捕食被捕食三种群系统平衡点稳定性的分析
数学建模 具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型 论文
《数学建模》课程教学论文题目：具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型专业：班级：学号：学生姓名：完成日期：⇒,,,>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=d b a r bxy dy dtdy axy rx dt dx ()⎩⎨⎧+-=-=)()()(bx d y t y ay r x t x 研究具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型摘要：讨论具有作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定性的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论的正确性。
研究自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者，目的是延迟或阻止自身反应过程的发生和发展，运用Volterra 模型和Logsitic 规律的功能研究自身阻滞作用，由稳定性和相轨线来论证。
关键词： 食饵-捕食者系统 自身阻滞 平衡点稳定性 符号说明：;食饵的数量--x 捕食者的数量；--y;)(时刻的数量食饵在t t x --时刻的数量；捕食者在t t y --)(r --食饵独立生存时的增长率；a --捕食者掠取食饵的能力b --食饵对捕食者的供养能力；d --捕食者独自存在时的死亡率； 1r --食饵的固有增长率；2r --捕食者的固有增长率； 1N --食饵最大容量；2N --捕食者最大容量；1σ--食饵自身的竞争能力；2σ--捕食者自身的竞争能力基本假设：(1 )食饵由于捕食者的数量增长使得食饵数量减少，即r 与捕食者数量y 成正比，即;y r x =∙（2）捕食者没有食饵的存在就会死亡，死亡率为d ，即;dy y -=∙（3）对于食饵有)1(11N xx r x -=∙,其中11N x -是由于食饵对资源的消耗导致自身的增长阻滞作用。
建立模型：1.模型一 没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞该模型反映了在没有捕获时食饵--捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是V olterra 提出的最简单的模型[]1。
分数阶捕食-食饵系统的稳定性分析
时
间
（３） 延迟；
ｒ１ ＞ 在０ 表本示文猎中物，我的们内将在考生虑长以速下度非，ｒ线２ 性＞ 分０ 表数示阶捕时食滞者捕的食死食亡饵率系；参统数： ａｉｊ 表示正常数，ｉ，ｊ ＝ １，２。
{ （） （）［ （ ） （ ）］， Ｄｑｘ ｔ ＝ ｘ ｔ ｒ１ － ａ１１ｘ ｔ － － ａ１２ｙ ｔ －
关键词：稳定性；分数阶；Ｈｏｐｆ 分岔；捕食 食饵系统
中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９ （ ） ７９０２ ２０１９ ０６ ０００８ ０６
分数阶微积分是经典的整数阶微积分的推广，其研究历史最早可以追溯到 １６９５ 年。但由于分数阶 微积分计算方面比较困难且长时期找不到实际的应用背景，因此，在过去相当长的一段时期内分数阶微 积分仅仅作为纯数学领域内的问题进行研究。直到 １９８３ 年，Ｍａｎｄｅｌｂｏｒｔ 提出分形理论［１］后，伴随着计 算机技术的快速发展，分数阶微积分的应用研究才在国际上引起关注，使得分数阶微积分重新获得了快 速地发展，并逐渐成为国内外学者的热点研究课题。研究表明，整数阶微积分是分数阶微积分的特例，运 用经典的整数阶微积分来描述只是对实际系统的理想化处理 。 ［２］ 而基于分数阶微积分建立的数学模型 可以更准确地描述实际系统的动态响应，进一步提高对动态系统的设计，表征和控制能力 。近 ［３，４］ 年来， 随着对分数阶微积分理论和应用研究工作的不断深入，研究者们发现分数阶微积分可以很好地应用于科 学与工程，如医学［５］，经济［６］，控制［７］，保密通信［８］，神经网络［９］等。
