人教版 八年级数学上册 第11章 三角形 综合培优训练(含答案)
人教版八年级数学上册第11章三角形综合培优训练一、选择题（本大题共12道小题）1. 已知在△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值()A. 11B. 5C. 2D. 12. 如图，在△ABC中，表示AB边上的高的图形是()3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为()A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°4. 若三角形的两边长分别为3和6，则它的第三边长可以为()A．3 B．4C．9 D．105. 如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为()A．65°B．70°C．75°D．85°6. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以作2条对角线，则这个多边形是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形7. 如图是六边形ABCDEF,则该图形的对角线的条数是()A.6B.9C.12D.188. 下列关于三角形的分类，有如图K－1－4所示的甲、乙两种分法，则()A．甲、乙两种分法均正确B．甲分法正确，乙分法错误C．甲分法错误，乙分法正确D．甲、乙两种分法均错误9. 如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为()A. 50°B. 51°C. 51.5°D. 52.5°10. 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A. 3，4，4B. 3，4，5C. 3，4，6D. 3，4，711. 若三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形的最大内角是()A．75°B．90°C．105°D．120°12. 如图，在△ABC中，D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∠A＝80°，∠ABD ＝30°，则∠BDC的度数为()A．100°B．110°C．120°D．130°二、填空题（本大题共12道小题）13. 如图，王明想从一块边长为60 cm的等边三角形纸片上剪下一个最大的正六边形，写上“祝福祖国”的字样来表达自己的喜悦之情，则此正六边形的边长是________ cm.14. 如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是________________．15. 如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C＝90°，∠1＝36°，则∠2＝________．16. 如图所示，x的值为________．17. 如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线．若∠B＝71°，则∠BAC＝________．18. 如图所示，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则外角∠ACD=.19. 已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是.20. 如图，已知a∥b，若∠1＋∠2＝75°，则∠3＋∠4＝________°.21. 如图，在△ABC中，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D.(1)若∠A＝70°，则∠ACE－∠ABC＝________°，∠D＝________°；(2)若∠A＝α，则∠ACE－∠ABC＝________，∠D＝________．22. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝________°.23. 今年暑假，实验中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派一名教师作为指导老师．为了加强同学间的协作，学校要求各班每两人之间(包括指导教师)每周至少通一次电话，现知该校八年级(5)班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S之间的关系用下列模型表示，如图根据小明设计的模型，可知该班师生之间每周至少要通电话的次数为________．24. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD 的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝________°.三、作图题（本大题共2道小题）25. 如图，已知△ABC.(1)画出BC边上的中线AD；(2)画出△ABD的角平分线AE；(3)画出△ADC的边AD上的高CF；(4)若AD＝5，CF＝3，求△ABC的面积．26. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，、、、、、均在格点上．在图①、图②、图小正方形的边长为1，点A B C D E F③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．(1)在图①中以线段AB为边画一个ABM△，使其面积为6．(2)在图②中以线段CD为边画一个CDN△，使其面积为6．(3)在图③中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ，使其面积为9，且90EFG ∠=︒．四、解答题（本大题共6道小题）27. 如图，佳佳和音音住在同一小区(A 点)，每天一块去学校(B 点)上学.一天，佳佳要先去文具店(C 点)买练习本再去学校，音音要先去书店(D 点)买书再去学校(B ，D ，C 三点在同一条直线上).这天两人从家到学校谁走的路程远?为什么?28. “X ”与“Y ”分别是两个多边形，请根据图中“X ”与“Y ”的对话，解答下列各小题．(1)求“X ”与“Y ”的外角和相加的度数； (2)分别求“X ”与“Y ”的内角和的度数．29. 如图，在△ABC中，BD 是角平分线，CE 是AB 边上的高，且∠ACB=60°，∠ADB=97°，求∠A 和∠ACE 的度数.30. 如图11－Z－11，点B在点A的南偏西45°方向，点C在点A的南偏东30°方向，点C在点B的北偏东60°方向，求∠C的度数．31. 观察与转化思想如图是五角星形，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．32. 已知:如图1-Z-20，在四边形ABCD中，∠D=90°，∠ABC=∠BCD，点E在直线BC上，点F在直线CD上，且∠AEB=∠CEF.(1)如图①，若AE平分∠BAD，求证:EF⊥AE;(2)如图②，若AE平分四边形ABCD的外角，其余条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立?说明理由.人教版八年级数学下册第11章三角形综合培优训练-答案一、选择题（本大题共12道小题）1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】A【解析】由AE∥BD，可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC 可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.4. 【答案】B5. 【答案】B[解析] ∵DE⊥AB，∠A＝35°，∴∠CFD＝∠AFE＝55°.∴∠ACB＝∠D＋∠CFD＝15°＋55°＝70°.6. 【答案】B[解析] 设这个多边形的边数是n.由题意，得n－3＝2，解得n＝5.7. 【答案】B[解析] 当边数n=6时,多边形的对角线的条数为=9.8. 【答案】C9. 【答案】D【解析】∵AC＝CD，∠A＝50°，∴∠ADC＝50°，∵DC＝DB，∠ADC＝∠B＋∠BCD＝50°，∴∠B＝∠BCD＝25°，∴∠BDC＝130°，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝77.5°，∴∠CDE＝∠BDC－∠BDE＝130°－77.5°＝52.5°，故答案为D.10. 【答案】C【解析】①∵32＋42＝52，∴三条线段3、4、5组成直角三角形，∴B选项不正确；②当把斜边5变成7时，3＋4＝7，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，∴D选项不正确；③当把斜边5稍微变小一点为4时，三条线段为3、4、4组成锐角三角形，∴A选项不正确；④当把斜边5稍微变大一点为6时，三条线段为3、4、6组成钝角三角形，∴C选项正确．11. 【答案】C[解析] ∵一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，∴可设这个三角形的三个内角分别为2x，3x，7x.由题意，得2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°.∴7x＝105°.12. 【答案】D[解析] ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∠ABC＝2∠ABD＝2×30°＝60°. ∴∠ACB＝180°－∠A－∠ABC＝40°.∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝12∠ACB＝12×40°＝20°.∴∠BDC＝180°－∠DCB－∠DBC＝130°.二、填空题（本大题共12道小题）13. 【答案】2014. 【答案】三角形具有稳定性15. 【答案】54°【解析】如解图，过点C作直线CE∥a，则a∥b∥CE，则∠1＝∠ACE，∠2＝∠BCE，∵∠ACE＋∠BCE＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∵∠1＝36°，∴∠2＝54°.16. 【答案】55°[解析] 由多边形的外角和等于360°，得360°－105°－60°＋x＋2x＝360°，解得x＝55°.17. 【答案】38°【解析】∵AD∥BC，∠B＝71°，∴∠EAD＝∠B＝71°.∵AD 是∠EAC的平分线，∴∠EAC＝2∠EAD＝142°，∴∠BAC＝180°－∠EAC＝180°－142°＝38°.18. 【答案】105°19. 【答案】520. 【答案】105[解析] 如图，∠5＝∠1＋∠2＝75°，∴∠3＋∠4＝∠6＋∠4＝180°－∠5＝180°－75°＝105°.21. 【答案】(1)7035 (2)α 12α22. 【答案】114[解析] 因为AB ∥CD ，所以∠BAB′＝∠1＝44°.由折叠的性质知∠BAC ＝12∠BAB′＝22°.在△ABC 中，∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠2)＝114°.23. 【答案】1378[解析] 将八年级(5)班师生共53人看作五十三边形的53个顶点，由多边形对角线条数公式可得对角线为53×（53－3）2＝1325(条)，1325＋53＝1378(次)．因此该班师生之间每周至少要通1378次电话．[点评] 本题的数学模型实质上是n 个人之间彼此握一次手，求握手总次数的问题，其次数为n ＋12(n －3)·n ＝12n(n －1)．24. 【答案】(m22020)三、作图题（本大题共2道小题）25. 【答案】解：(1)～(3)如图．(4)S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12AD·CF ＝15.26. 【答案】(1)如图①所示，ABM △即为所求． (2)如图②所示，CDN △即为所求． (3)如图③所示，四边形EFGH 即为所求．四、解答题（本大题共6道小题）27. 【答案】解:佳佳从家到学校走的路程远.理由:佳佳从家到学校走的路程是AC+CD+BD，音音从家到学校走的路程是AD+BD.∵在△ACD中，AC+CD>AD，∴AC+CD+BD>AD+BD，即佳佳从家到学校走的路程远.28. 【答案】解：(1)360°＋360°＝720°.(2)设X的边数为n，则Y的边数为3n.由题意，得180(n－2)＋180(3n－2)＝1440，解得n＝3.所以X的内角和为180°×(3－2)＝180°，Y的内角和为180°×(3×3－2)＝1260°.答：“X”的内角和的度数为180°，“Y”的内角和的度数为1260°.29. 【答案】解:∵∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=97°-60°=37°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABC=74°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=46°.∵CE是AB边上的高，∴∠AEC=90°.∴∠ACE=90°-∠A=44°.30. 【答案】解：∵∠NBC＝60°，∠NBA＝∠BAS＝45°，∴∠ABC＝∠NBC－∠NBA＝60°－45°＝15°.又∵∠BAC＝∠BAS＋∠SAC＝45°＋30°＝75°，∴在△ABC中，∠C＝180°－(75°＋15°)＝90°.31. 【答案】解：如图，∵∠1是△CEG的外角，∴∠1＝∠C＋∠E.同理可得∠AFB＝∠B＋∠D.∵在△AFG中，∠A＋∠1＋∠AFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.32. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAE=180°-∠ABC-∠AEB，∠EFC=180°-∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠BAE=∠EFC.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE.∴∠EFC=∠DAE.∵∠EFC+∠EFD=180°，∴∠DAE+∠EFD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠DAE+∠EFD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.(2)EF⊥AE仍成立.理由如下:如图.∵∠1=∠ABC-∠AEB，∠F=∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠1=∠F.∵AE平分四边形ABCD的外角，∴∠1=∠2.∴∠F=∠2.∵∠2+∠EAD=180°，∴∠F+∠EAD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠F+∠EAD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.。
2021最新人教版 八年级数学 上册第11章 三角形 综合巩固训练(含答案)
人教版八年级数学第11章三角形综合巩固训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，在△ABC中，AC边上的高是( )图A．线段DA B．线段BAC．线段BC D．线段BD2. 在△ABC中，∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数是( )A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( )A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，105. 在△ABC中，∠A，∠C与∠B处的外角的度数如图所示，则x的值是( )A．80 B．70 C．65 D．606. 若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则它是( )A．正九边形B．正十边形C．正十一边形D．正十二边形7. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是( )A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形8. 若在n边形内部任意取一点P，将点P与各顶点连接起来，可以把n边形分成n个三角形，利用这个事实，可以探索到n边形的内角和为( )A．180°×n B．180°×n－180°C．180°×n＋180°D．180°×n－360°9. (2019•大庆)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是A．15°B．30°C．45°D．60°10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为( )A．70°B．108°C．110°D．125°二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，已知AB，CD相交于点O，且∠A＝38°，∠B＝58°，∠C＝44°，则∠D＝________°.12. 如图所示，x的值为________．13. 如图，若A表示四边形，B表示正多边形，则阴影部分表示________．14. 若一个等腰三角形两边的长分别为2 cm，5 cm，则它的周长为________cm.15. 如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以说明一个几何定理．请你写出这个定理的内容：______________________.16. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是D，E，F.若AC＝4，AD＝3，BE＝2，则BC＝________．17. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝________°.18. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD 的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°.(1)求出这个正多边形的一个内角的度数;(2)求这个正多边形的边数.20. 如图，AE，BO，CO分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D. 求证：∠1＝∠2.21. 探究与证明如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？22. 已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN.(1)若多边形为四边形ABCD.