基本不等式的应用

§3.4.2 基本不等式的应用

学校：临清二中 学科：数学 编写人：郑敏杰 审稿人 丁良之 【教学目标】

1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；

2 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。

3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．

教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件

教学过程：

一、创设情景，引入课题

提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把

2

a b

+叫做正数a b 、的算术平均数，

叫做正数a b 、的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。 讲解：已知y x ,都是正数，①如果xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；

②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积有最大值

2

4

1s 二、探求新知，质疑答辩，排难解惑

1、 新课讲授

例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所

用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜

园的面积最大。最大面积是多少？

分析： （1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则100,xy = 篱笆的长为2（x y +）

由

2

x y

+≥

可得 x y +≥2（x

y +）40≥

等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m

(2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2（x

y +）=36，x y +=18，矩形菜园的面

积为xy 2m ，

由18

9,22

x y +≤

==可得 81≤xy , 可得等号当且仅当9x y x y ===时成立，此时

点评：此题用到了 如果xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；

如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积有最大值

24

1s 变式训练： 用长为4a 的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？

解：设矩形的长为(02)x x a <<，则宽为2a x -，矩形面(2)S x a x =-，且0,20x a x >->．

(2)

2

x a x a +-≤

=．

（当且近当2x a x =-，即x a =时取等号），

由此可知，当x a =时，(2)S x a x =-有最大值2

a ．答：将铁丝围成正方形时，

才能有最大面积2

a ．

例2（教材89P 例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3

,深为3m ，如果

池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2

的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为l 元，根据题意，得

)1600

(720240000x

x l +

+=x x 16002720240000⋅⨯+≥

297600402720240000=⨯⨯+=

当.2976000,40,1600

有最小值时即l x x

x == 因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式

的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是π2

3立方分米，用来做底的金属每平方分米价值3元，做侧面的金属每平方米价值2元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆桶的成本最低。

解：设圆桶的底半径为r 分米，高为h 分米，圆桶的成本为m 元，则

=m 3rh r ππ222⋅+

求桶成本最低，即是求m 在r 、h 取什么值时最小。将223

r

h =

代入m 的解析式，得 r r r

r r m ππππ63)23)(

2(232

2

2+=+==ππ

πππππ933)3(3333322=⋅⋅≥++

r

r r r r r 当且仅当r

r r r π

πππ33332

=

+=

时，取“=”号。 ∴当=r 1（分米），=h 2

3

（分米）时，圆桶的成本最低为9π（元）。

点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，

归纳整理，整体认识

1．求最值常用的不等式：a b +≥，2

(

)2

a b ab +≤，222a b ab +≥． 2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小． 3.建立不等式模型解决实际问题

当堂检测：

1 下列函数中，最小值为4的是： （ ） Ａ．4y x x

=+

Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<

Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．

3log 4log 3x y x =+

2. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )

A. 10

B.

C.

D.

3函数y =的最大值为 .