生态系统是极其复杂的动力系统，对生态系统的研究有着重要的理论价值和实际意义。通过对生态 系统的研究，可以更深刻地理解生物种群之间及生物种群与环境之间的内在联系，以便为人工实施干预， 对种群进行保护，开发和利用提供理论依据。为了根据系统的过去信息反映模型的动态行为，通常需要 将时间延迟纳入模型中。１９７３ 年，Ｍａｙ 在［１０］中提出并简要讨论了时滞捕食 食饵系统。整数阶捕食 食饵系统的动力学已经受到了广泛的关注［１１ 。与 ］ １６ 整数阶微积分相比较，分数阶具有更好的记忆效应。 因此，考虑分数阶对捕食 食饵系统的影响，可以更准确地刻画生物种群之间的内在联系。近年来，分数 阶微积分理论已经被成功地应用于生态系统的研究中，并且得到了较好的结果［１７ ２０］。目前关于分数阶时 滞捕食 食饵系统的稳定性与分岔的研究结果相对较少，且研究还处于起步阶段，因此对含时滞的分数阶 捕食 食饵系统的稳定性及分岔进行研究是必须的，有意义的，有趣的，这将会丰富分数阶时滞捕食 食饵 系统的稳定性与分岔理论。
捕食者无密度制约的HollingⅢ型捕食系统的定性分析
第３３卷第１期２０１９年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３３N o ．１J a n ．２０１９收稿日期:２０１８Ｇ１０Ｇ２２作者简介:冯宇星(１９９４Ｇ),女,山西沁县人,在读硕士,研究方向:生物数学．E Ｇm a i l :１１４２３２２２０７＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０１９)０１Ｇ００１５Ｇ０５捕食者无密度制约的H o l l i n g Ⅲ型捕食系统的定性分析冯宇星(兰州交通大学数学系,甘肃兰州７３００７０)摘要:研究食饵种群具有L o g i s t i c 型密度制约但捕食者种群无密度制约的H o l i n g Ⅲ型捕食系统,利用等倾线的基本性质,分析了正平衡点的存在性,通过构造L y a p u n o v 函数给出了系统的全局渐近稳定性的充分条件,采用B e n d i x s o n 环域定理和张芷芬极限环唯一性定理,证明了该系统在某一特定的条件下存在唯一稳定的极限环,最后利用M a t l a b 通过数值模拟验证了理论分析的合理性．关键词:H o l l i n g Ⅲ型捕食系统;全局渐近稳定性;极限环;M a t l a b 中图分类号:O １７５．２６㊀㊀㊀文献标志码:A0㊀引言捕食Ｇ食饵在生态学中具有非常重要的意义,近年来倍受生物数学界的关注．１９５９年,数学家H o l l i n g 在实验的基础上,对不同类的物种提出了两种不同的功能反应函数,即H o l l i n g Ⅰ和H o l l i n g Ⅱ．相对于前两种H o l l i n g 型功能性反应函数,H o l l i n g Ⅲ型反应函数能更加准确地反映消耗率在不同资源密度下的变化情况,目前对前两种的研究比较多见[１Ｇ３],对于第三种功能反应函数模型的研究相对较少．文献[４]讨论了具有H o l l i n g Ⅰ型捕食系统平衡点的局部稳定性和全局稳定性,文献[５]讨论了具有H o l l i n g Ⅱ型捕食系统平衡点的全局稳定性和极限环的存在性．在此基础上,本文考虑一类捕食者无密度制约的H o l i n g Ⅲ型捕食系统,主要分析正平衡点的全局浙近稳定性,以及极限环的存在唯一性．1㊀模型的建立为了研究食饵在群体防御状态下捕食者与食饵之间的相,W o l k o w i c z [６]首次提出了食饵内部受密度制约β(x ,k )的捕食系统:d x d t＝x β(x ,k )－y m (x ),d y dt ＝y [－d ＋n (x )],ìîíïïïï(１)其中:x ㊁y 分别表示食饵与捕食者的种群密度;k 表示食饵的环境容纳量;d 是捕食者的死亡率．函数β(x ,k )表示食饵的相对增长率,函数m (x )㊁n (x )分别是捕食者的响应函数和食饵向捕食者的转化率,且一般情况下m (x )＝c n (x ),c 是转化系数,通常假设m (x )在[０,＋ɕ)上连续可微且满足m (０)＝０,m ᶄ(x )＞０,l i m x ң＋ɕm (x )＜＋ɕ．文献[６]研究了系统(１)极限环的存在性和奇异分支产生的条件,但并没有考虑到极限环的唯一性以及正平衡点的全局稳定性．现在将系统(１)具体化,取β(x ,k )为L o g i s t i c 型函数,β(x ,k )＝r １－x k æèçöø÷;取m (x )为H o l l i n g Ⅲ型功能反应函数,m (x )＝x ２１＋λx ２．