①如图(a)，∠A＝50°，∠C＝100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数；②如图(b)，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想．(2)如图(c)，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD ＝120°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数．人教版 八年级数学 第11章 三角形 综合巩固训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D2. 【答案】C【解析】根据三角形内角和为180°，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝45°.3. 【答案】B【解析】∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠ACD ＝40°，∵∠ACB ＝90°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°.4. 【答案】C【解析】若三条线段的长满足三角形的三边，则这三条线段长满足最小的两边之和大于地三边，由题意，A ，B ，D 都能构成三角形，C 中5＋6＝11<12，不能构成三角形．5. 【答案】B6. 【答案】A[解析] 由于正多边形的外角和为360°，且每一个外角都相等，因此边数＝360°40°＝9.7. 【答案】A [解析] 剪去一个角的方法有三种：经过两个顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．所以一个n 边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或(n＋1)边形或(n－1)边形．8. 【答案】D9. 【答案】B【解析】∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM=12∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM=12∠ACM，则∠BEC=∠ECM–∠EBM=12×(∠ACM–∠ABC)=12∠A=30°，故选B．10. 【答案】C [解析] ∵在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠BCP＝∠1＋∠BCP＝∠ACB＝70°.∴∠BPC＝180°－∠2－∠BCP＝180°－70°＝110°.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】64 [解析] 由三角形内角和定理可知∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∠B＋∠C＋∠BOC＝180°.∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C.∴∠D＝64°.12. 【答案】55°[解析] 由多边形的外角和等于360°，得360°－105°－60°＋x ＋2x ＝360°，解得x ＝55°.13. 【答案】正方形14. 【答案】12[解析] 分两种情况讨论：①当腰长为5 cm 时，三边长分别为5 cm ，5 cm ，2 cm ，满足三角形三边关系，周长＝5＋5＋2＝12(cm)．②当腰长为2 cm 时，三边长分别为5 cm ，2 cm ，2 cm.∵2＋2＝4＜5， ∴5 cm ，2 cm ，2 cm 不满足三角形的三边关系． 综上，它的周长为12 cm.15. 【答案】三角形三个内角的和等于180°16. 【答案】83 [解析] ∵S △ABC ＝12AC ·BE ＝12BC ·AD ，∴BC ＝AC ·BE AD ＝4×23＝83.17. 【答案】114[解析] 因为AB ∥CD ，所以∠BAB ′＝∠1＝44°.由折叠的性质知∠BAC ＝12∠BAB ′＝22°.在△ABC 中，∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠2)＝114°.18. 【答案】(m 22020)三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解:(1)设这个多边形的一个内角的度数是x °，则与其相邻的外角度数是x °+12°.由题意，得x+x+12=180，解得x=140.即这个正多边形的一个内角的度数是140°.(2)这个正多边形的每一个外角的度数为180°-140°=40°，所以这个正多边形的边数是=9.20. 【答案】证明：∵AE ，BO ，CO 分别平分∠BAC ，∠ABC ，∠ACB ， ∴∠ABO ＝12∠ABC ，∠BAE ＝12∠BAC ，∠OCD ＝12∠ACB.∵∠1＝∠ABO ＋∠BAE ，∴∠1＝12∠ABC ＋12∠BAC ＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB.又∵∠2＝90°－∠OCD ＝90°－12∠ACB ，∴∠1＝∠2.21. 【答案】解：(1)∠1＝∠2.理由如下： ∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴△ABD 和△BCE 都是直角三角形． ∴∠1＋∠B ＝90°，∠2＋∠B ＝90°. ∴∠1＝∠2.(2)(1)中的结论仍然成立．理由如下： ∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠D ＝∠E ＝90°.∴∠2＋∠ABD ＝90°，∠1＋∠CBE ＝90°. 又∵∠ABD ＝∠CBE ，∴∠1＝∠2.22. 【答案】解：(1)①∵∠A ＝50°，∠C ＝100°， ∴在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝360°－∠A －∠C ＝210°. ∴∠CBE ＋∠CDF ＝150°.∵外角∠CBE 和∠CDF 的平分线分别为BM ，DN ， ∴∠PBC ＋∠PDC ＝12∠CBE ＋12∠CDF ＝75°.∴∠BPD ＝360°－50°－210°－75°＝25°. ②当∠A ＝∠C 时，BM ∥DN. 证明：如图(a)，连接BD.∵BM ∥DN ，∴∠BDN ＋∠DBM ＝180°.∴∠FDN ＋∠ADB ＋∠ABD ＋∠MBE ＝360°－180°＝180°， 即12(∠FDC ＋∠CBE)＋(∠ADB ＋∠ABD)＝180°. ∴12(360°－∠ADC －∠CBA)＋(180°－∠A)＝180°. ∴12(360°－360°＋∠A ＋∠C)＋(180°－∠A)＝180°. ∴∠A ＝∠C.(2)∵∠A ＝140°，∠G ＝100°，∠BCD ＝120°，11 ∠A ＋∠ABC ＋∠BCD ＋∠CDG ＋∠G ＝540°， ∴∠ABC ＋∠CDG ＝180°.∴∠CBE ＋∠CDF ＝180°.∵BP 平分∠CBE ，DP 平分∠CDF ，∴∠CBP ＋∠CDP ＝12(∠CBE ＋∠CDF)＝90°.如图(b)，延长DC 交BP 于点Q.∵∠BCD ＝∠CBP ＋∠CQB ，∠CQB ＝∠QDP ＋∠BPD ， ∴∠BCD ＝∠CBP ＋∠QDP ＋∠BPD.∴∠BPD ＝120°－90°＝30°.。
人教版 八年级数学上册 第11章 三角形 综合培优训练(含答案)
人教版八年级数学上册第11章三角形综合培优训练一、选择题（本大题共12道小题）1. 已知在△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值()A. 11B. 5C. 2D. 12. 如图，在△ABC中，表示AB边上的高的图形是()3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为()A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°4. 若三角形的两边长分别为3和6，则它的第三边长可以为()A．3 B．4C．9 D．105. 如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为()A．65°B．70°C．75°D．85°6. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以作2条对角线，则这个多边形是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形7. 如图是六边形ABCDEF,则该图形的对角线的条数是()A.6B.9C.12D.188. 下列关于三角形的分类，有如图K－1－4所示的甲、乙两种分法，则()A．甲、乙两种分法均正确B．甲分法正确，乙分法错误C．甲分法错误，乙分法正确D．甲、乙两种分法均错误9. 如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为()A. 50°B. 51°C. 51.5°D. 52.5°10. 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A. 3，4，4B. 3，4，5C. 3，4，6D. 3，4，711. 若三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形的最大内角是()A．75°B．90°C．105°D．120°12. 如图，在△ABC中，D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∠A＝80°，∠ABD ＝30°，则∠BDC的度数为()A．100°B．110°C．120°D．130°二、填空题（本大题共12道小题）13. 如图，王明想从一块边长为60 cm的等边三角形纸片上剪下一个最大的正六边形，写上“祝福祖国”的字样来表达自己的喜悦之情，则此正六边形的边长是________ cm.14. 如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是________________．15. 如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C＝90°，∠1＝36°，则∠2＝________．16. 如图所示，x的值为________．17. 如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线．若∠B＝71°，则∠BAC＝________．18. 如图所示，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则外角∠ACD=.19. 已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是.20. 如图，已知a∥b，若∠1＋∠2＝75°，则∠3＋∠4＝________°.21. 如图，在△ABC中，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D.(1)若∠A＝70°，则∠ACE－∠ABC＝________°，∠D＝________°；(2)若∠A＝α，则∠ACE－∠ABC＝________，∠D＝________．22. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝________°.23. 今年暑假，实验中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派一名教师作为指导老师．为了加强同学间的协作，学校要求各班每两人之间(包括指导教师)每周至少通一次电话，现知该校八年级(5)班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S之间的关系用下列模型表示，如图根据小明设计的模型，可知该班师生之间每周至少要通电话的次数为________．24. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD 的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝________°.三、作图题（本大题共2道小题）25. 如图，已知△ABC.(1)画出BC边上的中线AD；(2)画出△ABD的角平分线AE；(3)画出△ADC的边AD上的高CF；(4)若AD＝5，CF＝3，求△ABC的面积．26. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，、、、、、均在格点上．在图①、图②、图小正方形的边长为1，点A B C D E F③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．(1)在图①中以线段AB为边画一个ABM△，使其面积为6．(2)在图②中以线段CD为边画一个CDN△，使其面积为6．(3)在图③中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ，使其面积为9，且90EFG ∠=︒．四、解答题（本大题共6道小题）27. 如图，佳佳和音音住在同一小区(A 点)，每天一块去学校(B 点)上学.一天，佳佳要先去文具店(C 点)买练习本再去学校，音音要先去书店(D 点)买书再去学校(B ，D ，C 三点在同一条直线上).这天两人从家到学校谁走的路程远?为什么?28. “X ”与“Y ”分别是两个多边形，请根据图中“X ”与“Y ”的对话，解答下列各小题．(1)求“X ”与“Y ”的外角和相加的度数； (2)分别求“X ”与“Y ”的内角和的度数．29. 如图，在△ABC中，BD 是角平分线，CE 是AB 边上的高，且∠ACB=60°，∠ADB=97°，求∠A 和∠ACE 的度数.30. 如图11－Z－11，点B在点A的南偏西45°方向，点C在点A的南偏东30°方向，点C在点B的北偏东60°方向，求∠C的度数．31. 观察与转化思想如图是五角星形，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．32. 已知:如图1-Z-20，在四边形ABCD中，∠D=90°，∠ABC=∠BCD，点E在直线BC上，点F在直线CD上，且∠AEB=∠CEF.(1)如图①，若AE平分∠BAD，求证:EF⊥AE;(2)如图②，若AE平分四边形ABCD的外角，其余条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立?说明理由.人教版八年级数学下册第11章三角形综合培优训练-答案一、选择题（本大题共12道小题）1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】A【解析】由AE∥BD，可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC 可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.4. 【答案】B5. 【答案】B[解析] ∵DE⊥AB，∠A＝35°，∴∠CFD＝∠AFE＝55°.∴∠ACB＝∠D＋∠CFD＝15°＋55°＝70°.6. 【答案】B[解析] 设这个多边形的边数是n.由题意，得n－3＝2，解得n＝5.7. 【答案】B[解析] 当边数n=6时,多边形的对角线的条数为=9.8. 【答案】C9. 【答案】D【解析】∵AC＝CD，∠A＝50°，∴∠ADC＝50°，∵DC＝DB，∠ADC＝∠B＋∠BCD＝50°，∴∠B＝∠BCD＝25°，∴∠BDC＝130°，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝77.5°，∴∠CDE＝∠BDC－∠BDE＝130°－77.5°＝52.5°，故答案为D.10. 【答案】C【解析】①∵32＋42＝52，∴三条线段3、4、5组成直角三角形，∴B选项不正确；②当把斜边5变成7时，3＋4＝7，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，∴D选项不正确；③当把斜边5稍微变小一点为4时，三条线段为3、4、4组成锐角三角形，∴A选项不正确；④当把斜边5稍微变大一点为6时，三条线段为3、4、6组成钝角三角形，∴C选项正确．11. 【答案】C[解析] ∵一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，∴可设这个三角形的三个内角分别为2x，3x，7x.由题意，得2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°.∴7x＝105°.12. 【答案】D[解析] ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∠ABC＝2∠ABD＝2×30°＝60°. ∴∠ACB＝180°－∠A－∠ABC＝40°.∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝12∠ACB＝12×40°＝20°.∴∠BDC＝180°－∠DCB－∠DBC＝130°.二、填空题（本大题共12道小题）13. 【答案】2014. 【答案】三角形具有稳定性15. 【答案】54°【解析】如解图，过点C作直线CE∥a，则a∥b∥CE，则∠1＝∠ACE，∠2＝∠BCE，∵∠ACE＋∠BCE＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∵∠1＝36°，∴∠2＝54°.16. 【答案】55°[解析] 由多边形的外角和等于360°，得360°－105°－60°＋x＋2x＝360°，解得x＝55°.17. 【答案】38°【解析】∵AD∥BC，∠B＝71°，∴∠EAD＝∠B＝71°.∵AD 是∠EAC的平分线，∴∠EAC＝2∠EAD＝142°，∴∠BAC＝180°－∠EAC＝180°－142°＝38°.18. 【答案】105°19. 【答案】520. 【答案】105[解析] 如图，∠5＝∠1＋∠2＝75°，∴∠3＋∠4＝∠6＋∠4＝180°－∠5＝180°－75°＝105°.21. 【答案】(1)7035 (2)α 12α22. 【答案】114[解析] 因为AB ∥CD ，所以∠BAB′＝∠1＝44°.由折叠的性质知∠BAC ＝12∠BAB′＝22°.在△ABC 中，∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠2)＝114°.23. 【答案】1378[解析] 将八年级(5)班师生共53人看作五十三边形的53个顶点，由多边形对角线条数公式可得对角线为53×（53－3）2＝1325(条)，1325＋53＝1378(次)．因此该班师生之间每周至少要通1378次电话．[点评] 本题的数学模型实质上是n 个人之间彼此握一次手，求握手总次数的问题，其次数为n ＋12(n －3)·n ＝12n(n －1)．24. 【答案】(m22020)三、作图题（本大题共2道小题）25. 【答案】解：(1)～(3)如图．(4)S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12AD·CF ＝15.26. 