.937.061.890.999.099.8116.2145.8151.3190.0
[-15/15]s25.841.969.987.9102.6109.1129.8154.9175.7193.8
[-30/30]s27.752.381.187.7113.2132.3162.7167.8185.2201.3
[-45/45]s28.858.676.397.6127.3145.3146.1184.4202.4220.8
[-15/15]as26.844.774.489.3106.6116.7135.4173.0176.0194.8
[-30/30]as30.359.983.9103.8120.4164.2171.6171.7210.9236.5
[-45/45]as32.074.074.0126.8139.0139.0199.4199.4230.4230.4
[0/90/90/0]24.947.286.092.299.0131.4159.1188.4191.2199.6[0/90/90/0]24.969.469.499.0150.2150.2169.0169.0220.5267.1
3 结 论数值计算表明:对复合材料层合板,即使在相同材料、相同层数、相同厚度等情况下,不同的铺设角度和铺设方式仍会对层合板的传声损失产生较大影响,这在复合材料结构设计中是值得注意的。
参 考 文 献
1 SgardF,AtallaN,NicolasJ.CoupledFEM-BEMapproachformeanfloweffectsonVibro-acousticbehaviorofplanarstructures,AIAAJournal,1994;32(12):2351-23582 WangBT,FullerCR,DimitriadisEK.Activecontrolofnoisetransmissionthroughrectangularplatesusingmultiplepiezoelectricorpointforceactuators.J.Acoust.Soc.Am.,1991;90(5):2820-2830
3 顾元宪,曾庆纲.一种新的四边形层合板与夹层板单元.大连理工大学学报,1997;37(4):392-397
(上接第75页)
图4 车辆系统振型图(3)在设计阶段预估车辆系统的动态性能,可为车辆
的动态特性实验提供理论依据。
参 考 文 献1 白协伟.弹性车体铁路车辆的垂向随机振动问题.西南交通大学学报,1986
2 程隆文.客车垂向振动研究.西南交通大学学报,19853 藏其吉.车辆动力学的研究和发展.中国铁道科学,19944 李润方,王建军.结构分析程序SAP5原理及其应用.重庆:重庆大学出版社,1992
5 向 俊.机车车辆随机振动分析的有限单元法研究.长沙铁道学院学报,1995
6 孙靖民.机床结构计算的有限元法.北京:机械工业出版社,19837 夏永源,张阿舟.机械振动问题的计算机解法.北京:国防工业出版社,1993
8 万耀青,阮宝湘.机电工程现代设计方法.北京:北京理工大学出版社,1994
9 TetsujiHIROTSUetc.,SimulationofHuntingofRailVehicles,JSMEInternationalJournal,SeriesIII,1991;34(3)
88 振 动 与 冲 击 2001年第20卷