研究系统如下:d x d t ＝r x １－x k æèçöø÷－x ２y １＋λx ２,d y dt ＝y －d ＋c x ２１＋λx ２æèçöø÷．ìîíïïïï(２)根据生物意义,以上参数和函数均非负且系统仅在如下区域:R ２＋＝{(x ,y )|x ȡ０,y ȡ０}．2㊀平衡点的定性分析本节对系统(２)的平衡点进行定性分析,把系统(２)化成下面的形式:d x d t ＝x r １－x k æèçöø÷－x y １＋λx ２éëêêùûúúʒ＝㊀㊀M (x ,y ),d y d t ＝y －d ＋c x ２１＋λx ２æèçöø÷ʒ＝N (x ,y )．ìîíïïïïïï(３)注意到M (x ,y )在x ＝０处不连续,但容易判断x ＝０是它的可去间断点,因此补充定义:当xң０时,y ң＋ɕ．这样系统(３)就等价于系统(２),系统(３)的平衡点应满足x r １－x k æèçöø÷－x y １＋λx ２éëêêùûúú＝０,y －d ＋c x ２１＋λx ２æèçöø÷＝０．ìîíïïïï(４)显然x ＝０,y ＝０,即O (０,０)是系统(３)的平衡点．下面利用等倾线的性质讨论系统(３)的非零平衡点．(i)食饵等倾线h １:y ＝r １－x k æèçöø÷(１＋λx ２)x．注意到,当x ң０时,y ң＋ɕ;当y ＝０时,x ＝k ．因此曲线h １在(０,k ]上是连续的．(i i)捕食者等倾线h ２:－d ＋c x ２１＋λx ２＝０．易知当c －d λ＞０时,x ＝dc －d λ＞０．根据等倾线h １和h ２的性质以及(４)知,系统(２)有平衡点M ０(k ,０)．当条件(H １):k ＞dc －d λ＞０成立时,等倾线h １和h ２相交于第一象限一点M １(x １,y １),其中０＜x １＜k ,y １＞０．定理１㊀若系统(２)满足条件(H １),则有(i )平衡点O (０,０)和M ０(k ,０)是系统(２)的鞍点,不稳定;(i i )若条件(H ２):r －２k x １－２x １y １(１＋λx ２１)２＜０成立,则M １(x １,y １)是系统(２)稳定的结点或焦点;(i i i )条件(H ３):r －２k x １－２x １y １(１＋λx ２１)２＞０成立,则M １(x １,y １)是系统(２)不稳定的结点或焦点．证明㊀系统(２)在平衡点(x ∗,y ∗)处的雅可比矩阵为J (x ∗,y ∗)＝r －２k x ∗－２x ∗y ∗(１＋λx ∗２)２－x ∗２１＋λx ∗２２c x ∗y ∗(１＋λx ∗２)２－d ＋c x∗２１＋λx ∗２æèççççöø÷÷÷÷,由(４)和条件(H １)可得d e t J (０,０)＝－d r ＜０,d e t J (k ,０)＝－r －d ＋c k ２１＋λk ２æèçöø÷＜０,故平衡点O (０,０)和M ０(k ,０)是系统(２)的鞍点,不稳定．再计算出J (x ∗,y ∗)在正平衡点M １(x １,y １)处的行列式和迹:d e t J (x １,y １)＝２c x ３１y １(１＋λx ２１)３,t r J (x １,y １)＝r －２k x １－２x １y １(１＋λx ２)２１．易知d e t J (x １,y １)＞０,故当满足条件(H ２)和(H ３)时结论成立．3㊀正平衡点的全局稳定性为了研究系统(２)正平衡点的全局渐近稳定性和极限环的存在唯一性,本文作如下变换:x ＝x １e u,y ＝y １e u,d t ＝１＋λx ２x ２d τ．仍用t 来表示τ,则可把系统(２)化为广义的L i e n a r d 系统:d u d t ＝－F (u )－φ(v ),d v dt ＝g (u )．ìîíïïïï(５)其中F (u )＝r [１＋λ(x １e u )２](k －x １eu)x １e uk,φ(v )＝y １e v,g (u )＝－d x １eu ＋c －λd x １e u．该变换把M １(x １,y １)变为uv 平面的原点O ᶄ(０,０)且６１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３３卷Ω＝{(u ,v )|－ɕ＜u ＜＋ɕ,－ɕ＜v ＜＋ɕ}．定理２㊀若系统(５)在Ω上有定义且满足条件(H ２),当u ʂ０时,g (u )F (u )＞０,则系统(２)的正平衡点M １(x １,y １)全局渐近稳定．证明㊀根据文献[７]中的定理３．９,容易验证系统(５)不存在全部位于Ω中的闭轨线,构造L y a pu n o v 函数,V (u ,v )＝ʏu０g (u )d u ＋ʏv０φ(v )d v ．