【答案】(1)如图①所示，ABM △即为所求． (2)如图②所示，CDN △即为所求． (3)如图③所示，四边形EFGH 即为所求．四、解答题（本大题共6道小题）27. 【答案】解:佳佳从家到学校走的路程远.理由:佳佳从家到学校走的路程是AC+CD+BD，音音从家到学校走的路程是AD+BD.∵在△ACD中，AC+CD>AD，∴AC+CD+BD>AD+BD，即佳佳从家到学校走的路程远.28. 【答案】解：(1)360°＋360°＝720°.(2)设X的边数为n，则Y的边数为3n.由题意，得180(n－2)＋180(3n－2)＝1440，解得n＝3.所以X的内角和为180°×(3－2)＝180°，Y的内角和为180°×(3×3－2)＝1260°.答：“X”的内角和的度数为180°，“Y”的内角和的度数为1260°.29. 【答案】解:∵∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=97°-60°=37°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABC=74°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=46°.∵CE是AB边上的高，∴∠AEC=90°.∴∠ACE=90°-∠A=44°.30. 【答案】解：∵∠NBC＝60°，∠NBA＝∠BAS＝45°，∴∠ABC＝∠NBC－∠NBA＝60°－45°＝15°.又∵∠BAC＝∠BAS＋∠SAC＝45°＋30°＝75°，∴在△ABC中，∠C＝180°－(75°＋15°)＝90°.31. 【答案】解：如图，∵∠1是△CEG的外角，∴∠1＝∠C＋∠E.同理可得∠AFB＝∠B＋∠D.∵在△AFG中，∠A＋∠1＋∠AFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.32. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAE=180°-∠ABC-∠AEB，∠EFC=180°-∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠BAE=∠EFC.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE.∴∠EFC=∠DAE.∵∠EFC+∠EFD=180°，∴∠DAE+∠EFD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠DAE+∠EFD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.(2)EF⊥AE仍成立.理由如下:如图.∵∠1=∠ABC-∠AEB，∠F=∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠1=∠F.∵AE平分四边形ABCD的外角，∴∠1=∠2.∴∠F=∠2.∵∠2+∠EAD=180°，∴∠F+∠EAD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠F+∠EAD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.。
人教版八年级上册数学第十一章 三角形含答案【有解析】
人教版八年级上册数学第十一章三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列图形中，不具有稳定性的是（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝6，AB＝10，则DE的长为（）A. B.3 C. D.3、如图，△ABC中，AC=BC＜AB.若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（）A. B. C. D.4、如右图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5cm，Ac=3cm，则△ABD的周长比△ACD周长多（）A.5cmB.3cmC.8cmD.2cm5、下列几组线段能组成三角形的是( )A.3cm，5cm，8cmB.8cm，8cm，18cmC.0.1cm，0.1cm，0.1cm D.3cm，4cm，8cm6、三角形三条中线的交点叫做三角形的（）A.内心B.外心C.中心D.重心7、已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A.八边形B.十二边形C.十边形D.九边形8、一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是（）A.8B.12C.16D.189、如图，点D是△ABC边BC延长线上一点，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A 的度数是（）A.30°B.90°C.100°D.120°10、下列图形中一定能说明∠1＞∠2的是（）A. B. C.D.11、有四条线段，它们的长分别为1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 从中选三条构成三角形，其中正确的选法有（）A.1种B.2种C.3种D.4种12、下列图形具有稳定性的是（）A.梯形B.长方形C.直角三角形D.平行四边形13、某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A.5B.6C.7D.814、有两边相等的三角形的两边长为3cm,5cm,则它的周长为（）A.8cmB.11cmC.13cmD.11cm或13cm15、图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a－b＋c|－|a－b－c|＝________17、如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为________18、已知等腰三角形的两边长是和，则它的周长是________.19、如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是________．20、如图，在ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝________度．21、如图，△ABC中，AB=AC=26，BC=20，AD是BC边上的中线，AD=24，F是AD 上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为________．22、如图，若AB∥CD，∠C=50°，则∠A+∠E=________．23、如果一个三角形的两边长分别是2cm和7cm，且第三边为奇数，则三角形的周长是________cm.24、一个多边形的边数是10，则这个多边形的内角和是________°．25、等腰三角形的一边长为7cm，另一边长为3cm,那么这个等腰三角形的周长为________cm.三、解答题(共5题，共计25分)26、求出下列图中x的值。
第十一章 三角形 同步培优专项习题(一)人教版八年级数学上册
第十一章《三角形》同步培优专项习题（一）1．如图，AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，∠B＝∠BDC＝45°，∠C＝51°，求∠E的度数．2．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，求∠DAE的度数；（2）写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系，并证明你的结论．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数；（3）探究：小明认为如果只知道∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．4．（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP 和∠BCP的平分线，试探究：当点P在斜边AB上移动时，∠DCE的大小是否会发生变化，请说明你的理由．（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上，点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3），∠ACM 与∠BCN的数量关系是；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的数量关系是．5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝66°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．6．如图：在直角坐标系中，已知B（b，0），C（0，c），且|b+3|+（2c﹣8）2＝0．（1）求B、C的坐标；（2）点A、D是第二象限内的点，点M、N分别是x轴和y轴负半轴上的点，∠ABM＝∠CBO，CD∥AB，MC、NB所在直线分别交AB、CD于E、F，若∠MEA＝70°，∠CFB＝30°．求∠CMB﹣∠CNB的值；（3）如图：AB∥CD，Q是CD上一动点，CP平分∠DCB，BQ与CP交于点P，给出下列两个结论：①的值不变；②的值改变．其中有且只有一个是正确的，请你找出这个正确的结论并求其定值．7．如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E．若∠C＝60°，∠BED＝70°．求∠ABC和∠BAC的度数．8．已知：如图A，△ABC各角的平分线AD，BE，CF交于点O．（1）试说明∠BOC＝90°+∠BAC；（2）如图B，过点O作OG⊥BC于G，试判断∠BOD与∠COG的大小关系（大于，小于或等于），并说明理由．9．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．10．一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数．11．（1）如图，已知△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC 和∠A的关系，并说明理由；（2）如图，若O为∠ABC和∠ACB外角的平分线BO，CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？12．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠ABC＝40°、∠ACB＝50°，则∠BOC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠BOC＝；（3）若∠A＝76°，则∠BOC＝；（4）若∠BOC＝120°，则∠A＝；（5）请写出∠A与∠BOC之间的数量关系（不必写出理由）．13．如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F．已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝55°．（1）求∠BFD的度数．（2）若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．14．如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC＝90°﹣∠A．若将直线MN绕点P旋转，（ⅰ）如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．15．如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．（1）求证：∠A＝2∠E；（2）若∠A＝∠ABC，求证：AB∥CE．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝60°，AE⊥BC于点E，CD平分∠ACB且分别与AB、AE交于点D、F，求∠AFC的度数．17．已知如图，△ABC过点A做∠DAE＝∠BAC，且AD∥BC，∠1＝∠2．（1）求证AB∥DE；（2）若已知AE平分∠BAC，∠C＝35°，求∠BAD的度数．18．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．（1）当α＝40°时，∠BPC＝°，∠BQC＝°；（2）当α＝°时，BM∥CN；（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：．。
八年级数学上册第十一章《三角形》经典习题(课后培优)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°2．如图，//,40,50,AB CD B C ∠=︒∠=︒则E ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒ 3．如图，ABC 中，BC 边上的高是（ ）A ．AEB ．ADC ．CD D ．CF 4．如图，//AB CD ，40C ∠=︒，60A ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 5．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6 6．如图，ABC 中，55,B D ∠=︒是BC 延长线上一点，且130ACD ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．65︒C ．75︒D ．85︒ 7．将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形，则原多边形的边数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．以上均有可能 8．下列命题是真命题的个数为（ ）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形的内角和是180°．③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行．④相等的角是对顶角．⑤两点之间，线段最短．A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，,AD CE 分别是ABC 的中线与角平分线，若,40B ACB BAC ∠=∠∠=︒，则ACE ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．35︒C ．40︒D ．70︒ 10．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则BDC∠的度数是（ ）A ．65︒B ．75︒C ．85︒D ．105︒ 11．如果一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长可能是（ ）A ．3B ．4C ．11D ．1212．长度分别为2，3，4，5的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）A ．8B ．5C ．6D ．713．如图，为估计池塘岸边A 、B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得OA ＝15米，OB=10米，A 、B 间的距离不可能是（ ）A ．20米B ．15米C ．10米D ．5米 14．设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是（ ）． A ．a b =B ．180a b =+°C ．180b a =+︒D ．360b a =+︒ 15．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 二、填空题16．如图，点D 在ABC 的边BA 的延长线上，点E 在BC 边上，连接DE 交AC 于点F ，若3117DFC B ∠∠==︒，C D ∠=∠，则BED ∠=________．17．如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1=______°．18．如图，△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，如果S △ABG ＝2，那么S △ABC ＝_____．19．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．20．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G ＝_____．21．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DC ，∠1、∠2、∠3、∠4分别是∠BAF 、∠AFE 、∠FED 、∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4＝_____．22．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95︒，王老师沿公园边由A 点经B→C→D→E ，一直到F 时，他在行程中共转过了_____度．23．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°，则它是___________边形，从该多边形的一个顶点，可以引__________条对角线．24．如图，已知AE 是ABC 的边BC 上的中线，若8AB cm =，ACE △的周长比AEB △的周长多2cm ，则AC =______cm ．25．已知//AB CD ，点P 是平面内一点，若30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，则CDP ∠=___________度．26．如图，P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点，过点P 作PQ //BC ，交DE 于点Q ，则∠EPQ 的度数为_____．三、解答题27．如图，已知点D ，E 分别在ABC 的边AB ，AC 上，//DE BC ．（1若80ABC ∠=︒，40AED ∠=︒，求A ∠的度数：（2）若180BFD CEF ∠+∠=︒，求证：EDF C ∠=∠．28．如图，AF ，AD 分别是ABC 的高和角平分线，且34B ∠=︒，76C ∠=︒，求DAF ∠的度数．29．如图①，ABC 中，BD 平分ABC ∠，且与ABC 的外角ACE ∠的角平分线交于点D ．（1）若75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，求D ∠的度数；（2）若把A ∠截去，得到四边形MNCB ，如图②，猜想D ∠、M ∠、N ∠的关系，并说明理由．30．如图，已知BP 是△ABC 的外角∠ABD 的平分线，延长CA 交BP 于点P ．射线CE 平分∠ACB 交BP 于点E ．（1）若∠BAC=80°，求∠PEC 的度数；（2）若∠P=20°，分析∠BAC 与∠ACB 的度数之差是否为定值？（3）过点C 作CF ⊥CE 交直线BP 于点F ．设∠BAC=α，求∠BFC 的度数（用含α的式子表示）．。