注意到φ(v )＞０,ʏu o g (u )d u ȡ０,因此V (u ,v )在Ω中正定及有无穷大下界且d V (u ,v )d t＝g (u )[－F (u )－φ(v )]＋φ(v )g (u )＝－g (u )F (u )ɤ０．集合{(u ,v )|g (u )F (u )＝０}中不包括系统(５)的非平凡正半轨线,因此O ᶄ(０,０)全局渐近稳定,从而系统(２)的正平衡点M １(x １,y １)全局渐近稳定．4㊀极限环的存在唯一性定理３㊀若条件(H ３)且条件(H ４):c ＞d k ,c r (c －λd ＋λk －d k )＋kr λd (d －λ)＜０成立,则系统(２)在第一象限存在唯一稳定的极限环．证明㊀先证极限环的存在性．作直线l １ʒx ＝k ,l ２ʒy ＝r １＋d λc －d k éëêêùûúú．系统(２)在第一象限内沿l １,l ２分别有d l １d tl １＝－k ２y １＋λk ２＜０,d l ２d tl ２＝r １＋d λc －d k éëêêùûúú－d ＋c x ２１＋λx ２éëêêùûúú＜[d ２λr (k －r )＋rc (c －kd )]x ２(c －d k )(１＋λx ２)．当条件(H ４)成立时有d l ２d t l ２＜０,则l １,l ２是系统(２)的无切直线．当轨线与l １相遇时,均从直线l １的右方穿入左方;当轨线与l ２相遇时,均从直线l ２的上方穿入下方,显然直线x ＝０,y ＝０是系统(２)的轨线,这样直线l １,l ２,x 轴,y 轴围成了环域D ,系统(２)的轨线都从环域边界∂D 穿入D ．当条件(H ３)成立时,M １(x １,y １)在D 内不稳定,由B e n d i x s o n 环域定理[８]可知系统(２)在D 内至少存在M １(x １,y １)的一个极限环．再证极限环的唯一性．在系统(５)中令F (u )＝ʏu０f (ξ)d ξ,则f (u )ʒ＝F ᶄ(u )＝r (k r x ２１e ２u －２λx ３１e ３u－k )k x １e u．下面利用张芷芬定理[８]验证L i e n a r d 系统极限环唯一性的条件:(１)当v ʂ０时,v φ(v )＞０;φ(＋ɕ)＝＋ɕ,φ(－ɕ)＝０;φ(v )ɪC (－ɕ,＋ɕ)单调递增且满足L i p s c h i t z 条件;φᶄ(０)＝m y １ʂ０．(２)当u ʂ０时,u g (u )＝u x １e uc m －d １－e －a x １e u æèçöø÷＞０,g (u )ɪC (－ɕ,＋ɕ)且满足L i p s c h i t z 条件;取G (u )＝ʏu０g (ξ)d ξ,则G (ʃɕ)＝＋ɕ;f (u )ɪC (－ɕ,＋ɕ)且满足L i ps c h i t z 条件．(３)令F (u )ʒ＝f (u )g (u)＝r (－k ＋r k x ２１e ２u －２λx ３１e ３u)k (c x １e u －d －λd x ２１e ２u )．记A (u )＝k (c x １e u －d －λd x ２１e ２u),B (u )＝r (－k ＋r k x ２１e ２u －２λx ３１e ３u)．则H ᶄ(u )＝A (u )B ᶄ(u )－A ᶄ(u )B (u )A ２(u )．因此要考虑H ᶄ(u )的符号,只需判断T (u )ʒ＝A (u )B ᶄ(u )－Aᶄ(u )B (u )的符号即可．结合条件(H ３)和(H ４),经过计算可知T (－ɕ)＝０,T ᶄ(u )ȡ０,从而T (u )ȡ０．因此H ᶄ(u )ȡ０,即f (u )/g (u )在(－ɕ,＋ɕ)内不下降且在u ＝０的邻域内部不恒为零．由张芷芬极限环唯一性定理的条件可知系统(５)存在唯一稳定的极限环,从而系统(２)在第一象限存在唯一稳定的极限环．７１第１期冯宇星:捕食者无密度制约的H o l l i n g Ⅲ型捕食系统的定性分析5㊀数值模拟下面用M a t l a b对系统(２)正平衡点的全局渐近稳定性进行数值模拟．取r＝０．６,k＝３,λ＝０ ７,d＝０．３,c＝０．８,且满足定理２,则M１(x１, y１)＝(０．６９,０．４６)．在平衡点附近任意取两个初值进行模拟,结果如图１所示．从图像可以看出,这些轨迹的极限点均为M１(x１,y１),因此M１(x１,y１)在第一象限全局渐近稳定．图１㊀当r＝０．６,k＝３,λ＝０．７,d＝０．３,c＝０．８时,系统(２)的相图,系统(２)的正平衡点(０．６９,０．４６)是全局渐近稳定的下面对系统(２)极限环的存在唯一性进行数值模拟．取r＝０．８,k＝４,λ＝０．３５,d＝０．１５,c＝０．７且满足定理３,则M１(x１,y１)＝(１．０９,０．９５)．在平衡点附近任意取两个初值进行模拟,结果如图２所示,从图像上可以看出极限环是唯一的．6㊀结束语本文对一类无密度制约且具有H o l i n gⅢ型的捕食系统进行了研究．首先利用等倾线的基本性质,分析了系统(３)正平衡点的存在性,同时采用定性理论得到了稳定性的条件;通过构造L y aＧp u n o v函数给出了系统的全局渐近稳定性的充分条件,采用B e n d i x s o n环域定理和张芷芬极限环唯一性定理,证明了该系统在定理３下存在唯一稳定的极限环,最后利用M a t l a b通过数值模拟验证了本文理论分析的合理性．图２㊀当r＝０．８,k＝４,λ＝０．３５,d＝０．１５,c＝０．７时,系统(２)的相图,系统(２)的正平衡点(０．０９,０．９５)是不稳定的,并在正平衡点周围产生了一个稳定的极限环参考文献:[１]刘南根．具H o l l i n g I型功能反应的食铒 捕食系统的极限环[J]．数学年刊:中文版,１９８８,９A(４):５４Ｇ６０．[２]苏华,戴斌祥．一类具有阶段结构的H o l l i n gⅡ型捕食系统的一致持久性[J]．经济数学,２００６,２３(３):２９３Ｇ２９６．[３]廖云洞,李波．一类离散的H o l l i n gＧI型捕食与被捕食系统的F l i p分岔[J]．数学理论与应用,２００９,２９(３):６２Ｇ６５．[４]王战伟,王彩霞．具R i c k e r增长率的H o l l i n gⅠ型捕食系统的性态分析[J]．高校应用数学学报,２００８,２３(２):１４０Ｇ１４４．[５]张丽．两类具有H o l l i n gⅡ型功能反应的捕食Ｇ被捕食系统的定性分析[D]．长沙:湖南大学,２００６．[６]WO L K OW I C Z G S K．B i f u r c a t i o n A n a l y s i s o fa P r e d a t o rＧP r e y S y s t e m I n v o l v i n g G r o u p D e f e n c e[J]．S i a mJ o u r n a l o n A p p l i e d M a t h e m a t i c s,１９８８,４８(３):５９２Ｇ６０６．[７]蔡燧林,钱祥征．常微分方程定性理论引论[M]．北京:高等教育出版社,１９９４．[８]马知恩,周义仓．常微分方程定性与稳定性方法[M]．北京:科学出版社,２００１．[责任编辑:赵慧霞] (下转第２５页)８１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３３卷e a r s i z e Ｇs t r u c t u r e d p o p u l a t i o nd y n a m i c s [J ]．J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i s a n dA p p l i c a t i o n s ,２００８,３４２(２):１３８８Ｇ１３９８．[５]雒志学,王绵森．具有年龄结构的线性周期种群动力系统的最优收获控制问题[J ]．数学物理学报,２００５,２５A 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g th ek n o w l Ｇe d g e o fv o l t e r r a i n t e g r a l e q u a t i o na n do p e r a t o rs p e c t r a l r a d i u s ,t h eu n i q u e n e s so f t h ee x i s t e n c ea n d n o n Ｇn e g a t i v e o f t h es o l u t i o n so f c o m p e t i t i v e p o p u l a t i o ns y s t e m sa r e p r o v e d ．F i n a l l y,t h e m o n o t o n i c r e s u l t s o f t h e s y s t e ms o l u t i o no nb i r t h r a t e a n dm o r t a l i t y ar e o b t a i n e d ．