人教版 八年级数学上册 第11章 三角形 综合训练有答案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯人教版八年级数学上册第11章三角形综合训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ACD的大小是()A．80°B．90°C．100°D．110°2. 用三角尺作△ABC的边BC上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是()3. 下列各组线段能构成三角形的是()A．2 cm，2 cm，4 cmB．2 cm，3 cm，4 cmC．2 cm，2 cm，5 cmD．2 cm，3 cm，6 cm4. 如图所示，若∠1＋∠2＝300°，则∠3的度数是()A．30°B．150°C．120°D．60°5. 若三角形的两边长分别为3和6，则它的第三边长可以为()A．3 B．4C．9 D．106. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为()A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°7. 设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是()A. a＞bB. a＝bC. a＜bD. b＝a＋180°8. 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC的度数为()A.118°B.119°C.120°D.121°9. 某木材市场上木棒规格与对应单价如下表:规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m单价(元/根) 10 15 20 25 30 35小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场去购买一根木棒，则小明的爷爷至少带的钱数应为()A.10元B.15元C.20元D.25元请将选择题答案填入下表:题号12345678910总分答案10. 如图，已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形．若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M＋N不可能是()A．360°B．540°C．720°D．630°二、填空题（本大题共6道小题）11. 若一个等腰三角形两边的长分别为2 cm，5 cm，则它的周长为________cm.12. 如图，∠AOB＝50°，P是OB上的一个动点(不与点O重合)，当∠A的度数为________时，△AOP为直角三角形．13. 如图，已知a∥b，若∠1＋∠2＝75°，则∠3＋∠4＝________°.14. 模拟某人为机器人编制了一段程序(如图)，如果机器人以2 cm/s的速度在平地上按照程序中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为________s.15. 如图，若该图案是由8个形状和大小相同的梯形拼成的，则∠1＝________°.16. 如图，在△ABC中，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E.(1)若∠B＝50°，则∠DAC＋∠ACF＝________°，∠E＝________°；(2)若∠B＝α，则∠DAC＋∠ACF＝______，∠E＝________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 在平面内，分别用相同的3根、5根、6根……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下：(1)4根火柴能搭成三角形吗？(2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图．(提示：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c2，那么这个三角形是直角三角形)18. 观察探究观察并探求下列各问题．(1)如图①，在△ABC 中，P 为边BC 上一点，则BP ＋PC ________AB ＋AC (填“＞”“＜”或“＝”)；(2)将(1)中的点P 移到△ABC 内，如图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由；(3)将(2)中的点P 变为两个点P 1，P 2，如图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．19. 探究与证明如图①，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E .(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠ABC 是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？20. 如图，将一块三角尺DEF放置在△ABC上，使该三角尺的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C.(1)∠DBC＋∠DCB＝________度；(2)过点A作直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．。
初中数学人教版八年级上册第十一章《三角形》练习册(含答案)11.2 与三角形有关的角
初中数学人教版八年级上册实用资料11.2 与三角形有关的角基础巩固1.（题型三角度a）如图11-2-1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（）图11-2-1A.80°B.50°C.30°D.20°2.（题型一）如图11-2-2，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，则∠AED的度数是（）图11-2-2A.40°B.60°C.80°D.120°3.（题型一）若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定4.（题型一）如图11-2-3，一根直尺EF压在三角形30°的角∠BAC上，与两边AC，AB分别交于点M，N，那么∠CME+∠BNF=（）图11-2-3A.135°B.150°C.180°D.不能确定5.（题型一）如图11-2-4，在△ABC中，∠ABD=∠DBE=∠EBC，∠ACD=∠DCE=∠ECB，若∠BEC=145°，则∠BDC=（）图11-2-4A.100°B.105°C.110°D.115°6.（题型三角度a）将一副直角三角板，按图11-2-5叠放在一起，则图中α的度数是.图11-2-57.（题型一）如图11-2-6，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°，则∠C的度数是．图11-2-68.（知识点2）如图11-2-7，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则图中互余的角有对.图11-2-79.（知识点3）如图11-2-8，已知在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，∠1+∠2= °.图11-2-810.（知识点2）如图11-2-9，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=40°，∠C=60°.求∠DAE的度数.图11-2-911.（题型二角度b）如图11-2-10，∠1，∠2，∠3的大小关系是.图11-2-1012.（题型一）（1）如图11-2-11（1），有一块直角三角板XYZ放置在△ABC下，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=度，∠XBC+∠XCB=度.（2）如图11-2-11（2），改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小.（1）（2）图11-2-1113.（题型一、二）（1）如图11-2-12，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，且∠C大于∠B.求证：∠EAD=12（∠C-∠B）.（2）若把问题（1）中的“AD⊥BC于点D”改为“点F为EA上一点且FD⊥BC于点D”，画出新的图形，并说明∠EFD=12（∠C-∠B）．（3）若把问题（2）中的“F为EA上一点”改为“F为AE延长线上的一点”，则问题（2）中的结论成立吗？说明你的理由.图11-2-1214.（题型一）如图11-2-13，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=α.（注：四边形的内角和是360°）（1）若点P在线段AB上，如图11-2-13（1），且α=50°，则∠1+∠2= .（2）若点P在边AB上运动，如图11-2-13（2），则α，∠1，∠2之间的关系为 .（1）（2）（3）（4）图11-2-13（3）若点P运动到边AB的延长线上，图11-2-13（3），则α，∠1，∠2之间有何关系？请写出你的猜想，并说明理由.（4）若点P运动到△ABC外，如图11-2-13（4），则α，∠1，∠2之间的关系为.答案基础巩固1. D 解析：如图D11-2-1，∵BC∥DE，∴∠CBD=∠2=50°.又∵∠CB D为△ABC的外角，∴∠CBD=∠1+∠3，即∠3=∠CBD-∠1=50°-30°=20°.故选D.图D11-2-12. B 解析：∵DE∥BC，∠B=40°，∴∠A DE=∠B=40°.又∵∠A=80°，∴在△ADE中，∠AED=180°-∠A-∠A DE=180°-80°-40°=60°（三角形的内角和定理）.故选B.3. B 解析：设此三角形的三个内角分别是∠1，∠2，∠3（其中∠3最大），根据题意，得∠1=∠3-∠2，∴∠1+∠2=∠3.又∵∠1+∠2+∠3=180°，∴2∠3=180°，∴∠3=90°，∴这个三角形是直角三角形.故选B.4. B 解析：∵∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∠A=30°，∴∠AMN+∠ANM=180°-∠A=180°-30°=150°.∵∠AMN=∠CME，∠ANM=∠BNF，∴∠CME+∠BNF=∠AMN+∠ANM=150°.故选B.5. C 解析：在△BCE中，∵∠BEC=145°，∴∠EBC+∠ECB=180°-145°=35°.∵∠DBE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠DBC+∠DCB=2（∠EBC+∠ECB）=2×35°=70°.在△BCD中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-70°=110°.故选C. 6. 75°解析：如图D11-2-2，∠1=90°-60°=30°，所以α=45°+∠1=45°+30°=75°.图D11-2-2 图D11-2-37. 50°解析：∵EF∥BC，∴∠BAF=180°-∠B=100°.∵AC平分∠BAF，∴∠CAB=12∠BAF=50°.∴∠C=180°-∠B-∠CAB=50°.8. 4 解析：由直角三角形的两个锐角互余，得∠ACD+∠A=90°，∠BCD+∠B=∠90°，∠A+∠B=90°.∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°.∴互余的角有4对.9. 220解析：如图D11-2-3，∠1+∠2=（∠A+∠4）+（∠A+∠3）=∠A+（∠A+∠3+∠4）=∠A+180°.∵∠A=40°，∴∠1+∠2=40°+180°=220°.10. 解：在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=40°.又∵AD⊥BC，∠B=40°，∴∠BAD=90°-40°=50°.∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-40°=10°.能力提升11. ∠3>∠1>∠2 解析：如图D11-2-4，∵∠3=∠1+∠5，∴∠3＞∠1.∵∠1=∠2+∠4，∴∠1＞∠2.∴∠3＞∠1＞∠2.图D11-2-412. 解：（1）∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=150°.∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°.（2）不变化．∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°.∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°.∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC-∠XBC）+（∠ACB-∠XCB）=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=150°-90°=60°.13.（1）证明：在Rt△ADE中，∵∠AED+∠DAE=90°，∴∠DAE=90°-∠AED.∵∠AED=180°-∠C-∠CAE，且AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12（180°-∠C-∠B）.∴∠EAD=90°-180°-∠C-1/2（180°-∠C-∠B）=12（∠C-∠B）.（2）解：如图D11-2-5（1），由三角形的内角和定理的推论，得∠FED=∠B+12∠BAC，故∠B+12∠BAC+∠EFD=90°①.在△ABC中，由三角形的内角和定理，得∠B+∠BAC+∠C=180°，即12∠C+12∠B+12∠BAC=90°②.②-①，得∠EFD=12（∠C-∠B）.（3）解：成立.理由：如图D11-2-5（2），由三角形的内角和定理的推论，得∠FED=∠AEC=∠B+12∠BAC，故∠B+12∠BAC+∠EFD=90°①.在△ABC中，由三角形的内角和定理，得∠B+∠BAC+∠C=180°，即12∠C+12∠B+12∠BAC=90°②.②-①，得∠EFD=1（∠C-∠B）.2（1）（2）图D11-2-514. 解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+α+∠CDP+∠CEP=360°，∴∠1+∠2=∠C+α.∵∠C=90°，α=50°，∴∠1+∠2=140°.（2）由（1）得α+∠C=∠1+∠2，∴∠1+∠2=90°+α.（3）∠1=90°+∠2+α.理由如下：如图D11-2-6（1），∵∠2+α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．（4）如图D11-2-6（2），∵∠PFC=∠DFE，∴α+180°-∠1=∠C+180°-∠2，∴∠2=90°+∠1-α．（1）（2）图D11-2-6。
人教版八年级上册数学：第11章 三角形培优单元测试卷含答案
人教版八年级上册数学：第11章 三角形培优单元测试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个正多边形的边数是__________．2．一个边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，则的值为__________．n n 3．如果一个三角形的两边长分别是2 cm 和7 cm ，且第三边为奇数，则三角形的周长是__________cm ．4．如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△．若∠A =40°，=110°，则∠的度数为A B C ''B ∠'BCA '___________．5．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B =70°，∠C =34°．则∠DAE 的大小是___________．6．如图，五边形ABCDE 是正五边形．若l 1∥l 2，则∠1-∠2=__________°．7．如图，AB ∥CD ，BE 交CD 于点D ，CE ⊥BE 于点E ，若∠B =34°，则∠C 的大小为__________度．8．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=__________．9．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为__________．10．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8 cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2 cm，则AC=__________cm．二、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）11．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=95°，则∠C的度数为A．24°B．25°C．30°D．35°12．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=A．118°B．119°C．120°D．121°13．如图，图中锐角三角形的个数是A．2个B．3个C．4个D．5个14．已知等腰三角形两边长是10 cm 和5 cm ，那么它的腰长是A ．25 cmB ．15 cmC ．10 cm 或5 cmD ．10 cm15．如图，∠BDC =98°，∠C =38°，∠B =23°，∠A 的度数是A ．61°B ．60°C ．37°D ．39°16．如图，△ABC 的平分线AD 与中线BE 交于点O ，有下列结论：①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABD 的中线，下列说法正确的是A ．①②都正确B ．①不正确，②正确C ．①②都不正确D ．①正确，②不正确17．如图，将含30°角的直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直尺的一边上，已知∠A =30°，∠1=40°，则∠2的度数为A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°18．△ABC 中，∠A =∠B =∠C ，则△ABC 是1314A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能19．