K e y wo r d s :p e r i o d i c e n v i r o n m e n t ;s c a l e s t r u c t u r e ;c o m p e t i t i v e p o p u l a t i o n ;w e l l Ｇp o s e d n e s s (上接第１８页)Q u a l i t a t i v eA n a l y s i s o fH o l l i n g ⅢP r e d a t o r Ｇp r e y S y s t e m w i t h o u tD e n s i t yR e s t r i c t i o no nP r e d a t o r sF E N GY u Ｇx i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,w es t u d y t h e p r e d a t o r Ｇp r e y s y s t e m o fH o l l i n g Ⅲw i t hl o g i s t i cd e n s i t y co n Ｇs t r a i n t s b u tw i t h o u t d e n s i t y c o n s t r a i n t so f p r e d a t o r p o p u l a t i o n ．B y u s i n g t h eb a s i c p r o p e r t i e so f i s o Ｇc l i n e ,w e a n a l y z e t h e e x i s t e n c e o f p o s i t i v e e q u i l i b r i u m p o i n t s ．B y c o n s t r u c t i n g L y a pu n o v f u n c t i o n ,w e g i v e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e g l o b a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e s y s t e m．B y u s i n g B e n d i x s o n s r i n g f i e l d t h e o r e ma n dZ h a n g Z h e n g f e n s l i m i t c y c l eu n i q u e n e s s t h e o r e m ,w e p r o v e t h a t t h e s y s t e m h a s a u n i q u e s t a b l e l i m i t c y c l e u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s ．F i n a l l y ,t h e r a t i o n a l i t y o f t h e t h e o r e t i c a l a n a l ys i s i n t h i s p a p e r i s v e r i f i e db y n u m e r i c a l s i m u l a t i o nu s i n g Ma t l ab ．K e y wo r d s :H o l l i n g Ⅲp r e d a t o r Ｇp r e y s y s t e m ;g l o b a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y ;l i m i t c y c l e s ;M a t l a b ５２第１期梁丽宇:周期环境中具有尺度结构的竞争种群系统的适定性。
基于比率的三种群捕食模型的稳定性
｛ ２ｔ （）＝Ａｌ， ｔ １ ＋Ａ２ ２ｔ ＂ ， ２７（ —ｒ） ２ （ —Ｚ） ｌ Ｊ 、 Ｎ １
Ｌ （ ）＝ Ａ ｌ （ — Ｚ）＋Ａ ３ ３ ｔ—Ｚ ） Ｎ３ ｔ ３ Ｎｌ ｔ ＂ ２ ３Ｎ （ ＂ ， ２
生物种群的持续生存和稳定性是数学生态学捕食理论 的一个重要课题 ． 传统的生态模 型均假定捕食者 种群的平均捕食率只依赖于食饵种群的密度［ ． 而事实上 ， 越来越多的证据表明 ： 一个更切合实际且更一 般的捕食者一 食饵模型应基于“ 比率依赖” 理论 ， 即捕食者种群的平均增长率应为食饵种群密度与捕食者种群 密度之 比的函数 ． 近年来 ， 有不少的文献［ 研究了这类基于 比率型捕食模型． 。 ・ 谭德君在文献［ ］ ５ 中研究 了具
】 ， 】 ．
（ １ ）
初 始条 件为 （ ）＝ ｉｓ ０ ｓ ［ ，］ （）＞０ ｉ＝ ｌ２３ ， ｓ （ ）≥ ， ∈ 一ｒ ０ ， Ｏ （ ，，）ｒ＝ ｍ ｘ ｒ，２ ，ｌｒ 均 为非负 ａ ｛ｌｒ ｝ｒ，２
常数 ， ｉｔ（ ＝ ｌ２３ 分别表示食饵和捕食者的密度，ｌ０ ， ｉ 其中 （） ｉ ，，） ０， ｒ （ ， ｌ２３ 均为正常数． ａ Ｊ＝ ，，） 文 献 ［］中得到 了该 系统 在一定 条件 下是 持续 生存 的 ， 给 出 了在无 时 滞条件 下 系统 （） 平衡 点 的全 ５ 并 １正
有时 滞 和基 于 比率 的三种 群 捕食模 型
ｍｌ ３ ｔ ｌ ｔ Ｊ ３ （ ）＋ （ ） ’
：
！ 兰１ 兰 ！２
１
，
（：：【。 ｉ＿ ｌ ｔ （ 一： ＿ ） ｔ ＋ ｉｌ ） ｉ＿ （＝，【。 ｉｌ＿ ｔ （ 一， ＿ ｌ ） ｔ ＋ ｉ ） ＿
海洋生态系统的生态平衡与稳定性
海洋生态系统的生态平衡与稳定性海洋生态系统是地球上最大的生态系统之一，它涵盖了广阔的海域面积，包含着多种多样的生物群落和生物多样性。
在这个复杂而精密的生态系统中，生态平衡与稳定性的维持至关重要。
本文将探讨海洋生态系统的生态平衡和稳定性，并分析其中的关键因素。
海洋生态系统中的生态平衡指的是各种生物相互作用的相对稳定状态，其中包括能量流动、物质循环和种群间的相互关系。
海洋的生态平衡主要由食物网的形成和维持来实现。
食物网是海洋生态系统中各种生物通过捕食和被捕食的关系相互连接而成的复杂网络。
其中，浮游生物是海洋食物链的基础，它们通过光合作用吸收太阳能并转化为有机物质，为其他生物提供能量来源。
浮游生物被底层生物捕食后，再被大型海洋动物捕食，形成了食物链的层次结构。
食物链的稳定性对维持海洋生态系统的平衡至关重要。
在海洋生态系统中，种群的密度和多样性也是保持生态平衡的重要因素。
海洋物种之间存在相对平衡的种群密度，一种物种数量的增加会导致其食物来源减少，从而影响其他物种的生存。
例如，某一海洋生物的数量过多，它们过度捕食其食物来源，导致食物链中其他物种的减少，破坏了生态平衡。
同时，物种的多样性也对生态平衡发挥着重要作用。
不同物种之间的相互作用和竞争使得生态系统能够更好地适应外界环境的变化，增加稳定性。
然而，海洋生态系统的生态平衡和稳定性也面临一些威胁和挑战。
人类活动对海洋生态系统的影响不断加剧，过度捕捞、海洋污染、气候变化等问题都对海洋生物多样性和生态平衡产生了负面影响。
过度捕捞破坏了物种的数量平衡，导致某些物种濒临灭绝，进而影响整个食物链的稳定性。
海洋污染物的排放导致水体质量下降，使得海洋生物的生存环境恶化。
气候变化引起海平面上升、水温升高等问题，也对海洋生态系统的平衡和稳定性构成威胁。
为保持海洋生态系统的生态平衡和稳定性，我们需要采取一系列的措施。
首先，要加强海洋资源的保护和管理，建立健全的渔业管理制度，避免过度捕捞。
一类捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析
（ 中南大学数 学科学与计算技术学院， 长沙，１ ８ ） ４０ ３ ０
摘 要 本文利用 Ｓｈｒ ｏ ｃｕ—Ｃ ｌ ｕｙ ｍ—Ｊｒ 引理及分岔理论讨论 了一类捕食与被捕食 系统的动力学性质 ， 分析 了其
正平衡 点的稳定性 ， 并讨论 了Ｎ ｉａ —Ｓｃｅ 分岔稳 定性 与方 向。通过数值模拟验证 了所得 结果 的正确性。 ｅ ｒ ａｋｒ ｍ ｋ 关键词 捕食与被捕食 系统 稳定性 Ｎ ｉａｋ ａｋｒ ｅ ｒ —Ｓｃｅ 分岔 ｍ
ｄ ｘ
＝
（ 素一 ； 一 １ ） ＝ ＋ ＿
（ １ ）
其中 （） ｙ ｆ分别表示时刻 ｔ ￡， （） 捕食与被捕食生物的种群密度 ，， 口 ｂ ｃ ｄ都为正常数。 ｒＫ， ， ， ，
・ 何智敏 教授推荐 收稿 日期 ： ０ 年 ８ ２ ２ ８ ０ 月 ０日
一
类捕食与被捕食 系统的稳定 性与分岔分析
Ｔｈ ｔ ｂ ｌ ｙ ａ ｄ Ｂｉｕ ｃ ｔ ｎ Ａｎ ｌ ｓｓ ｅ Ｓ ａ ｉ ｔ ｎ ｆ ｒ ａ ｉ ａ ｙ ｉ ｉ ｏ ｏ ｅ ａ ｏ —ｐ ｅ ｙ ｔ ｍ ｆａ Ｐｒ ｄ ｔ ｒ— ｒ ｙ Ｓ ｓｅ
Ｊ ｎ ｉｏ ｅ ｉ ｇＸ ａｗ ｉ ａ