下列说法正确的是①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．①②B．②③C．③④D．②④20．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在CB上的A′处，折痕CD，则∠A′DB=A．10°B．20°C．30°D．40°三、解答题（本大题共7小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE 与BC交于点F．（1）填空：∠AFC=___________度；（2）求∠EDF的度数．22．如图，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连接DE．（1）当∠BAD=60°，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．23．如图，△ABC中，（1）若∠B=70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数．（2）如果把（1）中∠B=70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系．24．如图，E是△ABC中AB边上的一点，AD是△ABC的高，已知AD=10，CE=9，AB=12，∠B=65°，∠BCE=25°，求BC的长．25．多边形的内角和与某一外角的度数总和为1350°，那么这个多边形的边数是多少？26．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是__________度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．27．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点A n ．设∠A =θ．则：（1）求∠A 1的度数；（2）∠A n 的度数．参考答案1．【答案】8【解析】设这个多边形的边数为n ，得，解得n =8．∴这个多边形的边数为8．故答案为：8．45360n ︒⨯=︒2．【答案】7【解析】∵一个边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，∴n -2=5，解得n =7，故答案n 为：7．3．【答案】16【解析】∵7-2<第三边<7+2，∴5<第三边<9．∵第三边为奇数，∴第三边=7，所以三角形的周长是2+7+7=16（cm ）．故答案为：16．4．【答案】80°【解析】由题意得，∠B =∠B ′=110°，∠ACA ′=50°，∴∠ACB =180°–∠A –∠B =180°–40°–110°=30°，∴∠BCA ′=∠ACB +∠ACA ′=30°+50°=80°．故答案为：80°．5．【答案】18°【解析】∵△ABC 中，∠B =70°，∠C =34°，∴∠BAC =180°–（70°+34°）=76°．∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =38°．∵Rt △ABD 中，∠B =70°，∴∠BAD =20°，∴∠DAE =∠BAE –∠BAD =38°–20°=18°．故答案为：18°．6．【答案】72【解析】如图，过B 点作BF ∥l 1，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠ABC =108°，∵BF ∥l 1，l 1∥l 2，∴BF ∥l 2，∴∠3=180°-∠1，∠4=∠2，∴180°-∠1+∠2=∠ABC =108°，∴∠1-∠2=72°．故答案为：72．7．【答案】56【解析】∵AB ∥CD ，，∴，又∵CE ⊥BE ，34B ∠=︒34CDE B ∠=∠=︒∴Rt △CDE 中，，故答案为：56．903456C ∠=︒-︒=︒8．【答案】540°【解析】如下图，由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8，又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°，∠4+∠5+∠8+∠9=360°，∠10+∠9=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°，故答案为：540°．9．【答案】40°或15°【解析】当题中的“有一个角”是直角时，和不是直角时.当为直角时，由直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，设“另一角”为x，则有90°=2x-60°，则x=75°，所以最小角为15°，当题中的“有一个角”不是直角时，设直角三角形中一个锐角为x，另一个锐角为2x−60°，根据两个锐角之和为90°可得，x+2x−60°=90°，解得x=50°，较小角为90°−50°=40°，故答案为：40°或15°．10．【答案】10【解析】∵AE是△ABC的中线，∴CE=BE，∵△ACE的周长比△AEB的周长多2 cm，∴（AC+AE+CE）-（BE+AB+AE）=AC-AB=2 cm，∵AB=8 cm，∴AC=10 cm．故答案为：10．11．【答案】B【解析】三角形的内角和为180°，则∠C=180°–60°–95°=25°．故选B．12．【答案】C【解析】根据∠A=60°，∠ABC=42°可得：∠ACB=78°，根据角平分线的性质可得：∠FBC=21°，∠FCB=39°，则∠FBC+∠FCB=60°，在△FBC中应用内角和定理可得：∠BFC=180°–60°=120°．故选C．13．【答案】B【解析】①以A为顶点的锐角三角形△ABC、△ADC共2个；②以E为顶点的锐角三角形：△EDC，共1个，所以图中锐角三角形的个数有2+1=3（个），故选B．14．【答案】D【解析】当腰为5 cm时，5+5=10，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为10 cm时，10-5<10<10+5，能构成三角形，故选D．15．【答案】C【解析】如图，延长BD交AC于点E，根据外角的性质可得：∠BEC=∠BDC–∠C=98°–38°=60°，∠A=∠BEC–∠B=60°–23°=37°，故选C．16．【答案】D【解析】AD是三角形ABC的角平分线，∴AO是∠BAC的角平分线，∴AO是△ABE的角平分线，故①正确；∵BE是三角形ABC的中线，∴E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．故选D．17．【答案】D【解析】∵EF∥MN，∠1=40°，∴∠1=∠3=40°．∵∠A=30°，∴∠2=∠A+∠3=70°．故选D．18．【答案】B【解析】设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，由x+3x+4x=180，解得：x=22.5，∴∠C=4×22.5°=90°，故△ABC是直角三角形．故选B．19．【答案】D【解析】三角形的角平分线是线段；三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；当这个三角形为钝角三角形时，则有两条高在三角形的外部；三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．故选D．20．【答案】B【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，∴∠B=90°-∠A=90°-55°=35°，∠A=∠CA′D，∵∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴55°=35°+∠A′DB，∴∠A′DB=20°．故选B．21．【解析】（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠BAD=∠DAF，∵∠B=50°，∠BAD=30°，∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF=110°．故答案为：110°．（2）∵∠B=50°，∠BAD=30°，∴∠ADB=180°–50°–30°=100°，∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠ADE=∠ADB=100°，∴∠EDF=∠EDA+∠BDA–∠BDF=100°+100°–180°=20°．22．【解析】（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC =∠B +∠BAD =105°，∵∠AED 是△CDE 的外角，∴∠AED =∠C +∠EDC ．∵∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，∴∠ADC -∠EDC =105°-∠EDC =45°+∠EDC ，解得：∠CDE =30°．（2）∠CDE =∠BAD ．12理由：设∠BAD =x ，∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC =∠B +∠BAD =45°+x ，∵∠AED 是△CDE 的外角，∴∠AED =∠C +∠CDE ，∵∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，∴∠ADC -∠CDE =∠45°+x -∠CDE =45°+∠CDE ，得：∠CDE =∠BAD ．1223．【解析】（1）∵∠B =70°，∴∠BAC +∠BCA =110°，∵点P 是△ABC 的∠BAC 和∠ACB 的平分线的交点，∴∠PAC =∠BAC ，∠PCA =∠BCA ，1212∴∠PAC +∠PCA =（∠PAC +∠PCA ）=×110°=55°，1212∴∠P =180°-55°=125°．（2）∵点P 是△ABC 的∠BAC 和∠ACB 的平分线的交点，∴∠PAC =∠BAC ，∠PCA =∠BCA ，1212∴∠PAC +∠PCA =（∠PAC +∠PCA ），12∴∠P =180°-（∠PAC +∠PCA ）=180°-（∠PAC +∠PCA ）12=180°-（180°-∠B ）12=90°+∠B ．1224．【解析】∵CE =9，AB =12，∴△ABC 的面积=×12×9=54．12因为，在△BCE 中，∠B =65°，∠BCE =25°，所以，∠BEC =180°-∠B -∠BCE =180°-65°-25°=90°．所以，CE 是△BCE 的高．所以，△ABC 的面积=BC ·AD =54，12即BC ·10=54，12解得BC =10.8．25．【解析】设边数为n ，外角为x °，则x +（n -2）×180=1350．∴x =1350-180（n -2）．∵0<x <180，∴0<1350-（n -2）×180<180.解得<n <．1531817118∵n 为整数，∴n =9．26．【解析】（1）75°．（2）如图，CH 为所求的高．（3）如图，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，∵AD 是BC 的中线，∴BD =CD ，∴，11603022ABD ACD ABC S S S ===⨯=△△△同理，11301522BED ABE ABD S S S ===⨯=△△△又∵，1151522BED S BD EF EF =⋅=⨯=△∴EF =6，即点E 到BC 边的距离为6．27．【解析】（1）∵BA 1是∠ABC 的平分线，CA 1是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC =∠ABC ，∠A 1CD =∠ACD ，1212又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∴（∠A +∠ABC ）=∠ABC +∠A 1，1212∴∠A 1=∠A ，12∵∠A =θ，∴∠A 1=．2θ（2）同理可得∠A 2=∠A 1=·=，12122θ22θ所以∠A n =．2n θ。
八上数学第十一章 三角形培优综合试题A（含解析）
【走进重高汇编】八上数学第十一章三角形培优综合卷A一．选择题（共10小题）1．三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为（）A．13 B．15 C．13或15 D．15或16或173．如图，若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=n•90°，则n为（）A．4 B．5 C．6 D．74．两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（）A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠1与∠3 D．三个角都相等5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．90° B．180° C．270° D．360°第3题图第4题图第5题图第7题图6．下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②同角或等角的余角相等；③相等的角是对顶角；④三角形的三条高交于一点．其中正确的有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个7．如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（）①BG是△ABD边AD上的中线．②△ABG与△BDG面积相等．③AB﹣AC=BF④∠2+∠FBC+∠FCB=90°．A．1 B．2 C．3 D．48．如图，△ABC中，EF∥BC，∠A的平分线交EF于H，交BC于D，记∠ADC=α，∠ACB的一个邻补角为β，∠AEF=γ．则α，β，γ的关系是（）A．α﹣β=γ B．2α﹣β=γ C．3α﹣β=γD．4α﹣β=γ9．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠D+∠E=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P 等于（）A．90°+α B． C． D．360°﹣α10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=90°时，E，F分别是AC，BC的中点；③若OD=a，CE+CF=2b，则S△CEF=ab．其中正确的是（）A．① B．②③C．①②D．①③第8题图第9题图第10题图二．填空题（共6小题）11．如图，在△ABC中，∠ACB=68°，若P为△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC= °．12．如图，若∠B=40°，A、C分别为角两边上的任意一点，连接AC，∠BAC与∠ACB的平分线交于点P1，则∠P1= ，D、F也为角两边上的任意一点，连接DF，∠BFD与∠FDB的平分线交于点P2，…按这样规律，则∠P2016= ．13．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A的度数为°．第11题图第12题图第13题图14．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=50°，∠2=40°，那么∠3的度数等于．15．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=220°，则∠P= °．16．把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点J，则∠BJI的大小为．第14题图第15题图第16题图三．解答题（共7小题）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠DAE=15°，求∠C 的度数．18．如图，在四边形ABCD中，∠C与∠D的平分线相交于点P，且∠A=60°，∠B=80°．（1）求∠P；（2）若DE、CE分别平分∠ADP、∠BCP，请你求出∠E．19．如图1，∠AOB=90°，点C，D分别在射线OA，OB上运动（均不与点O重合），连接CD，∠ACD 的角平分线CE的反向延长线与∠CDO的角平分线DF相交于点F．（1）若∠OCD=60°，则∠F= °；（2）如图1，若∠OCD=50°时，求∠F的度数；（3）如图2，设∠OCD的度数是2m°，则①∠FCO= °，∠FDC= °（用含m的代数式表示）；②∠F= °．20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠C=70°，∠B=40°，求∠DAE的度数（2）若∠C﹣∠B=30°，则∠DAE= ．（3）若∠C﹣∠B=α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．21．（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；（3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数．22．已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β．（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．23．探究与发现：如图①，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连接DE．（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．（3）深入探究：如图②，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．【走进重高汇编】八上数学第十一章三角形培优综合卷A参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长，得到三角形的三边都不能大于5；再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件的整数．【解答】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过5；所有的情况有：1、1、1；1、2、2；1、3、3；1、4、4；1、5、5；2、2、2；2、2、3；2、3、3；2、3、4；2、4、4；2、4、5；2、5、5；3、3、3；3、3、4；3、3、5；3、4、4；3、4、5；4、4、4，再根据两边之差小于第三边，则这样的三角形共有3，4，2；4，5，2；3，4，5三个．故选：B．2．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为（）A．13 B．15 C．13或15 D．15或16或17【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1三种情况进行讨论．【解答】解：设新多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=2520°，解得n=16，∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，∴原多边形的边数是15，16，17．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，难点在于截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1，有这么三种情况．3．如图，若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=n•90°，则n为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本题就是要求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的值，然后结合∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=n•90°，即可求出答案．【解答】解：设AG与DE交于点M，与DC交于点N，则∠5+∠6+∠7=360°﹣∠ANC，∠2+∠3+∠4=360°﹣∠EMG，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+（360°﹣∠ANC）+（360°﹣∠EMG）=720°+∠1﹣∠ANC﹣∠EMG=720°+∠1﹣（180°﹣∠DMN）﹣（180°﹣∠DNM）=360°+（∠1+∠DMN+∠DNM）=360°+180°=540°．又因∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°=n•90°，所以n=6．故选：C．【点评】利用三角形以及四边形的内角和定理求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的值是解决本题的关键．4．两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（）A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠1与∠3 D．三个角都相等【分析】书本的两组对边是两组平行线，根据对顶角相等，邻补角互补，以及三角形内角和定理即可求解．【解答】解：在直角△DEF与直角△FMP中，∠E=∠M=90°，∠5=∠MFP，∴∠4=∠FPM，∴∠2=∠3；同理易证∠ANB=∠CAE，而∠CAE与∠4不一定相等．因而∠1与∠3不一定相等．故图中相等的角是∠2与∠3．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理及对顶角、邻补角的性质．5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．90° B．180°C．270°D．360°【分析】由三角形的外角性质得出∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，再由四边形内角和定理即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠1+∠2+∠E+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠1+∠2+∠E+∠F=360°；故选：D．【点评】本题考查了三角形的外角性质、四边形内角和定理；熟练掌握四边形内角和定理，由三角形的外角性质得出∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D是解决问题的关键．6．下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②同角或等角的余角相等；③相等的角是对顶角；④三角形的三条高交于一点．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据内错角的定义、余角的性质、对顶角的定义、三角形的高的性质解答．【解答】解：①两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，故错误；②正确；③相等的角不一定是对顶角，故错误；④三角形的三条高所在的直线交于一点，故错误．正确的有1个．故选：A．【点评】此题综合考查内错角的定义、余角的性质、对顶角的定义、三角形的高的性质，属于基础题．7．如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（）①BG是△ABD边AD上的中线．②△ABG与△BDG面积相等．③AB﹣AC=BF④∠2+∠FBC+∠FCB=90°．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义，及外角与内角的关系可知．【解答】解：①G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；②根据等底等高的三角形面积相等，故正确；③因为∠1=∠2，CF⊥AD，可知∠AFC=∠ACF，根据等角对等边得AF=AC，故正确，④因为∠1=∠2，根据三角形外角的性质，∠1+∠AFH=∠1+∠FBC+∠FCB=90°，所以∠2+∠FBC+∠FCB=90°，故正确．所以正确的个数是3个．故选：D．【点评】熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．8．如图，△ABC中，EF∥BC，∠A的平分线交EF于H，交BC于D，记∠ADC=α，∠ACB的一个邻补角为β，∠AEF=γ．则α，β，γ的关系是（）A．α﹣β=γB．2α﹣β=γC．3α﹣β=γD．4α﹣β=γ【分析】先根据平角的定义用β表示出∠1的度数，再由平行线的性质得出∠B的度数，由△内角和定理及角平分线的性质得出∠2=∠3=，最后根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：由平角的定义可知∠1=180°﹣β，∵EF∥BC，∴∠B=∠AEF=γ，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠2=∠3===，∵α是△ABD的外角，∴α=∠2+∠B=+γ，即2α﹣β=γ．故选：B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质、平行线的性质及三角形内角和定理，解答此类题目时往往隐含三角形的内角和为180°这一知识点．9．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠D+∠E=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P 等于（）A．90°+αB．C．D．360°﹣α【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=α，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，根据三角形的内角和求得∠P的度数．【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠D+∠E=α，∴∠ABC+∠DCB=540°﹣α，∵∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABD+∠DCB）=（540°﹣α）=270°﹣，∴∠P=180°﹣270°+=﹣90°．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=90°时，E，F分别是AC，BC的中点；③若OD=a，CE+CF=2b，则S△CEF=ab．其中正确的是（）A．①B．②③ C．①② D．①③【分析】根据三角形的内角和定理可得∠BAC+∠ABC=180°﹣∠C，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC），然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解，判断出①正确；根据角平分线的定义判断出点O在∠ACB的平分线上，从而得到点O不是∠ACB的平分线的中点，然后判断出②错误；根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O到AC的距离等于OD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得到S△CEF=ab，判断出③正确．【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°﹣∠C，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=90°﹣∠C，在△AOB中，∠AOB=180°﹣（90°﹣∠C）=90°+∠C，故①正确；∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠ACB的平分线上，∴点O不是∠ACB的平分线的中点，∵EF∥AB，∴E，F一定不是AC，BC的中点，故②错误；∵点O在∠ACB的平分线上，∴点O到AC的距离等于OD，∴S△CEF=（CE+CF）•OD=•2b•a=ab，故③正确；综上所述，正确的是①③．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记各性质并准确识图是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．如图，在△ABC中，∠ACB=68°，若P为△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC= 112°°．【分析】由于∠1+∠PCB=68°，则∠2+∠PCB=68°，再根据三角形内角和定理得∠BPC+∠2+∠PCB=180°，所以∠BPC=180°﹣68°=112°．【解答】解：∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠PCB=68°，∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，∴∠BPC=180°﹣68°=112°．故答案为112°．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．12．如图，若∠B=40°，A、C分别为角两边上的任意一点，连接AC，∠BAC与∠ACB的平分线交于点P1，则∠P1= 110°，D、F也为角两边上的任意一点，连接DF，∠BFD与∠FDB的平分线交于点P2，…按这样规律，则∠P2016= 110°．【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=140°，由角平分线的定义得到∠P1AC=BAC，∠P1CA=∠BCA，于是得到∠P1AC+∠P1CA=（∠BAC+∠ACB）=70°，根据三角形的内角和得到∠P1=180°﹣（∠P1AC+∠P1CA）=110°，同理∠P2=110°按这样规律，则∠P2016=110°．【解答】解：∵∠B=40°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=140°，∵∠BAC与∠ACB的平分线交于P1，∴∠P1AC=BAC，∠P1CA=∠BCA，∴∠P1AC+∠P1CA=（∠BAC+∠ACB）=70°，∴∠P1=180°﹣（∠P1AC+∠P1CA）=110°，同理∠P2=110°，…，按这样规律，则∠P2016=110°，故答案为：110°，110°．【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．13．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A的度数为80 °．【分析】连接BC，根据三角形内角和定理求出∠DBC+∠DCB=40°，∠GBC+∠GCB=70°，所以∠GBD+∠GCD=30°，再根据角平分线的定义求出∠ABG+∠ACG=30°，然后根据三角形内角和定理即可求出∠A=80°．【解答】解：连接BC，∵∠BDC=140°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣140°=40°，∵∠BGC=110°，∴∠GBC+∠GCB=180°﹣110°=70°，∴∠GBD+∠GCD=70°﹣40°=30°，∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°，在△ABC中，∠A=180°﹣40°﹣30°﹣30°=80°．故∠A的度数为80°．【点评】本题利用三角形的内角和定理求解，整体思想的利用是解题的关键．14．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=50°，∠2=40°，那么∠3的度数等于12°．【分析】利用360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠1和∠2即可求得．【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°=108°，则∠3=360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2=12°．故答案是：12°．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，正确理解∠3等于360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠1和∠2是关键．15．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=220°，则∠P= 20 °．【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC=140°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP=∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）=90°+（∠DAB+∠ABC）=160°，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．【解答】解：如图，∵∠D+∠C=220°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°，∴∠DAB+∠ABC=140°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠PAB+∠ABP=∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）=90°+（∠DAB+∠ABC）=160°，∴∠P=180°﹣（∠PAB+∠ABP）=20°．故答案是：20．【点评】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．16．把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点J，则∠BJI的大小为84°．【分析】根据正五边形的内角，可得∠I，∠BAI的值，根据正六边形，可得∠ABC的度数，根据正六边形的对角线，可得∠ABJ的度数，根据四边形的内角和公式，可得答案．【解答】解：由正五边形内角，得∠I=∠BAI==108°，由正六边形内角，得∠ABC==120°，BE平分∠ABC，∠ABJ=60°，由四边形的内角和，得∠BJI=360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABJ=360°﹣108°﹣108°﹣60°=84°．故答案为：84°．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了正五边形的内角，正六边形的内角，四边形的内角和公式．三．解答题（共7小题）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠DAE=15°，求∠C 的度数．【分析】由AD是BC边上的高可得出∠ADE=90°，在△ADE中利用三角形内角和可求出∠AED的度数，再利用三角形外角的性质即可求出∠BAE的度数；根据角平分线的定义可得出∠BAC的度数，在△ABC 中利用三角形内角和可求出∠C的度数．【解答】解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣15°=75°．∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=75°﹣40°=35°．∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×35°=70°．∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣40°﹣70°=70°．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是：在△ADE中利用三角形内角和求出∠AED的度数；利用角平分线的定义求出∠BAC的度数．18．如图，在四边形ABCD中，∠C与∠D的平分线相交于点P，且∠A=60°，∠B=80°．（1）求∠P；（2）若DE、CE分别平分∠ADP、∠BCP，请你求出∠E．【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°，先求出∠ADC+∠BCD的度数，再根据角平分线的定义求出∠PDC+∠PCD=（∠ADC+∠BCD），最后在△PCD中，利用三角形的内角和等于180°求解即可；（2）先根据角平分线的性质可得∠EDC+∠ECD=（∠PDC+∠PCD），最后在△ECD中，利用三角形的内角和等于180°求解即可．【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠ADC+∠BCD=360°﹣60°﹣80°=220°，∵PD、PC分别平分∠ADC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=（∠ADC+∠BCD）=×220°=110°，∴在△PCD中，∠P=180°﹣110°=70°．（2）∵DE、CE分别平分∠ADP、∠BCP，∴∠EDP+∠ECP=（∠ADP+∠BCP），∴∠EDC+∠ECD=（∠PDC+∠PCD）=165°，∴在△ECD中，∠E=180°﹣165°=15°．【点评】本题主要考查了四边形的内角和等于360°的性质，角平分线的定义，利用整体思想求解是解题的关键．19．如图1，∠AOB=90°，点C，D分别在射线OA，OB上运动（均不与点O重合），连接CD，∠ACD 的角平分线CE的反向延长线与∠CDO的角平分线DF相交于点F．