（ｃｏｌ ｆ ａ ｅ ａｃｌ ｃ ｎｅａｄＣ ｍ ｕｎ ｅｈｏ ｇ ，ｅｔ ｌ ｏｔ Ｕ ｉ ｒｔ，｝Ｉｓ ，１０３ Ｓｈｏｏ Ｍ ｔ ｍ ｔａ Ｓｉ ｃ ｎ ｏ ｐｔｇＴｃｎｌ ｙＣ ｎａ Ｓｕ ｎ ｅ ｉ ｃｌｌｌ ４０８ ） ｈ ｉ ｅ ｉ ｏ ｒ ｈ ｖ ｓｙ ａｇ ｌ ａ
ｅ ｄ．
Ｘｅ ｗｏ ￣ ｙ ｒ
Ｐ ｅ ａ ｒ — ｒｙ ｓ ｓ ｍ Ｓａ ｉｔ Ｎ ｉ ｒ — ａ ｋ ｒｂｆｒ ａ ｏ ｒｄ ｔ — ｐｅ ｔ ｏ ｙ ｅ ｔｂｌ ｙ ｉ ｅｍａｋ— Ｓ ｃ ｅ ｉ ｃ ｔ ｎ ｕ ｉ
捕食者一被捕食者系统稳定性指标的改进及应用
２ ． Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｕｔ ｔ ｅ ｏ ｆ Ａ ｐ ｐ ｉ ｌ ｅ ｄ Ｅ ｃ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｆ ｕ ｊ ｉ ａ ｎ Ａ ｇ ｒ ｉ ｃ ｌ ｕ ｔ ｕ ｒ ｅ ａ ｎ ｄ Ｆ ｏ ｒ ｅ ｓ ｔ ｒ ｙ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｓ ｒ ｉ ｙ，Ｆ ｔ ｕ ｚ ｈ ｏ ｕ ， Ｆ ｕ ｊ ｉ ｎ ａ ３ ５ ０ ０ ０ ２ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ； ３ ． Ｋ ｅ ｙ Ｌ ａ ｂ ｏ ｒ ａ ｔ ｏ ｙ ｒ ｏ ｆ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ Ｐ ｅ ｓ ｔ Ｍａ ｎａ ｇ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｆ ｏ ｒ Ｆ ｕ ｊ ｉ ａ ｎ ・ Ｔ ａ ｉ ｗ ｎ ａ Ｃ ｒ ｏ ｐ ｓ ， Ｍｉ ｎ ｉ ｓ ｔ ｙ ｒ ｏ ｆ Ａ ｇ ｒ ｉ ｃ ｌｔ ｕ ｕ ｒ ｅ ， Ｆ ｕ ｚ ｈ ｏ ｕ ， Ｆ ｕ ｊ ｉ ａ ｎ ３ ５ ０ ０ ０ ２ ， Ｃ ｉｎ ｈ ａ ； ４ ． Ｃ ｏ Ｈ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｐ ｌ ｎｔ ａ Ｐ ｒ ｏ ｔ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ， Ｆ ｕ ｊ ｉ ａ ｎ Ａ ｇ ｒ ｉ ｃ ｌｔ ｕ ｕ ｒ ｅ ａ ｎ ｄ Ｆ ｏ ｒ ｅ ｓ ｔ ｒ ｙ Ｕ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｒ ｉ ｙ， ｔ
具有Leslie—Gower反应的离散捕食-食饵系统的稳定性和分支分析
（ 四川 文理 学院 数 学与财 经 系， 四川 达 州 ６５０ ） ３００
摘
支．
要 ： 究 了 类用 向前 欧拉 法获得 的具有 Ｌｓｅ Ｇ ｗｒ 研 一 ｅ ｉ— ｏ ｅ 反应类型 的 离散捕食 系统 的动 力学行为． ｌ 利
用 Ｊｒ 判据 ， 讨 了系统的渐进 稳定性 ； 用分支理论 和 中心 流型定理 ， 明 了 系统在一 定条件 下存在 ｆｐ分 ｕｙ 探 利 证 ｌ ｉ 关键词 ： 向前欧拉法 ； 离散捕食 一食饵 系￣； ｐ分 支 ｉ ｌ ｆ 中图分类号 ： ２ ０９ 文献标 志码 ： Ａ 文章编号 ：６４— ２ ８ ２ １ ）２— ０ ３— ３ １７ ５ ４ （０ ０ ０ ０ １ ０
只有一篇文献在系统周期解 的存在性和稳定性方面做过
一
些工作． 作为对此方面工作的弥补 ， 本文考虑捕食种
群的增长受交配频度因素 的影响 ， 建立具有 ｌｓ Ｇｗ ｒ ｅｉ ｏｅ ｌ ｅ— 反应的连续时间的捕食 一 食饵系统 ， 运用 向前欧拉法获得
相 对应 的离散 系统 ， 而对此 系统进 行研 究． 先 ， 虑如 进 首 考 下 连续 捕食 一 食饵 系统 ：
：
一
譬，
（） １ ． ・
近稳定性． 显然， 系统 （． ） １３ 的平衡点适合如下代数方程：
＝ 占１ 十 ， ， ＋ （ 一 ， ）
Ｙ＝ Ｙ＋艿 口一６ ） （ ． （． ） ２ １
其 中食饵种群 在无天敌情况下的内秉增长率和环境容
纳量分别是 ｒ，； ｋ捕食种群 ｙ 对食饵的功能反应是 Ｈ ｌ ｇ ｏｉ ｌ ｎ
一
经简单计算可得如下命题 ：
。
， 的 ； ｒ 表 示 捕 食 种 群 的 增 长 受 交 配 频 度 的影 类 项 ２