（1）若∠OCD=60°，则∠F= 45 °；（2）如图1，若∠OCD=50°时，求∠F的度数；（3）如图2，设∠OCD的度数是2m°，则①∠FCO= （90﹣m）°，∠FDC= （45﹣m）°（用含m的代数式表示）；②∠F= 45 °．【分析】（1）依据CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，即可得到∠ECD=65°，∠CDF=20°．再根据∠ECD=∠F+∠CDF，即可得出∠F=∠ECD﹣∠CDF=45°．（2）运用（1）中的方法进行计算即可；（3）①依据∠OCD的度数是2m°，即可得到∠ACD=180°﹣2m°，再根据CE平分∠ACD，可得∠FCO=∠ACE=∠ACD=（90﹣m）°；依据∠AOB=90°，可得∠CDO=90°﹣2m°，再根据∵DF平分∠ODC，即可得到∠CDF=∠CDO=（45﹣m）°；②运用三角形内角和定理，即可得到∠F的度数．【解答】解：（1）∵∠AOB=90°，∠OCD=50°，∴∠CDO=40°．∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD=65°，∠CDF=20°．∵∠ECD=∠F+∠CDF，∴∠F=∠ECD﹣∠CDF=45°．故答案为：45；（2）∵∠AOB=90°，∠OCD=60°，∴∠CDO=30°．∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD=60°，∠CDF=15°．∵∠ECD=∠F+∠CDF，∴∠F=∠ECD﹣∠CDF=45°．（3）①∵∠OCD的度数是2m°，∴∠ACD=180°﹣2m°，又∵CE平分∠ACD，∴∠FCO=∠ACE=∠ACD=（90﹣m）°；∵∠AOB=90°，∴∠CDO=90°﹣2m°，又∵DF平分∠ODC，∴∠CDF=∠CDO=（45﹣m）°；故答案为：②△CDF中，∠F=180°﹣（90﹣m）°﹣2m°﹣（45﹣m）°=45°．故答案为：45°．【点评】本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是180°的定理的综合运用．题目难度由浅入深，由特例到一般，是学生练习提高的必备题．20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠C=70°，∠B=40°，求∠DAE的度数（2）若∠C﹣∠B=30°，则∠DAE= 15°．（3）若∠C﹣∠B=α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．【分析】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半解答即可；（3）根据（2）中所得解答即可．【解答】解：（1）由已知可得，∠BAC=180°﹣40°﹣70°=70°，∴∠CAD=20°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=35°﹣20°=15°；（2）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，而∠ADE=∠B+∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠B，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣∠B）﹣[90°﹣（∠B+∠C）]=（∠C﹣∠B），∵∠C﹣∠B=30°，∴∠DAE=×30°=15°，故答案为：15°；（3）∵∠C﹣∠B=α，∴∠DAE=×α=．【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质解答．21．（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；（3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数．【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°用∠5+∠6表示出∠3+∠4，再根据平角的定义用∠5+∠6表示出∠1+∠2，即可得解；（2）从外角的定义考虑解答；（3）根据（1）的结论求出∠MDA+∠NAD，再根据角平分线的定义求出∠ADE+∠DAE，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【解答】（1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°，∴∠3+∠4=360°﹣（∠5+∠6），∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，∴∠1+∠2=360°﹣（∠5+∠6），∴∠1+∠2=∠3+∠4；（2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；（3）解：∵∠B+∠C=240°，∴∠MDA+∠NAD=240°，∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，∴∠ADE=∠MDA，∠DAE=∠NAD，∴∠ADE+∠DAE=（∠MDA+∠NAD）=×240°=120°，∴∠E=180°﹣（∠ADE+∠DAE）=180°﹣120°=60°．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．22．已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β．（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．【分析】根据三角形内角和定理可求出∠CBA+∠ACB，根据邻补角的性质可求出∠MBC+∠NGB，再根据角平分线的性质∠PBC+∠PCB，根据三角形内角和定理算出结果．【解答】解：（1）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°，∠BAC=α∴∠CBA+∠ACB=180°﹣∠BAC=180°﹣α∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NCB+∠ACB=180°∴∠MBC+∠NGB=360°﹣∠ABC﹣∠ACB=360°﹣（180°﹣α）=180°+α∵BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN∴∠PBC=∠MBC，∠PCB=∠NCB∴∠PBC+∠PCB=∠MBC+∠NCB=（180°+α）=90°+α∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（90°+α）=90°﹣α∵∠BAC=α，∠ACB=β，∵∠MBC是△ABC的外角∴∠MBC=α+β∵BP平分∠MBC∴∠MBP=∠MBC=（α+β）∵∠MBP是△ABP的外角，AP 平分∠BAC∴∠BAP=α，∠MBP=∠BAP+∠APB∴∠PBD=90°﹣∠APB=90°﹣（∠MBP﹣∠BAP）=90°﹣∠MBP+∠BAP=90°﹣（α+β）+α=90°﹣β；（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论已发生变化；∠PBD=．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，外角的性质．注意知识的灵活运用．23．探究与发现：如图①，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连接DE．（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．（3）深入探究：如图②，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；（2）设∠BAD=x，根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；（3）设∠BAD=x，仿照（2）的解法计算．【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠BAD+∠B=105°，∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=30°，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=105°﹣75°=30°；（2）∠BAD=2∠CDE，理由如下：设∠BAD=x，∴∠ADC=∠BAD+∠B=45°+x，∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣x，∴∠ADE=∠AED=，∴∠CDE=45°+x﹣=x，∴∠BAD=2∠CDE；（3）设∠BAD=x，∴∠ADC=∠BAD+∠B=∠B+x，∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=180°﹣2∠C﹣x，∴∠ADE=∠AED=∠C+x，∴∠CDE=∠B+x﹣（∠C+x）=x，∴∠BAD=2∠CDE．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．。
(必考题)初中八年级数学上册第十一章《三角形》经典练习(提高培优)
一、选择题1．一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．不确定D 解析：D【分析】根据多边形的外角和等于360°判定即可．【详解】∵多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数不能确定．故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．2．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（ ）A ．4，5，6B ．1.5，2，2.5C ．13，14，15D ．1，3D 解析：D【分析】计算较小两边的和，与最大的边比较，大于最大的边时三角形存在，依此判断即可.【详解】∵4+5＞6，∴能构成三角形；∵1.5+2＞2.5，∴能构成三角形； ∵14+15＞13， ∴能构成三角形；∵＜1+2=3，∴不能构成三角形；故选D.【点睛】本题考查了已知线段长判断三角形的存在，熟记三角形存在的条件是解题的关键. 3．如图，AD 是ABC 的外角CAE ∠的平分线，35B ∠=︒，60=︒∠DAC ，则ACD ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．85︒C ．60︒D ．95︒D解析：D【分析】 根据角平分线的定义可得∠DAC ＝∠DAE ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵AD 是∠CAE 的平分线，60=︒∠DAC ，∴∠DAC ＝∠DAE ＝60°，又∵35B ∠=︒由三角形的外角性质得，∠D ＝∠DAE−∠B ＝60°−35°＝25°，∴在△ACD 中，∠ACD ＝180°−∠DAC －∠D ＝180°−60°−25°＝95°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．4．将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形，则原多边形的边数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．以上均有可能D解析：D【分析】将一个多边形纸片剪去一个内角可以多三种情况比原多边形边数少1，不变，多1，利用内角和公式求出内角的和与外角关系即可求出．【详解】如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF 后，多边形的边数和原多边形边数相同为n ， ()21804360n -⨯︒=⨯︒，n=10，如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF后，多边形的边数比原多边形边数少1为n-1，()n--⨯︒=⨯︒，121804360n=11，如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠GCF后，多边形的边数比原多边形边数多1为n+1，()n-⨯︒=⨯︒，+121804360n=9，原多边形的边数为9,10,11．故选择：D．【点睛】本题考查多边形剪去一个角问题，掌握剪去一个角后对多边形的边数分类讨论是解题关键．5．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，6，10C解析：C【分析】根据三角形三边关系逐一进行判断即可．【详解】A、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；B、1+3=4＜5，不能构成三角形，故不符合题意；C、2+3=5>4，可以构成三角形，故符合题意；D、2+6=8＜10，不能构成三角形，故不符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键．6．在下列长度的四根木棒中，能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形的是（）A．2m B．3m C．5m D．7m C解析：C【分析】判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】解：设三角形的第三边为x m，则5-2＜x＜5+2即3＜x＜7，∴当x=5时，能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．7．三角形的两条边长为3和7，那么第三边长可能是（）A．1B．4C．7D．10C解析：C【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，确定第三边的取值范围即可．【详解】解：三角形的两条边长为3和7，设第三边为x，则第三边的取值范围是：7-3＜x＜7+3，解得，4＜x＜10，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据两边长确定第三边的取值范围是解题关键．8．长度分别为2，3，4，5的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．8 B．5 C．6 D．7C【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．【详解】解：①长度分别为5、4、5，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、7、5，不能构成三角形；③长度分别为2、3、9，不能构成三角形；④长度分别为7、3、4，不能构成三角形；⑤长度分别为3、5、6，能构成三角形，且最长边为6；⑥长度分别为2、4、8，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为6．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．9．如图，△ABC中AC边上的高是哪条垂线段．（）A．AE B．CD C．BF D．AF C解析：C【分析】根据三角形的高的定义，△ABC中AC边上的高是过B点向AC作的垂线段，即为BF．【详解】解：∵BF⊥AC于F，∴△ABC中AC边上的高是垂线段BF．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．10．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8D解析：D【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．解：根据题意，得：（n-2）×180=360×3，解得n=8．故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．二、填空题11．七边形的外角和为________．360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解；【详解】∵多边形的外角和都是360°∴七边形的外角和为360°故答案为：360°【点睛】本题考查了多边形的外角的性质掌握多边形的外角和等于36 解析：360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解；【详解】∵ 多边形的外角和都是360°，∴七边形的外角和为360°，故答案为：360°．【点睛】本题考查了多边形的外角的性质，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键； 12．三角形有两条边的长度分别是5和7，则第三边a 的取值范围是_____．2＜a ＜12【分析】已知三角形两边的长根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和【详解】解：根据三角形三边关系定理知：第三边a 的取值范围是：（7-5）＜a ＜（解析：2＜a ＜12．【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．【详解】解：根据三角形三边关系定理知：第三边a 的取值范围是：（7-5）＜a ＜（7+5），即2＜a ＜12．【点睛】本题考查了三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．13．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可【详解】解：∵BD=DC∴S△ABD=S△ADC=×6=3（cm2）∵AE=DE∴S△AEB=S△AEC=×3=（cm2）∴S△BEC解析：3 2【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可．【详解】解：∵BD=DC，∴S△ABD=S△ADC=12×6=3（cm2），∵AE=DE，∴S△AEB=S△AEC=12×3=32（cm2），∴S△BEC=6-3=3（cm2），∵EF=FC，∴S△BEF=12×3=32（cm2），故答案为32．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．如图所示，△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB的四等分线相交于D、E、F（其中∠CAD＝3∠BAD，∠ABE＝3∠CBE，∠BCF＝3∠ACF），且△DFE的三个内角分别为∠DFE ＝60°、∠FDE＝53°、∠FED＝67°，则∠BAC的度数为_________°．72【分析】由∠CAD=3∠BAD∠ABE=3∠CBE∠BCF=3∠ACF易得各角与∠ABC∠ACB∠BAC之间的关系由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论【详解】解：∵∠CAD【分析】由∠CAD=3∠BAD ，∠ABE=3∠CBE ，∠BCF=3∠ACF 易得各角与∠ABC 、∠ACB 、∠BAC 之间的关系，由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论．【详解】解：∵∠CAD=3∠BAD ，∠ABE=3∠CBE ，∠BCF=3∠ACF ，∴∠CAD=34∠BAC ，∠BAD=14∠BAC ，∠ABE=34∠ABC ，∠CBE=14∠ABC ，∠BCF=34∠ACB ，∠ACF=14∠ACB ． ∵∠DFE ＝60°、∠FDE ＝53°、∠FED ＝67°，∴136********4136744BAC ABC ABC ACB ACB BAC ⎧∠+∠=⎪⎪⎪∠+∠=⎨⎪⎪∠+∠=⎪⎩， 解得∠BAC=72°，∠ABC=56°，∠ACB=52°，故答案为：72．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，以及三角形外角的性质．解题的关键是由外角的性质列出方程组．本题属于中档题，难度不大，但在角的变化上稍显繁琐，一不注意就易失分，做形如此类题型时，牢牢把握等量关系是关键．15．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95︒，王老师沿公园边由A 点经B→C→D→E ，一直到F 时，他在行程中共转过了_____度．275【分析】王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数由多边形的外角和即可求解【详解】解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数∵多边形的外角和为360°∴解析：275【分析】王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数，由多边形的外角和即可求解．解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数，∵多边形的外角和为360°，∴他在行程中共转过了()36018095275︒-︒-︒=︒，故答案为：275．【点睛】本题考查多边形的外角和，明确王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数是解题的关键．16．多边形每一个内角都等于90︒，则从此多边形一个顶点出发的对角线有____条．1【分析】先根据多边形内角和公式求出它是几边形就可以得到结果【详解】解：设这个多边形是n 边形解得∴是四边形∴从一个顶点出发的对角线有1条故答案是：1【点睛】本题考查多边形内角和公式解题的关键是掌握多 解析：1【分析】先根据多边形内角和公式求出它是几边形，就可以得到结果．【详解】解：设这个多边形是n 边形，()180290n n ︒-=︒，解得4n =，∴是四边形，∴从一个顶点出发的对角线有1条．故答案是：1．【点睛】本题考查多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．17．一个三角形的三个内角度数之比为2:3:5，那这个三角形一定是三角形__________．直角【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°可求出三个内角分别是36°54°90°则这个三角形一定是直角三角形【详解】解：设三角分别为2x3x5解析：直角【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．【详解】解：设三角分别为2x ，3x ，5x ，依题意得2x +3x +5x ＝180°，解得x ＝18°．故三个角的度数分别为36°，54°，90°．故答案为：直角．此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．18．如图，已知ABC 的角平分线BD ，CE 相交于点O ，∠A=60°，则∠BOC=__________．【分析】根据三角形的内角和定理角平分线的定义即可得【详解】BDCE 是的角平分线故答案为：【点睛】本题考查了三角形的内角和定理角平分线的定义熟练掌握角平分线的定义是解题关键解析：120︒【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线的定义即可得．【详解】60A ∠=︒，180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒，BD 、CE 是ABC 的角平分线，11,22OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ()1602OBC OCB ABC ACB +=∠+∠∴=∠∠︒， ()180********OBC OCB BOC ∠=︒-︒∴∠+∠=︒=-︒，故答案为：120︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．19．如图，线段AD ，BE ，CF 两两相交于点H ，I ，G ，分别连接AB ，CD ，EF ．则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____．360°【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可【详解】解：∵∠BHI=∠A+∠B ∠DIF=∠C+∠D ∠FGH=∠E+∠F ∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B +∠C+∠D+∠E+∠解析：360°【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可．【详解】解：∵∠BHI=∠A+∠B ，∠DIF=∠C+∠D ，∠FGH=∠E+∠F ，∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F ，∵∠BHI+∠DIF+∠FGH=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，故答案为：360°．【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，三角形的外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的外角和等于360°．20．如图，ABC ∆的面积是2，AD 是BC 边上的中线，13AE AD =，12BF EF =．则DEF ∆的面积为_________．【分析】直接根据高相等的三角形面积之比等于底之比【详解】解：∵是边上的中线∴BD=DC 又∵的面积是2和的高相等∴∵和的高相等∴∴又∴同理：故答案为：【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形面积之比等于解析：49【分析】直接根据高相等的三角形，面积之比等于底之比．【详解】解：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=DC又∵ABC ∆的面积是2，D AB ∆和D A C ∆的高相等∴D DC S =S =1AB A ∆∆ ∵13AE AD = E AB ∆和BDE ∆的高相等∴E BDE ABD 11S =S =S 23AB ∆∆∆ ∴BDE 2S =3∆ 又12BF EF =，∴1B 3BF E =，同理： DEF BFD BDE 24S =2S =S =39∆∆∆ 故答案为：49． 【点睛】 此题主要考查根据高相等的三角形，面积之比等于底之比求三角形的面积，解题的关键是正确理解高相等的三角形之间的关系．三、解答题21．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC 的顶点都在方格纸格点上．将△ABC 向左平移2格，再向上平移4格．（1）请在图中画出平移后的△A ′B ′C ′；（2）在图中画出△ABC 的高CD ，中线BE ；（3）在图中能使S △ABC ＝S △PBC 的格点P 的个数有 个（点P 异于点A ）．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）4．【分析】（1）利用网格特点和平移的性质，分别画出点A 、B 、C 的对应点A '、B '、C '即可； （2）利用网格特点，作CD ⊥AB 于D ，找出AC 的中点可得到BE ；（3）利用平行线的性质过点A 作出BC 的平行线进而得出符合题意的点．【详解】（1）如图所示：△A ′B ′C ′即为所求；（2）如图所示：CD 即为所求；（3）如图所示：能使S △PBC ＝S △ABC 的格点P 的个数有4个．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高，利用平行线的性质得出P 点位置是解题关键．22．如图，在ABC ∆中，48,A CE ∠=︒是ACB ∠的平分线， B C D 、、在同一直线上，,40.BEC BFD D ∠=∠∠=︒（1）求BCE ∠的度数；（2）求B 的度数．解析：（1）40∠=︒ECB ；（2）52B ︒∠=【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行判定//DF CE ，然后再根据平行线的性质求解； （2）根据角平分线的定义求得80ACB ︒∠=，然后利用三角形内角和求解．【详解】解：（1）BEC BFD ∠=∠，//DF CE ∴，ECB D ∴∠=∠． 40D ︒∠=，40ECB ∴∠=︒．（2）CE 是ACB ∠的平分线．40ECB ACE ︒∴∠=∠=，80ACB ︒∴∠=．180A B ACB ︒∠+∠+∠=，180180488052B A ACB ︒︒︒︒︒∴∠=-∠-∠=--=．【点睛】本题考查平行线的判定和性质以及三角形内角和，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．23．如图，已知长方形ABCD 中，10cm AD =，6cm DC =，点F 是DC 的中点，点E 从A 点出发在AD 上以每秒1cm 的速度向D 点运动，运动时间设为t 秒．（假定0t 10<<）（1）当5t =秒时，求阴影部分（即三角形BEF ）的面积；（2）用含t 的式子表示阴影部分的面积；并求出当三角形EDF 的面积等于3时，阴影部分的面积是多少？（3）过点E 作//EG AB 交BF 于点G ，过点F 作//FH BC 交BE 于点H ，请直接写出在E 点运动过程中，EG 和FH 的数量关系．解析：（1）4522cm ；（2）23302t cm ⎛⎫- ⎪⎝⎭；218cm ；（3）53EG FH = 【分析】（1）由长方形的性质得出10cm BC AD ==，6cm AB DC ==，由5t =得AE=5，DE=10-5=5，根据ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形即可求解；（2）由题意得AE=t ，DE=10-t ，根据ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形表示出阴影部分的面积；由12EDF S DE DF =⋅△求出t 的值，代入计算即可； （3）由长方形ABCD 得AD CD ⊥，根据平行线的性质得EG HF ⊥，根据平行线间的距离相等可得DE ，AE ，DF ，CF 分别等于,,,EGF EGB EHF BHF △△△△的高，由BEF S的面积即可得出结论．【详解】解：（1）∵长方形ABCD 中，10cm AD =，6cm DC =，∴10cm BC AD ==，6cm AB DC ==，∵点F 是DC 的中点，∴3cm DF CF ==，当5t =秒时，AE=5cm ，DE=10-5=5 cm ，∵ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形 =()()()1111066510353222⨯-⨯-⨯-⨯ =156015152--- =4522cm ； （2）由题意得AE=t ，DE=10-t ， ∵ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形 =()()1111066103310222t t ⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =360315152t t ---+=3302t -， ∴用含t 的式子表示阴影部分的面积为：23302t cm ⎛⎫-⎪⎝⎭； 当三角形EDF 的面积等于3时，12EDF S DE DF =⋅△=()13102t ⨯⨯-=3， 解得：8t =， 8t =时，38=30=182S ⨯-阴影2cm ； （3）∵长方形ABCD∴AD CD ⊥，//,//AB CD AD BC ， ∵//EG AB ，//FH BC ，∴EG HF ⊥，,AD EG CD HF ⊥⊥，∴DE ，AE 分别等于,EGF EGB △△的EG 边上的高，DF ，CF 分别等于,EHF BHF △△的FH 边上的高， ∴11112222BEF S EG DE EG AE HF DF HF CF =⋅+⋅=⋅+⋅△， ∴()()1122EG DE AE HF DF CF +=+，即EG AD HF CD ⋅=⋅， ∵10cm AD =，6cm DC =，∴106EG HF =，即53EG FH =．【点睛】本题是一个动点问题，考查了平行线间的距离，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形面积的计算方法．24．如图①，ABC 中，BD 平分ABC ∠，且与ABC 的外角ACE ∠的角平分线交于点D ．（1）若75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，求D ∠的度数；（2）若把A ∠截去，得到四边形MNCB ，如图②，猜想D ∠、M ∠、N ∠的关系，并说明理由．解析：（1）30D ∠=︒；（2）()11802D M N ∠=∠+∠-︒，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线定义，先求出∠D 、∠A 的等式，推出∠A=2∠D ，最后代入求出即可；（2）根据（1）中的结论即可得到结论．【详解】解：ACE A ABC ∠=∠+∠， ACD ECD A ABD DBE ∴∠+∠=∠+∠+∠，DCE D DBC ∠=∠+∠，又∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACE ∠，ABD DBE ∴∠=∠，ACD ECD ∠=∠，()2A DCE DBC ∴∠=∠-∠，D DCE DBC ∠=∠-∠，2A D ∴∠=∠，75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，60A ∴∠=︒，30D ∴∠=︒；（2）()11802D M N ∠=∠+∠-︒； 理由：延长BM 、CN 交于点A ，则180A BMN CNM ∠=∠+∠-︒，由（1）知，12D A ∠=∠， ()11802D M N ∴∠=∠+∠-︒．【点睛】此题考查三角形内角和定理以及角平分线的定义的综合运用，解此题的关键是求出∠A=2∠D．25．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB= ，则∠ADB= ．解析：（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=12∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC，∠DAM=12∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=12∠A=35°；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=12（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=12∠A，∠A=α，∴∠D=12α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-12α；（3）如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∴∠DAM=12∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．26．已知一个n 边形的每一个内角都等于120°．（1）求n 的值；（2）求这个n 边形的内角和；（3）这个n 边形内一共可以画出几条对角线？解析：（1）6；（2）720°；（3）9条【分析】（1）分别用两个式子表示多边形的内角和，列出方程，求解即可；（2）根据多边形内角和公式即可求解；（3）根据对角线的定义求出每个顶点的对角线条数，再求解即可．【详解】解：（1）由题意得()2180120n n -︒=︒，解得 6n =．（2）()62180720-⨯︒=︒，所以这个多边形的内角和为720°．（3）六边形每个顶点可以引6-3=3条对角线， 所以一共可画6392⨯=条对角线． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形对角线的定义，熟记多边形的内角和公式，理解对角线的定义是解题关键．27．如图，在BCD △中，D 为BC 上一点，12∠=∠，34∠=∠，60BAC ∠=︒，求DAC ∠，ADC ∠的度数．解析：∠DAC=20°，∠ADC=80°【分析】设∠1＝∠2＝x ，再用x 表示出∠3的度数，由三角形内角和定理得出∠2＋∠4的度数，进而可得出x 的值，由此得出结论．【详解】设∠1=∠2=x ，则∠3=∠4=2x ，∵∠BAC=60°，∴∠2+∠4=180°-60°=120°，即x+2x=120°，∴x=40°，即∠ADC=80°，∴∠DAC=∠BAC-∠1=60°-40°=20°．【点睛】本题考查的是三角形内角和外角的相关知识，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．28．如图，是A 、B 、C 三个村庄的平面图，已知B 村在A 村的南偏西65°方向，C 村在A 村的南偏东15°方向，C 村在B 村的北偏东85°方向，求从C 村观测A 、B 两村的视角ACB ∠的度数．解析：80ACB ∠=︒【分析】根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可得到结论.【详解】解：由已知，265∠=︒，315∠=︒，85DBC ∠=︒∵//BD AE∴1265∠=∠=︒∴41856520DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒在ABC 中18018065152080ACB ABC BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒【点睛】本题考查的是方向角的概念，平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和是解答此题的关键．。